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2013年北京市各区高三一模试题汇编--解析几何


2013 年北京市各区高三一模试题汇编--解析几何
一填空选择
(2013 东城一模文科) “ a ? 1 ”是“直线 x ? 2 y ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 (2) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(2013 东城一模文科) (6)已知点 A(2,1) ,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,若抛物线上存在一 点 P ,使得 PA ? PF 最小,则 P 点的坐标为

(A) (2,1)

(B) (1,1)

(C) ( ,1)

1 2

(D) ( ,1)

1 4

? x ? 2 ? 0, ? (2013 东城一模文科) (2013 东城一模文科) (11) 不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 D , ?x ? y ? 0 ?
则区域 D 的面积为, z ? x ? y 的最大值为. (2013 东城一模理科) (3)已知圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,那么该圆圆心到直线

? x ? t ? 3, ( t 为参数)的距离为 ? ? y ? t ?1
(A)

2 6 3 2 3 6 (B) (C) (D) 2 2 2 2

x2 y 2 ( 2013 东 城 一 模 理 科 ) 6 ) 已 知 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 分 别 是 双 曲 线 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a b
(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , 双 曲 线 C1 和 圆 C2 : x2 ? y 2 ? c2 的 一 个 交 点 为 P , 且

2?PF1F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线 C1 的离心率为
(A)

5 2

(B) 3

(C) 2

(D) 3 ? 1

? x ? 1 ? 0, ? (2013 西城一模文科)6.设实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 y ? 4 x 的最大值是 ? x ? y ? 2 ? 0, ?

(A) ?4

(B) ?

1 2

(C) 4

(D) 7

(2013 西城一模文科)11.抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是______;该抛物线的焦点为 F , 点 M ( x0 , y0 ) 在此抛物线上,且 MF ?

5 ,则 x0 ? ______. 2

(2013 西城一模理科)13.在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称. 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.

? x ? 1, ? (2013 海淀一模文科理科)5. 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域, ?kx ? y ? 0 ?
则 k 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

(2013 海淀一模文科)6. 命题 p : ? ? ? R , sin(π ? ? ) ? cos? ; 命题 q : ?m ? 0, 双曲线 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题
2 (2013 海淀一模文科)8. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2 . m2 m2

准线上的动点,当 ?FPM 为等边三角形时,其面积为 A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3

2 (2013 海淀一模理科)7. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又

点 A( ?1,0) ,则

| PF | 1 的最小值是 A. | PA | 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 2 3

(2013 丰台一模文科)5.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合, 2 a 2

则该椭圆的离心率是(A)

3 2 3 2 6 (B) (C) (D) 2 3 2 3
2 2

(2013 丰台一模文科)11.直线 x- 3 y+2=0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为_________。

?x ? y ? 1 ? (2013 丰台一模文科)12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的最大值 ?x ? y ? 1 ?

为________

?x ? y ? 1 ? (2013 丰台一模理科)4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 e 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?
(A) e3 (B) e2 (C) 1 (D) e ?4

(2013 丰台一模理科)8.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线

y ? x ? 2 2 ? 1 总有公共点,则圆 C 的面积
(A) 有最大值 8 ? (C) 有最小值 3 ? (B) 有最小值 2 ? (D) 有最小值 4 ?

(2013 丰台一模理科)9.在平面直角坐标系中,已知直线 C 1 : ?

?x ? t ( t 是参数)被圆 ? y ? 1? t

C2 :?

? x ? cos ? 截得的弦长为; (? 是参数) ? y ? sin ?

(2013 年石景山一模文科)5. a∈R, 设 则“a=l”是“直线 l1: ax+2y=0 与直线 l2: (a+1) x+ y+4=0 平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条

(2013 年石景山一模文科)12.设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若∠AQB=90o,则直线 l 的方程为。
2 (2013 年石景山一模理科)7.对于直线 l : y ? k ( x ? 1) 与抛物线 C : y ? 4x , k ? ?1 是直线

l 与抛物线 C 有唯一交点的()条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
2

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要

(2013 年大兴一模文科)(8)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所 示的旋转体, 在此旋转体内水平放入一个正方体, 使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面 平齐,则此正方体的棱长是 (A)1 (B)2 (C) 2 2 (D)

(2013 年大兴一模文科理科)(10)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 是

3 , 实轴长为 4, 则双曲线的方程 2

(2013 年大兴一模理科) (4)双曲线 x2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于(A) (B)

1 4

1 (C) 2 (D) 4 2

ì x = 4 + 2cos q ? (2013 年大兴一模理科)(10)已知直线 y = kx 与曲线 ? (q为参数) 有且仅有一 í ? y = 2sin q ? ?
个公共点,则 k = (2013 年延庆一模文科)5.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点 (3,5) 的最 长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为 A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6

(2013 年延庆一模文科)6.已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则 “ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

(2013 年延庆一模文科)13.设

?x ? y ? 1 ? 满足约束条件 ? x ? 2 y ? ?2 ?3 x ? 2 y ? 3 ?

,若 z ? x ? 4 y ,则 z
2 2

的取值范围是.

x2 y2 (2013 年延庆一模理科)5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点 a b 2 与抛物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为
A. y ? ?

3 3 3 x C. y ? ? x D. y ? ? 3 x x B. y ? ? 3 2 2

(2013 年门头沟一模文科) 点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆上的一点, 8. 过焦点 F2 作 ?F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M 点,则点 M 的轨迹是 (A)抛物线 (C)双曲线 (B)椭圆 (D)圆
F1 O F2

y
Q P M

x

(2013 年门头沟一模理科) 已知 P ( x, y ) 是中心在原点, 6. 焦距为 10 的双曲线上一点, 且

y x

3 3 的取值范围为 ( ? , ) ,则该双曲线方程是 4 4

(A)

x2 9

?

y2 16 y2 9

?1

(B)

y2 9

?

x2 16

?1

(C)

x2 16

?

?1

(D)

y2 16

?

x2 9

?1

(2013 年房山一模文科)11.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1相交于 A,B 两点,则线 段 AB 的长等于 .

? x ? y ? 5 ? 0, ? (2013 年房山一模文科)12.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形, ?0 ? x ? 2 ?
则 k 的取值范是. (2013 年房山一模理科) 4.在极坐标系中, ? ? 2sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 圆 的距离为 A.

5 5

B. 2 5 5

C. 3 5 5

D. 4 5 5

(2013 年房山一模理科)10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 a 2 b2

(2,3) ,则它的渐近线方程为.

二解答题
(2013 东城一模文科) (19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,且 2 a b 2

过点 (2, 2) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M , N , P ,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1 , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证: (2013 东城一模理科) (19) (本小题共 13 分)

1 1 ? 为定值. | MN | | PQ |

已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 ,F2 , 离心率为 , F1 的 过 2 2 a b

直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到 直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值.

(2013 西城一模文科)19. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 4 3

AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.
(Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(Ⅱ)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面 积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说明理由

(2013 西城一模理科)19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两 a 2 b2
?

点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.记△

GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

(2013 年海淀一模文科)19. (本小题满分 14 分)

已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 的圆心,离心率为

x2 y2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M a b 3

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , ,且 AG ? BH ,求 k 的值. H 两点(其中点 G 在线段 AB 上)

(2013 丰台一模文科)19.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且 a 2 b2

过点 P(2, 2 ).直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M(

1 ,0 ) ,求直线 l 的方程. 2

(2013 年海淀一模理科)19.(本小题满分 14 分) 已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 ).若椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶 a 2 b2

点为圆 M 的圆心,离心率为

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交 于 G , H 两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

(2013 丰台一模理科) 已知以原点为对称中心、 19. F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2, 2 ), 直线 l :y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值范 围;若不存在,请说明理由。

(2013 年石景山一模文科)19. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,左焦点 F1 2 2 a b

到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离等于长半轴长. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线 与 x 轴相交于点 P(m,O) ,求实数 m 的取值范围。

(2013 年石景山一模理科)19. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴负 a 2 b2

半轴上有一点 B ,满足 BF ? F F2 ,且 AB ? AF2 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ) (Ⅱ) 在 的条件下, 过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点, 线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,0) ,求实数 m 的取值范围. A y

????

???? ?

B

F1 O

F2

x

(2013 年大兴一模文科)19.(本小题满分 14 分) 已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与 椭圆的交点为 D。求线段 MN 长度的最小值。

1 4

(2013 年大兴一模理科)19.(本小题满分 14 分) 已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与 椭圆的交点为 D。求证,A、D、N 三点共线。

1 4

(2013 年延庆一模文科)19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

1 . 2

过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8 .过定点 M (0,3) 的直线 l1 与椭圆

C 交于 G, H 两点(点 G 在点 M , H 之间).
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG 、 PH 为邻边 的平行四边形为菱形.如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

(2013 年延庆一模理科)19. (本小题满分 14 分) 已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作直线 l : x ? 4 的 垂线,垂足依次为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相 交于一定点 N ?若交于定点 N ,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

1 . 2

(2013 年门头沟一模文科)19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,且离心率为 (I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 P (0, 的直线与该椭圆交于 A、 两点, 为坐标原点, AP ? 2PB , ?AB 1) B O 若 求 O 的面积.

2 . 2

(2013 年门头沟一模理科)19. 2 (本小题满分 13 分) , 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍. 4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; , (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与 l 交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作 l 的垂线, 6 垂足为 M , N ,问:是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,说明理由. (2013 年房山一模文科)19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 和点 P(4,0) ,垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,连结 4 3

PB 交椭圆 C 于另一点 E .
(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线 AE 与 x 轴相交于定点.

(2013 年房山一模理科)19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F (1,0) ,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点, 直线 AO,BO 分别与直线 m : x ? ?2 相交于 M ,N 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.


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