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10.8独立事件与二项分布及其应用


第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.8 独立事件与二项分布 及其应用

1.条件概率及其性质 (1)一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称________为事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率. P(B|A)读作___________________. 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(B|A)= ____________=____________. (2)条件概率具有的性质: ①________________; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=________________.

2.相互独立事件 (1)对于事件 A, B, 若事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率, 则称_________________. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=____________, P(AB)=________________. (3)若 A 与 B 相互独立,则_________,__________,__________也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则__________. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种 试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生、要么不发生,且任何一次试验中事件发生的概 率都是一样的.在相同条件下重复做的 n 次试验称为________________,若 Ai(i=1,2,?, n)是第 i 次试验的结果,则 P(A1A2?An)=________________. (2)在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生 k 次的概率为(每次试验中事件 A 发生的概率为 p)_______________,事件 A 发生的次数是一个随机变量 X,其分布列为________________(k= 0,1,2,?,n),此时称随机变量 X 服从___________,记为__________.

自查自纠
P(AB) 1.(1)P(B|A)= A 发生的条件下 B 发生的概率 P(A) n(AB) P(AB) n(A) P(A) (2)①0≤P(B|A)≤1 ②P(B|A)+P(C|A) 2.(1)事件 A 与事件 B 相互独立 (2)P(B) P(A)P(B) (3) A 与 B

A与B A与B
-k

(4)A,B 相互独立
-k

3.(1)n 次独立重复试验 P(A1)P(A2)?P(An)
k n (2)Ck np (1-p) k n P(X=k)=Ck np (1-p)

二项分布 X~B(n,p)

将一枚硬币连续抛掷 5 次,正面向上的次数为 X,则( ) B.X~B(0.5,5) D.X~B(5,1) A.X~B(5,0.5) C.X~B(2,0.5)

解:由二项分布的概念知 A 正确,故选 A.

1 某人投篮命中率为 ,该人现投篮 3 次,各次投篮互 2 不影响,则他恰好投中 2 次的概率为( 1 1 3 A. B. C. 8 4 8 ) 5 D. 8

2 1 1 3 2? ? 解:所求概率为 C3 2 · = .故选 C. ? ? 2 8

福州模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采 (2015· 取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局 2 比赛获胜的概率均为 , 则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( ) 3 8 64 4 8 A. B. C. D. 27 81 9 9

解:第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,所 2 2 1 2 8 2? ? 以所求的概率为 P=C3 3 × × = .故选 A. ? ? 3 3 27

( 2015·江苏省淮安市高三调研 ) 已知某高三学生在 2015 年的高考数学考试中, A 和 B 两道解答题同时做对的概 1 5 率为 ,在 A 题做对的情况下,B 题也做对的概率为 ,则 A 3 9 题做对的概率为____________.

解:做对 A 题记为事件 E,做对 B 题记为事件 F,根据 P(EF) 5 1 3 题意知 P(EF)= ,又 P(F|E)= = ,则 P(E)= ,即 3 5 P(E) 9 3 3 A 题做对的概率为 .故填 . 5 5

(2015·广东)已知随机变量 X 服从二 项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20,则 p =____________.

解:依题意可得 E(X)=np=30 且 D(X)= 1 1 np(1-p)=20,解得 p= ,故填 . 3 3

类型一

条件概率

甲袋中有 2 个白球和 4 个红球,乙袋中有 1 个白球和 2 个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中 随机地取出一球,则取出的球是白球的概率是________.
解:设 A 表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”,B 表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”. 2 4 2 1 ∴P(A)= ,P( A )= ,P(B|A)= ,P(B| A )= . 6 6 4 4 P(B)=P(AB)+P( A B)=P(A)P(B|A)+P( A )P(B| A ) 2 2 4 1 1 1 = × + × = .故填 . 6 4 6 4 3 3

【点拨】①由于不知从甲袋中取出又 放入乙袋中的球是白球还是红球,为此, 分别计算从甲袋中取出的是白球或红球的 条件概率.②在计算 P(B)=P(A)P(B|A)+ P( A )P(B| A )时,易忘掉 P( A )P(B| A ), 要注意分类的全面性.

(2015·福建模拟)从 1,2,3,4,5 中 任取 2 个不同的数, 事件 A={取到的 2 个数之和为偶 数},事件 B={取到的 2 个数均为偶数},则 P(B|A) 等于( 1 A. 8 ) 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2

2 2 C2 + C 4 2 C 1 3 2 2 解:P(A)= = = ,P(AB)= 2 = ,由 C2 10 5 C5 10 5 P(AB) 1 条件概率计算公式,得 P(B|A)= = .故选 B. P(A) 4

类型二

相互独立事件同时发生的概率

甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标 的概率都是 0.8,且两人击中与否相互之间没有影响,计算: (1)两人都击中目标的概率; (2)两人中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率.

解: 记“甲射击一次, 击中目标”为事件 A, “乙射击一次, 击中目标”为事件 B.则“两人都击中目标”是事件 AB;“恰 有 1 人击中目标”是 A B 或 A B;“至少有 1 人击中目标”是 AB 或 A B 或 A B.

(1)显然, “两人各射击一次,都击中目标”就是事件 AB, 又由于事件 A 与 B 相互独立, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.8=0.64. (2)“ 两人各射击一次,恰有一次击中目标 ” 包括两种情 况:一种是甲击中,乙未击中(即 A B ),另一种是甲未击中, 乙击中(即 A B). 根据题意, 这两种情况在各射击一次时不可能 同时发生,即事件 A B 与 A B 是互斥的,所以所求概率为 P2=P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8 =0.16+0.16=0.32.

(3)解法一:“两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概 率为 P3=P(AB)+[P(A B )+P( A B)]=0.64+0.32=0.96. 解法二:“两人都未击中目标”的概率是 P( A B )=P( A )P( B )=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04. ∴至少有一人击中目标的概率为 P3=1-P( A B )=1-0.04 =0.96.

【点拨】①求(1)用独立事件乘法公式计算相互独立事件同 时发生的概率;②第(3)问“至少一人击中目标”的对立事件是 “两人都未击中”,其概率计算简单些,故通常用解法二.

(2015·江西十校联考)甲、乙、丙三人参加某 2 次招聘会,假设甲能被聘用的概率是 ,甲、 丙两人同时不 5 6 3 能被聘用的概率是 , 乙、 丙两人同时能被聘用的概率是 , 25 10 且三人各自能否被聘用相互独立. (1)求乙、丙两人各自被聘用的概率; (2)设 ξ 为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘 用的人数之差的绝对值,求 ξ 的分布列与均值(数学期望).

解:(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为 P1,P2,则甲、丙 2 6 3 两人同时不能被聘用的概率是?1-5?· (1-P2)= , 解得 P2= , 乙、 25 5 ? ? 3 1 丙两人同时能被聘用的概率为 P1P2= ,∴P1= ,因此乙、丙 两人 10 2 1 3 各自被聘用的概率分别为 , . 2 5 (2)ξ 的可能取值为 1,3, 2? ? 1? ? 3? 2 1 3 6 ? P(ξ=3)= 1-5 × 1-2 × 1-5 + × × = ? ? ? ? ? ? 5 2 5 25,则 P(ξ=1) 19 =1-P(ξ=3)= . 25 因此随机变量 ξ 的分布列如表所示 3 6 P 25 19 6 37 所以随机变量 ξ 的均值 E(ξ)=1× +3× = . 25 25 25 ξ 1 19 25

类型三

独立重复试验与二项分布

甲、乙两队参加知识竞赛,每队 3 人,每人回答一 个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人 2 2 2 1 答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各 3 3 3 2 人回答正确与否相互之间没有影响.用 X 表示甲队的总得分. (1)求随机变量 X 的分布列和均值; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件, 用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求 P(AB).

解:(1)解法一:由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,3,且 2?3 1 2?2 2 0 1 2 ? ? P(X=0)=C3× 1-3 = ,P(X=1)=C3× × 1-3 = , 3 ? ? ? 27 ? 9 3 2?2 ? 2? 4 8 2 3 ?2? ? P(X=2)=C3× 3 × 1-3 = ,P(X=3)=C3× 3 = . ? ? ? ? 9 ? ? 27 所以 X 的分布列为 2 4 P 9 1 2 4 8 X 的均值 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 27 9 9 27 2 解法二:根据题设可知 X~B?3,3?, ? ? X 0 1 27 1 2 9 3 8 27

因此 X 的分布列为 2?k ? 2?3-k 2k k k ? P(X=k)=C3× 3 × 1-3 ? ? ? ? =C3×33,k=0,1,2,3. 2 2 因为 X~B?3,3?,所以 E(X)=3× =2. 3 ? ?

(2)用 C 表示“甲队得 2 分乙队得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲队得 3 分乙队得 0 分”这一事件,所以 AB=C+D, 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 10 且 C,D 互斥,P(C)= ×( × × + × × + × × )= . 9 3 3 2 3 3 2 3 3 2 81 8 ?1 1 1? 4 P(D)= × 3×3×2 = , 27 ? ? 243 由互斥事件的概率公式得 10 4 34 P(AB)=P(C)+P(D)= + = . 81 243 243
【点拨】 判断一个随机变量是否服从二项分布, 要看两点: ①试验是否为 n 次独立重复试验;②随机变量是否为这 n 次独 立重复试验中某事件发生的次数.

(2015·湖南)某商场举行有奖促销活动,顾 客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙 箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中,若都是红 球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有 红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中 获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

解:(1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球},A2={从乙箱 中摸出的 1 个球是红球},B1={顾客抽奖 1 次获一等奖},B2={顾客抽 奖 1 次获二等奖},C={顾客抽奖 1 次能获奖}. 由题意,A1 与 A2 相互独立,A1 A 2 与 A 1A2 互斥,B1 与 B2 互斥,且 B1=A1A2,B2=A1 A 2+ A 1A2,C=B1+B2. 4 2 5 1 ∵P(A1)= = ,P(A2)= = , 10 5 10 2 2 1 1 ∴P(B1)=P (A1A2)=P (A1)P (A2)= × = , 5 2 5 P(B2)=P(A1 A 2+ A 1A2)=P(A1 A 2)+P( A 1A2) =P(A1)P( A 2)+P( A 1)P(A2) =P(A1)(1- P (A2))+(1- P(A1)) P (A2) 2 ? 1? ? 2? 1 1 = × 1-2 + 1-5 × = , 5 ? ? ? ? 2 2

1 1 7 故所求概率为 P(C)= P (B1+B2)=P(B1)+ P(B2)= + = . 5 2 10

(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验, 由(1)知, 顾客抽 1 1 奖 1 次获一等奖的概率为 ,所以 X~B?3,5?.于是 5 ? ? 64 0?1?0?4?3 P(X=0)=C3 5 5 = , ? ? ? ? 125 48 1?1?1?4?2 P(X=1)=C3 5 5 = , ? ? ? ? 125 ?1?2?4?1= 12 , P(X=2)=C2 3 5 ? ? ?5? 125 1 3?1?3?4?0 P(X=3)=C3 5 5 = . ? ? ? ? 125 故 X 的分布列为 1 48 P 125 1 3 X 的数学期望为 EX=3× = . 5 5 X 0 64 125 2 12 125 3 1 125

类型四

事件独立、对立、互斥的综合运用
(2013·陕西)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1

至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手,各位 观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的 歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众 乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名 歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分 布列和数学期望.

解:(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表 C1 2 2 示事件“观众乙选中 3 号歌手”,则 P(A)= 2= ,P(B) C3 3 C2 3 4 = 3= . C5 5 ∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概 率为 P(A B )=P(A)· P( B ) 2 2 4 =P(A)· [1-P(B)]= × = . 3 5 15 1 3 C · C ?或P(A B )= 2 4= 4 ? ? ? 2 3 15 C · C ? 3 5 ?

C2 4 3 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”,则 P(C)= 3= . C5 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 1 2 2 4 P(X=0)=P( A B C )= × × = , 3 5 5 75 P(X=1)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 = × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 = × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P(X=3)=P(ABC)= × × = , 3 5 5 75 ∴X 的分布列为 1 2 3 20 33 18 P 75 75 75 4 20 33 18 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 75 75 75 75 75 15 X 0 4 75

【点拨】解第(1)问根据古典概型及相互独立事件概率乘法公 式作答即可,注意限制条件.第(2)问则属于独立、互斥等事件的 综合应用,这一类型的问题一直是高考考查的热点题型,一般采 取“大化小”的解决策略,即将“大”的分布列或期望问题化为 “小”的随机变量概率问题;再将“大”的概率问题化为“小” 的独立事件概率问题,一般是 P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)=1- P( A ),P(AB)=P(A)P(B)这三个公式的联用.注意分清每一个事 件是由哪几个基本事件构成的,做到不重不漏.

(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如 图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C, D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一 次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 1 1 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ; 2 3 1 对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概 5 3 率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次, 小明的两次回球互不影 5 响.求:

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

解:(1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 1 1 1 1 则 P(A3)= ,P(A1)= ,P(A0)=1- - = ; 2 3 2 3 6 记 Bi 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 3 1 3 1 则 P(B3)= ,P(B1)= ,P(B0)=1- - = . 5 5 5 5 5 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性, P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 1 1 1 1 1 3 1 1 3 = × + × + × + × = , 2 5 3 5 6 5 6 5 10 3 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为 . 10

(2)由题意,随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6, 1 1 1 由事件的独立性和互斥性,得 P(ξ=0)=P(A0B0)= × = , 6 5 30 1 1 1 3 1 P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)= × + × = , 3 5 6 5 6 1 3 1 P(ξ=2)=P(A1B1)= × = , 3 5 5 1 1 1 1 2 P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)= × + × = , 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)= × + × = , 2 5 3 5 30 1 1 1 P(ξ=6)=P(A3B3)= × = . 2 5 10 可得随机变量 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 30 1 1 6 2 1 5 3 2 15 4 11 30 6 1 10

所以数学期望 1 1 1 2 11 1 91 Eξ=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . 30 6 5 15 30 10 30

类型五

电路中的独立互斥问题

如图,用 A,B,C,D 四类不同的元件连接成系统 N, 当元件 A 正常工作且元件 B,C 都正常工作或当元件 A 正常工作且元 件 D 正常工作时,

系统 N 正常工作.已知元件 A,B,C,D 正常工作的概率依次为 2 3 3 4 , , , .求: 3 4 4 5 (1)元件 A 不正常工作的概率; (2)元件 A,B,C 都正常工作的概率; (3)系统 N 正常工作的概率.

2 解:(1)元件 A 正常工作的概率 P(A)= ,不正常工作的概率 P( A ) 3 1 =1-P(A)= . 3 (2)元件 A,B,C 都正常工作的概率 2 3 3 3 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = . 3 4 4 8 (3)系统 N 正常工作可分为 A,B,C 都正常工作和 A,D 正常工作 3 但 B, C 不都正常工作两种情况, 前者的概率为 , 后者的概率为 P(A B CD) 8 2 1 3 4 2 3 1 4 2 1 1 4 +P(AB C D)+P(A B C D)= × × × + × × × + × × × = 3 4 4 5 3 4 4 5 3 4 4 5 7 3 7 73 ,所以系统 N 正常工作的概率是 + = . 30 8 30 120

【点拨】 第(2)问中的 ABC 包含了事件 ABCD 和 ABCD, 故在第(3) 问中只需讨论 A,D 正常工作但 B,C 不正常工作的情况.

(2015·福建模拟)如图所示的电路,有 1 a,b,c 三个开关,每个开关开或闭的概率都是 ,且 2 是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为( 1 1 1 A. B. C. 8 4 2 ) 1 D. 16

解:设“a 闭合”为事件 A, “b 闭合”为事件 B, “c 闭合”为事 件 C,则灯亮应为事件 AC B ,且 A,C, B 之间相互独立,又 P(A) 1 1 =P( B )=P(C)= ,所以 P(A B C)=P(A)P( B )P(C)= ,故选 A. 2 8

类型六

求最值型变量的概率

某人一次投掷 3 枚骰子, (1)求最大点数是 3 的概率; (2)求最小点数是 3 的概率.
解:(1)记最大点数是 3 为事件 A,最大点数≤3 为事件 B, 3 3 3 2 19 ? ? ? ? 最大点数≤2 为事件 C, 则 P(A)=P(B)-P(C)= 6 - 6 = . ? ? ? ? 216 (2)记最小点数是 3 为事件 D,最小点数≥3 为事件 E,最 3 3 4 3 37 ? ? ? ? 小点数≥4 为事件 F,则 P(D)=P(E)-P(F)= 6 - 6 = . ? ? ? ? 216

【点拨】 ①“最大点数≤3”的概率减去 “最大点数≤2”的概率得“最大点数=3” 的概率, “最小点数≥3”的概率减去“最小 点数 ≥4” 的概率得 “ 最小点数= 3” 的概 率,即互斥事件的分解;②若是不用独立与 互斥概念,直接寻求基本事件则比较复杂.

从 10 张扑克牌 1~10 中有放回地 抽取 4 张,则最大点数是 6 的概率为________.
解:记最大点数是 6 为事件 A,最大点数 ≤6 为事件 B,最大点数≤5 为事件 C.则 P(A) 4 4 6 5 = P(B) - P(C) = ?10? - ?10? = 0.0671. 故 填 ? ? ? ? 0.0671.

类型七
?

二项分布的最大项问题
?

1 如果 X~B?20,3?,则 P(X=k)取得最大值时,k=________.

解:由题意知,X 服从二项分布,所以 k k 20-k 1?20-k k ?1? ? k ?1? ?2? P(X=k)=C20 3 1-3 ? ?? ? =C20?3? ?3? , k+1 20-k-1 1 2 +1? ? ? ? P(X=k+1)=Ck ,k∈N 且 k≤19. 20 3 ? ? ?3? P(X=k+1) 20-k 1 考查不等式 ≥1,即 × ≥1,解得 k≤6. P(X=k) k+1 2 所以 k≤6 时, P(X=k+1)≥P(X=k), k>6 时, P(X=k+1)<P(X =k),其中当 k=6 时,P(X=k+1)=P(X=k), ∴k=6 或 7 时,P(X=k)取最大值.故填 6 或 7.

【点拨】如果 X~B(n,p),其中 0<p<1, 求 P(X = k)最大值对应的 k 值,一般可考查 P(X=k+1) ,还可以考虑用不等式组 P(X=k) ? ?P(X=k)≥P(X=k+1), ? 来求, 如变式 7. ? ?P(X=k)≥P(X=k-1)

1? ? 如果 X~B 15,4 ,则使 P(X=k)取最大值的 k ? ? 值为________.

? ? 解:令? 3? ?1? 3? 1? ? ? ? ? ?C ?4? ?4? ≥C ?4? ?4? 3 1 ≥ , ? 15 - k k + 1 ? ?? ?3≤k≤4.故 k=3 或 4,故填 3 或 4. 1 3 ≥ ? k ? 15-k+1
15-k k 15-(k+1) k+ 1 3 1 3 1 ? ? ? ? ≥Ck+1? ? ? ? , Ck 15 4 15 ? ? ?4? ?4? ?4?

k 15

15-k

k

k-1 15

15-(k-1)

k- 1

1. “独立”与“互斥”的区别 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指 一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响 (如有放回的抽取 模型).两事件相互独立通常不互斥,两事件互斥通常不独立. 2.条件概率的求法 P(AB) (1)利用定义,分别求出 P(A),P(AB),再求 P(B|A)= . P(A) (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB),即可求 n(AB) 得 P(B|A)= . n(A)

(3)为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为 两个(或若干个)互斥事件的和,再利用公式 P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A)进行计算,其中 B,C 互斥. 3.对 n 次独立重复试验的理解 (1)在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k n k P(X=k)=Ck p (1 - p ) ,k=0,1,2,?,n,其中 p 是一次试验 n


k n 中该事件发生的概率.实际上,Ck p (1 - p ) n

-k

正好是二项式[(1-

p)+p]n 的展开式中的第 k+1 项.这也是二项分布名称的由来. (2)要弄清 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率与第 k 次
k n k k 1 才发生的概率计算公式 Pn(k)=Ck p (1 - p ) 与 P = (1 - p ) p的 n k
- -

区别.

4.相互独立事件同时发生的概率的求法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁或难于入手时,可正难则反从其对立事件入手进 行计算. 5.正确理解独立重复试验与独立事件间的关系 独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独 立的一种试验,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生,要么不 发生),并且在每次试验中,事件发生的概率均相等.独立重复试验是 相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件 的特例一样.一般地,有“恰好”等字眼的用独立重复试验的概率公 式计算更简单,就像有“至少”或“至多”等字眼的题目用对立事件 的概率公式计算更简单一样.


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