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2015-2016学年高中数学 2.2.2椭圆及其标准方程(二)课件 新人教A版选修2-1


2.2.2

椭圆及其标准方程(二)

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1.进一步理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程. 2.会求与椭圆有关的轨迹方程.

研 题 型 学 习 法

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题型一 利用椭圆定义求轨迹方程
例 1 已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动 圆在圆 C1 内部且和圆 C1 内切,和圆 C2 外切,求动圆圆心的轨迹方 程. 解析:如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1, 所以|MC1|=13-r. 圆 M 外切于圆 C2, 所以|MC2|=3+r. 所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8, 所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,
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且 2a=16,2c=8,b2=a2-c2=64-16=48, x2 y2 故所求轨迹方程为 + =1. 64 48 规律方法:利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具 有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否 是一常数,且该常数(定值)大于两点的距离,若符合,则动点的轨迹 为椭圆,然后确定椭圆的方程.这就是用定义法求椭圆标准方程的方 法,要注意检验.
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?变式训练 1.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的 等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 16 9 16 12 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 4 3 3 4 解析:因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|= 2|F1F2|= 2×2= 4>|F1F2|.所以 P 的轨迹应是以 F1, F2 为焦点的椭 x2 y2 圆.这里 c=1,a=2.所以轨迹方程为 + =1. 4 3 答案:C
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)

题型二

与椭圆有关的轨迹问题

例 2 已知圆 x2+y2=9,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线 → =2MP → 段 PP′,点 M 在 PP′上,并且PM ′,求点 M 的轨迹. 解析:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0=x, y0=3y.
2 因为 P(x0, y0)在圆 x2+y2=9 上,所以 x2 0+ y0= 9. 2 x 将 x0=x, y0=3y 代入,得 x2+9y2=9,即 +y2=1. 9

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所以点 M 的轨迹是一个椭圆. 规律方法:本题求轨迹方程的方法是代入法,将动点的坐标(x, y)利用相关点转移到已知曲线上,从而得出动点轨迹方程.

?变式训练 → =2MP →′”改为“点 M 2.若将例 2“点 M 在 PP′上,并且PM →M=λP→ 在直线 PP′上,并且P′ ′P(λ>0)”,则 M 点的轨迹是什么? 解析:当 0< λ<1 时,点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 λ=1 时,点 M 的轨迹是圆; 当 λ>1 时,点 M 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆.
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题型三

焦点三角形问题

x2 y2 例 3 (2013· 德州高二检测)若 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦 9 7 点,A 为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,求△AF1F2 的面积. 解析:如图所示,|F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6, 由|AF1|+|AF2|=6, 得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=36. 又在△AF1F2 中,|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1||AF2|cos 45°, 所以 36-2|AF1||AF2|-8= 2|AF1||AF2|, 28 所以|AF1||AF2|= =14(2- 2), 2+ 2 1 1 2 所以 S△AF1F2= |AF1||AF2|sin 45°= ×14(2- 2)× = 2 2 2 7( 2-1).
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规律方法: 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形. 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆 的定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识.对于求焦点三角形 1 的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S= absin C 把|PF1|·|PF2|看成一 2 个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余 弦定理求出|PF1|· |PF2|,而无需单独求出 |PF1|和 |PF2|,这样可以减 少运算量.
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?变式训练
y2 x2 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0, a b 1),且 3a2=4b2. (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦 值. 解析:(1)依题意知 c=1,又 c2=a2-b2,且 3a2=4b2, 3 2 1 2 所以 a - a =1,即 a =1.所以 a2=4. 4 4
2 2 2 y x 因此 b2=3.从而椭圆方程为 + =1. 4 3

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(2)由于点 P 在椭圆上, 所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4, 5 3 又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|= ,|PF2|= , 2 2 又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠ F1PF2= = 2|PF1|·|PF2|
?5 ?2 ?3? 2 2 ? ? +? ? - 2 3 ?2 ? ?2?

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5 3 2× × 2 2

= . 5

3 即∠F1PF2 的余弦值等于 . 5

析疑难 提 能 力
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对椭圆标准方程掌握不准致误. 【典例】 若方程 x2sin θ+y2sin 2θ=1 表示椭圆,则 θ 的取 值范围是( )
? π? B.?2kπ,2kπ+ ?,k∈Z 2? ?
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? π? A.?kπ,kπ+ ?,k∈Z 2? ? ? π? C.?2kπ,2kπ+ ?,k∈Z 4? ?

D.以上皆不正确

解析:把方程 x2sin θ+y2sin 2θ=1 化为标准形式:

? ? x y + =1,由? 1 得: 1 1 >0, sin 2θ sin θ sin 2θ ? ?sin θ≠sin 2θ
2 2

1 >0, sin θ

π ? π π? (2kπ,2kπ+ )∪?2kπ+ ,2kπ+ ?. 3 ? 3 2? 答案:D 【易错剖析】本题的解答易出现两个错误: 1.不能将椭圆方程化为标准形式; 2.不能正确求解三角不等式组.

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