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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单线性规划的应用教案 北师大版必修5


简单线性规划的应用
教学目的: 1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点:求得最优解 教学难点:求最优解是整数解 教材分析: 线性规划的两类重要实际问题:第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样 安排运用这些资源, 能使完成的任务量最大, 收到的效益最大; 第二种类型是给定一项任务, 问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程: 一、复习引入: 1. 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某 一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解,可行域, 最优解 3.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域); (2)设 z ? 0 ,画出直线 l 0 ; (3)观察、分析,平移直线 l 0 ,从而找到最优解 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) ; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值 4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 5.判断可行区域的方法: 由于对在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点(x,y),把 它的坐标(x,y)代入 Ax ? By ? C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧 取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面

1

区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 二、讲解新课: 例 1:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每 10g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元。若病 人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质,试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足 营养,又使费用最省? 解:设甲、乙两种原料分别用 10xg 和 10 yg ,需要的费用为 z ? 3x ? 2 y 病人第餐至少需要 35 单位蛋白质,可表示为 同理,对铁质的要求可表示为 10x ? 4 y ? 40

?5 x ? 7 y ? 35 ? 问题成为:在约束条件 ?10x ? 4 y ? 40 下 ? x ? 0, y ? 0 ?
求目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值 作出可行域,令 z ? 0 ,作直线 l0 : 3x ? 2 y ? 0 由图可知,把直线 l0 平移至顶点 A 时, z 取最小值 由?

10x+4y=40 y 10 5x+7y=35 6 4 2 A 4 6 x

-2 O 2 -2

l0:3x+2y=0

?5x ? 7 y ? 35 14 72 14 元 ? A( ,3) , z min ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 5 5 5 ?10x ? 4 y ? 40
14 ? 10 ? 28 g ,乙种原料 3 ? 10 ? 30g ,费用最省 5

所以用甲种原料

例 2:某厂生产一种产品,其成本为 27 元/ kg ,售价为 50 元/ kg ,生产中,每千克产 品产生 0.3m 的污水,污水有两种排放方式: 方式一:直接排入河流 方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流,但受污水处理站技术水平的限制,污水处 理率只有 85 % ,污水处理站最大处理能力是 0.9m / h ,处理污水的成本是 5 元/ m
3 3 3 3

另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是 17.6 元/ m , ,且允许该厂排入河流中污 水的最大量是 0.225m / h ,那么,该厂应选择怎样的生产与排污方案,可使其每净收益最 大?
2
3

分析:为了解决问题,首先要搞清楚是什么因素决定收益 净收益 = 售出产品的收入—生产费用 其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等 设该厂生产的产量为 xkg / h ,直接排入河流的污水为 ym3 / h ,每小时净收益为 z 元, 则(1)售出产品的收入为 50 x 元/ h (2)产品成本为 27 x 元/ h (3)污水产生量为 0.3xm / h ,污水处理量为 (0.3x ? y)m3 / h ,污水处理费为
3

5(0.3x ? y) 元/ h
(4)污水未处理率为 1 ? 85% ? 0.15 ,所以污水处理厂处理后的污水排放量为

0.15(0.3x ? y)m3 / h ,环保部门要征收的排污费为17.6[0.15(0.3x ? y) ? y] 元/ h
(5) z ? 50x ? 27x ? 5(0.3x ? y) ? 17.6[0.15(0.3x ? y) ? y] ? 20.708x ? 9.96y 需要考虑的约束条件是: (1)污水处理能力是有限的,即 0 ? 0.3x ? y ? 0.9 (2)允许排入河流的污水量也是有限的即 y ? (1 ? 0.85)(0.3x ? y) ? 0.225

?0.3x ? y ? 0.9 ?9 x ? 170y ? 45 ? 解:根据题意,本问题可归纳为:在约束条件 ? 下, ?0.3x ? y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0
求目标函数 z ? 20.708x ? 9.96y 的最大值 作出可行域,令 z ? 0 作直线 l0 : 20.708x ? 9.96y ? 0 , 由图可知,平移直线 l0 ,在可行域中的 顶点 A 处, z 取得最大值

y l0:20.708x-9.96y=0 2 1 9x+170y=45 O -1 0.3x-y=0 A 1 2 0.3x-y=0.9 3 x

?0.3x ? y ? 0.9 由? ? A(3.3,0.09) ?9 x ? 170y ? 45
故该厂生产该产品 3.3kg / h ,直接排入

3

河流的污水为 0.09m / h 时,可使每小时 净收益最大,最大值为 20.708 ? 3.3 ? 9.96 ? 0.9 ? 67.44 (元) 答:该厂应安排生产该产品 3.3kg / h ,直接排入河流的污水为 0.09m / h 时,其每小时 净收益最大。 三、课堂练习: 已知甲、 乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨, 需经过东车站和西车站两个 车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲煤矿 运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨, 乙煤矿运往东车站和西车站的 运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? 解:设甲煤矿向东车站运 l 万吨煤,乙煤矿向东车站运 y 万吨煤,那么总运费 z=x+1.5(200 -x)+0.8y+1.6(300-y)(万元) 即 z=780-0.5x-0.8y.
3

3

y 280 x+y=140 140
O

y=300 x=200 x+y=280 140 200 280 x

x、y 应满足:

?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?200 ? x ? 0 ? ?300 ? y ? 0 ? x ? y ? 280 ? ? ?200 ? x ? (300 ? y ) ? 360
作出上面的不等式组所表示的平面区域

设直线 x+y=280 与 y 轴的交点为 M,则 M(0,280) 把直线 l:0.5x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M 时,z 的值最小 ∵点 M 的坐标为(0,280), ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、 乙煤矿向东车站运 280 万吨向西车站运 20 万吨时, 总运费最少 四、课堂小结: 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解
4

五、课后作业: 1、P109 页 B 组第 2 题 2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成 A、B、C 三种规格,每根钢管可同时截得三种 规格的短钢管的根数如下表所示: 规格类型 钢管类型 甲种钢管 乙种钢管

A 规格
2 2

B 规格
1 3

C 规格
4 1

今需 A、B、C 三种规格的钢管各 13、16、18 根,问各截这两种钢管多少根可得所需三 种规格钢管,且使所用钢管根数最少 解:设需截甲种钢管 x 根,乙种钢管 y 根,则
18 4x+y=18

y

?2 x ? 2 y ? 13 ? x ? 3 y ? 16 ? ? ?4 x ? y ? 18 作出可行域(如图): ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

A O

B(4,4) x+3y=16 2x+2y=13 16

x

目标函数为 z ? x ? y ,作出一组平行直线 x ? y ? t 中(t 为参数)经过可行域内的点且

38 46 , ),直 11 11 84 38 46 38 46 , )不是最优解 线方程为 x ? y ? .由于 和 都不是整数,所以可行域内的点( 11 11 11 11 11
和原点距离最近的直线,此直线经过直线 4x+y=18 和直线 x+3y=16 的交点 A( 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x ? y ? 8 ,经过的整点是 B(4,4), 它是最优解 答:要截得所需三种规格的钢管,且使所截两种钢管的根数最少方法是,截甲种钢管、 乙种钢管各 4 根

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