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高中数学必修4


必修 4 【任意角和弧度制】
1、角的概念的推广

三角函数(上)1.1—1.3

定义: 一条射线 OA 由原来的位置, 绕着它的端点 O 按一定的方向旋转到另一位置 OB, 就形成了角 ? , 记作:角 ? 或 ?? 注意: (1) “旋转”形成角,突出“旋转” ; (2) “顶点” “始边” “终边” “始边”往往合于 x 轴正半轴; (3) “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例、若 90 ? ? ? ? ? 135 ,求 ? ? ? 和 ? ? ? 的范围。
? ?

可以简记成 ? 。

2、角的分类: 由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角:按照逆时针方向转定的角。 零角:没有发生任何旋转的角。 负角:按照顺时针方向旋转的角。 例、 (1)时针走过 2 小时 40 分,则分针转过的角度是 (2)将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 3、 “象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴 的正半轴。 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角; 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角(界限角) 。 例、30? ;390? ;?330?是第 第 象限角;?2000?是第 象限角; ?60?是第 象限角。 (填序号). 象限角;585?是第 象限角; 1180?是 。 ,

例、 (1)A={小于 90°的角},B={第一象限的角},则 A∩B= ①{小于 90°的角} ③ {第一象限的角} ②{0°~90°的角} ④以上都不对

(2)已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C



? ? ? 例、若 是第二象限的角,试分别确定 2 , 2 的终边所在位置。
-1-

? 拓展:已知 ? 是第三象限角,问 3 是哪个象限的角?

4、常用的角的集合表示方法 (1)终边相同的角 1)终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和。 2)所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 ? , k ? Z

?

?

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 注意:a、 k ? Z ;b、? 是任意角;c、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边 相同的角有无数个,它们相差 360°的整数倍;d、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。

8? ? ? ? 0 , 2 ? 例、 (1)若 ? 角的终边与 5 角的终边相同,则在 上终边与 4 的角终边相同的角
为 。 (2)若 ?和? 是终边相同的角。那么 ? ? ? 在 X 轴正半轴上

例、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: (1) ? 210 ;
?

(2) ? 1484 37? .
?

? 1260 。 例、求 ? ,使 ? 与 ? 900 角的终边相同,且 ? ? ? 180 ,
? ?

?

?

(2)终边在坐标轴上的点:
? 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 , k ? Z

?

? ? ? ? ?

? ? 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z ? 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90 , k ? Z

?

?

(3)终边共线且反向的角:
? ? 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z

?

? ? 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z

?

(4)终边互相对称的角:
? 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? ? ;

-2-

? ? 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? 180 ? ? ;

? 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180 k ? ? ; ? ? 角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? ? ? 90 。
? 例、若 ? ? k ? 360 ? ? , ? ? m ? 360 ? ? (k , m ? Z ) 则角 ? 与角 ? 的中变得位置关系是(
?

) 。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于 x 轴对称

D.有关于 y 轴对称

例、将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式

19 ? (1) 3

(2) ? 315

?

例、设集合 A ? x | k ? 360 ? 60 ? x ? k ? 360 ? 300 , k ? Z ,
? ? ? ?

?

?

B ? x | k ? 360 ? ? 210 ? ? x ? k ? 360 ? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .

?

?

【弧度与弧度制】
1、弧度与弧度制 弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是 rad 读作弧度; 定义:长度等于 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 B r 1rad o A o C l=2r 2rad r

A

如图:?AOB=1rad 注意:

,?AOC=2rad ,

周角=2?rad

(1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0;

(2)角?的弧度数的绝对值

? ?

l r ( l 为弧长, r 为半径) ;

(3)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) ; 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同; (4)在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
-3-

2、角度制与弧度制的换算 弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度。 角度与弧度的互换关系:∵ 360?= rad 180?= rad
?

?
∴ 1?= 180

rad ? 0.01745 rad

? 180 ? ? ? 1rad ? ? ? ? 57 .30 ? 57 18' ? ? ?

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 例、 把 67 30' 化成弧度
?

3 ?rad 例、 把 5 化成度
例、将下列各角从弧度化成角度

?
(1) 36 rad (2)2.1 rad

3 ?rad (3) 5
2?终边在 y 轴上的角的集合 3?终边在坐标

例、用弧度制表示:1?终边在 x 轴上的角的集合 轴上的角的集合

【弧长公式和扇形面积公式】
l ? ?r
S?


1 1 lR ? ?r 2 2 2
2

例、已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是 例、若两个角的差为 1 弧度,它们的和为 1 ,求这连个角的大小分别为
?

或 。

.

例、 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长

4? ⑴ 3



165 ?

例、 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度? 是多少度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 例、 (1)已知扇形的周长为 10cm,面积为 4cm ,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40cm,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是 多少?
2

【三角函数定义】
-4-

如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在 ? 的终

r (r ? 边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离

x ? y ? x2 ? y2

2

2

)。

y y sin ? ? r; (1)比值 r 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 x x cos? ? r; (2)比值 r 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即
(3)比值 y 叫做 ? 的正切,记作 tan? ,即

tan? ?

y x;

x x cot? ? y; (4)比值 y 叫做 ? 的余切,记作 cot? ,即

r r sec? ? x; (5)比值 x 叫做 ? 的正割,记作 sec? ,即
r r csc? ? y. (6)比值 y 叫做 ? 的余割,记作 csc? ,即
例、已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的六个三角函数值。

x 3 例、已知角 ? 的终边经过点 P(x,)(x>0).且 cos ? = 2 ,求 sin ? 、cos ? 、tan ? 的值

【三角函数的定义域、值域】
1、 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, ? 的终边没有表明 ? 一定是正角或负角,以及 ? 的大小,只表 明与 ? 的终边相同的角所在的位置; 2、根据相似三角形的知识,对于确定的角 ? ,六个比值不以点 P( x, y ) 在 ? 的终边上的位置的改变 而改变大小;

??
3 、当

?
2

? k? (k ? Z )

时, ? 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,所以

tan ? ?

x r y r coy? ? csc ? ? sec ? ? y与 y 无意义; x与 x 无意义;同理,当 ? ? k? (k ? Z ) 时,

x r y x y r 4、除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 r 、 r 、 x 、 y 、 x 、 y 分别是一个确定的实数,
-5-

所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为函数值的函数,以上六种函数统称 为三角函数。 三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?

R

[?1,1] [?1,1]

y ? cos?
y ? tan ?

R
{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

0? x?
例、已知

?

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) 2 ,化简: 2 2 .

【三角函数的符号】
由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 1、正弦值 r 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ;
x 2、余弦值 r 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ;

y 3、正切值 x 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) .
说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ? csc? 为正 tan ? cot? 为正
全正

正弦 、余割 余弦 、正割 正切 、余切
y y y

cos? sec? 为正

+ o -

+ x

o

+ + x

- + o x + -

例、若 sinθ cosθ >0,则 θ 在 A.第一、二象限 B.第一、三象限

( C.第一、四象限

) D.第二、四象限

? 例、已知 sin? ? 0 且 tan ? ? 0 , ( 1 )求角 ? 的集合; ( 2 )求角 2 终边所在的象限; ( 3 )试判断
-6-

tan

?
2

,sin

?
2

cos

?
2 的符号。

例、求下列函数的定义域

y?
(1)

sin x ? cos x tan x

(2) y ?

? cos x ? sin x

【同角三角函数的基本关系式】
1、平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot ? ? csc ?
2 2 2 2 2 2

2、倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,

tan ? ?
3、商数关系:

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在 运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号; 在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的 符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 例、填空:

y?
(1)函数

sin ? ? tan ? cos ? ? cot ? 的值的符号为___ _;
2

(2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是__ __;

sin? ?
(3)已知

m?3 4 ? 2m ? cos? ? ( ?? ??) m?5 , m?5 2 ,则 tan? =__ __;

tan? sin ? ? 3 cos? ? ?1 2 (4)已知 tan? ? 1 ,则 sin ? ? cos? =___; sin ? ? sin? cos? ? 2 =__ __;
(5)已知 f (cos x) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为__ __。
?

例、已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于(
? ?



?
A、

a 1? a2

a
B、 1 ? a
2

?
C、

1? a2 a

1? a2 a D、

【诱导公式】
-7-

1、由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题.

k ? ?? 2、三角函数诱导公式( 2 )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符号看
象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角) 。 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。

cos
例、 (1)

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 4 6 的值为________;
? s i n5(4 0 ??) ? ?

(2)已知

4 ? ?( ? 2 7 0 ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5 ,则 cos

[sin(180 ? ? ? ) ? cos( ? ? 360 ? )] 2 ? tan(180 ? ? ? ) ________。
例、确定下列三角函数值的符号:

(1) cos 250

0

sin(? ) 4 (2)

?

(3) tan(?672 )
0

(4) tan 3?

例、求下列各式的值

cos
1.

25? 15? ? tan(? ) 3 4

2. sin 420 cos 750 ? sin(?690 ) cos( ?660 )
0 0 0 0

-8-

[基础训练]
一、选择题 1.设 ? 角属于第二象限,且 cos A.第一象限 B.第二象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



C.第三象限
0

D.第四象限
0

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④

sin

7? cos? 10 。其中 17? tan 9

符号为负的有( A.①
2

) B.②
0

C.③ )

D.④

3. sin 120 等于(

?
A.

3 2

3 B. 2

?
C.

3 2

1 D. 2


4.已知 sin ? ? ?

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5
3 C. 4 4 D. 3

4 A. 3 ?

3 B. 4 ?

5.若 ? 是第四象限的角,则 ? ? ? 是( A.第一象限的角 B.第二象限的角 ) C.等于 0

) C.第三象限的角 D.第四象限的角

6. sin 2 cos3 tan 4 的值( A.小于 0 B.大于 0

D.不存在

二、填空题
1.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 2.设 MP 和 OM 分别是角

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18

① MP ? OM ? 0 ;② OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM , 其中正确的是_____________________________。 3.若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系是___________。 4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 5.与 ? 2002 终边相同的最小正角是_______________。
0
2



-9-

三、解答题
3? ? ? ? ? 2 2 1 2 ,求 1 . 已 知 tan? , 是 关 于 x 的 方 程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的 两 个 实 根 , 且 tan?
cos ? ? s in ? 的值.

7

cos x ? sin x 2.已知 tan x ? 2 ,求 cos x ? sin x 的值。

sin(540 0 ? x) 1 cos(360 0 ? x) ? ? sin(? x) tan(900 0 ? x) tan(450 0 ? x) tan(810 0 ? x) 3.化简:

4.已知

sin x ? cos x ? m, ( m ? 2 , 且 m ? 1)
3 3 4 4



求(1) sin x ? cos x ; (2) sin x ? cos x 的值。

- 10 -

[综合训练] 一、选择题
1.若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是(
0



A. 4 3 2.函数 y ?

B. ? 4 3

C. ? 4 3

D. 3 ) D. ?? 1,1?

sin x cos x tan ? ? ? 的值域是( sin x cos x tan ?
B. ?? 1,0,3? C. ?? 1,3?

A. ?? 1,0,1,3?

3.若 ? 为第二象限角,那么 sin 2? , cos

?

1 , 2 cos 2? ,

1 cos

?
2

中,其值必为正的有(



A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

4.已知

sin ? ? m, ( m ? 1)

?
,2

?? ??

,那么 tan? ? (

) .

m
A. 1 ? m
2

?
B.

m 1? m2
C.

?

m 1? m2
sin ?

1? m2 ? m D.

1 ? cos2 ? ? 2 cos? x ? y ? 0 1 ? sin ? ? 5.若角 的终边落在直线 上,则 的值等于(
A. 2 B. ?2 C. ?2 或 2 D. 0

) .

6.已知 tan ? ?

3,

? ?? ?

3? 2 ,那么 cos? ? sin? 的值是(
1? 3 C. 2 1? 3 2 D.

) .

1? 3 2 A. ?

?1? 3 2 B.

二、填空题
cos? ? ?
1.若

3 2 ,且 ? 的终边过点 P( x,2) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。

2.若角 ? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则 ? 与 ? 的关系是___________。 3.设 ? 1 ? 7.412 , ? 2 ? ?9.99 ,则 ? 1 , ? 2 分别是第 4.与 ? 2002 终边相同的最大负角是_______________。
0

象限的角。

5.化简: m tan 0 ? x cos90 ? p sin180 ? q cos 270 ? r sin 360 =____________。
0 0 0 0 0

- 11 -

三、解答题
1.已知 ? 90 ? ? ? 90 ,?90 ? ? ? 90 , 求
0 0 0 0

??

?
2 的范围。

?cos?x, x ? 1 1 4 f ( x) ? ? f( )? f( ) f ( x ? 1 ) ? 1 , x ? 1 , ? 3 的值。 2.已知 求 3

2 2 1 sin x ? cos2 x 4 3.已知 tan x ? 2 , (1)求 3 的值。

(2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值。
2 2

4.求证: 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? ) 。
2

- 12 -



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