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2015-2016学年高中数学 1.2余弦定理练习 苏教版必修5


1.2
△ABC 中,已知边 a,b 及∠C. 1.若∠C=90°,则 c =a +b .
2 2 2

余弦定理

2.若∠C 是锐角,如左下图 ,作 AD⊥BC 于点 D,于是 AD=b·sin C,CD=b·cos_C, BD=a-bcos_C.

3. 若∠C 为钝角, 如右上图, 作 AD⊥BC, 与 BC 的延长线相交于点 D, 此时 AD=b·sin(π -C)=b·sin_C,C D=b·cos(π -C)=-bcos C. a +b -c 4.在 △ABC 中,已知边 a、b 及∠C,由 c =a +b -2abcos C 可得 cos C= . 2ab
2 2 2 2 2 2

5. 结论“三角形任何一边 的平方等于其他两边 的平方和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍”,称为余弦定理. a +b -c 2 2 2 6.根据 cos C= 可知,当 a +b <c 时,△ABC 是钝角三角形. 2ab 7.若△ABC 是锐角三角形,则 a +b >c .
2 2 2 2 2 2

?基础巩固 一、选择题 π 1.(2013·天津卷)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=(C) 4

A. C.

10 10 3 10 10

B.

10 5 5 5
2 2

D.
2

解析:由余弦定理得 AC =BA +BC -2BA·BCcos∠ABC=5,∴AC= 5.再由正弦定理 BC

sin∠BAC sin∠ABC



AC

3 10 ,可得 sin∠BAC= . 10

2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B 等于(C)
1

A.30° B.45° C.60° D.120°
c +a -b 4+1-3 1 解析:cos B= = = . 2ac 4 2 ∴B=60°. 3.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是(B)
2 2 2

A.90° B.120° C.135° D.150°
解析:设边长为 7 的边所对的角为 θ ,则由余弦定理得:

cos θ =

5 +8 -7 1 = ,∴θ =60°. 2×5×8 2

2

2

2

∴最大角与最小角的和为 180°-60°=120°. 4.在△ABC 中,b +c -a =-bc,则 A 等于(C)
2 2 2

A.60° B.135° C.120° D.90°
b +c -a 1 解析:cos A= =- ,∴A=120°. 2bc 2 5.在△ABC 中,∠B=60°,b =ac,则△ABC 一定是(D)
2 2 2 2

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解析: 由 b =ac 及余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 b =a +c -ac, ∴(a-c) =0.∴a =c.又 B=60°,∴△ABC 为等边三角形. 二、填空题 6.(2013·上海卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3a +2ab + 3b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



3c

2



0





cos

C



____________________________________ ____________________________________. 2 a +b -c 1 2 2 2 2 2 2 解析:由 3a +2ab+3b -3c =0 得 a +b -c =- ab,从而 cos C= =- . 3 2ab 3 1 答案:- 3 9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 解析:由余弦定理得:AB =AC +BC -2AC·BC·cos C,即:5=25+BC -9BC,解得: BC=4 或 5.
2
2 2 2 2 2 2 2

答案:4 或 5 8.在△ABC 中,化 简 b·cos C+c·cos B=________. 解析:由余弦定理得: a +b -c a +c -b 原式=b· +c· 2ab 2ac a +b -c a +c -b = + =a. 2a 2a 答案:a 三、解答题 9.在△ABC 中,B=120°,若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解析:由余弦定理得:b =a +c -2ac·cos B,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 1? 2 2 即 b =(a+c) -2ac-2ac·?- ?, ? 2?
∴ac=3. 1 1 3 3 3 故 S△ABC= acsin B= ×3× = . 2 2 2 4 10.在△ABC 中,∠C=90°,现以 a+m,b+m,c+m(m>0)为边长作一个△A′B′C′, 试判断△A′B′C′的形状. 解析:最大边长 c+m 所对角为 C′,则

cos C′=
2

(a+m) +(b+m) -(c+m) 2(a+m)(b+m)
2 2 2

2

2

2

(a +b -c )+2m(a+b-c)+m = 2(a+m)(b+m) 2m(a+b-c)+m = >0, 2(a+m)(b+m)
2

∴C′为锐角,而 C′为△A′B′C′的最大角,故△A′B′C′为锐角三角形. ?能力升级 一、选择题 11.三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x -7x-6=0 的根,则三角 形的另一边长为(B)
2

A.52 C.16

B.2 13 D.4
2

解析:设夹角为 α ,所对的边长为 m,则由 5x -7x-6=0,得(5x+3)(x-2)=0,故 3 3 ? 3? 2 2 2 得 x=- 或 x=2,因此 cos α =- ,于是 m =5 +3 -2×5×3×?- ?=52,∴m=2 13. 5 5 ? 5?
3

12.在不等边三角形中,a 为最大边,如果 a <b +c ,则 A 的取值范围是(C)

2

2

2

A.90°<A<180° B.45°<A<90° C.60°<A<90° D.0°<A<90°
解析:由余弦定理可知,cos A>0,故知 A 为锐角,又 A 是不等边三角形的最大角,故 A>60°, ∴60°<A<90°. 13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则 ∠B=(B)
2 2 2

A.

π 6 π 6

B. 或
5π 6
2

π 3

2π 3 π 3
2 2 2 2 2

C. 或

D.

解析:由(a +c -b )tan B= 3ac 得 a +c -b =
2 2 2

3ac ,再由余弦定理得: tan B

cos B=

a +c -b 3 3 3 π 2π = ,即 tan Bcos B= ,即 sin B= ,∴B= 或 . 2ac 2tan B 2 2 3 3

二、填空题 14.在△ABC 中,已知∠A=60°,且最大边长和最小边长恰好是方程 x -7x+11=0 的两根,则第三边的边长为________. 解析:由∠A=60°可知,边 a 既不是最大边,也不是最小边,故知 b+c=7,b·c= 11,∴a =b +c -2bccos 60°=b +c -bc=(b+c) -3bc=49-33=16,∴a=4. 答案:4 a +b -c 15.已知△ABC 的三边 a,b,c,且面积 S= ,则角 C =________. 4 1 a +b -c a +b -c 2 2 2 解析: 由 absin C= 得 a +b -c =2a bsin C, 再由余弦定理 cos C= 2 4 2ab π 得 sin C=cos C,∴C= . 4 π 答 案: 4 三、解答题 1 16.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,b=2,cos C= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

1 2 2 2 解析:(1)∵c =a +b -2abcos C=1+4-4× =4,∴c=2.∴△ABC 的周长 为 1+2 4 +2=5. 1 15 2 (2)∵cos C= ,∴sin C= 1-cos C= , 4 4

cos A=

b +c -a 2 +2 -1 7 = = . 2bc 2×2×2 8 2 15 ?7? 1-? ? = . 8 ?8?

2

2

2

2

2

2

∴sin A=

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C= × + × = . 8 4 8 4 16

5


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