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高中数学必修五课件:3.3.2-2《简单的线性规划问题》(人教A版必修5)


3.3.2

简单的线性规划问题

了解线性规划的意义,了解线性规划的基本概念, 掌握线性规划问题的图解法,并能应用线性规划的方 法解决一些简单的实际问题,提高解决实际问题的能 力.

自学导引
1.关于x,y的不等式(组)称为对变量x,y的约束 条件,如果约束条件都是关于x,y的一次不等式,则 称约束条件为________约束条件. 答案:线性 2.把要求最大(小)值的函数z=f(x,y)称为 ________函数. 答案:目标

3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题,称为________规划问题.满足线性约 束条件的解(x,y)叫做________解,由所有可行解组成 的集合叫做________域,其中,使目标函数取得最大 值或最小值的可行解叫做最优解. 答案:线性 可行 可行

自主探究
线性目标函数z=2x+3y最大值的几何意义是什么?
2 z 答案:由 y=- x+ 知,直线经过平面区域的截 3 3 距最大时,目标函数有最大值.

预习测评
?x-y≥-1, ? 1. 设变量x,y满足约束条件? x+y≥1, ? ? 3x-y≤3. 函数 z=4x+y 的最大值为 则目标

(

)

A.4

B.11

C.12

D.14

解析:只需画出线性规划区域,如下图.

可知,z=4x+y在A(2,3)处取得最大值11.

答案:B

?x≥0, ? ?y≥0, 2.约束条件为? ?x+y≥4, ?2x+y≥6 ?

则目标函数 z=4x+5y(

)

A.无最大值有最小值 B.无最小值有最大值 C.无最大值和最小值 D.有最大值和最小值 解析:可行域无上界. 答案:A

3.在如图所示的区域内, z=x+y的最小值为 __________. 解析:当直线x+y-z=0经过原点时,z最小,最 小值为0. 答案:0

4.在如图所示的区域内, z=-x+y的最大值为 ________.

解析:因为z为直线z=-x+y的纵截距,所以要 使z最大,只要纵截距最大就可以,当直线过(0,2)点 时,直线的纵截距最大,最大值为2. 答案:2

要点阐释
1.基本概念 (1)约束条件和线性约束条件:变量x,y满足的 一次不等式(组)叫做对变量x,y的约束条件;如果约 束条件都是关于x,y的一次不等式,那么又称为线 性约束条件.线性约束条件除了用一次不等式表示 外,有时也用一次方程表示. (2)目标函数和线性目标函数:求最大值或最小 值所涉及的变量x,y的解析式,叫目标函数;如果 这个解析式是关于x,y的一次解析式,那么又称为 线性目标函数.

(3)线性规划问题:一般地,在线性约束条件下, 求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线 性规划问题. (4)可行解与可行域:满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行 域. (5)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的 可行解,称为这个问题的最优解.

2.解决线性规划问题的一般方法 解决线性规划问题的一般方法是图解法,其步 骤如下: (1)确定线性约束条件,注意把题中的条件准确 翻译为不等式组; (2)确定线性目标函数; (3)画出可行域,注意作图准确; (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解; (5)实际问题需要整数解时,应调整检验确定的 最优解(调整时,注意抓住“整数解”这一关键点).

说明:求线性目标函数在约束条件下的最值问 题的求解步骤是: ①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的 平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意 一条直线l. ②平移——将直线l平行移动,以确定最优解所 对应的点的位置. ③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标, 再代入目标函数,求出目标函数的最值.

特别提醒:寻找整点最优解的方法 ①平移找解法:先打网格、描整点、平移直线l, 最先经过或最后经过的整点便是最优解,这种方法应 充分利用非整数最优解的信息,结合精确的作图才 行.当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐 个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.

②调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再 借助不定方程知识调整最优解,最后筛选出整点最优 解. ③由于作图有误差,有时由图形不一定能准确而 迅速地找到最优解,此时将可能的数逐一检验即可.

典例剖析
题型一 求线性目标函数的最值
【例 1】求 z=3x+5y 的最小值, 使 x,y 满足约束条件, ?x+2y≥3, ? ?7x+10y≥17, ? ?x≥0, ?y≥0. ?

解:画出约束条件表示的点(x,y)的可行域,如 图所示的阴影部分(包括边界直线). 作直线l:3x+5y=0,把直线向右上方平移至l1 的位置时,直线经过可行域上的点M,此时,l1:3x +5y-z=0的纵截距最小,此时z=3x+5y取最小 值. ?x+2y=3, ? 解方程组? 得 M(1,1). ?7x+10y=17, ?
故当 x=1,y=1 时,zmin=8.

方法点评:在确定 z 的最小值时,要抓住 z 的几 3 z 何意义,即 y=- x+ . 5 5 图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在 于平移直线ax+by=0时,看它经过哪个点(或哪些点)时 最先接触可行域和最后离开可行域,则这样的点即为最 优解,再注意到它的几何意义,从而确定是取得最大值 还是最小值.

?2x+y≥4 ? 1. x, 满足?x-y≥-1, 设 y ? ?x-2y≤2

则 z=x+y(

)

A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最大值,也无最小值

解析:如图所示,作 出可行域,作直线l0:x+y =0,平移l0,当l0过点A(2,0) 时,z有最小值2,无最大 值.

答案:B

题型二 求解非线性目标函数的最值
?x-y+5≥0, ? 【例 2】 设 x,y 满足条件?x+y≥0, ? x≤3. ? (1)求 u=x2+y2 的最大值与最小值; y (2)求 v= 的最大值与最小值. x-5

解:画出满足条件的可行域. (1)令t=x2+y2.则对t的每个值,x2+y2=t表示一 簇同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点,x2+ y2的值都相等.由下图可知:

当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆过C点 时,u最大,过(0,0)时u最小.又C(3,8),∴umax=73, umin=0.
y (2)v= 表示可行域内的点 P(x, y)到定点 x-5 D(5,0)的连线的斜率.由图可知,kBD 最大,kCD 最小.又 C(3,8),B(3,-3), -3 3 8 ∴vmax= = ,vmin= =-4. 2 3-5 3-5

方法点评:(1)对形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目 标函数均可化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间 的距离平方的最值问题.
ay+b (2)对形如 z= (ac≠0)型的目标函数, 可先变 cx+d
? b? y-?- ? a ? a? z= · ? ?的形式,将问题转化为求可行域内 c d ?- ? x- ? c?

形为

? d b? a ?- ,- ? 连线斜率的 倍的范围、最值 的点(x,y)与 a? c ? c

等.注意斜率不存在的情况.特别地,当 a=c=1,b y =d=0 时,即可对 进行转化然后求解. x

?x-y+2≤0 ? 2.已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1 ?x+y-7≤0 ? y 则 的最大值是________,最小值是________. x



解析:由约束条件作出可行域(如图所示),目标函数 y z= 表示坐标(x,y)与原点(0,0)连线的斜率.由图可知, x 点 C 与 O 连线斜率最大;B 与 O 连线斜率最小,又 B 点
?5 9? 坐标为? , ?, 2? ?2

9 C 点坐标为(1,6),所以 kOB= , 5 y 9 kOC=6.故 的最大值为 6,最小值为 . x 5

答案:6

9 5

题型三 线性规划的实际应用
【例3】 某投资人打算投资甲、乙两个项目, 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%, 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能 的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个 项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、 乙两个项目, ?x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? ?x≥0, ?y≥0. ? 目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部 分(含边界)即可行域.

作直线l0:x+0.5y=0, 并作平行于直线l0的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域 相交,其中有一条直线经过 可行域上的M点,且与直线x +0.5y=0的距离最大,这里 M点是直线x+y=10和0.3x +0.1y=1.8的交点.

?x+y=10, ? 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8, ?

得 x=4,y=6,

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∵7>0.∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值.

答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项 目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能 的盈利最大.

方法点评:充分利用已知条件,找出不等关系, 画出适合条件的平面区域,然后在该平面区域内找出 符合条件的点的坐标.实际问题要注意实际意义对变 量的限制.必要时可用表格的形式列出限制条件.

3.某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产 品1 kg要用煤9吨,电力4 kW,劳力(按工作日计算)3 个;制造乙产品1 kg要用煤4吨,电力5 kW,劳力10 个.又知制成甲产品1 kg可获利7万元,制成乙产品1 kg可获利12万元,现在此工厂只有煤360吨,电力200 kW,劳力300个,在这种条件下应生产甲、乙两种产 品各多少千克,才能获得最大经济效益?

解:设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg , 利 用 z 万 元 , 则 依 题 意 可 得 约 束 条 件 : ?9x+4y≤360, ? ?4x+5y≤200, ? ?3x+10y≤300, ? ?x≥0, ?y≥0. ?

利润目标函数为z=7x+12y. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域(如 下图).

作直线l:7x+12y=0,把直线l向右上方平移至 l1位置时,直线l经过可行域上的点M时,此时z=7x +12y取最大值.
?3x+10y=300, ? 解方程组? ? 4x+5y=200, ?

得 M 点的坐标为(20,24).

答:应生产甲种产品20千克,乙种产品24千 克,才能获得最大经济效益.

误区解密 凭空而想,没抓住问题本质致误
?3x+2y≤10, ? ?x+4y≤11, 【例 4】设变量 x, 满足条件? y ?x∈Z,y∈Z, ?x>0,y>0, ? 求 S=5x+4y 的最大值.

错解: 依约束条件画出可行域 如图所示,如先不考虑 x,y 为整 数的条件, 则当直线 5x+4y=S 过 点
?9 23? A? , ?时,离原点距离最大, ?5 12?

这时 S=5x+4y 取最大值,Smax= 1 18 . 5

因为x、y为整数,而离点A最近的整点是C(1,2), 这时S=13,所以所求的最大值为13. 错因分析:显然整点B(2,1)满足约束条件,且此 时S=14,故上述解法不正确. 对于整点解问题,其最优解不一定是离边界点 最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图象, 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整 点.

正解:与错解中第一段解题过程相同. 因为x,y为整数,所以当直线5x+4y=t平行移动 时,从点A起第一个通过的可行域的整点是B(2,1),此 时Smax=14.

课堂总结
1.常见的几种目标函数的最值的求法: ①利用 截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距 离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出 (x,y)的可行域,利用(x,y)的条件约束,数形结合求 得目标函数的最值.

2.线性规划应用题主要体现在两个方面:一是 在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使 用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如 何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金 等资源来完成该项任务.通常是根据题意设出决策 变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数, 再利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使 线性目标函数达到最大(或最小).


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