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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)5 三角3 理


各地解析分类汇编:三角函数 3
1.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f

s ? x? ? 2 s i n? x c o? x?

2 2 3 s i ? x? n

3 0 ? ? ? ? , 直 线 x ? x1 , x ? x2 是 函 数

y ? f ? x? 的图像的任意两条对称轴,且 x1 ? x2 的最小值为
(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (III)若 f ?? ? ? 【答案】

? . 2

2 ?5 ? ,求 sin ? ? ? 4? ? 的值. 3 ?6 ?

2.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 12 分)设函数

f ? x? ? sin x ? cos x, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? ? f ? x ?? ? ?
(Ⅰ)求 g ? x ? 的周期和最大值 (Ⅱ)求 g ? x ? 的单调递增区间 【答案】(1)

2

,-------------------------------2 分

----------------------------------4 分

-------------------------------6 分 的周期 ----------------------7 分 -------------------------8 分

(2)由



所以

---------------------10 分

的增区间为

-------------------12 分

3.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,

?A ? 1200 ,
(Ⅰ)若三边长构成公差为 4 的等差数列,求 ?ABC 的面积 (Ⅱ)已知 AD 是 ?ABC 的中线,若 AB ? AC ? ?2 ,求 | AD | 的最小值 【答案】解:(1) 由余弦定理: 即 所以 ,设三边为 ,--------------1 分 ---------------2 分 -------------------------3 分 --------------------------------4 分

??? ??? ? ?

????

-----------------6 分 (2) ----------------------7 分 --------------------8 分

因为

,所以

--------10 分

----11 分 所以 ----------12 分

4.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x.
(I)求 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (II)当 x ? ?0, 【答案】

? ?? 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值及相应的 x 的值. ? 2? ?

5.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三

内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 sin ? (I)求 tanA 的值;

2 ?? ? ? A? ? . ?4 ? 10

(II)若 ?ABC 的面积 S ? 24, b ? 6 ,求 a 的值.

【答案】 6.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 12 分)设函数

f ? x ? ? sin x ? x cos x, x ? R .
(I)当 x ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)当 x ??0,2013? ? 时,求所有极值的和. 【 答 案 】

a 7. 山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】本小题满分 12 分) ?ABC 内, , b, c 【 ( 在
分别为角 A,B,C 所对的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。 (1)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

【答案】解: (Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ……………………2 分

又 a ? 2c ,可得 b ?

3 c, 2

…………………………4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,……………………6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? , ……………………8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 , S ?ABC ? bc sin A , 4 2
1 1 3 15 3 15 ,………………………………10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4
…………………………12 分

所以 S ?ABC ?

得 c2 ? 4,即c ? 2, b ? 3 .

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos2 ? x ? sin 2 ? x,sin ? x) , b ? ( 3, 2cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)若将 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的

?

?

? ?

?
2

对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

1 ? ,再将所得图象向右平移 个单位, 6 3

纵坐标不变,得到 y ? h( x) 的图象, 若关于 x 的方程 h( x) ? k ? 0 在区间 [0, 一个实数解,求实数 k 的取值范围. 【答案】

?

2

] 上有且只有

由直线 x ? 所以 ?? ?

?
2

是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 2sin(?? ?

?
3

) ? ?2 ,

?
3

? k? ?

?

1 (k ? z ) ,即 ? ? k ? (k ? z ) . 2 6 1 . 6

又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ?

9.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 3(b2 ? c2 ) ? 3a2 ? 2bc . (Ⅰ)若 sin B ?

2 cosC ,求 tan C 的大小;
2 ,且 b ? c ,求 b, c . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积 S ? 【答案】

10.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)(本小题满分 13 分) 】

B C b c cos 已知: ?ABC 中, a 、 、 分别为角 A 、 、 所对的边, 在 且角 C 为锐角, 2C ? ?
(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. 【答案】解: (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 4

1 ? ,及 0 ? C ? 4 2

所以 sinC=

10 . 4

………………………… 4 分

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 ? ,及 0 ? C ? 得 4 2

a c ? ,得 c=4 sin A sin C

………7 分

cosC=

6 4
2 2 2

………………………9 分

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b - 6 b-12=0 解得 b=2 6
2

…………………… 12 分 ……………………13 分

11.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)(本小题满分 13 分) 】

? 已 知 : 函 数 f ( x)

M s? n ?? i (x

M ( ? ? 的| 部 |分 图 象 如 图 所 ) ? 0 , ) 2

?

示. (Ⅰ)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围. 【答案】解: (Ⅰ)由图像知 M ? 1 , f (x) 的最小正周期 T ? 4(

A 2

将点 (

? ? 2 …… 2 分 ?
6

5? ? ? ) ? ? ,故 12 6

,1) 代入 f (x) 的解析式得 sin(
所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

? ? ) ? 1 ,又 | ? |?
………………

?
2

故? ?

?
6

?
6

)

5分

(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ……………………8 分 因为 sin A ? 0 所以 cos B ?

? ? 5? A ? 2? ? A? ? f ( ) ? sin( A ? ) 0? A? ……………………11 分 6 6 6 2 6 3 1 A ? ? f ( ) ? sin( A ? ) ? 1 ……………………13 分 2 2 6
12.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 13 分) 】 如图,在平面直角坐标系 两个锐角 中,以 轴为始边作 两

1 2

B?

?
3

A?C ?

2? ………………9 分 3

,它们的终边分别与单位圆交于

点.已知 (1)求

的横坐标分别为 的值;



(2)求

的值.

【答案】 ∵

(Ⅰ)由已知得: 为锐角













.--------------------6 分

(Ⅱ)∵

∴ 为锐角,











-----------13 分

13.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 13 分) 】 已知函数 (1)求 (2)求 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间. .

(3)当

时,求函数

的最大值,最小值.

【答案】

(I)

.

…3 分



.



函数图象的对称轴方程是

……5 分

(II)



的单调增区间为

…8 分

(III)

,

…… 10 分

.

……

11 分



时,函数

的最大值为 1,最小值为

.



13 分

14.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】设 ?ABC 的内角 A、B、C 的 对应边分别为 a、b、c 已知 a ? 1, b ? 2, cos C ? (1)求 ?ABC 的边长。 (2)求 cos(A ? C ) 的值
2 2 2 【答案】 (1)由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cosC ————————————2 分

1 4

=1+4—2×1×2× =4 ∵c>0

1 4

∴c=2———————————————4 分

(2) sin 2 C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? ? ?

?1? ?4?

2

15 16

?0 ? C ? ?

? sin C ?
a c ? sin A sin C

15 4

——————————————6 分

由正弦定理得:

1 2 即: ? sin A 15 4

解得, A ? sin

15 8
2

———————————————————8 分
2

? 15 ? 49 ? ? cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? 64 ? ?
2

在三角形 ABC 中? a ? b

?A? B

? A为锐角

? cos A ?

7 8

———————————————————10 分

cos(A ? C ) ? cos A cosC ? sin A sin B —————————————11 分

?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? ———————————12 分 8 4 8 4 16
2? , a ? 2c sin A. 3

15.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 (本题满分 12 分)在△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别 a、b、c, B ? 设函数 f ( x) ? sin 2x ? 4cos A cos x
2

(1)求角 C 的大小; (2)求函数 f (x) 的单调递增区间 【答案】解

( )B ? 1

2? , a ? 2c sin A 3

? sin A ? 2 sin C ? sin A, A ? C ? ? sin A ? 0 ? sin C ? 0?C ? 1 , 2

?
3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 3 6 (2)f ( x) ? sin 2 x ? 4 cos A cos2 x

?

,? C ? A ?

?

? sin 2 x ? 4 ?

3 cos2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5分 2
1 ? cos 2 x ) 2

? sin 2 x ? 2 3 (

= sin 2x ? 3 cos2x ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7分

? (sin 2 x ? 2 令2k? ? ? k? ?

?
3

) ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9分

5? ? ? x ? k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11分 12 12

5? ?? ? ? f ( x)的增区间为 k? ? , k? ? ?, k ? Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12分 ? 12 12? ?
16.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】(本小题满分 12 分) 已知 错误!未找到引用源。 (1) 求错误!未找到引用源。的值. 【答案】解: (1) ∵错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 分 错误!未找到引用源。 w_w w. k#s5_u.c o*m........... 7 分 ∴错误!未找到引用源。 ............... 10 分 ................................................ 5 (2)求 错误!未找到引用源。的值

∵错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。

∴ 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

........................12 分

17.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 (本小题满分 12 分) 在错误!未找到引用源。中,角错误!未找到引用源。所对的边为错误!未找到引用源。 已知错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的值; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。的面积为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 , 求错误!未找到引用源。的值.

【答案】解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。……………………………4 分 (Ⅱ)∵错误!未找到引用源。 ,由正弦定理可得:错误!未找到引用源。 由(Ⅰ)可知错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 , 得 ab=6……………………………………………………………………………………8 分 由余弦定理错误!未找到引用源。 可得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。………………………………………………………………………10 分 由错误!未找到引用源。 , 18.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 (本小题满分 14 分) 已知 a ? (sin x,cos x), b ? ( 3 cos x,cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R ) (1)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x ? [? 2 , 4 , 6

?

?

? ?

? 5?

, ] 时,求 f (x) 的值域. 6 12

【答案】解: (1) f ( x ) ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2

∴ f (x) 的最小正周期为 ? 由?

…………4 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? 得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ( k ? Z )

f (x) 的单调增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ]( k ? Z ) 1 2
故 ?

…………8 分

(2)由(1)知 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

又当 x ? [?

? 5?
6 12 ,

],2x ?
3 2

?
6

? [?

?
6

,? ]

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6

从而 f (x) 的值域为 [ 0, ]

………14 分

19.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 (本小题满分 12 分)已知函数

π f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x . 6

(1)求 f (

π ) 的值; 12

(2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围.

π 2

【答案】解: (1) f ( 分 (2) f ( x) ?

π π π π 3 . ) ? cos 2 (? ) ? sin 2 ? cos ? 12 12 12 6 2

………………4

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2

1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) 2 3 2 2 2 ? 3 π sin(2 x ? ) . 2 3
π 2 π π 4π ?[ , ] , 3 3 3
………………10 分 ………8 分

因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以当 2 x ?

π π π 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 . 12 3 2 2 π 2 π 2

所以 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 等价于

3 ? c. 2 3 , ??) . 2
………………12 分

故当 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 时, c 的取值范围是 [

2.0 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 (本小题满分 12 分) ?ABC 中, 在 角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 sin (1)求 cos C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为

C 10 。 ? 2 4

13 2 3 15 2 2 sin C ,求 a, b, c 的值。 ,且 sin A ? sin B ? 16 4

【答案】解: (1) cosC ? 1 ? 2 sin 2
2 2 (2) ? sin A ? sin B ?

C 10 2 5 1 ? 1? 2? ( ) ? 1? ? ? 2 4 4 4

…… 4 分

13 13 sin 2 C ,由正弦定理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 16 16

由(1)可知 cosC ? ? ,0 ? C ? ? ? sin C ? 1 ? cos2 C ?

1 4

15 4

S ?ABC ?

1 3 15 ,得到 ab ? 6 ab sin C ? 2 4

…………………………8 分

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 可得 c 2 ?

13 2 c ? 3 c 2 ? 16, c ? 0,? c ? 4 16

…………………………10 分

?a ? 3 ?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? 13 ?a ? 3 ? a ? 2 ? ? 由? 可得 ? 或? , 所以 ?b ? 2 或 ?b ? 3 ?b ? 2 ?b ? 3 ?c ? 4 ? c ? 4 ?ab ? 6 ? ?

………12 分


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