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辽宁省丹东市五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


辽宁省丹东市五校协作体 2015 届高三上学期期末数学试卷(理 科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?UA) ∩B=() A.{3} B.{4,5} C.{4,5,6} D.{0,1,2} 2. (5 分)已知条件 p:x>1,q: A.充分不必要条件 C. 充要条件 3. (5 分)已知 A. B. ,且 C. ,则 p 是 q 的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,则 tanα=() D.

4. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体体 积为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设函数 象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个单调递减区间是() A. B. C. D.

,且其图

7. (5 分)已知 a= 为() A.﹣

[(sin ) ﹣ ]dx,则(ax+

2

) 展开式中,关于 x 的一次项的系数

9

B.

C. ﹣

D.

8. (5 分)抛物线 y =2px 与双曲线 轴,则双曲线的离心率为() A. B.

2

有相同焦点 F,点 A 是两曲线交点,且 AF⊥x

C.

D.

9. (5 分)若曲线 y= a=() A.﹣2 B.

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数

C. 1

D.2

10. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣ 7)= A. ,则实数 a 的取值范围为() B.(﹣2,1) C. D.

11. (5 分)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面 上,则该球的体积为()

A.

B.3π

C.

D.2π

12. (5 分)过抛物线 y =4x(p>0)的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD,则 () A.2 B. 4 C. D.

2

=

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知复数 z= , 是 z 的共轭复数,则 z? =.

14. (5 分)已知 M(x,y)为由不等式组

,所确定的平面区域上的动点,若点

,则

的最大值为.

15. (5 分)已知 G 点是△ ABC 的重心,过 G 点作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点, 设 , ,则 =.

16. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 且 ,则△ ABC 的面积是.



三、解答题: (共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an≠0,a1= ,an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2,n∈N ) .
*

(1)求证:
2 2

是等差数列;
2

(2)证明:a1 +a2 +…+an < .

18. (12 分)如图,在三棱柱∠DOT=2∠DMB 中,已知∠BMC=30°. ,AB=BC=1,BB1=2, . (1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)设 的值. (0≤λ≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求 λ

19. (12 分)在一次考试中,5 名同学数学、物理成绩如表所示: 学生 ABCDE 数学(x 分)8991939597 物理(y 分)8789899293 (1)根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归方程: (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学 中物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X) . ( 附:回归方程

中,





20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, N, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 21. (12 分)设函数 f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1) ,其中 a>0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当 x>0 时,证明不等式: (Ⅲ)设 f(x)的最小值为 g(a) ,证明不等式:﹣

; .

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ. (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M1、M2 的极坐标分别为 和(2,0) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P, 的

Q 两点, 射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A, 射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B, 求 值.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, + =a(m>0,n>0) .求证:m+2n≥4.

辽宁省丹东市五校协作体 2015 届高三上学期期末数学试 卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?UA) ∩B=() A.{3} B.{4,5} C.{4,5,6} D.{0,1,2} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 先求出集合 A 的补集,再求出交集即可 解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5},

∴(?UA)={4,5,6}, ∴(?UA)∩B={4,5} 点评: 本题考查了集合的交,补运算,属于基础题

2. (5 分)已知条件 p:x>1,q: A.充分不必要条件 C. 充要条件

,则 p 是 q 的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 解答: 解:由 x>1,推出 <1,p 是 q 的充分条件, 由 <1,得 <0,解得:x<0 或 x>1.不是必要条件,

故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式的解法,是一道基础题.

3. (5 分)已知 A. B.

,且 C.

,则 tanα=() D.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 分析: 通过诱导公式求出 sinα 的值,进而求出 cosα 的值,最后求 tanα. 解答: 解:∵cos( ∴sinα=﹣ ; 又 +α)= ;

∴cosα=﹣ ∴tanα= =

=﹣

故答案选 B 点评: 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用.属基础题. 4. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S 的值,当 S=2059,k=4 时,不满足 条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=0 S=0 满足条件 S<100,S=1,k=1 满足条件 S<100,S=3,k=2 满足条件 S<100,S=11,k=3 满足条件 S<100,S=2059,k=4 不满足条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:B. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,属于基础题. 5. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体体 积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图判断组合体的形状,利用三视图的数据求解组合体的体积即可. 解答: 解:由三视图可知组合体是下部是半径为 1 的球体,上部是底面直径为 2,母线长为 2 的圆锥, 该几何体体积为两个几何体的体积的和,即: 故选:D. 点评: 本题考查三视图求解组合体的体积,判断组合体的形状是解题的关键. = .

6. (5 分)设函数 象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个单调递减区间是() A. B. C. D.

,且其图

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式,由题意和正弦函数的对称轴 求出 θ 的值,代入解析式利用诱导公式化简,再由余弦函数的单调区间求出 f(x)的单调增 区间,结合答案项进行判断即可. 解答: 解:由题意得, f(x)=2[ sin( )﹣ cos( =kπ+ )]=2sin( ,k∈Z, 满足题意, ﹣ )=﹣2cos , ﹣ ) ,

∵图象关于 y 轴对称,∴θ﹣ 又∵|θ|<

,∴当 k=﹣1 时,θ= ﹣ ﹣

∴f(x)=2sin( 由 2kπ﹣π≤

)=2sin(

≤2kπ 可得 4kπ﹣2π≤x≤4kπ,

∴函数 f(x)的单调递增区间为[4kπ﹣2π,4kπ],k∈Z, 当 k=0 时,函数 f(x)的一个单调递增区间为[﹣2π,0], 当 k=1 时,函数 f(x)的一个单调递增区间为[2π,4π], 所以 A、B、D 不正确;C 正确, 故选:C. 点评: 本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式,诱导公式,以及正弦、余弦函数的性质, 属于中档题.

7. (5 分)已知 a= 为() A.﹣

[(sin ) ﹣ ]dx,则(ax+

2

) 展开式中,关于 x 的一次项的系数

9

B.

C. ﹣

D.

考点: 二项式定理;微积分基本定理. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先求定积分得到 a 的值,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得关于 x 的一次项的系数. 解答: 解: 已知 a= [ (sin ) ﹣ ]dx=
2

[

\frac{1﹣cosx}{2}

﹣ ]dx=

dx= (﹣

sinx)

=﹣ ,

则(ax+ ﹣ ?2
r﹣9

) =﹣ ?x
9﹣2r

9

,故它的展开式的通项公式为 Tr+1=﹣

?

?x =

﹣r

. ×2 =﹣
﹣5

令 9﹣2r=1,解得 r=4,故关于 x 的一次项的系数为﹣



故选 A. 点评: 本题主要考查求定积分的值,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开 式中某项的系数,属于中档题.

8. (5 分)抛物线 y =2px 与双曲线 轴,则双曲线的离心率为() A. B.

2

有相同焦点 F,点 A 是两曲线交点,且 AF⊥x

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质.

专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点,和 AF 的长,设双曲线的左焦点为 F',则 AF'=2a+p,再由勾股 定理,可得 2a,由离心率公式计算即可得到. 解答: 解:抛物线 y =2px 的焦点为( ,0) , 由于 AF⊥x 轴,则 AF=p, 由题意可得,双曲线的 2c=p, 设双曲线的左焦点为 F',则 AF'=2a+p, 由于△ AF'F 为等腰直角三角形, 则 AF'= p=2a+p,则 2a=( ﹣1)p, 则双曲线的离心率为 e= =
2

= +1. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质,考查离心率的求法,考查运算能力, 属于基础题.

9. (5 分)若曲线 y= a=() A.﹣2 B.

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数

C. 1

D.2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,有公共点解方程即可 求出 a 的值. 解答: 解:曲线 y= 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= .

曲线 y=alnx 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= . 曲线 y= 可得 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线, ,并且 t= ,t=alns,



,解得 lns= ,解得 s =e.

2

可得 a=1. 故选:C. 点评: 本题考查函数的导数,导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法,考查计算 能力.

10. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣ 7)= A. ,则实数 a 的取值范围为() B.(﹣2,1) C. D.

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) ,求出函数的周期,由 此能求出实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ,函数的周期为 4,则 f(﹣7)=f(8﹣7)=f(1)=﹣f(﹣1) , 又 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)= ∴﹣ 解得 a∈ >﹣2,即 =﹣f(﹣1) , ,即 ,

故选:D. 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 11. (5 分)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面 上,则该球的体积为()

A.

B.3π

C.

D.2π

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 说明折叠后几何体的特征,求出三棱锥的外接球的半径,然后求出球的体积. 解答: 解:由题意平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, ,将其沿对角 线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球 面上,可知 A′B⊥A′C,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC= ,球的半径为: ;所以球

的体积为: 故选 A

=



点评: 本题是基础题,考查折叠问题,三棱锥的外接球的体积的求法,考查计算能力,正 确球的外接球的半径是解题的关键.
2

12. (5 分)过抛物线 y =4x(p>0)的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD,则 () A.2 B. 4 C. D.

=

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出两直线的倾斜角,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|CD|即可求得答案. 解答: 解:抛物线 y =4x,可知 2p=4, 设直线 l1 的倾斜角为 θ,则 l2 的倾斜角为 过焦点的弦,|AB|= ,|CD|= ﹣θ, =
2



=

+

=

= ,

故选 D. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解 决问题事半功倍. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知复数 z= , 是 z 的共轭复数,则 z? = .

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 化简可得复数 z,进而可得其共轭复数 ,然后再计算即可. 解答: 解:化简得 z= =

=

=

=

=

=

,故 =



所以 z? =( 故答案为:

) (

)=

=

点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,化简复数 z 是解决问题的关键,属基础题.

14. (5 分)已知 M(x,y)为由不等式组

,所确定的平面区域上的动点,若点

,则

的最大值为 4.

考点: 平面向量数量积的运算;简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,化向量数量积为线性目标函数,数形结合得到最优解,求 出最优解的坐标,代入目标函数得答案 解答: 解:由约束条件作出可行域如图,

得出 A( 则

,1) ,若 M(x,y) , = +y,化为 y=﹣ +z,

由图可知,当直线 y=﹣ +z 过 B( ,2)时, z 有最大值为: . 故答案为:4. 点评: 本题考查了简单的线性规划,体现数形结合的解题思想方法,还融合了平面向量的 数量积的简单计算. 15. (5 分)已知 G 点是△ ABC 的重心,过 G 点作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点, 设 , ,则 =3.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由 G 为三角形的重心,可得

= (

) ,结合



,根据 M,

G,N 三点共线,易得到 x,y 的关系式,整理后即可得到答案. 解答: 解:∵G 为三角形的重心, ∴ ∴ = ∵ 与 = ( = = 共线, =λ =λ[ , +(y﹣ ) ], ) , = ( ﹣ ( )﹣ )= =( ) +(y﹣ ) , ,

∴存在实数 λ,使得 即( )

由向量相等的定义可得



消去 λ 可得 x+y﹣3xy=0, 两边同除以 xy 整理得 =3

故答案为:3 点评: 本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义,向量的共线定理,及三角形 的重心,属中档题. 16. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 且 ,则△ ABC 的面积是 .



考点: 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知条件,然后通过余弦定理求出角 A 的大小,然后通过数量积 化简求出三角形的面积. 解答: 解:在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 所以 ,化简可得:b =a +bc﹣c ,可得 cosA= ,A=
2 2 2






2 2

,abcosC=﹣5,即 ab×
2 2 2

=﹣5,

25+a ﹣c =﹣10,又 b =a +bc﹣c ,

25=bc﹣35, bc=60. S= = =15 .

故答案为: 点评: 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查分析问题解决 问题的能力. 三、解答题: (共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an≠0,a1= ,an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2,n∈N ) . (1)求证:
2 2 *

是等差数列;
2

(2)证明:a1 +a2 +…+an < .

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过已知条件推出 ,即可判断
2 2 2

是等差数列;

(2)利用放缩法以及裂项法求解数列的和,即可证明 a1 +a2 +…+an < . 解答: 证明: (1)∵an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2) ∴ ∴ (n≥2) 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列.…(6 分)

(2)由(1)知: ∴ …(8 分) = ,





=

.…(12 分)

点评: 本题考查数列与不等式的综合应用,等差数列的判断,放缩法以及裂项法的应用, 考查分析问题解决问题的能力.

18. (12 分)如图,在三棱柱∠DOT=2∠DMB 中,已知∠BMC=30°. ,AB=BC=1,BB1=2, . (1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)设 的值. (0≤λ≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求 λ

考点: 梅涅劳斯定理;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明:AB⊥BC1,BC⊥BC1,即可证明 C1B⊥平面 ABC; (2) 以 B 为原点,BC,BA, BC1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 求出平面 AB1E 的法向量,平面 BEB1 的一个法向量,利用向量的夹角公式,建立方程,即可求 λ 的值. 解答: (1)证明:因为侧面 AB⊥BB1C1C,BC1?侧面 BB1C1C, 故 AB⊥BC1,…(2 分) 在△ BCC1 中, 故 ,所以 BC⊥BC1,…(4 分) ,由余弦定理得 ,

而 BC∩AB=B,∴BC1⊥平面 ABC…(6 分) (2)解:由(1)可知,AB,BC,BC1 两两垂直.以 B 为原点,BC,BA,BC1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则 B(0,0,0) ,A(0,1,0) ,B1(﹣1,0, ) ,C(1, 0,0) ,C1(0,0, ) . ∴ =(﹣1,0, ) ,∴ =(﹣λ,0, λ) ,

∴E(1﹣λ,0, 则

λ) , λ) , =(﹣1,﹣1, , , ) .

=(1﹣λ,﹣1,

设平面 AB1E 的法向量为 则

∴ =( ∵





)是平面 AB1E 的一个法向量.

=(0,1,0)是平面 BEB1 的一个法向量,

∴平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的余弦为|

|=



两边平方并化简得 2λ ﹣5λ+3=0,∴λ=1 或

2

(舍去)…(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定,考查平面与平面所成的角,考查学生分析解决问题的能 力,正确求出平面的法向量是关键. 19. (12 分)在一次考试中,5 名同学数学、物理成绩如表所示: 学生 ABCDE 数学(x 分)8991939597 物理(y 分)8789899293 (1)根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归方程: (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学 中物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X) . ( 附:回归方程

中,





考点: 离散型随机变量的期望与方差;线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由已知求出 x,y 的平均数,从而求出物理分 y 对数学分 x 的回归方程. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X) . 解答: 解: (1)由已知得 …(2 分) ,





∴ ∴物理分 y 对数学分 x 的回归方程为

. ; …(6 分)

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2, ,



,…(9 分) 故 X 的分布列为: X 0 1 P ∴ .…(12 分)

2

点评: 本题考查回归方程的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题 时要注意排列组合的合理运用. 20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, N, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 考点: 轨迹方程;三角形中的几何计算;点到直线的距离公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率,再利用直线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得: .根据角相等消去三角函数得比例式,最 后得到关于点 P 的纵坐标的方程,解之即得. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1) . 设点 P 的坐标为(x,y)

化简得 x +3y =4(x≠±1) . 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1)

2

2

(Ⅱ)解:若存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 .

所以
2 2

即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 因为 x0 +3y0 =4,所以 故存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 点评: 本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. 21. (12 分)设函数 f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1) ,其中 a>0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 x>0 时,证明不等式: (Ⅲ)设 f(x)的最小值为 g(a) ,证明不等式:﹣ ; . .
2 2

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由 f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1) ,其中 a>0,知函数 f(x)的定义域为(﹣1, +∞) ,且 调区间. (Ⅱ)设?(x)=ln(x+1)﹣ ,x∈[0,+∞) ,则?′(x)= = .由 ,由 f′(x)=0,得 x= .列表讨论,能求出 f(x)的单

此能够证明 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, ,得

. ,将 ,由此能够证明﹣ 代入 .

解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1) ,其中 a>0, ∴函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) ,且 由 f′(x)=0,得 x= . ,

当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣1, ) ﹣ ↓ 0 极小值 ( ,+∞) + ↑

由上表知,当 x∈(﹣1, )时,f′(x)<0,函数 f(x)在(﹣1, )内单调递减; 当 x∈( )时,f′(x)>0,函数 f(x)在( )内单调递增.

∴函数 f(x)的增区间是(

) ,减区间是(﹣1, ) . ,x∈[0,+∞) , = .

(Ⅱ)证明:设?(x)=ln(x+1)﹣ 对?(x)求导,得?′(x)=

当 x≥0 时,?′(x)≥0,所以?(x)在[0,+∞)内是增函数. ∴?(x)>?(0)=0,即 ln(x+1)﹣ ∴ . >0,

同理可证 ln(x+1)<x, ∴ (Ⅲ)由(Ⅰ)知, 将 得 即1 ∴ 故﹣ . 代入 , , , , . ,

点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查不等式的证明,考查推理论证能力,考查运 算推导能力,考查等价转化思想,考查分类讨论思想.解题时要认真审题,仔细解答,注意导 数性质的综合应用. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E.

(Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据 BE 为圆 O 的切线,证明∠EBD=∠BAD,AD 平分∠BAC,证明 ∠BAD=∠CAD,即可证明∠EBD=∠CBD (Ⅱ)证明△ EBD∽△EAB,可得 AB?BE=AE?BD,利用 AD 平分∠BAC,即可证明 AB?BE=AE?DC. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BE 为圆 O 的切线, ∴∠EBD=∠BAD, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CAD, ∵∠CBD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)在△ EBD 和△ EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB, ∴△EBD∽△EAB, ∴ ,

∴AB?BE=AE?BD, ∵AD 平分∠BAC, ∴BD=DC, ∴AB?BE=AE?DC. 点评: 本题考查弦切角定理,考查三角形的相似,考查角平分线的性质,属于中档题. 选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ. (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M1、M2 的极坐标分别为 和(2,0) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P, 的

Q 两点, 射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A, 射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B, 求 值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

分析: (1)利用 cos θ+sin θ=1,即可曲线 C1 的参数方程化为普通方程,进而利用 即可化为极坐标方程,同理可得曲线 C2 的直角坐标方程; (2)由点 M1、M2 的极坐标可得直角坐标:M1(0,1) ,M2(2,0) ,可得直线 M1M2 的方 程为 , 此直线经过圆心, 可得线段 PQ 是圆 x + (y﹣1)=1 的一条直径, 可得得 OA⊥OB, 上的两点,在极坐标下,设 ,
2 2

2

2

A,B 是椭圆

代入椭圆的方程即可证明. 解答: 解: (1)曲线 C1 的普通方程为 化成极坐标方程为
2

, ,

曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,化为 ρ =2ρsinθ, 2 2 2 2 可得:曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y =2x,配方为 x +(y﹣1) =1. (2)由点 M1、M2 的极坐标分别为 可得直角坐标:M1(0,1) ,M2(2,0) , ∴直线 M1M2 的方程为 ,化为 x+2y﹣2=0, 和(2,0) ,

∵此直线经过圆心(0,1) , 2 2 ∴线段 PQ 是圆 x +(y﹣1) =1 的一条直径, ∴∠POQ=90°, 由 OP⊥OQ 得 OA⊥OB, A,B 是椭圆 在极坐标下,设 分别代入 中, 上的两点, ,















,即



点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质,考 查了推理能力与计算能力,考查数形结合思想和化归与转化思想,属于难题. 选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a|

(Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, + =a(m>0,n>0) .求证:m+2n≥4.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式. 分析: 对第(1)问,将 a=2 代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可; 对第(2)问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定 a 值,再将“m+2n”改写为“(m+2n) ( + 展开后利用基本不等式可完成证明. 解答: 解: (I)当 a=2 时,不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|, ①当 x≤1 时,原不等式化为 2﹣x≥4+(x﹣1) ,得 故 ; , )”,

②当 1<x<2 时,原不等式化为 2﹣x≥4﹣(x﹣1) ,得 2≥5, 故 1<x<2 不是原不等式的解; ③当 x≥2 时,原不等式化为 x﹣2≥4﹣(x﹣1) ,得 故 . ∪ . ,

综合①、②、③知,原不等式的解集为 (Ⅱ)证明:由 f(x)≤1 得|x﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a, ∵f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, ∴ 得 a=1,∴ + =a=1. )=2+(

又 m>0,n>0,∴m+2n=(m+2n) ( + 当且仅当

) =1,得

, 时,m+2n=4,

即 m=2n 时,等号成立,此时,联立 +

故 m+2n≥4,得证. 点评: 1.已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是:先将原不等式求解一遍,再 把结果与已知解集对比即可获得参数的值. 2.本题中,“1”的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧 妙性.



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