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3-2-2含参数一元二次不等式的解法


成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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第三章
3.2 一元二次不等式及其解法

第三章

不等式

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第三章
第 2 课时 含参数一元二次不等式的解法

第三章

不等式

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课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误作答

第三章

3.2

第2课时

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课程目标解读

第三章

3.2

第2课时

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通过简单的分式不等式、高次不等式、无理不等式的解法 探索,培养转化与化归的思想,通过对含参数一元二次不等式 的解法讨论.训练发展分析解决问题的能力.

第三章

3.2

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.2

第2课时

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1.求不等式的解集的过程叫做解不等式;解不等式的每 一步都要求是同解变形.同解变形的依据是不等式的同解原理 (即不等式的性质).要确保变形的等价性. f?x? ①分式不等式一般要先移项、通分,然后利用 >0(或 g?x? <0)型转化为 f(x)· g(x)>0(或<0),再求解.

第三章

3.2

第2课时

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②无理不等式,常常采用平方法或换元法求解,莫忘偶次 根号下被开方数大于等于 0 的限制条件. ③含绝对值号的不等式,可分段去掉绝对值号讨论,也可 采用两边平方法,应据题目特点选取方法. ④高次不等式一般分解因式后用标根法解决. ⑤解不等式组,要利用数轴与图象的直观,熟练运用集合 的交、并运算.

第三章

3.2

第2课时

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2. 2+bx+c>0(或<0). a≠0 时为一元二次不等式. ax 当 当 a=0,b≠0 时为一元一次不等式.故二次项系数中含字母的须 注意讨论. 3.含参数的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)的讨论 (a≠0): 首先看△,若△<0(或△=0),结合开口方向(a 的正负) 即可写出解集.若△>0,既要看开口方向,又要看两根的大 小,综合考察后结合图象写出解集.

第三章

3.2

第2课时

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4.注意与集合相结合时,集合的概念要清楚,应特别注 意以下情形,A? B(或 A?B)包括 A=?的情形,A∩B=?(集合 B 已知)包括 A=?的情形.

第三章

3.2

第2课时

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5.解答下列问题: x (1)不等式 >1 的解集是________. x-1 (2)不等式 x2+|x|-2>0 的解集是________. (3)不等式 x- x+1≥1 的解集为________. x (4) <0 的解集是{x|-2<x<0},则不等式 ax2+5x+7>0 x-a 的解集为________.

第三章

3.2

第2课时

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[答案] 7 (4){x|-1<x< } 2

(1){x|x>1}

(2){x< - 1 或 x>1}

(3){x|x≥3}

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

x x (1) >1 化为 -1>0, x-1 x-1

1 ∴ >0,∴x>1. x-1 (2)解法一:不等式化为|x|2+|x|-2>0, ∴|x|≥0,∴|x|>1,∴x<-1 或 x>1.

第三章

3.2

第2课时

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?x2+x-2>0 ? 解法二:化为? ?x≥0 ? ?x2-x-2>0 ? 或? ?x<0 ?

(Ⅰ)

(Ⅱ)

由(Ⅰ)得,x>1;由(Ⅱ)得,x<-1. ∴原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>1}.

第三章

3.2

第2课时

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(3)将不等式变形为 x-1≥ x+1,①
?x-1≥0 ? 显然? ?x+1≥0 ?

,∴x≥1,

在此条件下,将不等式①两边平方得 x2-2x+1≥x+1,∴ x2-3x≥0,∴x≤0 或 x≥3, 又 x≥1,∴x≥3.

第三章

3.2

第2课时

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(4)由条件知,a=-2,∴不等式 ax2+5x+7>0, 即-2x2+5x+7>0,∴2x2-5x-7<0, 7 ∴-1<x< . 2

第三章

3.2

第2课时

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重点难点展示

第三章

3.2

第2课时

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重点:含参数一次二次不等式的讨论. 难点:(1)分式、无理、含绝对值的不等式向整式不等式的 转化. (2)不等式的实际应用和分类讨论思想.

第三章

3.2

第2课时

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学习要点点拨

第三章

3.2

第2课时

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1.一元分式不等式一般要转化为整式不等式求解. f?x? >0?f(x)· g(x)>0; g?x?
?f?x?· g?x?≥0 ? f?x? ≥0?? ?f(x)· g(x)>0 或 g?x? ?g?x?≠0 ? ?f?x?=0 ? ? ?g?x?≠0 ?

.

第三章

3.2

第2课时

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2.一元高次不等式的解法(数轴标根法). (1)将不等式通过移项分解因式化为 f(x)=a(x-x1)(x- x2)?(x-xn)>0(或<0)的形式, 其中 xk(k=1,2??n)是方程的 n 个不同的根,且每个因式中 x 的系数为 1.

第三章

3.2

第2课时

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(2)将 n 个不同的根标在数轴上,然后穿线.穿线时从轴上 最右边一个根开始,由 x 轴上方向下穿过第一个根然后向左依 次自下而上,自上而下画一条曲线连续穿过 n 个根. (3)数轴上方的曲线对应区间就是 f(x)>0 的解集;数轴下 方的曲线对应区间就是 f(x)<0 的解集. (4)如果分解因式后有重根,则“奇过偶不过”,即乘方指 数是奇数的画线时穿过 x 轴,乘方指数是偶数的,画线时到此 根对应 x 轴上点后返回,不穿过去.

第三章

3.2

第2课时

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3.含根号的不等式求解一般用平方法,但平方时一定要 注意符合不等式性质的要求. 4.含参数的不等式要弄清何种情况下需要讨论.

第三章

3.2

第2课时

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思路方法技巧

第三章

3.2

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命题方向

分式不等式的解法

[例 1]

x-1 (1)(2010~2011· 鹿邑三高高二期中)不等式 x )

≥2 的解集为( A.[-1,0)

B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞)

第三章

3.2

第2课时

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2x-1 (2)不等式 >1 的解集为________. 3-4x
2 3 (1)A (2){x| <x< } 3 4

[答案]

第三章

3.2

第2课时

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[分析]

f?x? 此类不等式求解,要先移项通分化为 >0(或 g?x?

f?x? <0)的形式再化为整式不等式.转化必须保持等价. g?x?

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

x-1 -x-1 (1) -2≥0∴ ≥0, x x ,∴-1≤x<0.

?x?x+1?≤0 ? ∴? ?x≠0 ?

6x-4 (2)原不等式化为: <0, 4x-3 2 3 ∴(6x-4)(4x-3)<0,∴3<x<4, 2 3 ∴原不等式的解集为{x|3<x<4}.

第三章

3.2

第2课时

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3x-1 不等式 ≥1 的解集是( 2-x 3 A.{x| ≤x≤2} 4 3 C.{x|4≤x<2}

)

3 B.{x|x≤ 或 x>2} 4 D.{x|x<2}

[答案] C

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

3x-1 4x-3 不等式 ≥1,化为: ≥0, 2-x 2-x

3 ∴ ≤x<2. 4

第三章

3.2

第2课时

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命题方向

简单高次不等式解法

*[例 2]

x?x+2? 不等式 <0 的解集为( x-3

)

A.{x|x<-2,或 0<x<3} B.{x|-2<x<2,或 x>3} C.{x|x<-2,或 x>0} D.{x|x<0,或 x<3}

[答案] A

第三章

3.2

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[分析]

A 原不等式左端是分式,右端为 0,属于B<0 型,可

等价转化为 AB<0, x(x+2)(x-3)<0, 即 依次令 x=0, x+2=0, x-3=0 得,x1=0,x2=-2,x3=3,将数轴按此三数对应点 分成四段,令 y=x(x+2)(x-3)列出 x 与 y 的对应值如表: x y (-∞, - - 2) - 2 0 + 0 - 0 (3,+ (-2,0) 0 (0,3) 3 ∞) +

第三章

3.2

第2课时

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故不等式 x(x+2)(x-3)<0 的解集为(-∞,-2)∪(0,3).

[解析]

原不等式等价于 x(x+2)(x-3)<0.

结合数轴穿根法(如图)可知:

x<-2 或 0<x<3.

第三章

3.2

第2课时

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[点评]

由函数的零点,方程的根及不等式解集的关系,

我们可以得知简单高次不等式的解集,与相应的方程的根密切 相关,我们只要将不等式改写为相应的方程求出其根,标在数 轴上,就可以依次讨论在两根之间函数值的符号得出不等式的 解集.

第三章

3.2

第2课时

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不等式 2x3-3x2+x>0 的解集为________.

[答案]

1 {x|0<x<2或 x>1}

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

不等式化为 x(x-1)(2x-1)>0,

方程 x(x-1)(2x-1)=0 的三个根为 1 x1=0,x2=1,x3=2, 如图

1 ∴不等式的解集为{x|0<x<2或 x>1}.

第三章

3.2

第2课时

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命题方向

无理不等式与含绝对值的不等式解法

*[例 3]

解不等式:(1)| 3x-2-3|>1;

x (2)| |>1. 1+x

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

(1)化为 3x-2-3>1 或 3x-2-3<-1,

∴ 3x-2>4 或 3x-2<2. ∴3x-2>16 或 0≤3x-2<4, 2 ∴x>6 或 ≤x<2. 3 2 所以原不等式的解集为{x|x>6 或 ≤x<2}. 3

第三章

3.2

第2课时

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(2)解法一:可仿(1)去掉绝对值号求解. x2 解法二:平方得 >1, ?x+1?2 2x+1 1 ∴ <0,∴x<-2且 x≠-1. ?x+1?2 1 所以原不等式的解集为{x|x<-2且 x≠-1}.

第三章

3.2

第2课时

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命题方向

含参数的一元二次不等式的解法

[例 4] [分析]

解关于 x 的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0. 在上述不等式中含有参数 m,因此需要先判断

参数 m 对方程 x2-(2m+1)x+m2+m=0 的解的影响, 然后求 解.

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

解法一:∵方程 x2-(2m+1)x+m2+m=0 的解为

x1=m,x2=m+1,且知 m<m+1. ∴二次函数 y=x2-(2m+1)x+m2+m 的图象开口向上, 且 与 x 轴有两个交点. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

第三章

3.2

第2课时

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解法二: 注意到 m2+m=m(m+1), m+(m+1)=2m+1, 及 可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0, ∵m<m+1,∴m<x<m+1. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

第三章

3.2

第2课时

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解关于 x 的不等式:x2+(1-a)x-a<0.

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a.

函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上,所以 (1)当 a<-1 时,原不等式解集为(a,-1); (2)当 a=-1 时,原不等式解集为?; (3)当 a>-1 时,原不等式解集为(-1,a).

第三章

3.2

第2课时

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[点评]

含参数的一元二次不等式在求解时,除了按照一

般不等式的方法求解外,还要注意参数对方程根的影响,若两 根的大小关系不能确定时,要进行分类讨论.

第三章

3.2

第2课时

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合作探究 已知集合 A={x|x2+3x-18>0},B={x|x2-(k+1)x-2k2 +2k≤0},若 A∩B≠?,则实数 k 的取值范围是________.

[答案]

3 k<-2 或 k> . 2

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

解法 1:由 x2+3x-18>0 得,

(x+6)(x-3)>0, ∴x>3,或 x<-6.∴A={x|x<-6,或 x>3}. 由 x2-(k+1)x-2k2+2k≤0 得, (x-2k)(x+k-1)≤0, ∵方程(x-2k)(x+k-1)=0 的两根 x1=2k,x2=1-k, 1 令 2k=1-k 得:k= . 3

第三章

3.2

第2课时

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1 (1)当 k= 时, 不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 的解集为 B={x|x 3 2 =3},不满足 A∩B≠?. 1 (2)当 k>3时,2k>1-k,不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 的解 集 B={x|1-k≤x≤2k},欲使 A∩B≠?应有 1-k<-6 或 2k> 3. 3 3 ∴k>7 或 k>2,即 k>2.

第三章

3.2

第2课时

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1 (3)当 k< 时,2k<1-k,不等式(x-2k)(x+k-1)≤0 的解 3 集 B={x|2k≤x≤1-k}, 欲使 A∩B≠?,须 2k<-6 或 1-k>3, ∴k<-3 或 k<-2. ∴k<-2. 综合(1)、(2)、(3)可知,使 A∩B≠?的 k 的取值范围是 k< 3 -2 或 k>2.

第三章

3.2

第2课时

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建模应用引路

第三章

3.2

第2课时

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[例 5]

假设国家收购某种农副产品的价格是 120 元/担,

其中征税标准是每 100 元征税 8 元(叫做税率是 8 个百分点, 即 8%),计划收购 m 万担,为了减轻农民负担,决定税率降 低 x 个百分点,预计收购量可增加 2x 个百分点,要使此项税 收在税率降低后不低于原计划的 78%, 试确定 x 的取值范围. [分析] 先求出税率降低以前的收税额和税率降低以后

的收税额,再依题设条件列出不等式求解.

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

税率降低后是(8-x)%,收购量为 m(1+2x%)万

担 , 税 收 为 120m(1 + 2x%)(8 - x)% 万 元 , 原 来 的 税 收 为 120m· 8%万元. 根据题意可得 120m(1+2x%)(8-x)%≥120m· 78%, 8%· 即 x2+42x-88≤0, 解之得-44≤x≤2,又 x>0,∴0<x≤2, ∴x 的取值范围是(0,2].

第三章

3.2

第2课时

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一个体户生产某种风衣,月销售 x(件)与售价 p(元/件)之 间的关系为 p=160-2x,生产 x 件的成本总数 R=500+ 30x(元), (1)该厂的月产量为________时,月获得的利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为________时,可获得最大利润,最大利润 是________?

第三章

3.2

第2课时

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[答案]

(1)20 至 45 件之间

(2)32 或 33 件

1612 元

第三章

3.2

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[解析] 30x)

(1)设该厂月获利为 y,则 y=(160-2x)x-(500+

=-2x2+130x-500,由题意 y≥1 300, ∴20≤x≤45, ∴当月产量在 20 至 45 件之间时, 月获利不少于 1 300 元. 65 2 (2)由(1)知 y=-2(x- 2 ) +1612.5,∵x 为正整数,∴当 x=32 或 33 时,y 取最大值为 1612 .

第三章

3.2

第2课时

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探索延拓创新

第三章

3.2

第2课时

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命题方向

一元二次方程根的分布

*[例 6]

不等式 ax2-x-2>0 在 a∈[1,2]上恒成立, x 求

的取值范围.

第三章

3.2

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[解析]

设 f(a)=x2· a-(x+2),

∴ax2-x-2>0 即 f(a)>0.当 x=0 时,-2>0 不成立.∴ x≠0 ∴x2>0, ∴函数 f(a)为增函数. ∴要使 f(a)>0 在 a∈[1,2]上恒成立, 只需[f(a)]min>0,即 f(1)>0, ∴x2-x-2>0,∴x<-1 或 x>2.

第三章

3.2

第2课时

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[点评]

本例中的不等式中含有两个字母 a 和 x, 并未指定

“未知数”是 x.不能因为平时习惯用 x 表示未知数就认定只能 是关于 x 的不等式而导致解决问题的复杂性.强调解题中思维 的迁移性和敏捷性及处理问题的灵活性.

第三章

3.2

第2课时

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实数 m 取何范围的值时,方程 x2+(m-3)x+m=0 的两 根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内.

第三章

3.2

第2课时

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[解析]

(1)设方程的两根为 x1,x2,则由题意可得:

?△=m2-10m+9≥0, ? ?x1+x2=3-m>0, ?x · =m>0. ? 1 x2 解得 m 的取值范围是(0,1].

第三章

3.2

第2课时

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(2)(由对应的函数的几何意义解之) 设 f(x)=x2+(m-3)x+m,由题意得, ?△=m2-10m+9≥0 ? ?f?0?=m>0 ? 3-m ?0< 2 <2 ? ?f?2?=3m-2>0. 2 解得 <m≤1. 3

第三章

3.2

第2课时

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合作探究 实数 m 取何值时,含参数的二次方程 ax2+bx+c=0 1° 有实根;无实根;有两个等实根. 2° 有两正根;两负根;一正一负根. 3° 有零根. 4° 有两个大于 n 的根;有两个小于 k 的根;一根大于 k 另 一根小于 k. 一般讨论方法通常考虑以下几个方面.①求根公式.②判 别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间端点处的函数值.

第三章

3.2

第2课时

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方法有三类:(一)判别式、韦达定理法;(二)判别式、对称 轴、构造函数法;(三)求根公式法. 以下几类是常见问题:(在 a≠0 条件下) (1)方程 ax2+bx+c=0 有实根, 有两不等实根, 无实根. 主 要考虑判别式 Δ.

第三章

3.2

第2课时

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?Δ≥0 ? 2 (2)方程 ax +bx+c=0 有两正根??x1+x2>0 ?x x >0 ? 1 2 ?a>0 ? ?- b >0 ? 2a ?f?0?>0 ? ?△≥0 ?a<0 ? ?- b >0 或? 2a ?f?0?<0 ? ?△≥0

?

.

第三章

3.2

第2课时

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?△≥0 ? 2 方程 ax +bx+c=0 有两负根??x1+x2<0 ?x x >0 ? 1 2 ? b ?- <0 ? 2a ??△≥0 ? ?af?0?<0 ?

.

第三章

3.2

第2课时

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方程 ax2+bx+c=0 有一正一负两实根
?△>0 ? ?? ?x1x2<0 ?

?a· f(0)<0.

(3)方程 ax2+bx+c=0 有零根?c=0.

第三章

3.2

第2课时

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*(4)方程 ax2+bx+c=0 有两个大于 n 的根(解法类似于有 两正根). ?△≥0 ? ???x1-n?+?x2-n?>0 ??x -n?· -n?>0 ?x2 ? 1 ?△≥0 ? ? b ??-2a>n ? ?af?n?>0 ?

.

方程 ax2+bx+c=0 有两个小于 k 的根(解法类似于有两负 根情形).

第三章

3.2

第2课时

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?△≥0 ? ???x1-k?+?x2-k?<0 ??x -k?· -k?>0 ?x2 ? 1

?△≥0 ? ? b ??-2a<k ? ?af?k?<0 ?

.

方程 ax2+bx+c=0 一根大于 k.另一根小于 k(解法类似于 一正一负根的情形).
?△>0 ? ?? ??x1-k??x2-k?<0 ?

?af(k)<0.

第三章

3.2

第2课时

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*(5)方程 ax2+bx+c=0 两根都在(m、n)内. ?△≥0 ? ?m<- b <n 2a ?? ?af?m?>0 ? ?af?n?>0

.

第三章

3.2

第2课时

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*(6)方程 ax2+bx+c=0 一根在(m、n)内,另一根在(n、p) 内 ?af?m?>0 ? ??af?n?<0 ?af?p?>0 ?



方程 ax2+bx+c=0 一根在(m,n)内,另一根在(p,q) ?af?m?>0 ? ?af?n?<0 内?? ?af?p?<0 ?af?q?>0 ?

.

第三章

3.2

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名师辨误作答

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[例 7]

若函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域为 R,则 k

的取值范围是________. [错解] 0<k≤1

由题意知 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立,
?k>0 ? ∴? 2 ?Δ=36k -4k?k+8?≤0 ?

,∴0<k≤1,

即 k 的取值范围是 0<k≤1.

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[辨析]

错解忽视了 k=0 时, 2-6kx+(k+8)≥0 也成立, kx

考虑问题不全面导致错误.
[正解] 0≤k≤1

由题意 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立.当 k=0 时满足,当 k≠0
?k>0 ? 时? ?△=36k2-4k?k+8?≤0 ?



∴0<k≤1,综上得 0≤k≤1.

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.设集合 S={x||x|<5},T={x|(x+7)(x-3)<0},则 S∩T =( ) A.{x|-7<x<-5} C.{x|-5<x<3} B.{x|3<x<5} D.{x|-7<x<5}

[答案] C

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[解析]

∵S={x|-5<x<5},T={x|-7<x<3},

∴S∩T={x|-5<x<3},故选 C.

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2.设函数 的解集是( )

?x2-4x+6,x≥0, ? f(x)=? ?x+6,x<0, ?

则不等式 f(x)>f(1)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

[答案] A

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[解析]

∵f(1)=3,∴当 x≥0 时,由 f(x)>f(1)得

x2-4x+6>3,∴x>3 或 x<1. 又 x≥0,∴x∈[0,1)∪(3,+∞). 当 x<0 时,由 f(x)>f(1)得 x+6>3,∴x>-3, ∴x∈(-3,0). 综上可得 x∈(-3,1)∪(3,+∞),故选 A.

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3.(2009· 辽宁)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递增, 则满足
?1? f(2x-1)<f?3?的 ? ?

x 的取值范围是(
?1 2? B.?3,3? ? ? ?1 2? D.?2,3? ? ?

)

?1 2? A.?3,3? ? ? ?1 2? C.?2,3? ? ?

[答案] A

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[解析]

1 1 1 由题意得|2x-1|<3?-3<2x-1<3

2 4 1 2 ? <2x< ? <x< ,∴选 A. 3 3 3 3

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二、填空题 4.已知函数 y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3 对任意实数 x,函数值恒大于零,则实数 m 的取值范围是__________.
[答案] 1≤m<19

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[解析]

①当 m2+4m-5=0 时,m=-5 或 m=1,

若 m=-5, 则函数化为 y=24x+3.对任意实数 x 不可能恒 大于 0. 若 m=1,则 y=3>0 恒成立.

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②当 m2+4m-5≠0 时,据题意应有,
?m2+4m-5>0 ? ? ?16?1-m?2-12?m2+4m-5?<0 ? ?m<-5或m>1 ? ∴? ?1<m<19 ?



,∴1<m<19.

综上可知,1≤m<19.

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[点评]

y=ax +bx+c>0

2

?a>0 ? 恒成立(a≠0)? ? ?Δ<0 ?

;y=ax2

?a<0 ? +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?

.

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5. 不等式[(a-1)x+1](x-1)<0 的解集为{x|x<1 或 x>2}, 则 a=________.
1 [答案] 2
[解析] 由题意 x=2 是方程(a-1)x+1=0 的根,且 a-1

1 <0,∴a=2.

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