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2015-2016学年高中数学 第1章 第12课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件 新人教A版必修4


目标导航 1.会用五点法画出 y=Asin(ωx+φ)的简图.(重点) 2.理解参数 A、ω、φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,能够 用图象变换画 y=Asin(ωx+φ)的简图.(重点难点) 3.知道函数 y=Asin(ωx+φ)中参数 A、ω、φ 的物理意义.(易混易 错点) 4.整体把握函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,并能解决有关问 题.(重点)

1 新知识· 预习探究 知识点一 A、ω、φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响 阅读教材 P49~P52 第一自然段,完成下列问题. (1)φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响

(2)ω 对函数 y=sin(ωx+φ)图象的影响

(3)A 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响

【练习 1】 (正确的打“√”,错误的打“×”) π (1)把函数 y=sinx 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 y= 6 ? π? sin?x+6?的图象.( × ) ? ? (2)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需把函数 y=sinx 上所有各 点的横坐标变为原来的 2 倍.( × ) 1 (3)将函数 y=sinx 图象上各点的纵坐标变为原来的 , 便得到函 3 数 y=3sinx 的图象.( × )

知识点二 用“变换法”作图 阅读教材 P52 第二自然段~P53,完成下列问题.

π 答案:①把函数 y=sinx 的图象向右平移 个单位长度,得到函 4 ? π? 数 y=sin?x- ?的图象; 4? ? ? π? ②把函数 y=sin?x-4?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ? ? ? π? 1 ,纵坐标不变,得函数 y=sin?2x-4?的图象. 2 ? ? ? π? 1 ? ? ③把函数 y=sin 2x-4 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 , 2 ? ? π? 1 ? 横坐标不变,得函数 y= sin?2x-4?的图象. 2 ? ?

【练习 2】 函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数 y= π? 1 ? ? sin 2x-4?的图象? 2 ? ?

知识点三 函数 y=Asin(ωx+φ)中,A、ω、φ 的物理意义 阅读教材 P54~P55,完成下列问题. 函数 y=Asin(ωx+φ)中(A>0,ω>0),A,ω,φ 的物理意义: (1)简谐运动的振幅就是 A; 2π (2)简谐运动的周期 T= ; ω 1 ω (3)简谐运动的频率 f= = ; T 2π (4)ωx+φ 称为相位; (5)x=0 时的相位 φ 称为初相.

【练习 3】 已知函数

?1 π? ? y=3sin 5x+7?, 则该函数的最小正周期、 ? ?

振幅、初相分别是__________,__________,__________.

π 答案:10π 3 7

2 新视点· 名师博客 1.函数 y=Asin(ωx+φ)的性质 2π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的周期可利用 T= 求得. |ω| (2)判断函数 y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性,关键是 看 它 能 否 通 过 诱 导 公 式 转 化 为 y = Asinωx(Aω≠0) 或 y = Acosωx(Aω≠0)的形式. (3)求 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调区间,一般将 ωx+φ 看成一个整体,代入 y=sinx 相关的单调区间对应的不等式,解之 即可. (4)讨论 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的对称性,一般将 ωx+φ π 看成一个整体, 令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)可得对称轴. 令 ωx+φ=kπ(k 2 ∈Z)解出 x 可得对称点的横坐标.

2.由图象或部分图象确定解析式 已知函数 y=Asin(ωx+φ),我们能准确地研究其图象与性质, 反过来,在已知它的图象或部分图象时,怎样确定它的解析式呢? 解决此类问题的关键在于确定参数 A, ω, φ.其基本方法是在观察图 象的基础上,利用待定系数法求解.若设所求解析式为 y=Asin(ωx +φ),则在观察图象的基础上可按以下规律来确定 A,ω,φ. (1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定. 2π (2)ω:因为 T= ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω.可通过已 ω 知曲线与 x 轴的交点来确定 T,即相邻的最高点与最低点之间的距 T 离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T. 2

? φ ? (3)φ: 从“五点法”中的第一个点?- ,0?(也叫初始点)作为突 ? ω ?

破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置 依据五点列表法原理,点的序号与式子关系如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; π “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx+φ= ; 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx+φ= ; 2 “第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=2π. 在用以上方法确定 φ 的值时, 还要注意题目中给出的 φ 的范围, 不在要求范围内的要通过周期性转化到要求的范围内. (4)A,ω,φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点,除使用初始点 ? φ ? ?- ,0?外,还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解 φ. ? ω ?

3 新课堂· 互动探究 考点一 用“五点法”画 y=Asin(ωx+φ)的简图 ? π? 例 1 已知函数 y=2sin?2x-3?,用“五点法”画出其简图. ? ?

分析:

解析:列表: π 2x- 3 x
? π? y=2sin?2x- ? 3? ?

π 3π π 2π 2 2 π 5π 2π 11π 7π 6 12 3 12 6 0 0 2 0 -2 0

描点,连线得函数

? π? ? y=2sin 2x-3?在一个周期内的图象. ? ?

再将这部分图象向左或向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度,就可得 ? π? 函数 y=2sin?2x- ?(x∈R)的图象. 3? ?

点评:(1)“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象,实质 是利用函数的三个零点及两个最值点画出该函数在一个周期内的 图象,若在一个定区间内作图象,则要首先确定该区间端点处的相 位,再确定两个端点之间的最值点、零点. (2)已知函数图象研究函数性质可借助于周期性进行, 先在一个 周期内确定相应性质,再加周期即可.

变式探究 1 作出函数

π π 3π 解析:按“五点法”,令 2x+ 分别取 0, ,π, ,2π,x 相 3 2 2 π π π 7π 5π 应取- , , , , 的值. 6 12 3 12 6 列表: π π π 7π 5π x - 6 12 3 12 6 π π 3π 0 π 2π 2x+ 3 2 2 ? π? 3 0 -3 0 3sin?2x+3? 0 ? ?

? π? ? y=3sin 2x+3?,x∈R ? ?

的简图.

描点画图,如图.

利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到 y ? π? =3sin?2x+3?,x∈R 的简图. ? ?

考点二 三角函数的图象变换 例 2 如何由函数 y=sinx 的图象得到函数 象. 分析:可先伸缩后平移(即先周期变换,后相位变换)也可先平 移后伸缩(即先相位变换后周期变换). 解析:解法一:
? π? y=3sin?2x- ?的图 3? ?

解法二:

点评:先进行相位变换再进行周期变换或者先进行周期变换, 再进行相位变换均可达到目的.

变式探究 2 将函数 =sinx 的图象?

? π? ? y=cos x-3?的图象怎样变换得到函数 ? ?

y

π 平移 个单位长度即可得到 y=sinx 的图象. 6

? ? π? π? 解析:y=cos?x-3?=sin?x+6?,故将 ? ? ? ?

? π? y=sin?x+6?的图象向右 ? ?

考点三 由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例3 函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图,求其一个函 数解析式.

分析:由题目可获取以下主要信息: ? π ? ?3π ? ?7π ? ? ? ? ? ? ①图象经过点 -8,0 , 8 ,0 , 8 ,0?;②图象最高点纵坐 ? ? ? ? ? ? 标为 2,最低点纵坐标为-2.解答本题可由最高、最低点确定 A,再 由周期确定 ω,然后由图象过三点确定 φ. 7π ? π? 解析:方法一:由图象知 A=2,T= -?- ?=π. 8 ? 8? ? π ? 2π ∴ω= =2.又过点?- ,0?, T ? 8 ? π 令- ×2+φ=0. 8 ? π? π 得 φ= ,∴y=2sin?2x+4?. 4 ? ?

方法二:由图象知 A=2, ?3π ? ?7π ? ? ? ? 且图过点 8 ,0 , 8 ,0?. ? ? ? ?

?3π ? 8 ω+φ=π 根据五点法作图原理,有? ?7πω+φ=2π ?8 ω=2 ? ? ? π? 解得? π ,∴y=2sin?2x+4?. ? ? φ= ? 4 ?



点评: (1)在由图象求解析式时, “第一个零点”的确定是关键, 一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升 的即为“第一零点”(x1,0).从左到右依次为第二、三、四、五点分 π 3 别有 ωx2+φ= ,ωx3+φ=π,ωx4+φ= π,ωx5+φ=2π. 2 2 (2)由图象确定系数 ω,φ 通常采用两种方法: ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零点的 横坐标)或第二,第三(或第四,第五)点横坐标,可以直接解出 ω 和 φ,或由方程(组)求出. ②代入点的坐标,通过解最简单的三角函数方程,再结合图象 确定 ω 和 φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的方程 求出.

变式探究 3 如图所示, 它是 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0), |φ|<π 的图象,由图中条件,写出该函数的解析式.

解析:由图知,A=5,周期 T=2×(5π-2π)=6π, 2π 1 所以 =6π,ω= , ω 3 1 π π π 由 × +φ= 得 φ= , 3 2 2 3 ?1 π? 所以函数的解析式为 y=5sin?3x+3?. ? ?

4 新思维· 随堂自测 π 1.把函数 y=sinx 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函 6 数是( ) ? ? π? π? A.y=sin?x+ ? B.y=sin?x- ? 6 6? ? ? ? ? ? π? π? C.y=sin?x+ ? D.y=sin?x- ? 3? 3? ? ?

答案:B

1 2.把函数 y=sinx 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的 (横 2 坐标不变)所得到的图象对应的函数是( ) 1 A.y= sinx B.y=2sinx 2 1 C.y=sin2x D.y=sin x 2

答案:A

3.如图是函数 y=Asin(ωx+φ)+k 在一个周期内的图象,那么 这个函数的一个解析式应为( ) ?x π? A.y=2sin?2+6?-1 ? ? ? π? B.y=2sin?2x+ ?-1 6? ? ? π? C.y=3sin?2x+ ?-1 3? ? ? π? D.y=3sin?2x+ ?-1 6? ?

1 π π 解析:振幅 A= [2-(-4)]=3,故 A、B 应被排除.又- 与 2 6 3 1? π π? π π π ? ? 的中点为 x= -6+3 = ,此时取得 ymax=2,而 2x+ = ,正好 2? 3 2 ? 12 π x= .∴选 C. 12 答案:C

4.要得到函数 ( )

? π? ? y=sin 2x-3?的图象,只要将 ? ?

y=sin2x 的图象

π π A.左移 个单位 B.右移 个单位 3 3 π π C.左移 个单位 D.右移 个单位 6 6

解析:因为

π 所以把 y=sin2x 的图象上所有点向右平移 个单位, 6 ? ? π? π? 就得到 y=sin2?x- ?=sin?2x- ?的图象. 6? 3? ? ? 答案:D

? ? π? π? y=sin?2x- ?=sin2?x- ?. 3? 6? ? ?

5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在 闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则 ω=________.

解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: T ? π? ? 2 ? π 2 2π 2 ? ? ? ? = - - - π = ,∴T= π.∵T= = π,∴ω=3. 2 ? 3? ? 3 ? 3 3 ω 3 答案:3

5 辨错解· 走出误区 易错点:在函数图象的变换过程中,易将平移方向或平移长度 弄错 π 【典例】 将函数 x 轴向右平移 个单 4 1 位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,求与最终 2 的图象对应的函数的解析式.
? π? ? y=sin 2x- ?的图象先沿 3? ?

π 【错解】 将原函数的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度后, 4 ? ? π π? 7π? 与其对应的函数的解析式为 y=sin?2x-3-4?=sin?2x-12?,再将所 ? ? ? ? 1 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,则与其对应的函数的解 2 ? 7π? 析式为 y=sin?4x- ?. 12? ? 【错因分析】 错解产生的根本原因是没有抓住变换的对 象.在进行平移变换时,错误地把 2x 看成了变换对象.

π 【正解】 将原函数的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度后, 4 ? ? π π? 5π? 与其对应的函数的解析式为 y=sin2?x-6-4?=sin?2x- 6 ?,再将所 ? ? ? ? 1 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,则与其对应的函数的解 2 ? 5π? 析式为 y=sin?4x- ?. 6? ? 【反思】 由 y=sinx 的图象变换为 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图 象时, 若先由 y=sinx 的图象变换为 y=sinωx 的图象, 再由 y=sinωx |φ| 的图象变换为 y=sin(ωx+φ)的图象,则左右平移 个单位长度,很 ω 多人都直接左右平移|φ|个单位长度,从而导致错误.



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