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D8.1 向量及其线性运算


高等数学(2)标准化作业题参考答案—7

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第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算
一、填空题
1. 点 (1, 2, ?3) 在第Ⅴ卦限,点 (?2, ?3,1) 在第Ⅲ卦限. 2. 点 ( x, y, z ) 到 xoy 面、 yoz 面、 xoz 面的距离分别为 z , x , y ;到 x 轴、 y 轴、

z 轴距离分别为 y 2 ? z 2 , x2 ? z 2 , x 2 ? y 2 .
3. 点 (a, b, c) 关于 yoz 面的对称点是 (?a, b, c) ;与 (a, ?b, c) 关于 xoz 面对称;关于原点 的对称点是 (?a, ?b, ?c) . 4. 点 M 的向径与 x 轴成 45 角,与 y 轴成 60 角,长度为 6 ,若在 z 轴上的坐标是负值, 则点 M 的坐标为 (3 2,3, ?3) . 提示: OM ? ( x, y, z) ,cos ? ? 设 由 cos
2
? ?

???? ?

1 y y 2 x x ? ? ,x ? 3 2 ;cos ? ? ? ? , y ? 3 ; 2 r 6 2 r 6
1 2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,有 cos ? ? ? , z ? ?3 .
?

5. 与向量 a ? (16, ?15,12) 平行,方向相反且长度为 75 的向量为 (?48, 45, ?36) . 6.设 M1 ? x1 , y1 , z1 ? , M 2 ? x2 , y2 , z2 ? ,则 M1M2 ? 7. 与向量 a ? (6,7, ?6) 平行的单位向量为 ? ?
??? ?

( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 ) 2 .

?

6? ?6 7 , ,? ?. ? 11 11 11 ?

? 7, 8. 向量 AB 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的投影依次为 4, 4, 它的终点坐标为 B(2, ?1, 7) ,
则起点坐标 (?2,3, 0) .提示:若 A( x, y, z ) ,则 AB ? (4, ?4,7) ? (2 ? x, ?1 ? y,7 ? z) 9. 若 a ? ax , a y , az , b ? bx , by , bz , 则 a ? b = (ax ? bx , ay ? by , az ? bz ) .

??? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? a a a b∥a ? x ? y ? z . bx by bz
19

高等数学(2)标准化作业题参考答案—7

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10.在 xoy 面上,与三点 A(3,1, 2), B(4, ?2, ?2), C(0,5,1) 等距离的点为 ? ?

? 38 21 ? , ? ,0? . 5 ? ? 5

提示:设点 D( x, y,0) ,由 AD ? BD ? CD 得 ?
2 2 2

? 2 x ? 6 y ? 10 . ??8x ? 14 y ? 2

二、单项选择题
1. 设向量 a, b 互相平行,但方向相反,当 a ? b ? 0 时,必有 A. a ? b ? a ? b

? ?

?

?

A

. D. a ? b ? a ? b

? ?

?

?

B. a ? b ? a ? b

? ?

?

?

C. a ? b ? a ? b A .

? ?

?

?

? ?

?

?

2. 下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A. ? ? 90? , ? ? 150? , ? ? 60? C. ? ? ? ? ? ? 60?

B. ? ? 45? , ? ? 135? , ? ? 60? D. ? ? 60? , ? ? 120? , ? ? 150?

三、解答题
1. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形. 证明:设四边形为 ABCD ,对角线 AC 与 BD 的交点为 M . 由对角线互相平分可得 AM ? MC , BM ? MD ,故

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? AB ? AM ? MB ? MC ? DM ? DC ,从而四边形 ABCD 是平行四边形.

? ? 解: M ? 4, 2,1? , M ?3,0,2? ,
1

??????? 2. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M2 ?3,0,2? .计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角.

2

∴ M1M 2 ? ?1, ? 2,1 , M1M 2 ? 2 .

???????

?

?

???????

??????? ?1 2 1? M 1M 2 ? ?1 2 1 0 0 0 ∴ ??????? ? ? ? 2 , ? 2 , 2 ? ,方向余弦为 2 ,? 2 , 2 ,方向角为 120 ,135 ,60 . ? M 1M 2 ? ?
3. 向量 a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角,其模长为 3,求 a . 解: a ? ( x, x, x) , x ? 0 , a ? 3 , 3x ? 9 , x ? 3 , a ? 设 且 由 有 得 ∴
2

?

?

?

?

?

?

3, 3, 3

?.

20


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