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淮北市2017届高三第一次模拟考试数学理科答案


淮北市 2017 届高三第一次模拟考试数学参考答案(理科)
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C 11 C 12 A

二、填空题 13.

m? 2 ?2

14.

2

15. ? - 2 ,3? ?2 ?

?3

?

16. 10

三、解答题
17. 解: (Ⅰ) (bc ? 8) ?
b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ac ? ? a2 ? b2 2bc 2ac

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 8? ? ? a2 ? b2 2 2bc 2 b2 ? c2 ? a 2 ? 8 ? b2 ? c2 ? a 2 ?0, 2bc

∵△ ABC 不是直角三角形,∴ bc ? 4 ? 0

?b ? 1 ? b ? 4 故 bc ? 4 ,又∵ b ? c ? 5 ,解得 ? 或? ?c ? 4 ? c ? 1

(Ⅱ)∵ a ? 5 ,由余弦定理可得
5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 8 ? 8 cos A ,所以 cos A ?

3 , 8

所以 sin A ?

1 55 55 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . 2 4 8

所以△ ABC 面积的最大值是 18. 解: (1)由题意得 K ?
2

55 3 ,当 cos A ? 时取到. 4 8
2

80?30 ? 5 - 35? 10? 80 ? ? 3.841 40 ? 40 ? 65? 15 39
65 13 ? 80 16

故不能在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关” (2)由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率 p ? (3)由题意知 X 服从 B? 4 ,

13 13 ? 13 ? ? ,则 EX ? np ? 4 ? ? 16 4 ? 16 ?

19. 解: (I)取 B1 A1 中点为 N ,则 BN // A1F ,又 B1 A 1 ? 4B 1M , 则 EM // BN ,所以 EM // A1F ,故 EM // 面 A 1FC (II)如图,以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系,设 AA1 ? a 。

第1页

则 F (0,0,0), A1 (?1,0, a), E(1,0, ), C(0, 3,0) ,

a 2

a a 设 EC ? (?1, 3,? ), FC ? (0, 3,0), A1 E ? (2,0,? ), A1C ? (1, 3,?a) 设平面 A1CF 法向量为 m ? ( x, y, z) , 2 2
平面 A1 EF 法向量为 n ? ( x, y, z) .

? ? A1C ? m ? x ? 3 y ? az ? 0 则? 不妨取 m ? (a,0,1) ; ? FC ? m ? 3 y ? 0 ?

? A1C ? n ? x ? 3 y ? az ? 0 ? 不妨取 n ? (a, 3a,4) ; ? a ? A1 E ? n ? 2 x ? z ? 0 2 ?
设二面角 E ? A1C ? F 的平面角为 ? , 容易判断 cos ? ? cos ? m, n ??

a2 ? 5 a ? 1 ? 4a ? 16
2 2

?

2 7 , 7

设 a 2 ? t ,则 9t 2 ? 10t ? 111 ? 0 ,得 t ? 3 ,即 a 2 ? 3 ,所以 AA1 ? 3 .

c 3 4 3 20. 解: (Ⅰ)由题意得 e ? ? , 2 ? 2 ? 1, a b a 2
得 a ? 4, b ? 2 ,故 C 1 :
x2 y2 ? ?1 16 4

(a ? b ? 0)
C

y
A
O

B

x

(Ⅱ)联立 l1 : y ? kx ? m , C 1 :
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 的方程并化简得 16 4

D
(第 20 题)

(1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 4) ? 0 , ? ? 0 恒成立,
8km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 4k 2 4 16k 2 ? m 2 ? 4 ? | x ? x | ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ,得 , 2 1 2 1 ? 4k 2 ? x1 x 2 ? 4( m ? 4) ? 1 ? 4k 2 ?

所以 | AB |? 1 ? k 2 ?

4 16k 2 ? m 2 ? 4 , 1 ? 4k 2
x2 y2 8 16 ? ? 1 得 x2 ? ,所以 | CD |? 1 ? k 2 ? , 2 16 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

把 l2 : y ? kx 代入 C 1 :

所以 ? ?

1 m2 | AB | 16k 2 ? m 2 ? 4 1 m2 ? 4 ? ? ? 4? 2 | CD | 2 1 ? m2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4( ) 2m

第2页

?

1 m4 1 1 6 4? 4 ? 4? ? , 2 1 1 3 2 3 m ?m ?1 2 ( 2 ? )2 ? 2 4 m
6 2 , ? 取最小值 . 4 3

当 m ? 2, k ? ?

' 21.解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 2 , ( x ? 0). 而 f ( x) ? ln x ?

x ?1 ? 1; 则 f ' (1) ? 1. x

又因为 f (1) ? 1,所以求在 x ? 1 处的切线方程为: y ? x ? 1. (II)因为 f ( x) ? ln x ?
'

x ?1 ? a; ( x ? 0). x
a

1)函数 f ( x) 在定义域上单调递减时,当 x ? e 时, f ( x) ? 0. 不成立;
'

2)函数 f ( x) 在定义域上单调递增时, f ( x) ? 0 恒成立,及 a ? ln x ?
'

x ?1 x ?1 ;令 g ( x) ? ln x ? , x x

则 g ( x) ?
'

x ?1 , x ? 0; 则函数 g ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, 在 ?1,??? 上单调递增; 所以 g ( x) ? 2 , 故a ? 2. x2 2? x ? 1? 在 ?1,??? 上总成立, x ?1

(III)由 2)得当 a ? 2 时 f ( x) 在 ?1,??? 上单调递增,由 f ( x) ? f (1), x ? 1 得

( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ? 0 ,即 ln x ?

? n ?1 ? 2? ? 1? n ?1 n ?1 n ? ? ,化简得: ln?n ? 1? ? ln n ? 2 令x ? 得 ln ? n ?1 n 2n ? 1 n ?1 n
所以 ln 2 ? ln 1 ?

2 2 ?1

, ln 3 ? ln 2 ?

2 2 ,…, ln ?n ? 1? ? ln n ? 5 ?1 2n ? 1

2 2 2 ? ? ... ? 3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? ln( n ? 1) , n ? N ? 命题得证。 即 ? ? ? ... ? 3 5 7 2n ? 1 2
累加得 ln?n ? 1? ? ln1 ? 选做题

x2 y 2 ? ?1 l : 3x ? y ? 4 3 ? 0 解(1) ; 4 3
(2).设

P(2cos? , 3 sin ? )

,则

P

到 的距离

l

第3页

d?

2 3 cos ? ? 3 sin ? ? 4 3 1? 3

?

3 2 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

3 2

5 cos(? ? ? ) ? 4 ?

15 ? 4 3 2

15 ? 4 3 故 到 的距离的最大值为 2
P

l

23. 解: (1) a ? ?3 时, f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 .

f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
?x ? 3 ?2 ? x ? 3 ?x ? 2 ?? 或? 或? ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ?? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ?? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或x ? 4
∴不等式解集为 ? ??,1? ? ?4, ???

原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 ?1, 2?

恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 ?1, 2? ? x ? a ? 2 在 ?1, 2?
恒成立

恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 在 ?1, 2?
∴a 的取值范围是 ? ?3,0?

恒成立

第4页


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