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广东省2015届高三数学理一轮复习备考试题:概率与统计


广东省 2015 届高三数学理一轮复习备考试题:概率与统计
一、选择题 1、(2014 广东高考)已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示,为了解该 地区中下学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查, 则样本容量和抽取的高 中生近视人数分别为

A. 100,10 B. 200,10 C. 100,20 D. 200,20 2、(2013 广东高考)已知离散型随机变量 X 的分布列为

X
P
则 X 的数学期望 EX ? ( A. )

1 3 5
C.

2 3 10

3 1 10
D. 3

3 2

B. 2

5 2

3.(2012 广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 ( ) A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

4、(2011 广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队 需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

?x ? 0 ? 5、(广州海珠区 2015 高三第一次质检)由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ?y ? x ? 2 ? 0 ?

?x ? y ? 1 确定的平面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为 ? ? x ? y ? ?2 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8
2] 上随机取两个数 x ,y 6、 (珠海 2015 届高三 9 月摸底) 在区间 [0 ,
其中满足 y ? 2 x 的概率是 ( )

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

7、(2014 广州一模)某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图 1 的频率分 布直方图.样本数据分组为 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? ,
频率/组距

?80,90? , ?90,100? .若用分层抽样的方法从样本中抽取分
数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个,则其中分数在 ?90,100? 范围内的样本数据有

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0

50 60 70 80 90 100 分数 A.5 个 B.6 个 图1 C.8 个 D.10 个 8、(2014 揭阳二模)某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

x y

6 2

8 3

10 5

12 6
?

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的值为 0.7 , 根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
? ?a ? ? bx ? 中, a ? y ? b x , 则记忆力为 14 的同学的判断力约为(附:线性回归方程 y
其中 x , y 为样本平均值) A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5
? ?

二、解答题 9、(2014 广东高考)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获 得数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值;

(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3) 根据样本频率分布直方图, 求在该厂任取 4 人, 至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 的概率. 10、 (2013 广东高考)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所 示,其中茎为十位数,叶为个位数.

1 2

7 0

9 1

5

3

0
第 17 题图

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有 几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

11、(2012 广东高考)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分

组区间是: ? 40,50 ? 、 ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、

?90,100? .
(Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人 中成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望.

12、(2011 广东高考)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据:

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x , y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量;

(3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其 均值(即数学期望).
13、(2015 届珠海高三 9 月摸底)某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查,对 15~65

岁的人群随机抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段 样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表: 各年龄段样本人数频率分布直方图
0.05 0.04 频率 /组距

“追星族”统计表 组数 一 二 三 四 分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] “追星族”人数 a 200 5 3 2 占本组频率 0.75 0.40 0.1 b 0.1

0.005 0.003 0.002 15 25 35 45 55 65


年龄 (岁 )

(1)求 a , b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体, ? 表示其中“追星族”的 人数, 求 ? 分布列、期望和方差.

14、(2015 届广州六中上第一次质检) 为迎接 6 月 6 日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取 16 名学生,经校医用 对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数 字为叶),如图,若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)从这 16 人中随机选取 3 人,求至少有 2 人是“好视力”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 X 表示 抽到“好视力”学生的人数,求 X 的分布列及数学期望.

15、(2014 广州一模)甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是

2 ,甲,丙两人 5

同时不能被聘用的概率是

6 3 ,乙,丙两人同时能被聘用的概率是 ,且三人各自能否被聘用相互 25 10

独立. (1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分 布列与均值(数学期望). 16、袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个( n =1,2,3,4).现从袋 中任取一球. ? 表示所取球的标号.(Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1 , D? ? 11 ,试求 a,b 的值.

17、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙 柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标 准差 ?? 为

6 。(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; 2

(Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

18、 (2013?汕头一模)广东省汕头市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有
大的提速,努力实现“幸福汕头”的共建共享.现随机抽取 50 位市民,对他们的幸福指数进行统计分 析,得到如下分布表: 幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福 60 30 0 幸福指数(分) 90 19 21 7 3 人数(个) (I)求这 50 位市民幸福指数的数学期望(即平均值) ; (11)以这 50 人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任 选 3 人,记 ξ 表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求 ξ 的分布列; (III)从这 50 位市民中,先随机选一个人.记他的幸福指数为 m,然后再随机选另一个人,记他的 幸福指数为 n,求 n<m+60 的概率 P.

19、 (2014 揭阳二模)下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直 径小于等于 2.5 微米的颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气 质量优良. 日期编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

空气质量指数(AQI) “PM2.5”24 小时平均浓度( ug / m3 )

179 135

40 5

98 80

124 94

29 80

133 100

241 190

424 387

95 70

89 66

(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的 分析,设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天‘PM2.5’的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 ”, 求事件 M 发生的概率; (3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取 3 天,记 ? 为“PM2.5”24 小时 平均浓度不超过 75 ug / m3 的天数,求 ? 的分布列和数学期望.

20、(2015 届深圳宝安区 9 月调研)甲、乙两人玩游戏,先由甲任想一个数字记为 a ,再由乙猜想 甲刚才想的数字,把乙想的数字记为 b ,且 a, b ? {1,2,3,4,5,6},记 ? ?| a ? b | . (1)求 ? 的分布列及期望; (2)若 ? ? 1 ,则称“甲乙心有灵犀”,求“甲乙心有灵犀”的概率.

参考答案: 1、D 2、A 3、解析:D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个,个位数为 0 的 有 5 个,所以概率为

5 1 ? . 45 9

4、解析:(D).乙获得冠军的概率为 5、D 6、B 7、B 8、D

1 1 1 1 3 ? ? ,则甲队获得冠军的概率为 1 ? ? 2 2 4 4 4

9、解:(1) n1 ? 7, n2 ? 2, f1 ? 0.28, f2 ? 0.08 (2)先计算 频率/组距;然后作图即可

频率

0.064 0.056

组距

0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

(3)由(1)知,任取一人,日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 设该厂任取 4 人,没有人日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 A ,

1 5

? 1? ? 4? ? 4 ? 369 则 P ? A? ? ?1 ? ? ? ? ? ,所以 P A ? 1 ? ? ? = ? 5? ? 5? ? 5 ? 625
答:在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为

4

4

? ?

4

369 625

10、(Ⅰ) 样本均值为

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6 2 1 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为 ? ,故推断该车间 12 名工人中有 12 ? ? 4 名优秀工人. 6 3 3
(Ⅲ) 设事件 A :从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则 P ? A? ?
1 1 C4 C8 16 ? . 2 33 C12

11、解析:(Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 . (Ⅱ)分数在 ?80,90 ? 、?90,100? 的人数分别是 50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、50 ? 0.006 ? 10 ? 3 人.所以

? 的取值为 0、1、2.
P ?? ? 0 ? ?
0 2 1 1 0 C3 C9 36 6 C3 C9 27 9 C32C9 3 1 ? ? P ? ? 1 ? ? ? P ? ? 2 ? ? ? , , ,所以 ? ? ? ? ? 2 2 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

的数学期望是 E? ? 0 ?

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2

12、解:(1)设乙厂生产的产品数量为 a 件,则

98 14 ? ,解得 a ? 35 a 5

所以乙厂生产的产品数量为 35 件 (2)从乙厂抽取的 5 件产品中,编号为 2、5 的产品是优等品,即 5 件产品中有 2 件是优等品 由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为 35 ? (3) ? 可能的取值为 0,1,2

2 ? 14 (件) 5

C32 3 P(? ? 0) ? 2 ? , C5 10
∴ ? 的分布列为:

1 1 C2 C 6 P(? ? 1) ? 2 3 ? , C5 10

2 C2 1 P(? ? 2 ) ? 2? , C5 10

?
P

0

1

2

3 10

6 10

1 10

∴ E? ? 0 ?

3 6 1 4 ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5

13、 解: (1). 由题设知[15, 25)这组人数为 0.04×10×1000=400, ???????????????1 分 故 a=0.75×400=300 ???????????????2 分 [45,55)这组人数为 0.003×10×1000=30,故 b= 综上,a=300,b=0.1.

3 ? 0.1 ???????????????3 分 30
???????????????4 分

(2).由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 p ?

1 10

? ~B(2,

1 ) 10

???????????????6 分

故 ? 的分布列是 ξ p 0 0.81 1 2

0.18 0.01 ???????????????8 分 ???????????????10 分 ???????????????12 分

1 1 ? ? 0.2 10 5 1 9 9 ? 0.18 ? 的方差是 D? ? 2 ? ? ? 10 10 50

? 的期望是 E? ? 2 ?

14、解:(1)由题意知众数为 4.6 和 4.7,中位数为 4.75. ------------2 分 (2)这是一个古典概型,设至少有 2 人是“好视力”记为事件 A,---------3 分 则事件 A 包含的基本事件个数为: C4 ? C12 +C4
2 1 3

----------5 分

总的基本事件个数为: C16
2 1 C4 ? C12 19 P(A) ? = 3 C16 140

3

-----------6 分

--------------------7 分 -------------------8 分

(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 ). 4 3 27 1 3 2 27 1 P(X=0)=( )3= ,P(X=1)= C3 × × ( )= , 4 4 4 64 64 1 3 9 1 1 2 P(X=2)= C3 × ( )2× = ,P(X=3)=( )3= ,------------------12 分 4 4 64 4 64
由于该校人数很多,故 X 近似服从二项分布 B(3, X 的分布列为 X P 0 1 2 3

27 64

27 64

9 64

1 64

故 X 的数学期望 E(X)=3× =

1 4

3 .------------------13 分 4

15、解:(1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A 1 , A2 , A 3, 由已知 A1 , A2 , A3 相互独立,且满足

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
解得 P ? A2 ? ?

1 3 , P ? A3 ? ? . 2 5 1 3 , . 2 5

所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 (2) ? 的可能取值为 1,3.

因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ?

2 1 3 3 1 2 6 ? ? ? ? ? ? ? . 5 2 5 5 2 5 25 6 19 ? 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? . 25 25
所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 1?

1

3
6 25

19 25

19 6 37 ? 3? ? . 25 25 25

16、解:(Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

∴ E? ? 0 ?

1 1 1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5) 2 ? ? (1 ? 1.5) 2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75.(Ⅱ)由 2 20 10 20 5

D? ? a2 D? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以
当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4
(1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ?
2

17、

3 1 1 , 得1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? 2 2 2

? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

5

6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P ( A )?
18、

1 ? 6? 1 ? 5 64

20 ?

21 15 ? 6 ? 1 21 , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 32 64 32
.…(1 分) …(2 分) …(3 分) …(5 分) …(4 分) …(6 分)

解: (Ⅰ )记 Ex 表示这 50 位市民幸福指数的数学期望, ∴ (Ⅱ )ξ 的可能取值为 0、1、2、3

∴ ξ 分布列为 ξ 0 P

1

2

3

(Ⅲ )设所有满足条件的对立事件 n≥m+60 的概率为 P1 ① 满足 m=0 且 n=60 的事件数为: ② 满足 m=0 且 n=90 的事件数为: ③ 满足 m=30 且 n=90 的事件数为: ∴ …(11 分) …(8 分) …(9 分) …(10 分)

所以满足条件 n<m+60 的事件的概率为

.…(12 分)

19、解:(1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期有: A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天,------------------------------------------------1 分 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 P ?

5 1 ? .------------------------------3 分 10 2

(2)由(1)知 10 天中表示空气质量为优良的天数为 5,当天“PM2.5”的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m3 有编号为 A2 、A9 、A10,共 3 天,-----------------------------------4 分 故事件 M 发生的概率 P( M ) ?

C32 3 ? .---------------------------------------------6 分 C52 10

(3)由(1)知, ? 的可能取值为 1,2,3. --------------------------------------------7 分
1 2 C3 C2 3 且 P(? ? 1) ? --------------------------------------------------------8 分 ? , 3 C5 10 1 C32C2 3 -----------------------------------------------------------9 分 ? , 3 C5 5 3 C3 1 ? ,-----------------------------------------------------------10 分 3 C5 10

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

故 ? 的分布列为:

?
P (? )

1

2

3

3 10

3 5

1 10

--------------------------------------------------------11 分

? 的数学期望 E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3 ? ? .-------------------------------------12 分 10 5 10 5

20、解:(I) ? 可能取的值为 0,1,2,3,4,5 ??????1 分

6 2 ? 5 10 2? 4 8 2?3 6 , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? ? , 36 36 36 36 36 36 36 2? 2 4 2 P(? ? 4) ? ? , P(? ? 5) ? ??????5 分 36 36 36 P(? ? 0) ?
? ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

5

1 6

5 18

2 9

1 6

1 9

1 18

??????6 分

35 E? ? 18

??????8 分

(II) P (? ? 1) ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ?

4 . 9

??????12 分


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