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山东省菏泽市2016届高三上学期期中考试数学试题


2015 年 11 月期中考试

高三数学试题(B)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 2.将第Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔涂到答题卡上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答到答题纸的指定位置上. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x 2 ? 2x ? 0} ,则 CU ( A ? B) ? ( A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ? x | x ? 1? C. ? x | x ? 2? ) D. 2 x ? 7 ) D.? x | 0 ? x ? 2?

2.设函数 f ? x ? ? 2x ? 3, g ( x ? 2) ? f ? x ? ,则 g ? x ? 的表达式是( A. 2 x ? 1 B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 ) C.c>b>a ) C.3 ) C. ? )

3.设实数 a=log32,b=log0.84,c=20.3,则( A.a>c>b B.b>c>a

D.c>a>b

1 4.函数 f(x)=log2x- x+5 的零点个数为( 2 A.0 B.1

D.2

5.若 0 ? ? ? ? , tan(? ? ? ) ? A. ?

2 5


3 ,则 cos? =( 4 4 B. 5

4 5

D.

3 5

6.已知函数 y=ln

ex-e x - 的图象大致为( ex+e x

7.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次(n ? N * )

涨停(每次上涨 10%), 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%), 则该股民这支股票的盈亏情况 (不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 8.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 则正数 ? 的值是( A. ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

?
3

), x ? R ,又 f (m) ? ?2, f (n) ? 0 ,且 | m ? n | 的最小值为

3? , 4

) B.

2 3

4 3

C.

1 3

D.

3 2


9. 在定义域为 R 的四个函数: y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sin x 中, 奇函数的个数是 ( A.4 B.3 C.2 D.1

10.为了得到函数 y =3cos2x 的图象,只需把函数 y =3sin(2x +

?
6

)的图象上所有的点(



A.向右平移 C.向右平移

?
6

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向左平移

?
6

个单位长度 个单位长度

?
3

?
3

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 ? ?1+x ,x>2, 11.已知函数 f(x-2)=? -x 则 f (1)=________. ?2 ,x≤2, ?

12.函数 f ( x) ? sin 2 (2 x ? ) 的最小正周期是________.

?

4

13.已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2.则 m 的取值范围是 ________. 2x-a 14.已知函数 g(x)= x 为其定义域上的奇函数,则 a=________. 2 +a 15.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数:①f(x)=sin xcos x;②f(x)= 2sin 2x+1;③ f ( x) ? 2sin( x ? ④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x . 其中是“同簇函数”的为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (满分 12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+2(a,b∈R) (1)若此二次函数 f(x)的最小值为 f (-1)=1,求 f(x)的解析式,并写出其单调区间;

?
4

);

(2)在(1)的条件下,f(x)>x+m 在区间[1,3]上恒成立,试求 m 的范围.

17. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? b ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的图像经过点(4,1)和(1,- 1) (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)令 g ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? f ( x), 求 g ( x) 的最小值及取最小值时 x 的值.

18.(满分 12 分)已知函数 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x, x ? R (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调增区间; (3)求 x 取何时,函数取得最大值为多少.

19. (满分 12 分)已知函数 f(x)=2a· 4x-2x-1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x∈[-3,0]的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有解,求 a 的取值范围.

20. (满分 13 分)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 6ln x ? 15 ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在 x=1 和 x=6 处的切线都与直线 y ? ? x ? 3 垂直. (1)确定 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

1 2

21. (满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 1( x ? R) . (1)若 f ( x) 在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求函数 f ( x) 在闭区间[0,2]的最小值.

2015 年 11 月高三期中考试数学答案
一、选择题:1、A 二、填空题: 三、解答题:
16、满分 12 分 解:(1)由题意有 f(-1)=a-b+2=1, 且- =-1,∴a=1,b=2. 2a ∴f(x)=x +2x+2,单调减区间为(-∞,-1),单调增区间为(-1,+∞). (2)f(x)>x+m 在区间[1,3]上恒成立, 即为 x +x+2>m 在[1,3]上恒成立. 设 g(x)=x +x+2,x∈[1,3], 则 g(x)在[1,3]上递增,∴g(x)min=g(1)=4. ∴m<4,即 m 的取值范围为(-∞,4). 17、满分 12 分 解: (1)由已知,得 ?
2 2 2

2、B 3、D 4、D 5、C π 13、[1,2] 14、± 1 2

6、C

7、B 8、A 9、C 10、B

11、10 12、

15、③ ④

b

?log a 4 ? b ? 1 , (a ? 0 且 a ? 1) , log 1 ? b ? ? 1 ? a
故 f ( x) ? log2 x ?1

解得 ?

?a ? 2 . ?b ? ?1

( x ? 0)

(2)由于 g ( x) ? 2 f ( x ?1) ? f ( x) ? 2?log2 ( x ?1) ?1? ? (log 2 x ?1)

即 g ( x) ? log 2

( x ? 1)2 1 ? 1 ? log 2 ( x ? ? 2) ? 1 ( x ? 0) x x
1 ? 2) ? 1 ? log 2 (2 ? 2) ? 1 ? 1. x

故 g ( x) ? log 2 ( x ?

于是,当 x ? 1 时, g ( x) 取得最小值 1. 18、 (满分 12 分) 解:将 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x, x ? R

? 整理得 y ? sin 2x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 . 4
(Ⅰ)函数的最小正周期 T ?
2? ?? ; 2

(Ⅱ) 由函数为增函数, 则 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,k ? Z .则 k? ?

3? ? ? x ? k? ? ,k ? Z . 8 8

那么函数的单调递增区间是 [k? ? (Ⅲ) 令2x ?

3? ? , k? ? ] , k ? Z . 8 8

?

=2k? ? ,解得 x=k? ? , k ? Z , 4 2 8

?

?

此时函数取到最大值为 2 +2 . 19、 (满分 12 分) 解:(1)当 a=1 时,f(x)=2·4 -2 -1=2(2 ) -2 -1,
x x x 2 x

?1 ? x 令 t=2 ,x∈[-3,0],则 t∈? ,1?. ?8 ? ? 1?2 9 ?1 ? ? 9 ? 2 故 y=2t -t-1=2?t- ? - ,t∈? ,1?,故值域为?- ,0? ? 4? 8 ?8 ? ? 8 ?
(2)关于 x 的方程 2a(2 ) -2 -1=0 有解,等价于方程 2ax -x-1=0 在(0,+∞)上有解. 解法一:记 g(x)=2ax -x-1, 当 a=0 时,解为 x=-1<0,不可. 1 当 a<0 时,开口向下,对称轴 x= <0,过点(0,-1),也不可. 4a 1 当 a>0 时,开口向上,对称轴 x= >0,过点(0,-1),必有一个根为正, 4a 所以,a>0. 解法二:方程 2ax -x-1=0 可化为 a=
2 2

x 2

x

2

x+1 1?1 1?2 1 2 = ? + ? - , 2x 2?x 2? 8

1?1 1?2 1 ∴a 的范围即为函数 g(x)= ? + ? - 在(0,+∞)上的值域 2?x 2? 8 所以,a>0.

20、 (满分 13 分) 解: (I)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? 6ln x ? 15 所以 f '( x) ? 2ax ? b ?

6 x

由题意得, f '(1) ? 2, f '(6) ? 2 得 ? 故a ?

?2a ? b ? 6 ? 2 ?12a ? b ? 1 ? 2

1 ,b ? 5. 2

1 2 x ? 5 x ? 6ln x ? 15 (x>0), 2 6 ? x ? 2 ?? x ? 3? f ′(x)=x-5+ = . x x
(II)由(1)知, f ( x) ? 令 f ′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f ′(x)>0,故 f(x)在(0, 2),(3, ?? )上为增函数; 当 2<x<3 时,f ′(x)<0,故 f(x)在(2, 3)上为减函数. 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)=7+6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)= 21、 (满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ,
2

9 +6ln 3. 2

因为 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,所以 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? 2 . (Ⅱ) f ?( x) ? 6 x( x ? a) ,
2 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 6 x ? 0 ,则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为增函数;

? 0 得 x ? a或 x ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 6 x( x ? a) ? 0 得 x ? a或 x ? 0 . (3)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 6 x( x ? a)
即当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ??? ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, a ? 和 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??,0 ? 和 ? a, ??? . (Ⅲ) (1)当 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 ; (2)当 0 ? a ? 2 时,可知, f ( x ) 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, 2? 上单调递增,
3 所以 f ( x ) 的最小值为 f (a) ? 1 ? a ;

(3)当 a ? 2 时,可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (2) ? 17 ? 12a .

即当 a ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 ; 当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的最小值为 f (a) ? 1 ? a3 ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? 17 ? 12a .


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