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函数最值与导数


复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)为增函数 f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

二、函数的极值定义
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称为极值.

2.极值的判定
(1) (2) (3)
y

f ?( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ?( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ?( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。
y

y
?

? ?

?

?

?

x0 o x 左正右负极大

o x x0 左负右正极小

x0 o x 左右同号无极值

观察下列图形,你能找出函数的极值吗?
y

y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

f ( x1 ), f ( x3 ), f ( x5 ) 是 观察图象,我们发现, 函数y=f(x)的极小值, f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 ) 是函数 y=f(x)的 极大值。

? ? ? ? ?

求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f’(x) (3)求方程f’(x)=0的根 (4)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定 义域分成若干个开区间,并列成表格 ? (5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号, 来判断f(x)在这个根处取极值的情况

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大 等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数 的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

知识回顾
1.最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x ? (a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? [a, b] 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最大值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:

y

y=f(x)

a

x1

o

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

新授课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

※典型例题
解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x 2 x ? ? ?3,3?

例1、 3 求函数 f ( x ) ? 6 ? 12 x ? x 在??3,上的最大值与最小值 3? . 1、
令f ' ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2 1、求出所有导数为0的点; 又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3 所以函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3在 ? ?3, 3? 上的 最大值为22,最小值为 ? 10.
2、计算;

3、比较确定最值。

应用
1 3 例2、求函数 y ? x ? 4 x ? 4 在区间 [0, 3] 上的最大 3 值与最小值。 解: y? ? x 2 ? 4 令 y? ? 0,解得 x ? 2或x ? ?2 (舍去) 当x 变化时, y?, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ?( x ) - + 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ? ↗ 3
又由于

f (0) ? 4 , f (3) ? 1

4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 ? 3

应用 3 2 f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 9 x ? a, 例3:已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[?2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
2 解:(1) f ?( x) ? ?3 x ? 6 x ? 9 令f ?( x ) ? 0 即 ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0

解得:x ? ?1或x ? 3 (3, ??) 所以函数的单调减区间为 (??, ?1),

(2) f ?( x) ? ?3 x 2 ? 6 x ? 9
令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 3 (舍去)

当 x 变化时,y?, y 的变化情况如下表:

x ? 2 (?2, ?1) f ?( x ) -f ( x) 2 ? a


?1

0 极小值? 5 ? a

( ?1, 2) ?

2

↗ 22 ? a

?5 ? a 所以函数的最大值为 f (2) ? 22 ? a ,最小值为
? 22 ? a ? 20

即a ? ?2

最小值为 ?5 ? 2 ? ?7

※拓展提高
1、我们知道,如果在闭区间【a,b】上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么它必定有最大值 和最小值;那么把闭区间【a,b】换成开区间(a,b) 是否一定有最值呢? 如下图:

不一定
2、函数f(x)有一个极值点时,极值点必定是最值点。

3、 如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值点,
那么这个极值点必定是最值点。

有两个极值点时,函数有无最值情况不定。

※动手试试
? 1? 讨论函数( f x)=4x ? 4 x ? x在 ? 0, ?的最值情况。 ? 2?
3 2

补充练习: 1.下列说法正确的是( ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能 1 4 1 3 1 2 3.函数 y= x ? x ? x ,在 [-1,1] 上的最小值为( ) 4 3 2 13 (A)0 (B)-2 (C)-1 (D) 12

D

A

A

4 、 函数y=x3-3x2,在[-2,4]上的

最大值为(
A.-4 B.0

C

)
C.16 D.20

练习
1、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3 x ? a, x ?[?2,3] (1)求 f ( x ) 的极值 (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴总有交点

2 ? (1) f ( x ) ? ? 3 x ? 3 令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 1 解: 当 x变化时,f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x (?2, ?1) ? 1 ( ?1,1) 1 (1, 3) f ?( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ ?2 ? a ↗ 2 ? a ↘
所以函数的极大值为 2 ? a,极小值为 ?2 ? a

(2) 由(1)可知,函数在区间 [?2, 3] 上的极大值 为 2 ? a ,极小值为 ?2 ? a ,又因 f ( ?2) ? 2 ? a , f (3) ? ?18 ? a

所以函数的最大值为 2 ? a ,最小值为 ?18 ? a ?曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴总有交点
?2 ? a ? 0 ?? ? ?18 ? a ? 0 即 ? 2 ? a ? 18

选做题:

1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用 二次函数单调性处理

1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内的极值与最值

解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0,即2x-4=0, 得x=2 x 1 ( 1, 2) 2 ( 2 , 5) y, y 3

5

-

0

+
11

2

故函数f(x) 在区间[1,5]内的极小值为3, 最大值为11,最小值为2

应用

( 2009年天津(文)21T )

m ? 0.

1 3 2 2 ? ? f x ? ? x ? x ? m ? 1 x?x ? R ?, 其中 设函数 3

?

?

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率; (2)求函数 f ?x ? 的单调区间与极值。

1 ? m?, ?1 ? m,???内是 答:(1)斜率为1; (2) f ?x ?在?? ?,

?1 ? m,1 ? m?内是增函数. 减函数,在
f ? x ?极大 ? 2 3 1 m ? m2 ? 3 3

f ? x ?极小

2 3 1 2 ?? m ?m ? ; 3 3

小结:
求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数


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