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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 阶段滚动检测(二)


阶段滚动检测(二) 第一~四章
(120 分钟 150 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015?太原模拟)下面是关于复数 z= 部为-1.其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 2.(滚动交汇考查)若函数 f(x)= 的四个命题:p1:|z |=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的虚

的定义域为 A,函数 g(x)=lg(x-1),x∈[2,11]的值域为 B,则 A∩B 等于

( ) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[0,1] D.[0,1) 3.(滚动单独考查)如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能 是( )

4.(滚动单独考查)(2015? 重庆模拟)已知函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)为 f(x)的导函数, 函数 y=f′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( ) A.(-3,-2)∪(2,3) B.(C.(2,3) D.(-∞,)∪( ,+∞) , )

5.(2015 ? 南 宁 模拟 ) 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ∠ C= ? A.3 + ? B.6 =( ) C.-3

,AC=3, 取点 D,E, 使

=2

,

=3

, 那么

D.-6

6.(2015?开封模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 cosB= , b=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.设向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),其中 0<α <β <π ,若|2a+b|=|a-2b|,则β -α =(

=2,且 S△ABC=

,则

)

A.

B.-

C.

D.-1-

8.(2015?沈阳模拟)函数 f(x)=2sin(ω x+φ)(ω >0,- <φ < )的图象如图所示,则

?

=(

)

A.8

B.-8

C.

-8

D.-

+8 )

9.(滚动单独考查)若 f(x)=-x2+aln(x+2)在(-2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是( A.[-2,+∞) B.(-2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 10.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算 a?b=x1y2-x2y1,若 a=(3, ),b=(-sinx,

cosx),f(x)=a?b,将 f(x)的图象左移 m(m>0)个单位后,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为(

)

A.

B.

C. |=|

D. |=2,点 C 在线段 AB 上,且| |的最小值为 1,则| -t |(t∈R)的最

11.(2015?深圳模拟)已知| 小值为( A. ) B.

C.2

D. )

12.设 e1,e2 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 m 满足(m-e1)?(m-e2)=0,则|m|的最大值为( A.1 B. C. D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.若 =(3,4), =(-1,-2),则在复平面内 对应的复数为 =(-3,1), . =(-2,k),则实数 k= ? . = ,a+b=9, 则

14.(2013?重庆高考)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,

15.(2015 ?长春模拟 ) 在△ ABC 中 , 设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cosC= , c= .

16.已知点 A(3,0),B(0,3),C(cosα ,sinα ),若 ? =-1,则 的值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cosα ,sinα ),α ∈( ,

).

-2-

(1)若| (2)若

|=| ?

|,求角α 的值. =-1,求 的值. .

18.(12 分)(2015?福州模拟)设函数 f(x)=(sinω x+cosω x)2+2cos2ω x(ω >0)的最小正周期为 (1)求ω 的值.

(2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 19.(12 分)(滚动单独考查)设函数 f(x)=ax- , 曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式. (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 20.(12 分)(2015?郑州模拟)已知向量 a=( (1)求ω 的值. ,cosω x),b=(sinω x,1),函数 f(x)=a?b,且最小正周期为 4π .

(2)设α ,β ∈[ ,π ],f(2α - )= ,f(2β +

)=-

,求 sin(α +β )的值.

(3)若 x∈[-π ,π ],求函数 f(x)的值域. 21.(12 分)(滚动单独考查)设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),a∈R. (1)若函数 f(x)在[2,+∞)上为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. (2)若 a=1,试在函数 f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直 ,且两切点的横坐标均在区间 [- ,2]上. 22.(12 分)(滚动单独考查)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′( ). (1)求 a 的值. (2)求函数 f(x)的单调区间. (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)?ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围.

-3-

答案解析 1.C 由 z= 所以|z|= 得 z=-1-i, ,所以 p1 为假命题,排除 A,B.

又 z2=(-1-i)2=2i,故 p2 为 真命题,排除 D.故选 C. 2. C 由已知 1-x≥0 得 x≤1, 故 A=(-∞,1]. 当 x∈[2,11]时,x-1∈[1,10], 故 lg(x-1)∈[0,1],即 B=[0,1]. 所以 A∩B=[0,1]. 3.【解题提示】利用原函数图象的单调性确定导函数的正负后可判定. A 由原函数图象可知,导函数应该是从左到右为正→负→正→负,只有 A 满足. 4.【解题提示】利用导函数图象确定原函数的单调性后再利用已知条件求解. A 由 f'(x )的图象可知 y=f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 又 f(-2)=1,f(3)=1, 故 f(x2-6)>1?-2<x2-6<3. 即 4<x2<9, 解得 2<x<3 或-3<x<-2.

5.【解题提示】由∠C= 可建系利用坐标运算求解. A 如图建系得 C(0,0),A(3,0), B(0,y),则由已知得 D 为 AB 的一个三等分点,故 D(2, y), 又 =3 ,

故 E(-1, y). 所以 =(-1, y), =(3,0), + ? =6-3=3. , 来解.

=(2, y), 所以 ?

【一题多解】本题也可以利用基底

A 由

=2



=

,



=

+

=

+

-4-

= =

+ ( +

.

)



=

+

=

+

= = 故 =(

+ ( ? +

, + )?

)

?

=(

+

) ?

=

+

?

.

因为 C= ,所以

?

=0,又 AC=3,

所以

= ?9=3.

6.C 由 cosB= ,0<B<π 得 sinB=

.



=2 得 =2,即 c=2a.

由 S△ABC= 所以 c=2.

= acsinB=a2?

,故 a=1.

由 b2=a2+c2-2accosB=1+4-2?1?2? =4 得 b=2. 7.【解题提示】将等式两边平方得 a 与 b 的关系后可求解. A 由|2a+b|=|a-2b|得 4a2+4a?b+b2=a2-4a?b+4b2, 故 3a2-3b2+8a?b=0. 因为|a|=|b|=1,所以 a?b=0. 所以 cosα cosβ +sinα sinβ =0 即 cos(α -β )=0. 因为 0<α <β <π ,所以-π <α -β <0,
-5-

所以α -β =- ,即β -α = .

8.C 由图象知,T=4( -

)=π ,

所以 xA=

- =- ,xD=

+ =

π.



?

=( ,2)?( ,-4)

=

-8. ,且 f(x)在(-2,+∞)上递减,所以当 x>-2 时,

9.D f'(x)=-2x+ f'(x)=-2x+

≤0 恒成立.

则 a≤2x2+4x,x∈(-2,+∞)时恒成立. 又 t=2x2+4x=2(x+1)2-2, 在(-2,+∞)上的最小值为-2. 因此 a≤-2,经检验 a=-2 时,仅当 x=-1 时,f'(x)=0. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. 10.【解题提示】充分利用已知条件将 f(x)转化,再利用三角函数的图象变换求解. A 由已知可得 f(x)=3cosx+ sinx

3 =2 3 ( 2 cosx+ sinx)

=2

cos(x- ).

故图象左移 m 个单位后解析式变为 y=2

cos(x+m- ).

若图象关于 y 轴对称则 m- =kπ ,k∈Z.

即 m=kπ + ,k∈Z.

又因为 m>0,故当 k=0 时,mmin=

.
-6-

【方法技巧】创新运用问题的求解策略 (1)对于新概念问题的求解策略是仔细观察理解新定义、新概念的含义,准确利用新定义转化为常见 题型求 解. (2)对创新型的题目要求是无论如何创新 ,应当有万变不离我们对待常规问题的心态 ,去正确理解 ,准确把握 其实质与内含,适当转化后求解即可. 11.【解题提示】利用数形结合求解. B 依题意,可将点 A,B 置于圆 x2+y2=4 上;由点 C 在线段 AB 上,且| 的距离为 1,∠AOB=180°-2?30°=120°,( -t )2= |的最小值为 1,得原点 O 到线段 AB

1 4+4t2-2t?22cos120°=4t2+4t+4=4(t+ 2 )2+3 的最小值是 3,
因此| -t |的最小值是 . ,1),B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动点,

【加固训练】(2014?宁波模拟)在平面直角坐标系中,A( 则| A.4 B + |的最大值是 B.3 由题意可知向量 ( C.2 ) D.1

的模是不变的,所以当



同 向 时 ,|

+

|最大,结合图形可

知,|

+

|max=|

|+1=

+1=3.

【一题多解】本题还有如下解法: B 由题意,得| | |=1, , 的夹角为θ , |= =2,

设向量

所以|

+

|=

= = = 所以当θ =0,即 . 与 同向时,

-7-

| + |max= =3. 12.B 因为|e1|=|e2|=1,e1⊥e2, 所以(m-e1)?(m-e2) =m2-m?(e1+e2)+e1?e2 =m2-m?(e1+e 2)=0, 即 m2=m?(e1+e2). 设 m 与 e1+e2 的夹角为θ , 因为|e1+e2|= =

(e1 ? e2 )2
= ,

e12 ? 2e1 ? e2 ? e2 2

所以|m|2=|m||e1+e2|cosθ , 即|m|= cosθ ,因为θ ∈[0,π ], .

所以|m|max=

【一题多解】B 设 e1,e2 是与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量, 则 e1=(1,0),e2=(0,1). 设 m=(x,y),则 m-e1=(x-1,y), m-e2=(x,y-1), 所以(m-e1)?(m-e2)=x(x-1)+ y(y-1)=0,即 x2+y2-x-y=0,

1 1 (x- 2 )2+(y- 2 )2= ,

故向量 m 的终点(始点在坐标原点)的轨迹是以( , )为圆心, 直径,即为 .

为半径的圆.如图,所以|m|的最大值是圆的

【加固训练】如图,已知圆 M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E,F 分别为边 AB,AD 的 中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ? 的取值范围是 ( )

-8-

A.[-6 C.[-3

,6 ,3

] ]

B.[-6,6] D.[-4,4]

A 设 A(3+2cosα ,3+2sinα ), D(3+2cosβ ,3+2sinβ ), 则 F(3+cosα +cosβ ,3+sinα +sinβ ),

由图知, 所以 ?

=

=(cosα -cosβ ,sinα -sinβ ),

=(3+cosα +cosβ ,3+sinα +sinβ ),

=(3+cosα +cosβ ,3+sinα +sinβ )?(cosα -cosβ ,sinα -sinβ )

=3(cosα +sinα )-3(cosβ +sinβ )

=3

sin(α + )-3

sin(β + )∈[-6 = -

,6

],故选 A.

13.【解析】由已知得 =(-1,-2)-(3,4) =(-4,-6),故 答案:-4-6i

在复平面内对应的复数为-4-6i.

14.【解题提示】可根据题意先求出向量 【解析】 所以 答案:4 15.【解析】由 ? = , ? = -

的坐标,再利用 OA⊥AB 求解.

=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为 OA⊥AB,

=0,即-3+k-1=0,解得 k=4.

即 a?b?cosC= 得 ab=20,又 a+b=9. 所以 c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2ab? =36. 所以 c=6.
-9-

答案:6 16.【解析】由题意,得 所以 ? =(cosα -3,sinα ), =(cosα ,sinα -3),

=cosα (cosα -3)+

sinα (sinα -3)=-1, 即 sinα +cosα = . 两边平方,得 1+2sinα cosα = , 所以 2sinα cosα =- .

原式= = 答案:17.【解析】(1)因为 =(cosα ,sinα -3), 所以 =(cosα -3)2+sin2α =(cosα -3,sinα ), =- .

=10-6cosα , =cos2α +(sinα -3)2 =10-6sinα , 由| |=| |,可得 = ,

即 10-6cosα =10-6sinα ,得 sinα =cosα .

又α ∈( , (2)由 ?

),所以α = =-1,

.

得(cosα -3)cosα +sinα (sinα -3)=-1, 所以 sinα +cosα = . ①

又 =2sinα cosα .

=

- 10 -

由①式两边分别平方,得 1+2sinα cosα = ,所以 2sinα cosα =- . 所以 =- . 18.【解析】(1)f(x)=(sinω x+cosω x)2+2cos2ω x=sin2ω x+cos2ω x+ sin2ω x+1+cos2ω x =sin2ω x+cos2ω x+2

=

sin(2ω x+ )+2.

依题意得 = ,则ω = . (2)依题意,得 g(x)

= =

sin[3(x- )+ sin(3x)+2.

]+2

由 2kπ - ≤3x -

≤2kπ + (k∈Z),

解得 kπ + ≤x≤ kπ +

(k∈Z).

故 y=g(x)的单调增区间为[ kπ + , kπ +

](k∈Z). ,2cosω x),函数 f(x)=a?b(x∈R)的图象关于直线

【加固训练】已知向量 a=(cos2ω x-sin2ω x,sinω x),b=(

x= 对称,其中ω 为常数,且ω ∈(0,1). (1)求函数 f(x)的表达式.

(2)若将 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的 ,再将所得图象向右平移 个单位,纵坐标不变,得到 y=h(x)

的图象,求 y=h(x)在[- ,

]上的取值范围. ,2cosω x)

【解析】(1)f(x)=a?b=(cos2ω x-sin2ω x,sinω x)?( = = (cos2ω x-sin2ω x)+2sinω xcosω x cos2ω x+sin2ω x

- 11 -

=2sin(2ω x+ ),

由直线 x= 是 y=f(x)图象的一条对称轴,

可得 2sin(π ω + )=±2,

所以π ω + =kπ + (k∈Z),即ω =k+ (k∈Z). 又ω ∈(0,1),k∈Z,所以 k=0,ω = .

所以 f(x)=2sin( x+

).

(2)将 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的 ,再将所得图象向右平移 个单位,纵坐标不变,

得到 y=2sin(2x- )的图象.

所以 h(x)=2sin(2x- ).

由- ≤x≤ ,有-

≤2x- ≤

,

所以-1≤sin(2x- )≤ ,

得-2≤2sin(2x- )≤1,

故函数 h(x)在[- ,

]上的取值范围为[-2,1].

19.【解析】(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 当 x=2 时,y= . 又 f'(x)=a+ ,

- 12 -

b 1 ? 2a ? ? , ? ? 2 2 ? ?a ? 1, ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4 解得 ?b ? 3. 于是 ?
故 f(x)=x- .

(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f'(x)=1+

知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+

)?(x-x0),

即 y-(x0-

)

=(1+

)(x-x0).

令 x=0 得,y=-

,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为(0,-

).

令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |||2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6.

20.【解析】(1)由已知,易得 f(x)= f(x)的 最小正周期为 4π ,即 T=

sinω x+cosω x=2sin(ω x+ ), =4π ,解得ω = .

(2)由(1)知,f(x)=2sin( x+

),

则 f(2α - )

=2sin[(α - )+

]=2sinα

= ,

所以 sinα = ,又α ∈[ ,π ], 所以 cosα =- .
- 13 -

同理 f(2β +

)

=2sin[(β + )+

]

=2sin(β + )=2cosβ =-

,

所以 cosβ =所以 sinβ = ,

,又β ∈[ ,π ],

所以 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ =-

.

(3)当 x∈[-π ,π ]时,- ≤ x+ ≤

,

令 t= x+ ,则 t∈[- ,

],

原函数可化为 f(t)=2sint,t∈[- ,

].

当 t=- 时,f(t)min= -

;

当 t= 时,f(t)max=2 . 所以,函数 f(x)的值域为[,2].

21.【解题提示】(1)利用 f'(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立转化可解. (2)设出两个切点利用 f'(x1)?f'(x2)=0 得 x1,x2 关系并利用- ≤x1<x2≤2 转化可解. 【解析】(1)由已知得 f(x)的定义域为{x|x>-1}且 f'(x)= 所以 f'(x)= ≥0 在[2,+∞)上恒成立, .因为函数 f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,

即(ax-1)(x+1)≥0 在[2,+∞)上恒成立. 显然有 x+1>0,只需 ax-1≥0 在[2,+∞)上恒成立. 所以 x≥2,a≥ .由此可得 a≥ . (2)设满足条件的两点的横坐标为 x1,x2,且 x1<x2,

- 14 -

x1,x2∈[- ,2]. 又过这两点的切线互相垂直, 所以 f'(x1)?f'(x2) = 即 x1?x2=-1. =-1,

又 x1,x2∈[- ,2],且 x1<x2,

所以- ≤x1=-

,所以 x2≥2.

又 x2≤2,所以 x2=2,x1=- . 所以当且仅当 x1=- ,x2=2 时,才能有 x1x2=-1. 则所求两点坐标为(- ,- +2ln2)和(2,2-2ln3). 22.【解析】(1)由 f(x)=x3+ax2-x+c, 得 f'(x)=3x2+2ax-1. 当 x= 时,得 a=f'( ) =3?( )2+2a?( )-1, 解得 a=-1. (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 则 f'(x)=3x2-2x-1 =3(x+ )(x-1), 列表如下: x f'(x) f(x) (-∞,- ) + ↗ 0 极大值 (- ,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

所以 f(x)的单调递增区间是 (-∞,- ]和[1,+∞). f(x)的单调递减区间是(- ,1). (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)?ex =(-x2-x+c)?ex, 有 g'(x)=(-2x-1) ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞).
- 15 -

【方法技巧】利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f'(x). (3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0; ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解.

- 16 -



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