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2016年高考数学一轮复习考点热身训练5:


2016 年高考一轮复习考点热身训练 5: 平面解析几何(单元总结与测试)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线 xsinα -y+1=0 的倾斜角的变化范围是( )
? (A)(0, 2 )

(B)(0,π )

? ? (C) [ 4,4] ?

? 3? (D) [0, 4 ] ∪ [ 4 ,

π) 2.已知 b>0, 直线(b2+1)x+ay+2=0 与直线 x-b2y-1=0 互相垂直,则 ab 的最小值等 于( ) (A)1 (B)2 (C) 2 2 (D) 2 3

3.已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且与直线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的方程是( ) (A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0 或 3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 4.(13·厦门模拟)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直.l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48
x 2 y2 ? 2 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线 5.(13·福州模拟)若双曲线 a

段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 7∶5 的两段, 则此双曲线的离心率为(
9 (A) 8
2

)

6 37 (B) 37

3 2 (C) 4

3 10 (D) 10

1 6.已知双曲线 16y -m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5 ,则

m=( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.若 PQ 是圆 x2+y2=16 的弦,PQ 的中点是 M(1,3) ,则直线 PQ 的方程是( ) (A)x+3y-4=0 (B)x+3y-10=0 (C)3x-y+4=0 (D)3x-y=0 8.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程 为( ) (A)(x+1)2+(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x+1)2+(y+1)2=2
x 2 y2 2 2 9.已知抛物线 y2=2px(p>1)的焦点 F 恰为双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的右焦点,

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且两曲线的交点连线过点 F,则双曲线的离心率为( (A) 2 (B) 2 ? 1 (C)2

) (D) 2 ? 2

x 2 y2 2 2 10.(易错题)设 F1,F2 分别是椭圆 a + b =1(a>b>0)的左、右焦点,若直线 a2 2 2 x= c (c= a ? b )上存在点 P 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取

值范围是 ( )
2 (A)(0, 2 ] 3 (B) [ 3 ,1) 2 (C) [ 2 ,1) 3 (D)(0, 3 ]

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横 线上) 11. (13·广州模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 _____. 12.若 k∈R,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点,则实数 a 的取 值范围是______. 13.已知直线 l1:(a-2)x+3y+a=0 与 l2:ax+(a-2)y-1=0 互相垂直,则 a=____. 14.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值等于______. 15.(13·南平模拟)若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C: (x-5)2+y2=16 只有一个公共点 M,则|PM|的最小值为_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16. (13 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 面积取最小值时,直线 l 对应的方程. 17. (13 分)已知动点 C 到点 A(-1,0)的距离是它到点 B(1,0)的距离的 2 倍. (1)试求点 C 的轨迹方程; (2)已知直线 l 经过点 P(0,1)且与点 C 的轨迹相切,试求直线 l 的方程.
x 2 y2 2 2 18.(13 分)(探究题)已知椭圆 a + b =1(a>b>0),过点 A(a,0),B(0,b)的直线
5? 3 倾斜角为 6 ,原点到该直线的距离为 2 .

(1)求椭圆的方程; (2)是否存在实数 k,使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点,以 PQ 为直径的圆过
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点 D(1,0)?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 19.(13 分)(13·三明模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),点 B 在 ???? ???? ???? ??? ? ???? ? ??? ? MB ∥ OA , MB?BA ? MA?AB ,M 点的轨迹为曲线 C. 直线 y=-3 上,M 点满足 (1)求 C 的方程; (2)若 P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 处的切线,求 O 到 l 距离的最小值. 20.(14 分) (预测题)已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛 物线 x2= ?4 2 y 的焦点是它的一个焦点,又点 A(1, 2 )在该椭圆上. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若斜率为 2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B、C,当△ABC 的面积最大 时,求直线 l 的方程. 21.(14 分) (13·南平模拟)已知直线 l1:y=2x+m(m<0)与抛物线 C1:y=ax2(a>0) 和圆 C2:x2+(y+1)2=5 都相切,F 是 C1 的焦点. (1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l,直线 l 交 y 轴 于点 B,以 FA、FB 为邻边作平行四边形 FAMB,证明:点 M 在一条定直线上; (3)在(2)的条件下,记点 M 所在定直线为 l2,直线 l2 与 y 轴交点为 N,连 接 MF 交抛物线 C1 于 P、Q 两点,求△NPQ 的面积 S 的取值范围. 答案解析 1.【解析】选 D.直线 xsinα -y+1=0 的斜率是 k=sinα . 又∵-1≤sinα ≤1,∴-1≤k≤1.
? ∴当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是[0, 4 ]; 3? 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是[ 4 ,π ).

b2 ? 1 1 b2 ? 1 b2 ? 1 b2 ? 1 a ·b 2 =-1,解得 a= b2 .所以 ab= b2 · 2. 【解析】 选 B.由题意知 b= b ?
b? 1 1 1 b? b ;又因为 b>0,故 b ≥2,当且仅当 b= b ,即 b=1 时取等号.

=

3.【解析】选 D.因为 l1 与 l2 平行,所以可设直线 l1 的方程为:3x+4y+c=0,又 因为 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且圆心坐标为( 0 , -1 ) ,半径为 1, 所以

| 3 ? 0 ? 4 ? ? ?1? ? c | 32 ? 42
=1,解得 c=9 或 c=-1, 因此 l1 的方程为 3x+4y+9=0 或 3x+4y-1=0. 4. 【解析】选 C.设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6. 点 P 到直线 l 的距离 d=p,
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1 ∴S△ABP= 2 ?2p?p=p2=36. b 5. 【解析】 选 C.设双曲线焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx 的焦点 F( 2 ,0),

? b ?c ? 2 7 ? b? 5 ?c ? ? ?c ? 3b ? 2 ? ? 2 2 2 c ? a ? b ?a ? 2 2b , 则? ,解得 ?
c 3b 3 2 ? ? 4 . ∴e= a 2 2b
y2 x2 1 1 1 1 2 6. 【解析】选 C.双曲线的方程可化为 16 - m =1,所以 a= 4 ,b= m ,取顶点(0,
1 4) ,一条渐近线为 mx-4y=0.

1 | ?4 ? | 4 1 2 ∵ 5 = m ? 16 ,即 m2+16=25,∴m=3.
3?0 7. 【解析】选 B.圆心为 O(0,0) ,故直线 OM 斜率 k= 1 ? 0 =3,因为弦 PQ 所在直 1 1 ? 线与直线 OM 垂直,所以 kPQ= 3 ,其方程为 y-3= 3 (x-1),整理,得 x+3y-10=0. ?

8. 【解题指南】 由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求 得圆心坐标即可得解. 【解析】选 B.因为两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行,故它们之间的距离即为圆的
4 直径,所以 2R= 2 ,所以 R= 2 .设圆心坐标为 P(a,-a),则点 P 到两条切线的距离

2a
都等于半径,所以

2a ? 4 2
= 2 ,解得 a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的

2 = 2,

标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
p 9. 【解析】选 B.由题意知, 2 =c,即 p=2c
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? y 2 ? 2px ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 2 a b ? 由 得 b2x2-4ca2x-a2b2=0
由题意知 x=c 是方程*的一个根,则有 b2c2-4a2c2-a2b2=0 即 c4-6a2c2+a4=0 ∴e4-6e2+1=0 又 e>1 ∴e2=3+ 2 2 ,e= 2 +1.

*

a2 10.【解题指南】根据|F1F2|=|PF2|转化为点 F2 到直线 x= c 的距离小于或等于

|F1F2|来寻找 a,b,c 之间的关系,从而求解. 【解析】选 B.根据题目条件可知:
a2 2 2 若 直 线 x= c (c= a ? b ) 上 存 在 点 P 使 线 段 PF1 的 中 垂 线 过 点 F2, 则 a2 a2 |F1F2|=|PF2|,可转化为点 F2 到直线 x= c 的距离小于或等于|F1F2|, 亦即 c -c

c2 1 3 2 ≤2c,解得 a ≥ 3 ,所以 e∈[ 3 ,1).

11. 【解析】设 2a、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有 4b=2a,即 a=2b, 所以 c= a ? b
2 2

c 3 = 3 b,所以离心率为 e= a = 2 .

3 答案: 2

12. 【解析】因为直线 y=kx+1 恒过定点(0,1) ,题设条件等价于点(0,1)在 圆内或圆上,则 02+12-2a·0+a2-2a-4≤0 且 2a+4>0,解得-1≤a≤3. 答案:-1≤a≤3 13. 【解析】因为 l1:(a-2)x+3y+a=0 与 l2:ax+(a-2)y-1=0 互相垂直 所以,a(a-2)+3(a-2)=0,解得 a=2 或 a=-3. 答案:2 或-3 14. 【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为(x,-x2),根据点到直 线的距离公式,得
4x ? 3( ? x 2 ) ? 8 4 ?3
2 2

d=

2 4 3 2 4 (x ? ) 2 ? 3 3 ,所以当 x= 3 时,d 取得最小值 3 . =5

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4 答案: 3

15.【解析】设曲线 C 表示的圆心为 C(5,0), 由题意可知△PMC 是直角三角形,|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时,|PM|最小.

5?0?3
当 CP⊥l1 时,|CP|min=

2
2

?4 2
,
2

CP ? CM ? 32 ? 16 此时|PM|最小且|PM|= =4. 答案:4 16. 【解析】 (1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0, 此时 a+2=0,解得 a=-2,此时直线 l 的方程为-x+y=0,即 x-y=0; 当直线 l 不经过坐标原点, 即 a≠-2 且 a≠-1 时,由直线在两坐标轴上的截距相
2?a 等可得 a ? 1 =2+a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.

所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.
2?a (2)由直线方程可得 M( a ? 1 ,0),N(0,2+a),

又因为 a>-1.
2 1 [(a ? 1) ? 1] 1 2?a ? ??2 ? a? ? a ?1 故 S△OMN= 2 a ? 1 =2

1 1 ? [? a ? 1? ? ? 2] a ?1 =2

1 ? [2 2 ≥

? a ? 1? ?

1 ? 2] a ?1 =2,

1 当且仅当 a+1= a ? 1 ,即 a=0 时等号成立.此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.

17. 【解题指南】 (1)利用直接法列出方程,化简即可.(2)对斜率是否存在分 类讨论,根据切线的性质求斜率,进而求出方程. 【解析】 (1)设点 C(x,y) ,则|CA|=
2 ( x ? 1) ? y2

,|CB|=

? x ? 1?

2

? y2

.

2 2 ? ? x ? 1? ? y2 ( x ? 1) ? y2 由题意,得 = . 两边平方,得(x+1)2+y2=2×[(x-1)2+y2]. 整理,得(x-3)2+y2=8. 故点 C 的轨迹是一个圆,其方程为(x-3)2+y2=8.

2

(2)由(1) ,得圆心为 M(3,0) ,半径 r= 2 2 .
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①若直线 l 的斜率不存在, 则方程为 x=0, 圆心到直线的距离 d=3≠ 2 2 ,故该直 线与圆不相切; ②若直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+1.

3k ? 1
2 由直线和圆相切,得 d= 1 ? k = 2 2 ,整理,得 k2+6k-7=0,解得 k=1,或 k=-7.

故所求直线的方程为 y=x+1,或 y=-7x+1,即 x-y+1=0 或 7x+y-1=0.
b 1 3 1 3 2 2 18. 【解析】 (1)由 a = 3 , 2 a·b= 2 · 3 · a ? b ,得 a= 3 ,b=1,所以椭圆

x2 方程是 3 +y2=1.
x2 (2)将 y=kx+2 代入 3 +y2=1,

得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*) 记 P(x1,y1),Q(x2,y2), 以 PQ 为 直 径 的 圆 过 D ( 1 , 0 ) , 则 PD ⊥ QD , 即 (x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,得 (k2+1)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①
12k 7 ? 2 又 x1x2= 3k ? 1 ,x1+x2= 3k ? 1 ,代入①解得 k= 6 ,此时(*)方程Δ >0,∴存
2

9

?

7 在 k= 6 ,满足题设条件. ?

19. 【解析】(1)设 M(x,y),B(x,-3), ???? ??? ? MB =(0,-3-y), BA =(-x,2),
???? ? ??? ? MA =(-x,-1-y), AB =(x,-2), ???? ??? ? ???? ? ??? ? ∵ MB?BA ? MA?AB ,∴x2-4y-8=0,

1 ∴曲线 C 的方程为:y= 4 x2-2. 1 1 (2)设 P(x0,y0),∵y′= 2 x,∴k= 2 x0. 1 又∵P(x0,y0)在曲线 C 上,∴y0= 4 x02-2,

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1 ∴l 切:y-y0= 2 x0(x-x0),

即:x0x-2y+2y0-x02=0,
x 02 ? 4 ? x 02 | 2y0 ? x 0 2 ? x 02 ? 4 x 02 ? 4
2

|

∴d=

=

1 2 x0 ? 4 1 4 2 ? ( x 02 ? 4 ? ) x 02 ? 4 2 x 02 ? 4

1 ≥ 2 ×2× 4 =2,

x 02 ? 4 ?
当且仅当:

4 x 02 ? 4 ,即 x0=0 时等号成立,

此时 O 到 l 距离的最小值为 2.
y2 x2 2 2 20.【解析】 (1)由已知抛物线的焦点为(0, ? 2 ),故设椭圆方程为 a + a ? 2

=1(a>2).
1 2 2 2 将点 A(1, 2 )代入方程得 a + a ? 2 =1,

整理得 a4-5a2+4=0,得 a2=4 或 a2=1(舍),
y2 x 2 故所求椭圆方程为 4 + 2 =1.

(2)设直线 BC 的方程为 y= 2 x+m, 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 代入椭圆方程并化简得 4x2+ 2 2 mx+m2-4=0, 由Δ =8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0, 可得 0≤m2<8. (*)
?

由 x1+x2=

m2 ? 4 2 m 2 ,x1x2= 4 ,

3 ? 16 ? 2m2 2 故|BC|= 3 |x1-x2|= .

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m 又点 A 到 BC 的距离为 d= 3 ,

m2 (16 ? 2m2 ) 1 4 故 S△ABC= 2 |BC|·d=
2m 2 ? (16 ? 2m 2 ) 2 ≤4 2 · = 2, 1

当且仅当 2m2=16-2m2, 即 m=±2 时取等号(满足*式) ,此时直线 l 的方程为 y= 2x ? 2 . 【方法技巧】 解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空 题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解. (2)函数思想:当待求量与其他变量有关时 ,一般引入该变量构造函数,然后求最 值,但要注意待求量的取值范围.
x 2 y2 6 2 2 【变式备选】已知椭圆 a + b =1(a>b>0)的离心率为 3 ,短轴的一个端点到右

焦点的距离为 3 ,直线 l:y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A,B, (1)求椭圆的方程,
3 (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,求△AOB 面积的最大值.

?c 6 ? ? 3 ?a ?a ? 3 【解析】 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意 ? ,解得 c= 2 . 由 a2=b2+c2,得 b=1.

x2 ∴所求椭圆方程为 3 +y2=1.
3 3 (2)由已知得 1 ? k = 2 ,可得 m2= 4 (k2+1).
2

m

将 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0. Δ =(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0 (*)
3m 2 ? 3 ?6km 2 2 ∴x1+x2= 1 ? 3k ,x1·x2= 1 ? 3k .
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∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2

36k 2 m2 12(m2 ? 1) 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) [ 2 ? ] 2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1) 2 =(1+k2) (3k ? 1) = =
12k 2 4 2 =3+ 9k ? 6k ? 1 =

3?

12 12 ? 3? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k =4(k≠0)

1 3 ? 2 当且仅当 9k2= k ,即 k= 3 时等号成立.

经检验,k=

?

3 3 满足(*)式.

当 k=0 时,|AB|= 3 . 综上可知|AB|max=2.
1 3 3 ? 2? 2 = 2 . ∴当|AB|最大时,△AOB 的面积取最大值 Smax= 2

21.【解析】 (1)由已知,圆 C2:x2+(y+1)2=5 的圆心为 C2(0,-1),半径 r= 5 .
1? m 1? m
2

由题设圆心到直线 l1:y=2x+m 的距离 d= m=-6(m=4 舍去).

22 ? ? ?1?

,即

22 ? ? ?1?

2

= 5 ,解得

1 1 设 l1 与抛物线的切点为 A0(x0,y0),又 y′=2ax,得 2ax0=2? x0= a ,y0= a . 1 2 1 代入直线方程得: a = a -6,∴a= 6 , 1 所以 m=-6,a= 6 . 1 3 (2)由(1)知抛物线 C1 方程为 y= 6 x2,焦点 F(0, 2 ). 1 2 1 1 x1 x1 ? x ? x1 ? ? x12 6 设 A(x1, 6 ),由(1)知以 A 为切点的切线 l 的方程为 y= 3 . 1 2 x1 令 x=0,得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为(0, 6 )

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1 2 3 1 3 ??? ? ??? ? x1 ? x 12 ? 2 ), 所以 FA =(x1, 6 - 2 ), FB =(0, 6
???? ??? ? ??? ? ∵四边形 FAMB 是以 FA、FB 为邻边的平行四边形,∴ FM = FA + FB =(x1,-3),

3 因为 F 是定点,所以点 M 在定直线 y= 2 上. ? 3 3 1 2 1 2 x x (3)设直线 MF:y=kx+ 2 ,代入 y= 6 得 6 -kx- 2 =0,设 P、Q 两点横坐标分别

为 x′1,x′2, 得 x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9,
1 S△NPQ= 2 |NF||x′1-x′2| 1 (x?1 ? x?2 ) 2 ? 4x?1 x?2 = 2 ×3×
2 = 9 1? k ,

∵k≠0,∴S△PQN>9,即△NPQ 的面积 S 范围是(9,+∞).

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