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2011年~2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编(文科)


第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
题型 1 集合的基本概念 题型 2 集合间的基本关系 题型 3 集合的运算 1.(2011 全国 1 文 1)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4? , N ? ?1,3,5? , P ? M ? N ,则 P 的子 集共有(). A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个

2 1 ? x ? 1 ,则(). 2.(2012 全国文 1)已知集合 A ? x x -x-2 ? 0 , B ? x -

?

?

?

?

A. A ? B


B. B ? A


C. A ? B

D. A ? B ? ?
2

2 3 4?,B ? x x ? n ,n ? A ,则 A ? B ? (). 3.(2013 全国 I 文 1)已知集合 A ? ?1,,,
A.

?

?

4? ?1,

B.

3? ?2,

C.

16? ?9,

D. ?1 , 2?

4.(2013 全国 II 文 1)已知集合 M ? ?x | ?3 ? x ? 1? , N ? ??3, ?2, ?1,0,1 ? ,则 M ? N ? (). A. ??2, ?1,0,1 ? B. ??3, ?2, ?1,0? C. ??2, ?1,0? D. ??3, ?2, ?1? 5.(2014 新课标Ⅰ文 1)已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 M ? N ? () A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3)

6.(2014 新课标Ⅱ文 1)已知集合 A ? ??2,0,2? ,B ? ?x | x2 ? x ? 2 ? 0? ,则 A ? B ?() A. ? B. ?2? C. ?0? D. ??2?

7. (2015 全国 I 文 1)已知集合 A ? {x 中元素的个数为(). A. 5 B. 4

x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A ? B

C. 3

D. 2

8. (2015 全国 II 文 1)已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ?

? x 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ().
D. ? 2,3?

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
题型 4 四种命题及关系 题型 5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 9. (2014 新课标Ⅱ文 3) 函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在, 若 p : f ?( x0 ) ? 0 ; q : x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则() A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 题型 6 充分条件、必要条件中的含参数问题

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
题型 7 判断含逻辑联结词的命题的真假 10.(2013 全国 I 文 5)已知命题 p:?x ? R, 2 <3 ;命题 q:?x ? R,x ? 1 ? x ,则下列命
x x 3 2

题中为真命题的是(). A. p ? q B. ? p ? q

C. p ? ?q

D. ? p ? ? q

11.(2014 新课标Ⅰ文 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为. 题型 8 全(特)称命题的否定 题型 9 根据命题真假求参数的范围

第一章试题详解
1.解析因为 M ? ?0,1,2,3,4? , N ? ?1,3,5? ,所以 M ? N ? ?1,3? .
2 所以 M ? N 的子集共有 2 ? 4 个. 故选 B.

2.分析化简集合后直接判断集合间的关系.
2 解析因为 A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x ?1 ? x ? 1 ,所以 B ? A . 故选

?

? ?

?

?

?



B. 3.分析先求出集合 B ,再进行交集运算. 解析: 因为 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? x x ? n , n ? A , 所以 B ? ?1, 4,9,16? , 所以 A ? B ? ?1, 4?.
2

?

?

故选 A.

4.分析运用集合的运算求解. 解析: M ? N ? ??2, ?1,0? ,故选 C. 5.解析 M ? N ? x ?1 ? x ? 3 ? x ?2 ? x ? 1 ? x ?1 ? x ? 1

?

? ?

? ?

?

6.解析因为集合 A ? ??2,0,2? , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ?2, ?1? ,所以 A ? B ? ?2? ,故选 B. 7.解析当 3n ? 2 ? 14 ,得 n ? 4 . 由 x ? 3n ? 2 ,当 n ? 0 时, x ? 2 ;当 n ? 1 时, x ? 5 ; 当 n ? 2 时, x ? 8 ;当 n ? 3 时, x ? 11 ;当 n ? 4 时, x ? 14 . 所以 A ? B ? ?8,14? ,则集合 A ? B 中含元素个数为 2 .故选 D . 8.解析因为对于

?

?

A 有 A ? ? x ?1 ? x ? 2? ,对于 B 有 B ? ? x 0 ? x ? 3? .画数轴即可得

A ? B ? ? x ?1 ? x ? 3? .故选 A.
9.解析因为 f ? x ? 在 x ? x0 处可导,所以若 x ? x0 是 f ? x ? 的极值点,则 f ? ? x0 ? ? 0 ,所以

q ? p ,故 p 是 q 的必要条件;反之,以 f ? x ? ? x3 为例, f ? ? 0? ? 0 ,但 x ? 0 不是极值
点,所以 p ? ? q ,故 p 不是 q 的充分条件.故选 C. 10.分析先判断命题 p, q 的真假,再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求解. 解析当 x ? 0 时,有 2 x ? 3x ,不满足 2 x < 3x ,所以 p : ?x ? R , 2 x < 3x 是假命题.如图, 函数 y ? x 与 y ? 1 ? x 有交点,即方程 x3 ? 1 ? x 2 有解,所以 q : ?x ? R , x3 ? 1 ? x 2 是真
3 2

命题.所以 p ? q 为假命题,排除 A.因为 ? p 为真命题,所以 ? p ? q 是真命题.选 B. 11.解析由三人去过同一城市,且甲每去过 B 城市、乙没去过 C 城市知,三人去过的同一城 市为 A ,因此可判断乙去过的城市为 A .

第二章函数
第一节函数的概念及其表示
题型 10 映射与函数的概念 题型 11 同一函数的判断 题型 12 函数解析式的求法 1.(2015 全国 II 文 13)已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 2x 的图像过点 ? ?1, 4 ? ,则 a ? . 题型 13 函数定义域的求解 题型 14 函数值域的求解

第二节函数的基本性质—奇偶性、单调性、周期性
题型 15 函数的奇偶性

? x ? 1? 2. (2012 全国文 16) 设函数 f ( x) ?
________.

? sin x 的最大值为 M , 最小值为 m , 则M ?m ? x2 ? 1

2

3.(2014 新课标Ⅰ文 5)设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,则下列结论中正确的是() A. f ( x) g ( x) 是偶函数 B. f ( x) g( x) 是奇函数 C. f ( x) g( x) 是奇函数 D. f ( x) g ( x) 是奇函数 4.(2014 新课标Ⅱ文 15)已知偶函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则

f (?1) ? .
5.(2015 全国 II 文 12)设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 取值范围是().
?1 ? A. ? ,1? ?3 ? ? 1 1? C. ? ? , ? ? 3 3? 1? ? B. ? ?? , ? U ?1, ?? ? 3? ? 1? ?1 ? ? D. ? ?? , ? ? U ? , ?? ? 3? ? 3 ? ?

1 , 则使得 f ? x ? ? f ? 2x ? 1? 成立的 x 的 1 ? x2

题型 16 函数的单调性(区间) 6.(2011 全国 1 文 3)下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数是(). A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?| x|

题型 17 函数的周期性 题型 18 函数性质的综合 7. (2015 全国 I 文 12)设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2
x?a

的图像关于直线 y ? ? x 对称,且

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ().
A. ?1 B. 1 C. 2 D. 4

第三节二次函数与幂函数
题型 19 二次函数图像的应用

题型 20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
2 题型 21 二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的实根分布及条件

题型 22 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 题型 23 二次函数恒成立问题 题型 24 幂函数的定义及基本性质 题型 25 幂函数性质的综合应用

第四节指数函数与对数函数
题型 26 指(对)运算及指(对)方程、不等式 题型 27 指数函数、对数函数的图像及性质 8.(2012 全国文 11).当 0 ? x ? A. ? 0,

1 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是(). 2

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B.

? 2 ? ? ? 2 ,1? ? ? ?

C.

?1, 2 ?

D.

?

2, 2

?

9.(2013 全国 II 文 8)设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则(). A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

?e x ?1 , x ? 1 ? 10.(2014 新课标Ⅰ文 15)设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f ( x )≤2 成立的 x 的取值 3 ? x , x ≥ 1 ?
范围是. 11. (2015 全国 I 文 10)已知函数 f ( x ) ? ? (). A. ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1

7 4

B. ?

5 4

C. ?

3 4

D. ?

1 4

题型 28 指数函数与对数函数中的恒成立问题

第五节函数的图像及应用
题型 29 判断函数的图像 题型 30 函数图像的应用

?? x 2 ? 2 x,x ≤ 0 ? 12.(2013 全国 I 文 12)已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? ≥ ax ,则 a 的取 ? ?ln ? x ? 1?,x >0
值范围是().

A.

0? ? ??,

B.

1? ? ??,

C.

, 0? ??21 ? D. ??2,

第六节函数的综合
题型 31 函数与数列的综合 题型 32 函数与不等式的综合 题型 33 函数中的创新题

第二章试题详解
1.解析由题意知

f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ,故 a ? ?2 .

2.分析将函数化简,利用函数的奇偶性求解. 解析 f ( x) ?

? x ? 1?

? sin x 2 x ? sin x 2 x ? sin x ,设 g ( x) ? ,则 g (? x) ? ? g ( x) , ? 1? 2 2 x2 ? 1 x ?1 x ?1

2

所以 g ( x) 是奇函数.由奇函数图像的对称性知 g ( x)max ? g ( x)min ? 0 , 所以 M ? m ? ? g ( x) ? 1?max ? ? g ( x) ? 1?min ? 2 ? g ( x)max ? g ( x)min ? 2 . 3.解析依题意得任意 x ? R ,都有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , g ? ? x ? ? g ? x ? , 因此, f ? ? x ? g ? ? x ? ? ? f ? x ? g ? x ? ? ? ? ? f ? x ? g ? x ?? ? , f ? x ? g ? x ? 是奇函数,A 错;

f ? ? x ? g ? ? x ? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , f ? x ? g ? x ? 是偶函数,B 错; f ??x? g ??x? ? ? f ? x? g ? x? ? ? ? ? f ? x? g ? x? ? ? , f ? x ? g ? x ? 是奇函数,C 正确; f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? f ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , f ? x ? g ? x ? 是偶函数,D 错.故选 C.
4.解析因为函数 y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 2 对称,所以 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? 对任意 x 恒成立,令 x ? 1 ,得 f ?1? ? f ?3? ? 3,所以 f ? ?1? ? f ?1? ? 3 .

1 2x ? f x ? ? ? ? 5.解析由题意知 f ? ?x ? ? f ? x ? ,即 f ? x ? 为偶函数.因为 1 ? x ?1 ? x 2 ?2 ,所以

f ? x ? 在 ?0, ? ?? 上是增函数,所以使 f ? x ? ? f ? 2x ?1? 成立的条件是 f ? x ? ?
f ? 2 x ? 1 ? .所以 x ? 2x ?1 ,解之得 ? x ? 1 .故选 A.
1 3
6.解析四个选项中的偶函数只有 B , C , D ,故排除,当 x ? (0, ??) 时,三个函数分别为

y ? x ? 1单调递增, y ? ? x2 ? 1单调递减, y ? 2? x ? ( ) x 单调递减.故选 B.
7.解析设 ? x, y ? 为 f ? x ? 图像上一点,则 ? x, y ? 关于 y ? ? x 的对称点为 ? ? y, ? x ? , 代入 y ? 2
x?a

1 2

,得 ? x ? 2

? y?a

,①

对 ① 两边取以 2 为底的对数,得 log2 ? ?x ? ? ? y ? a ,即 y ? ? ? ? log 2 ? ? x ? ? a ? ?. 又 f ? ?2? ? f ? ?4? ? 1 ,即 ? ? log 2 2 ? a ? ? ? log 2 4 ? a ? ? 1, 得 a ?1 ? ? 2 ? a ? ? 1 ,得 a ? 2 .故选 C. 8.分析利用指数函数和对数的性质求解. 解析因为 0 ? x?

1 4x 2 ,所以 loga x ? 4x ? 1,所以 0 ? a ? 1 ,排除答案 C,D. ,所以 1剟 2
1

1 1 1 取 a ? , x ? ,则有 4 2 ? 2 , log 1 ? 1 ,显然 4x ? loga x 不成立,排除答案 A. 2 2 2 2
故选 B. 9.分析利用对数函数的性质求解. 解 析 : a ? log3 2 < log3 3 ? 1 ; c ? log 2 3 > log 2 2 ? 1 , 由 对 数 函 数 的 性 质 可 知

log5 2 < log3 2 ,所以 b < a < c ,故选 D.
x ? 1, ? ? x ? 1, ? x ? 1, ? x ? 1, ? 10. 解 析 f ? x ? ? 2 ? ? x ?1 或 ? 1 或 ? ? x ?1 或 ?? x? 8 x ? ln 2 ? 1 3 ? ? ?e ? 2 ? x ? 2 ?
1 剟x 8 ? x ? 8 ,故填 ? ??,8? .

a ?1 a ?1 11.解析当 a ? 1 时, f ? a ? ? 2 ? 2 ? ?3 ,即 2 ? ?1,无解;

当 a ? 1 时, f ? a ? ? ? log2 ? a ?1? ? ?3 ,即 log2 ? a ?1? ? 3 ? log2 23 , 得 a ? 1 ? 8 ,所以 a ? 7 ,符合 a ? 1 . 综上可知, a ? 7 .
?1?1 ?2 ? ? 则 f ? 6 ? a ? ? f ? 6 ? 7 ? ? f ? ?1? ? 2

7 .故选 A. 4

12.分析先画出函数的图像,数形结合求解. 解析:作出函数 y ? f ? x ? 的图象,如图,当 f ? x ? ≥ ax 时,必有 k ≤ a ≤ 0, 其中 k 是

y ? x2 ? 2x ? x ≤ 0? 在原点处的切线斜率,显然, k ? ?2. 所以 a 的取值范围是 ? ?2,0?. 故
选 D.

第三章导数
第一节导数的概念与运算
题型 34 导数的定义 题型 35 求函数的导数 题型 36 导数的几何意义 1.(2012 全国文 13)曲线 y ? x ? 3ln x ?1? 在点 ?1,1? 处的切线方程为________. 2. (2015 全国 I 文 14)已知函数 则 a ?. 3. (2015 全国 II 文 16) 已知曲线 y ? x ? lnx 在点 ?11 , ? 处的切线与曲线 y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1 相切,则 a ? .

f ? x ? ? ax3 ? x ?1 的图像在点 ?1, f ?1? ? 处的切线过点 ? 2,7 ? ,

第二节导数的应用
题型 37 利用导函数研究函数的图像 4.(2013 全国 II 文 11).已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是() .
3 2

A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 题型 38 利用导数研究函数的单调性 题型 39 函数的极值与最值 5. (2013 全国 I 文 20) 已知函数 f ? x ? ? e 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 . (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f ? x ? 的单调性,并求 f ? x ? 的极大值. 6.(2013 全国 II 文 21)已知函数 f ( x) ? x e . (1)求 f ( x ) 的极小值和极大值;
2 ?x

x

曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0? ? ? ax ? b? ? x2 ? 4x ,

(2)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 7. (2015 全国 II 文 21)已知函数 (1)讨论 (2)当

f ? x ? =lnx+a ?1? x ? .

f ? x ? 的单调性;

f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.
题型 40 方程解(函数零点)的个数问题

8.(2011 全国文 12)已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2 ,当 x ?[?1,1] 时函数 f ( x) ? x ,那么
2

函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? lg x 的图像的交点共有(). A. 10 个 B. 9 个
3 2

C. 8 个

D. 1 个

9. (2014 全国 I 文 12)已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 , 则 a 的取值范围是() A. (2, ??) B. (1, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?1)

10.(2014 新课标Ⅱ文 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0, 2 ? 处的切线与 x 轴交点的横坐
3 2

标为 ?2 . (1)求 a ; (2)求证:当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点. 11. (2015 全国 I 文 21)设函数 (1)讨论

f ? x ? ? e2 x ? a ln x .

f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 零点的个数;
2 a

(2)求证:当 a ? 0 时, f ? x ? …2a ? a ln

题型 41 不等式恒成立与存在性问题 12.(2011 全国文 10)在下列区间中,函数 f ? x ? ? e ? 4x ? 3 的零点所在的区间为().
x

A. ? ? , 0 ?

? 1 ? 4

? ?

B. ? 0,

? ?

1? ? 4?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?
x

D. ?

?1 3? , ? ?2 4?

13.(2012 全国文 21)设函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? e ? ax ? 2 . (1)求 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ? x ? k ? f ?(x) ? x ?1 ? 0 ,求 k 的最大值. 14.(2013 全国 II 文 12).若存在正数 x 使 2 ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是() .
x

A. (??, ??) B. (?2, ??) C. (0, ?? ) D. (?1, ??) 15. (2014 新课标Ⅰ文 21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 为0. (1)求 b ; (2)若存在 x0≥1 ,使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线斜率 2

a ,求 a 的取值范围. a ?1

16. (2014 新课标Ⅱ文 11)若函数 f ( x ) ? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值 范围是() A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ?2, ??? D. ?1, ?? ?

题型 42 利用导数证明不等式 17.(2011 全国文 21)已知函数 f ( x) ? 程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 题型 43 导数在实际问题中的应用

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方 x ?1 x

ln x . x ?1

第三章试题详解
1.分析利用导数的几何意义先求得切线斜率. 解析因为 y ? x ? 3ln x ? 1? ,所以 y ' ? 3ln x ? 1 ? x ?

3 ? 3ln x ? 4 .所以 k ? y ' x

x?1

? 4 ,所以

所求切线的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 . 2.解析由题意可得 f ?1? ? a ? 2 , f ? ?1? ? 3a ? 1, 所以切线方程为 y ? ? a ? 2? ? ?3a ?1?? x ?1? . 又过点 ? 2, 7 ? ,即 7 ? a ? 2 ? ? 3a ? 1?? 2 ?1? ,解得 a ? 1 .

3.解析根据题意,曲线 y ? x ? ln x 在点 与 y ? ax
2

, ?11 ? 处的切线斜率为 2 ,故切线方程为 y ? 2x ?1 ,

? ? a ? 2? x ?1联立得 0 ? ax2 ? ax ? 2 ,显然 a ? 0 ,所以由判别式 ? ? a2 ? 8a ?

0 得 a ? 8.
评注由导数的意义求函数问题是基本的研究方法, 函数问题首先要考虑定义域的范围, 含有 参数一般要对参数进行分类讨论. 4.分析结合函数与导数的基础知识进行逐个推导. 解析:A 项,因为函数 f ? x ? 的值域为 R ,所以一定存在 x0 ? R ,使 f ? x0 ? ? 0 .A 正确.B 项,假设函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 的对称中心为 ? m, n ? ,按向量 a ? ? ?m, ?n? 将函数
3 2

的图象平移,则所得函数 y ? f ? x ? m? ? n 是奇函数.所以 f ? x ? m? ? f ? ?x ? m? ? 2n ? 0 , 化简得 ?3m ? a ? x ? m ? am ? bm ? c ? n ? 0 .上式对 x ? R 恒成立,故 3m ? a ? 0 ,得
2 3 2

m??

a ? a? ,n ? m3 ? am2 ? bm ? c ? f ? ? ? , 所以函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的对称中 3 ? 3?

心 为 ??

? a ,f ? 3

? a ?? ? 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 .B 正 确 .C 项 , 由 于 ? ? ?? , 故 y ? f? x ? 3 ??

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b 是二次函数, f ? x ? 有极小值点 x0 ,必定有一个极大值点 x1 ,若
x1 < x0 ,则 f ? x ? 在区间 ? ??, x0 ? 上不单调递减.C 错误.D 项,若 x0 是极值点,则一定有

f ? ? x0 ? ? 0 .故选 C.
5.分析(1)利用函数值和导函数值列出方程(组)求解字母的值; (2)先求出函数的导数 极值点,进一步确定单调区间,再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值. 解析: ( 1 ) f ? ? x? ? e
x

? ax ? a ? b? ? 2x ? 4 . 由已知得 f ?0? ? 4 , f ? ? 0? ? 4 . 故 b ? 4 ,

x a?b ?8 . 从 而 a ? 4 , b ? 4( . 2 ) 由 ( 1 ) 知 , f ( x)? 4 e x? ? 1 ?2 x ? , 4 x ?

1? ? f ? ? x ? ? 4e x ? x ? 2 ? ? 2 x ? 4 ? 4 ? x ? 2 ? ? e x ? ? . 2? ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ? ln 2 或 x ? ?2 . 从而当 x ? ? ??, ?2? ? ? ? ln 2, ??? 时, f ? ? x ? > 0 ; 当 x ? ? ?2, ? ln 2? 时 , f ? ? x ? < 0 . 故 f ? x ? 在 ? ??, ?2? , ? ? ln 2, ??? 上 单 调 递 增 , 在
?2 函数 f ? x ? 取得极大值, 极大值为 f ? ?2 ? ? 4 ?1 ? e ? . ? ?2, ? ln 2? 上单调递减.当 x ? ?2 时,

6.分析(1)先求出 f ? x ? 的导数,然后求出极值点,再求出极值, (2)设出切点,得出切 线方程,然后运用基本不等式求出截距的取值范围. 解析: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ??, ??? , f ? ? x ? ? ?e? x ? x ? 2? . ① 当 x ? ? ??,0? 或 x ? ? 2, ??? 时, f ? ? x ? < 0 ;当 x ? ? 0,2? 时, f ? ? x ? > 0 . 所以 f ? x ? 在 ? ??,0? , ? 2, ??? 上单调递减,在 ? 0, 2 ? 上单调递增. 故当 x ? 0 时, f ? x ? 取得极小值,极小值为 f ? x ? ? 0 ;当 x ? 2 时, f ? x ? 取得极大值, 极大值为 f ? 2? ? 4e?2 . (2)设切点为 t , f ? t ? ,则 l 的方程为 y ? f ? ?t ?? x ? t ? ? f ?t ? . 所以 l 在 x 轴上的截距为

?

?

m ?t ? ? t ?

f ?t ? t 2 ?t? ? t ?2? ? 3. 由已知和①得 x ? ? ??,0? ? ? 2, ??? . f ? ?t ? t ?2 t ?2
2 ? x ? 0 ? ,则当 x ?? 0, ??? 时, h ? x ? 的取值范围为 ? ? 2 2, ?? ; x

令 h ? x? ? x ?

?

当 x ? ? ??, ?2? 时, h ? x ? 的取值范围是 ? ??, ?3? . 所以当 t ? ? ??,0? ? ? 2, ??? 时, m ? t ? 的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? 2 2 ? 3, ?? .

?

?

综上, l 在 x 轴上的截距的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? 2 2 ? 3, ?? .

?

?

7.分析 (1)由题意,先求出函数的定义域,再对函数进行求导,得 f ? ? x ? ?

1 ? a ,然后分 x

? ?? 上无最大值;当 a ? 0 , a ? 0 两种情况来讨论;(2)由(1)知当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,
a ? 0 时, f ? x ? 最大值为 f ? ? ? ? ln a ? a ? 1 ,因此 f ? ? ? 2a ? 2 ,故 ln a ? a ? 1 ? 0 .
令g

?1? ?a?

?1? ?a?

+? ? 上是增函数. 当 0 ? a ? 1 时,g ? a ? ? 0 ;当 a ? 1 ? a? ? ln a ? a ?1 ,则 g ? a ? 在 ? 0, , ? a ? ? 0 .因此 a 的取值范围是 ? 01 ?. f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ?? , f ? ? x ? ? ? a . f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递增.
? 1? ? a? ? ? ? ? ? ? ? 时,f ? ? x ? ? 0 , 当? , 所以 f ? x ? 在 ? 0, ? ? x? ? 0 ; a a 1 1 ? ? ? ?
1 x

时, g

解析(1)

若 a ? 0 ,则

若a ? 0, 则当 x ? ? 0, ? 时,f ?

上单调递增,在 ?

?1 ? , +? ? 上单调递减. ?a ?

(2)由(1)知,当 a ? 0 时,

f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上无最大值;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取
a

得最大值,最大值为

?1? ?1? ? 1? f ? ? ? ln ? ? ? a ?1 ? ? ? ? ln a ? a ? 1 . ?a? ?a? ? a?

因此 令g

?1? f ? ? ? 2a ? 2 等价于 ln a ? a ? 1 ? 0 . ?a?

+? ? 上单调递增,又 g ?1? ? 0 . ? a? ? ln a ? a ?1 ,则 g ? a ? 在 ? 0,

于是,当 0 ? a ? 1 时, g 因此, a 的取值范围是

? a ? ? 0 ;当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 .

, ? 01 ?.

评注高考中对函数与导数的考查, 主要体现用导数的工具性来解决函数性质问题, 函数的性 质是函数的终极内容, 学习导数以后用导数这一工具可使求解更直接简单, 特别要注意函数 的定义域和对参数进行讨论. 8.解析考查数形结合思想,在同一直角坐标系中作出两个函数的图像,如下图.容易判断出 两函数图像的交点个数为 10 个. 故选 A.

y

y ?1
?1

o

1

10x

2 9.解析 a ? 0 时, 不符合题意. a ? 0 时,f ? ? x ? ? 3ax ? 6x , 令 f ? ? x? ? 0 , 得 x1

? 0 ,x2 ?

2 . a

若 a ? 0 ,则由图像知 f ? x ? 有负数零点,不符合题意. 则 a ? 0 ,由图像结合 f ? 0? ? 1 ? 0 知,此时必有 f ? 化简得 a 2 ? 4 ,又 a ? 0 ,所以 a ? ?2 ,故选 C. 评注本题考查导数在函数中的应用, 同时考查分类讨论的思想及数形结合的思想, 要求由较 强的分析问题的能力及运算能力. 10.解析(1) f ? ? x ? ? 3x ? 6x ? a , f ? ? 0? ? a ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, 2 ? 处的切线方程
2

8 4 ?2? ? ? 0 ,即 a ? a 3 ? 3 ? a 2 ? 1 ? 0 , ?a?

为 y ? ax ? 2 .由题设得 ?

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 . a

(2)由(1)知, f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 . 设 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? ?1? k ? x ? 4 .由题设知 1 ? k ? 0 .当 x ? 0 时,

g' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 1 ? k ? 0 , g ? x ? 单调递增, g ? ?1? ? k ?1 ? 0 , g ? 0? ? 4 ,
所以 g ? x ? ? 0 在 ? ??,0? 上有唯一实根.当 x ? 0 时,令 h ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 4 , 则 g ? x ? ? h ? x ? ? ?1 ? k ? x ? h ? x ? . h' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 3x ? x ? 2? ,h ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递 减,在 ? 2, ??? 上单调递增,所以 g ? x ? ? h ? x ? …h ? 2? ? 0 .所以 g ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上没 有实根. 综上, g ? x ? ? 0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点. 评注本题主要考查导数的几何意义及导数的应用,考查了分类讨论、函数与方程、等价转化 等思想方法.把曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点的问题转化为研究函数

g ? x ? ? x3 ? 3x2 ? ?1 ? k ? x ? 4 在 R 上有唯一实根问题是解决问题的关键.
2x 11.解析(1) f ? x ? ? e2 x ? a ln x ? x ? 0? , f ? ? x ? ? 2e ?

a . x

显然当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? ? x ? 无零点.
2x 当 a ? 0 时,取 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2e ?

y y=2e2x

a , x

a ? 0 ,即 f ? ? x ? 单调递增. x2 a a 2x 2x 令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2e ? ? 0 ,即 2e ? . x x a 2x 画出 y ? 2e 与 y ? 的图像,如图所示. x
则 g ? ? x ? ? 4e
2x

?

由图可知, f ? ? x ? 必有零点, 所以导函数 f ? ? x ? 存在唯一零点. (2)由(1)可知 f ? ? x ? 有唯一零点,设零点为 x0 , 由图可知,当 x ? ? 0, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? x0 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 单调递增.

y= O

a x x

所以 f ? x ? 在 x ? x0 处取得极小值,即 f ? x ?min ? f ? x0 ? ? e2 x0 ? a ln x0 .
2x 又 f ? ? x0 ? ? 2e 0 ?

a a .① ? 0 ,解得 e2 x0 ? x0 2 x0
a ? 2 x0 . 2

①两边分别取自然对数,得 2 x0 ? ln a ? ln 2 x0 ,即 ln x0 ? ln 所以 f ? x0 ? ?

a a ? a ? a ? a ? ln ? 2 x0 ? ? ? 2ax0 ? a ln … 2 x0 2 ? 2 ? 2 x0

2a ? a ln

a 2 1 a ? 2a ? a ln (当且仅当 ? 2ax0 ,即 x0 ? 时取等号). 2 a 2 2 x0

12.解析因为 f ? 内.故选择 C.

?1? ?? ?4?

?1? ?1 1? f ? ? ? 0 ,由函数零点存在性定理,可知函数零点处于区间 ? , ? ? 2? ?4 2?

x 13.解析 (1) f ( x ) 的定义域为 ? ??, ??? , f '( x) ? e ? a .若 a? 0 , 则 f( ') x 0 ?

, 所以 f ( x )

在 ? ??, ??? 上单调递增.若 a ? 0 , 则当 x ? ? ??,ln a ? 时,f '( x) ? 0 ; 当 x ? ?n l ,a ??? 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x ) 在 ? ??,ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ??? 上单调递增.
x (2)由于 a ? 1 ,所以 ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e ?1) ? x ? 1 .

故当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? 0 等价于 k ?

x ?1 ? x( x ? 0) ① ex ?1

ex ex ? x ? 2 x ?1 ? xe x ? 1 ? x , 则 g '( x) ? 令 g ( x) ? x .由(1)知,函数 ?1 ? 2 2 e ?1 ex ?1 ex ?1

?

?

? ?

?

?

所以 h( x) 在 ? 0, ??? 上 h(2) ? 0 , h( x) ? e x ? x ? 2 在 ? 0, ??? 上单调递增.而 h(1) ? 0 , 存在唯一的零点,故 g '( x ) 在 ? 0, ??? 上存在唯一的零点.设此零点为 ? ,则 ? ? ?1, 2 ? . 当 x ? ? 0,? ? 时,x ? ?? , ??? 时,g '( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 ? 0, ??? 上的最小值为 g (? ) . 又 由 于 g '(? ) ? 0 , 可 得 e? ? ? ? 2 , 所 以 g (? ) ? ? ?1? ? 2,3? . 由 于 ① 式 等 价 于

k ? g (? ) ,故整数 k 的最大值为 2 .
14.分析把参数 a 分离出来,利用导数知识进行求解. 解析:因为 2
x

? x ? a? < 1 ,所以 a >

x?

1 1 .令 f ? x ? ? x ? x ,所以 x 2 2

所以 f ? x ? > f ? 0? ? 0 ?1 ? ?1 , f ? ? x ? ? 1? 2? x ln 2 > 0. 所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,

所以 a 的取值范围为 ? ?1, ?? ? ,故选 D.

a ? ?1 ? a ? x ? b .由题设知 f ? ?1? ? 0 ,解得 b ? 1 . x 1? a 2 x ? x, (II) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,由(I)知 f ? ? x ? ? a ln x ? 2
15.解析(I) f ? ? x ? ?

f ?? x? ?

a 1? a ? a ? ? ?1 ? a ? x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? . x x ? 1? a ?

1 a ? 1 ,故当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递 ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 增.所以, 存在 x0 … 使得 f ? x0 ? ? 的充要条件为 f ?1? ? , 即 , 1, a ?1 a ?1 2 a ?1
(i)若 a ? 解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 . (ii) 若

1 a ? a ? ? a ? ? a ? 1, ? 1, 则 故当 x ? ?1, 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ?? , ?? ? 时, ? 2 1? a ? 1? a ? ? 1? a ?

? a ? ? a ? , ?? ? 上单调递增. f ? ? x ? ? 0 . f ? x ? 在 ? 1, ? 上单调递减,在 ? ? 1? a ? ? 1? a ?
所以,存在 x0 … 1 ,使得 f ? x0 ? ?

a 的充要条件为 a ?1

a ? a ? . f? ?? ? a ?1 ? a ?1

a a2 a a ? a ? 而f? ,所以不符合题意. ? ? ? ? ? a ln 1 ? a 2 ?1 ? a ? a ? 1 a ? 1 ? a ?1 ?
(iii)若 a ? 1 ,则 f ?1? ?

综上, a 的取值范围是 ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ? . 评注本题考查导数的几何意义, 导数在解函数问题中应用等知识, 同时考查了转化和分类讨 论的数学思想,对运算能力及推理能力的要求较高. 16.解析依题意得 f ? ? x ? ? k ? 为 x ? 1 ,所以 0 ?

?

1? a ?a ? 1 a ?1 ? ? . 2 2 a ?1

?

1 1 …0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 k … 在 ?1, ?? ? 上恒成立,因 x x

1 ? 1 ,所以 k …1 ,故选 D. x

x 17.解析(1) f ? ? x ? ? ?

a?

? x ?1

? ln x ?
2

? ? ? b ,由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? 1 , 2

? x ?1?

x

2

? f ?1? ? 1 ?b ? 1 ? ? 且过点 ?1,1? ,故 ? 1 ,解得 a ? 1 , b ? 1 . 1 ,即 ? a ? f ? ?1? ? ? ? ?b ? ? 2 2 ?2 ?

(2)由(1)知 f ? x ? ?

ln x 1 ln x 1 ? x2 ?1 ? ? ,所以 f ? x ? ? ? 2ln x ? ? ?. x ?1 x x ?1 1 ? x2 ? x ?

2 2 2 x ? 1? ? x2 ?1 2 2 x ? ? x ? 1? ? ?? 考虑函数 h ? x ? ? 2ln x ? . ? x ? 0? ,则 h ? x ? ? ? x2 x x x2

所以当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0 .而 h ?1? ? 0 ,故 当 x ? ? 0,1? 时, h ? x ? ? 0 ,可得

?

1 h ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 ,可得 1 ? x2 1 ln x ln x h ? x ? ? 0 .从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0 ,即 f ? x ? ? . 2 1? x x ?1 x ?1

第四章三角函数
第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式
题型 44 终边相同的角的集合的表示与识别 题型 45 等分角的象限问题 题型 46 弧长与扇形面积公式的计算 题型 47 三角函数定义题 题型 48 三角函数线及其应用 题型 49 象限符号与坐标轴角的三角函数值 1.(2014 全国 I 文 2)若 tan ? ? 0 ,则() A. sin ? ? 0 B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

题型 50 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的 题型 51 诱导求值与变形

第二节三角函数的图像与性质
题型 52 已知解析式确定函数性质 2.(2011 全国文 11)设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? π? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ,则(). 4? 4? ?

A. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 4 对称 2? π π? ? 单调递增,其图象关于直线 x ? 2 对称 2?

B. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 4 对称 2? π π? ? 单调递减,其图象关于直线 x ? 2 对称 2?

D. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

3. .在函数① y ? cos 2 x ,② y ? cos x ,③ y ? cos ? 2 x ? 最小正周期为 ? 的所有函数为() A.①②③ B. ①③④ C. ②④ 题型 53 函数的值域(最值)

? ?

?? ?? ? ? ,④ y ? tan ? 2 x ? ? 中, 4? 6? ?

D. ①③

4.(2014 新课标Ⅱ文 14)函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos x 的最大值为 题型 54 根据条件确定解析式 5. (2012 全国文 9) 已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? 直线 x ? 图像的两条相邻的对称轴,则 ? ? (). A.

? ?? 和x ? 是函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 4 4 ? 2 ?? 4

? 4

B.

? 3

C.

D.

6.(2015 全国 I 文 8) 函数 f ( x) ? cos(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区 间为(). A. ? kπ ?

? ?

1 3? , kπ ? ? ? k ? Z ? 4 4?

B. ? 2kπ ?

? ?

1 3? , 2kπ ? ? ? k ? Z ? 4 4?

C. ? k ?

? ?

1 3? , k ? ? ? k ? Z? 4 4?
y 1

D. ? 2k ?

? ?

1 3? , 2k ? ? ? k ? Z ? 4 4?

O 1 4

5 4

x

题型 55 三角函数图像变换 7.(2013 全国 II 文 16)函数 y ? cos(2 x ? ? )(?π剟 ? π) 的图象向右平移

π 个单位后,与 2

函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象重合,则 ? ? _________. 3?

第三节三角恒等变换
题型 56 两角和与差公式的证明 题型 57 化简求值 8.(2011 全国 1 文 7)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线

y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ().
A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

9.(2013 全国 II 文 6)已知 sin 2? ?

2 π? ? ,则 cos 2 ? ? ? ? ? (). 3 4? ?

A.

1 1 1 2 B. C. D. 6 3 2 3
题型 58 三角函数综合

10.(2013 全国 I 文 9)函数 f ? x ? ? ?1 ? cosx ? sinx 在 ? ?π,π? 的图象大致为().
y y

1 π -π O x -π

1 O π x

A. y y

B.

1 -π O π x -π

1 O π x

C.

D.

11.(2013 全国 I 文 16)设当 x ? ? 时,函数 f ? x ? ? sinx ? 2cosx 取得最大值,则

cos? ? .
12.(2015 全国 II 文 11)如图所示, 长方形 ABCD 的边 AB ? 2 ,BC ? 1 ,O 是 AB 的中点, 点 P 沿着 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动点 P 到 A , B 两点距离之和表示为 x

的函数 f ? x ? ,则 y ? f ? x ? 的图像大致为().
D P

C

x A O B

y 2

y 2

y 2

y 2

O π π 3π π x 4 2 4

O π π 3π π x 4 2 4

O π π 3π π x 4 2 4

O π π 3π π x 4 2 4

A.

B.

C.

D.

第四节解三角形
题型 59 正弦定理的应用 13.(2013 全国 II 文 4)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 2 , B ?

π , 6

C?

π ,则 △ABC 的面积为(). 4
A. 2 3 ? 2 B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1

14.(2015 全国 II 文 17) △ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ? BAC , BD ? 2 DC . sin ?B (1)求 ; sin ?C (2)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B . 题型 60 余弦定理的应用 15.(2011 全国文 15) △ABC 中, B ? 120? , AC ? 7 , AB ? 5 ,则 △ABC 的面积为.

,B,C 的对边分别为 a,b,c , 16.(2013 全国 I 文 10)已知锐角△ABC 的内角 A
23cos2 A ? cos2A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ? ().
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 17.(2014 新课标Ⅱ文 17)(本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1 , BC ? 3 , CD ? DA ? 2 . (1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积. 题型 61 判断三角形的形状

题型 62 正、余弦定理与向量的综合 题型 63 解三角形的综合应用 18. ( 2012 全 国 文 17 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ,

c ? 3a sin C ? c cos A
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 ,△ ABC 的面积为 3 ,求 b, c . 19.(2014 新课标Ⅰ文 16)如图所示,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测 量 观 测 点 . 从 A 点 测 得 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? m .

20. (2015 全 国 I 文 17) 已 知 a, b, c 分 别 为 △ ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 ,
sin 2 B ? 2sin A sin C .
(1)若 a ? b ,求 cos B ; (2)设 ?B ? 90? ,且 a ?

2 ,求 △ ABC 的面积.

第四章试题详解
1.解析由 tan ? ? 0 得 ? 是第一、三象限角,若 ? 是第三象限角,则 A,B 错; 由 sin 2? ? 2sin ? cos ? 知 sin 2? ? 0 ,C 正确;

1 π ?1? ? 取 时, cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ? 0 ,D 错.故选 C. 3 2 ?2?
评注本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法, 具有一定的灵活性. 2.解析因为 f ( x) ? sin ? 2 x ?

2

? ?

π? π? π π? ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2 sin ?2 x ? ? ? ? 2 cos 2 x , 4? 4? 4 4? ? ?

当0 ? x ?

π ? π? 时, 0 ? 2 x ? π ,故 f ( x) ? 2 cos x 在 ? 0, ? 单调递减. 2 ? 2?

又当 x ?

π π π? ? 时, 2 cos ? 2 ? ? ? ? 2 ,因此 x ? 是 y ? f ( x) 的一条对称轴.故选 D. 2 2 2? ?

3.解析① y ? cos 2x ? cos2x ,最小正周期为 π ; ②由 y ? cos x 图像知的最小正周期为 π ;③ y ? cos ? 2 x ?

? ?

2π π? ? 的最小正周期 T ? 2 ? π ; 6?

④ y ? tan ? 2 x ?

? ?

π π? ? 的最小正周期 T ? 2 .因此选 A. 4?

评注本题考查三角函数的周期性, 含有绝对值的函数可先变形再判断, 或运用图像判断其最 小正周期. 4.解析 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2sin ? cos x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? 2sin ? cos x ?

sin x cos? ? cos x sin ? ? sin ? x ? ? ? ? 1 ,所以 f ? x ?max ? 1 .
5.分析利用三解函数的对称轴求得周期. 解 析 由 题 意 得 周 期 T ? 2?

2π 1 ? ?5 , 即 ? ?1 , 所 以 π ? π ? ? 2π , 所 以 2 π ? ? 4 ? ?4

f ( x)? s i n x ?(? ,所以 )

?π? ?π ? ? 5π ? ? 5π ? f ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?1 , f ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?1 . 因 为 0 ? ? ? π , 所 以 ?4? ?4 ? ? 4 ? ? 4 ?
5π π π π ? . 所以 ? ? ? ,所以 ? ? .故选 A. 4 4 2 4 T 5 1 2π ?π. 6.解析由图可知 ? ? ? 1 ,得 T ? 2 , ? ? 2 4 4 T
画出图中函数 f ? x ? 的一条对称轴 x ? x0 ,如图所示. 由图可知 x0 ?

π π ? ? ? 4 4

3 ? 3π ? ,则 cos ? ? ? ? ? ?1, 4 ? 4 ?

可得

3π π π? ? ? ? ? 2kπ ? π ,则 ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? ,得 f ? x ? ? cos ? πx ? ? . 4 4 4? ?
π 4 1 2kπ ? π ,得 f ? x ? 的单调递减区间为 2k ? 剟x 4 2k ? 3 . 4

由 2kπ 剟πx ? 故选 D.

y 1

O 1 4

x0 5 4 x

7.分析先进行平移,得出的三角函数与所给的三角函数进行比较,求出 ? 的值.

解析: y ? cos ? 2x ? ? ? 的图象向右平移

? ? ?? ? ? 个单位得到 y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? 的图象,整 2 2? ? ? ?
? ? ?? ? 的图象重合,所以 3?

理 得 y ?c o? ? s x2 ? ? ?? ? . 因 为 其 图 象 与 y ? s i n ? x2

? ? ? ? ?? ? ? 2k ? ,所以 ? ? ? ? ? ? 2k ? ,即 ? ? ? 2k ? .又因为 ?? ≤ ? < ? , ? ? ? ? ? 5? 所以 ? ? . ?

? ???

8.解析设 P(t , 2t )(t ? 0) 为角 ? 终边上任意一点,则 cos ? ?

t . 5t

当 t ? 0 时, cos ? ?

5 5 ;当 t ? 0 时, cos ? ? ? . 5 5
2 3 ? 1 ? ? .故选 B. 5 5

2 因此 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?

9.分析结合二倍角公式进行求解.

?? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? ? 1 ? sin 2 ? 2 ? ? ? ? ?? 2 3 ? 1 .故 ? 解析: 因为 sin 2? ? , 所以 cos ? ? ? ? ? 3 4? 2 2 2 6 ?
选 A. 10.分析先利用函数的奇偶性排除 B,再利用特殊的函数值的符号排除 A,而最后答案的选 择则利用了特定区间上的极值点. 解析:在 ? ??, ?? 上,因为 f ? ? x ? ? ? ?1 ? cos ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ?1 ? cos x ?? ? sin x ? ?

? ?1 ? cos x ? sin x ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? x ? 的图象关于原点对称,
排除 B. 取x?

? ,则 2

?? ??? ? f ? ? ? ?1 ? cos ? ? 1 > 0 ,排除 A. ?? ??? ?

因为 f ? x ? ? ?1 ? cos x ? sin x ,所以 f ? ? x ? ? sin x ? sin x ? ?1 ? cos x ? cos x

s? ? 1 ? cos2 x ? cos x ? cos2 x ? ?2cos2 x ? cos x ? 1. 令 f ? ? x ? ? 0 , 则 c o x
cos x ? 1 . 2 2 ? ,靠近 ? ,故选 C. 3

1 或

结合 x ?? ??, ?? ,求得 f ? x ? 在 ? 0, ?? 上的极大值点为

11.分析先利用三角恒等变换求得函数的最大值,再利用方程思想求解.

解析: y ? sin x ? 2cos x ? 5 ?

1 2 2 ? 1 ? = cos ? , ? sin ? , sin x ? cos x ? ,设 5 5 5 ? 5 ?

则 y ? 5 ? sin x cos ? ? cossin ? ? ? 5 sin ? x ? ? ? . 所以 x ? R ,所以 x ? ? ? R , 所以 ymax ? 5. 又因为 x ? ? 时, f ? x ? 取得取大值,所以 f

?? ? ? sin ? ? 2cos? ?

5.

1 ? sin ? ? , ? 2 5 5 ? 2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 ,所以 ? 即 cos ? ? ? . 2 5 ?cos ? ? ? , ? 5 ?
12.解析由已知可得,当 P 点在 BC 边上运动时, 即 0剟 x

π 时, PA ? PB ? 4

tan2 x ? 4 ? tanx ;
2

? 1 ? π 3π π ? 1? ? 1 ? 当 点 P 在 CD 边 上 运 动 时 , 即 剎x? , x ? 时 , PA ? PB ? ? 4 4 2 ? tan x ? ? 1 ? ? 1? ? 1 ;当 x ? π 时, PA ? PB ? 2 ? 2 ? tan x ?
当点 P 在 AD 边上运动时,即
2

2;

3π 剎x? π 时, PA ? PB ? 4

tan2 x ? 4 ? tanx .

从点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ? 型.故选 B.

?π? ?π? π 对称, f ? ? ? f ? ? ,且轨迹非直线 2 ?4? ?2?

评注本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法, 特别是体现了分类讨论和数形结 合的思想. 13.分析先由正弦定理解出 c 的值,再运用面积公左求解. 解析:因为 B ?

? ? ? ? 7? . , C ? ,所以 A ? ? ? B ? C ? ? ? ? ? 4 ? ? ?? 6

由正弦定理

b c ? ,得 sin B sin C

2 sin ? ?

?

c sin ? ?

,即

2 c ? ,所以 c ? 2 2 . 1 2 2 2

所以 S△ ABC ?

1 1 7? bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin ? 3 ? 1 .故选 B. 2 2 12
sin ?B DC 1 ? ? . sin ?C BD 2

14.分析 (1)根据题意,由正弦定理可得

(2) 由 诱 导 公 式 可 得

sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B , 由 (1) 可 知 2 2

2sin ?B ? sin ?C ,所以 tan ?B ?
解 析 (1) 由 正 弦 定 理 得 ,

3 , ?B ? 30? . 3

AD BD AD DC ? ? . 因 为 AD 平 分 , sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 ? ? . ?BAC , BD ? 2 DC ,所以 sin ?C BD 2
?

(2)因为 ?C ? 180

? ? ?BAC ? ?B? , ?BAC ? 60? ,
3 1 cos ?B ? sin ?B .由(1)知 2sin ?B ? sin ?C ,所 2 2

所以 sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

以 tan ?B ?

3 ,即 ?B ? 30? . 3

评注三角是高中数学的重点内容, 在高考中主要利用三角函数, 三角恒等变换及解三角形的 正弦定理及余弦定理,在求解时,注意角的转化及定理的使用. 15.解析由余弦定理知 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos120? , 即 49 ? 25 ? BC 2 ? 5BC ,解得 BC ? 3 . 故 S△ABC ?

1 1 3 15 3 15 3 .故答案为 . AB ? BC sin120? ? ? 5 ? 3 ? ? 2 2 2 4 4
1 .因为 A 5

16.分析先求出角 A 的余弦值,再利用余弦定理求解. 解析: 由 23cos2 A ? cos 2 A ? 0 得 23cos2 A ? 2cos 2 A ? 1 ? 0 , 解得 cos A ? ? 是锐角, 所以 cos A ?

1 1 2 ? ,所以 . 又 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,所以 49 ? b ? 36? 2? b ? 6 5 5 13 b ? 5 或 b ? ? .又因为 b > 0 ,所以 b > 5 .故选 D. 5

17.解析(1)由题设及余弦定理得 BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C ? 13 ? 12cos C , ①

BD2 ? AB2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A ? 5 ? 4cos C .


1 ,故 C ? 60? , BD ? 7 . 2 (2)四边形 ABCD 的面积
由①,②得 cos C ?

S?

1 1 1 ?1 ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C ? ? ?1? 2 ? ? 3 ? 2 ? sin 60? ? 2 3 . 2 2 2 ?2 ?

评注本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算, 考查运算求解能力和转化的思想, 把四 边形分割成两个三角形是求面积的常用方法. 18. 解 析 ( 1 ) 由 c ? 3 a s i ? n C 正 弦 定 理 得 c c及 oAs

3 s A i n C? s i n

c oAs

s C ?i n

? C s. i n
? ?

0
π π? 1 ? ? . 又 0 ? A ? π ,故 A ? 3 . 6? 2

由于 sin C ? 0 ,所以 sin ? A ?

(2) △ABC 的面积 S ?

1 bc sin A ? 3 ,故 bc ? 4 .而 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,故 2

b2 ? c 2 ? 8 .

解得 b ? c ? 2 .

? 19.解析在 Rt△ ABC 中, ?CAB ? 45 , BC ? 100

m ,所以 AC = 100 2 m .
?

在 △ AMC 中 , ?MAC ? 75 , ?MCA ? 60 , 从 而 ?AMC ? 45 , 由 正弦 定 理 得,

?

?

AC AM ? , 因 此 AM ? 100 3 m . 在 Rt△MNA 中 , AM ? 1 0 0 3 m, ? sin 45 sin 60?

?MAN ? 60? ,由

MN 3 ? sin 60? 得 MN ? 100 3 ? ? 150 m ,故填150 . AM 2
2

20. 解析(1)由正弦定理得, b ? 2ac .又 a ? b ,

?a? a ? ? ? ? a2 2 2 2 a ?c ?b 1 ?2? 2 ? ? . 所以 a ? 2ac ,即 a ? 2c .则 cos B ? a 2ac 4 2a ? 2
2
2 ? (2)解法一:因为 ?B ? 90 ,所以 sin B ? 1 ? 2sin A sin C ? 2sin A sin 90 ? A ,

2

?

?

?

?B ? 90 , 即 2sin A cos A ? 1 , 亦即 sin 2 A ? 1 .又因为在 △ ABC 中, 所以 0 ? ?A ? 90 ,
则 2?A ? 90 , 得 ?A ? 45 . 所 以 △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 得 a ? c ? 2 , 所 以
? ?

?

?

1 S△ ABC ? ? 2 ? 2 ? 1. 2
解法二:由(1)可知 b ? 2ac ,①
2

因为 ?B ? 90 ,所以 a 2 ? c 2 ? b2 ,② 将 ② 代入 ① 得 ? a ? c ? ? 0 ,则 a ? c ? 2 ,所以 S△ ABC ?
2

?

1 ? 2 ? 2 ?1. 2

第五章平面向量
第一节平面向量的线性运算及其坐标表示
题型 65 平面向量的基本概念 题型 66 平面向量的线性表示 题型 67 向量共线的运用 题型 68 平面向量基本定理及应用 1. (2014 新课标Ⅰ文 6) 设 D, E, F 分别为 △ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点, 则 EB ? FC ? () A. AD B.

1 AD 2

C. BC

D.

1 BC 2

题型 69 向量与三角形的四心 2.(2015 全国 II 文 7)已知三点 A?1,0 ? , B 0, 3 , C 2, 3 ,则 △ABC 外接圆的圆心到 原点的距离为().

?

?

?

?

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3
????

D.

4 3

题型 70 平面向量的坐标运算 3.(2015 全国 I 文 2) 已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? ? ?4, ?3? ,则向量 BC ? (). A.

??? ?

? ?7, ?4?
?1

B.

? 7, 4 ?

C.

? ?1, 4?
1 2

D. ?1, 4 ?

4.(2015 全国 II 文 4)向量 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1,2? ,则 ? 2a ? b ? ? a ? (). A. B. 0 C. D.

题型 71 向量共线(平行)的坐标表示

第二节平面向量的数量积
题型 72 平面向量的数量积 5.(2011 全国文 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数,若向量 a ? b 与向量 ka ? b 垂直, 则k ?. 6.(2012 全国文 15)已知向量 a , b 夹角为 45? ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ? .

7. (2013 全国 I 文 13) 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60? , 若b?c ? 0 , c ? ta ? ?1 ? t ? b , 则t ?. 8.(2013 全国 II 文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______. 9.(2014 新课标Ⅱ文 4)设向量 a, b 满足 a ? b ? 10 , a ? b ? 6 ,则 a ? b ? () A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

??? ? ??? ?

第五章试题详解
1.解析设 AB ? a , OP ? b ,则 EB ? ? 从而 EB ? FC ? ? ? 2.解析

uu u r

uu u r

uur

uuu r 1 1 b ? a , FC ? ? a ? b , 2 2

uur

uuu r

uuu r ? 1 ? ? 1 ? 1 b ? a ? ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? AD ,故选 A. ? 2 ? ? 2 ? 2

因为圆心在直线 BC 的垂直平分线 x ? 1 上,设圆心 D

?1,b? ,由 DA ? DB 得
2

b ? 1? b ? 3
故选 B.

?

?

2

,所以 b ?

2 2 3 ?2 3? 21 .所以圆心到原点的距离 d ? 1 ? ? . ? ? ? ? 3 3 3 ? ?

3.解析 BA ? ? 0 ? 3,1 ? 2? ? ? ?3, ?1? ,

??? ?

??? ? ??? ? ???? BC ? BA ? AC ? ? ?3 ? 4, ?1 ? 3? ? ? ?7, ?4 ? .故选 A.
4.解析
2 由向量的坐标表示方法知, a = a =2 , a ? b = ?3 .故有 2

? 2a ? b? ? a=2a2 ? a ? b=

2 ? 2 ? 3=1.故选 C.
5.解析因为 a 与 b 为两个不共线的单位向量,所以 a ? b ? 1 . 又 ka ? b 与 a ? b 垂直,所以 ? a ? b? ? ? ka ? b? ? 0 , 即 ka 2 ? ka ? b ? a ? b ? b2 ? 0 ,所以 k ? 1 ? ka ? b ? a ? b ? 0 , 即 k ? 1 ? k cos ? ? cos ? ? 0 . ( ? 为 a 与 b 的夹角) 所以 ? k ?1??1 ? cos? ? ? 0 ,又 a 与 b 不共线,所以 cos ? ? ?1 ,所以 k ? 1 .故答案为 1 . 6.分析利用平面向量的数量积概念,模的概念求解.
? ? 解析因为 a , b 夹角为 45 , a ? 1 ,所以 a ? b ? a ? b cos 45 ?

2 b. 2

2a ? b ? 4 ? 4 ?

2

2 2 b ? b ? 10 ,所以 b ? 3 2 . 2

7.分析直接利用平面向量的数量积运算求解. 解 析 : a ? b ? 1, a, b ? 60? . 因 为 c ? ta ? ?1 ? t ? b , 所 以 b ? c ? ta ? b ? ?1? t ? b2 ?

1 t t t t ?1?1? ? ?1 ? t ? ?1 ? ? 1 ? t ? 1 ? .因为 b ? c ? 0 ,所以 1 ? ? 0 ,所以 t ? 2 . 2 2 2 2
8.分析先建立平面直角坐标系,结合向量数量积知识求解. 解析:如图,以 A 为坐标原点, AB 所在的直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴,建立平 面直角坐标系, 则 A? 0,0? ,B ? 2,0? ,D ? 0,2? ,E ?1, 2 ? , 所以 AE ? ?1, 2? , BD ? ? ?2, 2? , 所以 AE ? BD ? 1? ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? 2 . 9. 解 析 因 为 a ? b ? 10 , 所 以 a 2 ? 2a ? b ? b2 ? 10 . ① 又 a ? b ? 6 , 所 以

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

a 2 ? 2a ? b ? b2 ? 6 . ② ① ? ② ,得 4a ? b ? 4 ,即 a ? b ? 1 ,故选 A.

第六章数列
第一节等差数列与等比数列
题型 72 等差、等比数列的通项及基本量的求解 题型 73 等差、等比数列的求和 1. (2012 全国文 14) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S3 ? 3S2 ? 0 , 则公比 q ? ________. 2.(2013 全国 I 文 6)设首项为 1 ,公比为 A. Sn ? 2an ?1 C. Sn ? 4 ? 3an

2 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则(). 3

B. Sn ? 3an ? 2 D. Sn ? 3 ? 2an

3.(2014 新课标Ⅱ文 5)等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? () A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C.

n ( n ? 1) 2

D.

n ( n ? 1) 2

4.(2011 全国文 17)已知等比数列 ?a? 中, a2 ? (1) Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,证明: S n ?

1 1 ,公比 q ? . 3 3

1 ? an ; 2

(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 bn 的通项公式. 5.(2015 全国 I 文 13)在数列 则 n ?.

a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和.若 Sn ? 126 , ?an ? 中,

题型 74 等差、等比数列的性质及其应用 6.(2015 全国 I 文 7)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列,Sn 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 则 a10 A.

? 4S4 ,

? ().
B.

17 2

19 2

C. 10

D. 12

7.(2015 全国 II 文 5)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 D. 11 1 8. (2015 全国 II 文 9) 已知等比数列 an 满足 a1 ? , a3a5 4 1 1 A. 2 B. 1 C. D. 2 8 A. 5 B. 7 C. 9

? 3 ,则 S5 ? ().

? ?

? 4 ? a4 ? 1? ,则 a2 ? ().

题型 75 判断或证明数列是等差、等比数列

第二节数列的通项公式与求和
题型 76 数列通项公式的求解 9.(2014 新课标Ⅱ文 16)数列 {an } 满足 an ?1 ? 题型 77 数列的求和 10.(2012 全国文 12)数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 ?an ? 的前 60 项和为(). A. 3690 B.

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? . 1 ? an

3660

C. 1845

D. 1830

11.(2013 全国 I 文 17)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0,S5 ? ?5 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

12.(2014 全国 I 文 17) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的根.

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

第三节数列的综合
题型 78 等差数列与等比数列的综合 13.(2013 全国 II 文 17)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等 比数列. (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n?2 题型 79 数列与函数、不等式的综合 题型 80 数列的应用题

第六章试题详解
1.分析利用等比数列的通项公式求解. 解 析 S3 ? 3S2 ? 0 , 所 以 a1 ? a 2 ? a 3 ? 3? a 1? a
2

? ? 0 , 所 以 a1 ? 4 ? 4q ? q2 ? ? 0 , 因 为

a1 ? 0 ,所以 q ? ?2 .
2.分析可以直接利用等比数列的求和公式求解, 也可以先求出通项和前 n 项和, 再建立关系.

2 1 ? an ? a1 ? an q 3 ? 3 ? 2a . 解析:方法一:在等比数列 ?an ? 中, Sn ? ? n 2 1? q 1? 3
方法二:在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, q ?

2 ?2? , 所以 an ? 1? ? ? 3 ?3?

n ?1

? 2? ?? ? ? 3?

n ?1

.

? ? 2 ?n ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ?n ? ? 2 ? 2 ?n ?1 ? ?3? ? ? ? ? Sn ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 2an . 故选 D. 2 ? ? ? 3?3? ? ? ? ?3? ? ? 1? 3
2 3.解析因为 a2 , a4 , a8 成等比数列,所以 a4 ? a2 ? a8 ,即 ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 7d ? ,将
2

d ? 2 代入上式,解得 a1 ? 2 ,所以 Sn ? 2n ?

n ? n ? 1? ? 2 ? n ? n ? 1? .故选 A. 2

4.解析(1)因为 an ?

1 ?1? ?? ? 3 ? 3?

n ?1

1? 1? 1 ? ? ?1 ? n ? 1? n ? ? 1 3 3 ? 3 ,所以 S ? 1 ? an . ? ? n , Sn ? ? n 2 2 1 3 1? 3
n ? n ? 1? .所以 ?bn ? 的通 2

(2) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ? ? ?1 ? 2 ??? n? ? ?

项公式为 bn ? ?

n ? n ? 1? . 2
an ?1 ? 2 ,即数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. an

5.解析由 an?1 ? 2an ,得

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 126 ,得 n ? 6 . 8 ?8 ? 1? 4 ? 4 ? 1? ? ? ?1 ? 4 ? 4a1 ? ?1? , 2 2 ? ?

6.解析解法一:由 S8 ? 4S4 , d ? 1 ,知 8a1 ? 解得 a1 ?

1 1 19 .所以 a10 ? ? ?10 ? 1? ? 1 ? .故选 B. 2 2 2

解法二:由 S8 ? 4S4 ,即 4 ? a1 ? a8 ? ? 4 ? 2 ? a1 ? a4 ? ,可得 a8 ? a1 ? 2a4 . 又公差 d ? 1 ,所以 a8 ? a1 ? 7 ,则 2a4 ? 7 ,解得 a4 ? 所以 a10 ? a4 ? 6 ? 7.解析

7 . 2

19 .故选 B. 2

由已知 a1 ? a 3 ?a5

? 3 ,则 3a3 ? 3 , a3 ? 1 .

又因为 S5

?

5 ? a1 ? a5 ? 5 ? 2a3 ? = 5a3 =5 .故选 A. 2 2

8. 解 析 由 等 比 数 列 的 性 质 得

a3a5 ? a42 , 即 a42 ? 4 ? a4 ?1? , 则 a4 ? 2

.所以有

q3 ?

a4 ?8, a1
1 .故选 C. 2

所以 q ? 2 .故 a2 ? a1q ? 9.解析由 an ?1 ?

1 1 1 1 1 , 得 an ? 1 ? , 因为 a8 ? 2 , 所以 a7 ? 1 ? ? , a6 ? 1 ? ? ?1 , 2 2 a7 1 ? an an ?1

a5 ? 1 ?

1 1 ? 2 , ? ,所以 ?an ? 是以 3 为周期的数列,所以 a1 ? a7 ? . 2 a6

10.分析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解. 解析因为 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1,所以 a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 2 ? a1 , a4 ? 7 ? a1 , a5 ? a1 ,

a6 ? 9 ? a1 ,a7 ? 2 ? a1 ,a8 ? 15 ? a1 ,a9 ? a1 ,a10 ? 17 ? a1 ,a11 ? 2 ? a1 ,a12 ? 23 ? a1 ,

? , a57 ? a1 , a58 ? 113 ? a1 , a59 ? 2 ? a1 , a60 ? 119 ? a1 ,
所以 a1 ? a2 ? ? ? a60 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ??

? ? a57 ? a58 ? a59 ? a60 ? ? 10 ? 26 ? 42 ? ? 234 ?

15 ? ?10 ? 234 ? ? 1830. 故选 D. 2

11.分析(1)结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解; (2)裂项求和, 但要注意裂项后的系数. 解析:解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? ?3a1 ? 3d ? 0, d . 由已知可得 ? 2 ?5a1 ? 10d ? ?5.

解得 ?

? a1 ? 1, 故 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? n . ? d ? ?1.

(2)由(1)知

1 a2 n? 1a

?
n 2? 1

? 3 ? 2n ??1 ? 2n ?

1

=

1? 1 1 ? ? ? ? ,从而数列 2 ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?

? 1 ? ? a2 n ? 1a

2 n?

? 1? 1 1 1 1 1 1 ? n . ? ? 的前 n 项和为 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? 1 1 1 3 2 n ? 3 2 n ? 1 1 ? 2 n ? ? 1 ?

12.解析(I)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为 2 , 3 ,由题意得 a2 设数列 ?an ? 的公差为,则 a4 ? a2

? 2 , a4 ? 3 .

? 2d ,故 d ?

1 3 ,从而 a1 ? . 所以 ?an ? 的通项公式为 2 2

an ?

1 n ?1. 2

(II)设 ? 则 Sn ?

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为 Sn ,由(I)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 n ?1 n ? 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , Sn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n? 2 . 2 4 ?2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2

所以 S n ? 2 ?

n?4 . 2n ?1

评注本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前 n 项和, 第 (I) 种由条件求首项、 公差, 进而求出结论是基本题型,第(II)问中,运算准确是关键. 13.分析(1)先设出公差 d ,根据已知条件求出公差,可得出通项公式; (2)所求的和成了 一个新的数列,求出该数列的首项和公差,运用数列的前 n 项和公式求解.
2 解析: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 a11 ? a1a13 ,即 ? a1 ? 10d ? ? a1 ? a1 ? 12d ? .
2

于是 d ? 2a1 ? 25d ? ? 0 .又 a1 ? 25 ,所以 d ? 0 (舍去) , d ? ?2 .故 an ? ?2n ? 27 . (2)令 Sn ? a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3 n?2 .由(1)知 a3n?2 ? ?6n ? 31,故 ?a3n?2 ? 是首项为 25, 公差为 ?6 的等差数列.从而 Sn ?

n n ? a1 ? a3n?2 ? ? ? ?6n ? 56 ? ? ?3n2 ? 28n . 2 2

第七章不等式
第一节不等式的性质
题型 81 不等式的性质 题型 82 比较数(式)的大小与比较法证明不等式 题型 83 已知不等式的关系,求目标式的取值范围

第二节基本不等式及其应用
题型 84 基本不等式及其应用 题型 85 利用基本不等式求函数最值 题型 86 利用基本不等式证明不等式

第三节不等式的解法
题型 87 不等式的解法 题型 88 绝对值不等式的解法

第四节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
题型 89 二元一次不等式组表示的平面区域 题型 90 平面区域的面积 题型 91 求解目标函数的取值范围或最值 1.(2011 全国文 14)若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 剟2 x ? y 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值 ?6 剟x ? y 9

为. 2.(2012 全国文 5) 已知正三角形 ABC 的顶点 A?1,1? , B ? 1,3 ? ,顶点 C 在第一象限,若点

? x, y ? 在△ ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是().
A. 1 ? 3, 2

?

?

B.

? 0, 2 ?

C.

?

3 ? 1, 2

?

D. 0,1 ? 3

?

?

3.(2013 全国 I 文 14)14. 设 x, y 满足约束条件 ? 为.

?1≤ x ≤ 3 ,则 z ? 2x ?y 的最大值 ??1≤ x ? y ≤ 0

0, ? x ? y ? 1… ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是(). 4.(2013 全国 II 文 3).设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1… ? x? 3, ?
A. ?7 B. ?6 C. ?5 D. ?3

? x ? y ? 1≥0 ? 5. (2014 新课标Ⅱ文 9) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1≤0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 () ? x ? 3 y ? 3≥0 ?
A. 8 B. 7 C. 2 D. 1

? x? y ?2? 0 ? 6. (2015 全国 I 文 15)若满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为. ? 2 x ? y ? 2 …0 ?

?x ? y ? 5? 0 ? 7.(2015 全国 II 文 14)若 x 、 y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 …0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为. ? x ? 2 y ? 1? 0 ?
题型 92 求解目标函数中参数的取值范围 8.(2014 新课标Ⅰ文 11)设 x, y 满足约束条件 ? 则 a ? () A. ?5 B. 3 C. ?5 或 3 D. 5 或 ?3 题型 93 简单线性规划问题的实际运用

? x ? y≥a ,且 z ? x ? ay 的最小值为 7 , ? x ? y≤ ? 1

第五节不等式的综合
题型 94 不等式恒成立问题中求参数的取值范围 题型 95 函数与不等式综合

第七章试题详解

1.解析在坐标系中画出可行域,如下图. 可知当直线过点 A 时取得最小值, 由?

9

y

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? A(4, ?5) , ?x ? y ? 9 ? 0

3
O

6

可得 A 的坐标为 (4, ?5) ,故 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 . 故答案为 ?6 . 2.分析利用线性规划知识,求解目标函数的取值范围.

x ? y ?9 ? 0 9 x

A 2x ? y ? 3 ? 0

解析如图所示,根据题意得 C 1 ? 3, 2 .作直线 ? x ? y ? 0 , 并向上或向下平移,过点 B ?1,3? 和 C 1 ? 3, 2 时,

?

?

y B (1,3) C (1+ 3,2) A (1,1) O x

?

?

z ? ? x ? y 取范围的边界值,

? 取值范围是 ?1 ?

即 ? 1 ? 3 ? 2 ? z ? ?1 ? 3 ,所以 z ? ? x ? y 的

?

3, 2 .故选 A.

?

-x+y=0

3.分析作出可行域,进一步探索最大值. 解析: 作出可行域如图阴影部分.作直线 2 x ? y ? 0 , 并向右平移, 当平移至直线过点 B 时,

? x ? 3, 得 B ? 3,3? .所以 zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 . z ? 2 x ? y 取最大值.而由 ? ? x ? y ? 0,
4.分析本题可先画出可行域,然后根据图象确定出最小值点进行解答. 解析:作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线 z ? 2 x ? 3 y 过点 C 时, z 取得最小值.由 ?

? x ? 3, ? x ? 3, 得? 所以 zmin ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ?6 ,故选 B. ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? 4,

1 z z x? , 2 2 2 1 z z 1 z 为直线 y ? ? x ? 在轴上的截距, 要使 z 最大, 则需 最大, 所以当直线 y ? ? x ? 经 2 2 2 2 2
5.解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由 z ? x ? 2 y ,得 y ? ? 过点 B ?3,2? 时, z 最大,最大值为 3 ? 2 ? 2 ? 7 ,故选 B.

y 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 A 1 2 3 x B

y y=2x+2 A 1 y= (x+1) B 2 C O y=-x+2 y=-3x x

6. 解析画出满足不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.

1 ? ? y ? ? x ? 1? 联立 ? ,得 B ?1,1? . 2 ? ? y ? ?x ? 2
由图可知当直线 y ? ?3x 经过点 B ?1,1? 时,

z 取得最大值. zmax ? 1 ? 3 ? 4 .

7.分析本题可作出可行域求解,也可以把不等式看成等号,求出三个顶点,代入目标函数计 算可快速取出最值. 解析 三个顶点为

, 2? , 3? 及 ? 3, 代入 z ? 2 x ? y 得, 当 x ? 3 ,y ? 2 时,Zmax ? 8 . ?11 ? ,? 2,

评注线性规划问题是近年考试的热点, 关键体现不等式及不等式组在实际中的应用, 对于不 含参数的问题可代入顶点值求解,也可以画出可行域来求解. 8. 解析二元一次不等式组表示平面区域如图所示,其中 A ?

? a ?1 a ? 1 ? , ? . 由 z ? x ? ay 得 2 ? ? 2

1 z 1 x ? .由图可知当 ?1 剟? 1 时, z 可取得最小值,此时 a …1 或 a ? ?1 .又直线 a a a 1 z a ?1 a ?1 y ? ? x ? 过 A 点时,z 取得最小值, ? a? ? 7, 因此 化简得 a 2 ? 2a ? 15 ? 0 , a a 2 2 解得 a ? 3 或 a ? ?5 ,均符合题意,故选 C. y??
y x-y=-1

a 1 -1 O

A a x x+y=a

评注本题考查简单的线性规划问题,对含字母系数的问题,一要判断存在最小值的条件,二 要考虑字母系数对平面区域的影响.

第八章立体几何
第一节空间几何体及其表面积和体积
题型 94 几何体的表面积与体积 1.(2014 新课标Ⅱ文 7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的体积为() A. 3

B.

3 2

C. 1

D.

3 2

2.(2015 全国 I 文 6) 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放 米(如图所示,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有(). A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛

3.(2011 全 国 文 18) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 底 面 A B C D为 平 行 四 边 形 ,

?DAB ? 60? , AB ? 2 AD ,
PD ? 底面 ABCD .
(1)证明: PA ? BD ; (2)若 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高. 4.(2012 全国文 19)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 900 ,

AC ? BC ?

1 AA1 , D 是棱 AA1 的中点. 2

(1)证明: 平面BDC1 ? 平面BDC

(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 5. ( 2013 全 国 I 文 19 ) 如 图 , 三 棱 柱 ABC -A1B1C1 中 ,
C1

C

CA ? CB,AB ? AA1,?BAA1 ? 60? .
(1)证明: AB ? AC ; 1
A B B1 A1

,AC ? 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. (2)若 AB ? CB ? 2 1
6.(2013 全国 II 文 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是
A1

C1

AB , BB1 的中点.
B1

(1)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1;

AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1DE 的体积. (2)设 AA 1 ? AC ? CB ? 2 ,
7.(2014 新课标Ⅰ文 19)(本题满分 12 分) 如图所示, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,

E A D B

C

B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C .
(1)求证: B1C ? AB ; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1 ,求三棱柱

A

A1

C O

C1 B1

ABC ? A1B1C1 的高.
8.(2014 新课标Ⅱ文 18)(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点. (1)求证: PB∥ 平面 AEC ; (2)设 AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积

B

P E
A

D

V?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

B
9. (2015 全国 I 文 18)如图所示,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE ? 平面 ABCD . (1)求证:平面 AEC ? 平面 BED ;

C

(2)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC ,三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面 3

积.

AB ? 16 , BC ? 10 , 10. (2015 全国 II 文 19)如图所示, 长方体 ABCD ? A AA1 ? 8 , 1B 1C1D 1 中,

E , F 的平面 点 E , F 分别在 A 1F ? 4 .过点 1B 1, D 1C1 上, AE1 ? D
相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求平面

? 与此长方体的面

? 把该长方体分成的两部分体积的比值.
D1 F C1 B1 B C

A1 A

E D

题型 95 旋转体的表面积、体积与球面距离 11.(2011 全国文 16)已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个 球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 较大者的高的比值为. 12.(2012 全国文 8)8. 平面 ? 截球 ? 的球面所得圆的半径为1 ,球心 ? 到平面 ? 的距离为

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积 16

2 ,则此球的体积为().
A.

6?

B. 4 3?

C.

4 6?

D. 6 3?

13. (2013 全国 I 文 15) 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH : HB ? 1: 2 ,AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为. 题型 96 几何体的外接球与内切球 14.(2013 全国 II 文 15)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 为球心, OA 为半径的球的表面积为________. 15.(2015 全国 II 文 10)已知

3 2 ,底面边长为 3 ,则 O 2

A 、 B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90o , C 为该球面上
C. 144 π D. 256 π

﹣ABC 体积的最大值为 36 ,则球 O 的表面积为(). 的动点.若三棱锥 O
A. 36π B. 64π

第二节空间几何体的直观图与三视图
题型 97 斜二测画法与直观图 题型 98 空间几何体的三视图 16.(2011 全国文 8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视 图可以为(). A. B.

C.

D.

17.(2012 全国文 7)如图所求,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是 某几何体的三视图,则此几何体的体积为(). A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 18.(2013 全国 I 文 11)某几何函数的三视图如图所示,则该 何体的体积为(). A. B. C. D.
2 2 4 2 4



16 ? 8 π 8 ? 8π 16 ? 16 π 8 ? 16 π
4

2

19. (2013 全国 II 文 9) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1, 0,1)

(1,1, 0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,
则得到正视图可以为().

A. B.C.D. 20.(2014 新课标Ⅰ文 8)如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几 何体的三视图,则这个几何体是() A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

21.(2014 新课标Ⅱ文 6)如图所示,网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示 1cm ) ,图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm ,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削 得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为() A.

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

22. (2015 全国 I 文 11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ? 20 π , 则 r ?() . A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

23.(2015 全国 II 文 6)一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为(). 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 7 6 5

主视图

侧视图

俯视图

第三节空间点、直线、平面之间的关系
题型 99 证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 题型 100 异面直线的判定

第四节直线、平面平行的判定与性质
题型 101 证明空间中直线、平面的平行关系(可参见本章第 6/8 题) 题型 102 与平行有关的探究开放性问题

第五节直线、平面垂直的判定与性质
题型 103 证明空间中直线、平面的垂直关系(可参见本章第 3/4/5/7/9 题) 题型 104 与垂直有关的探究开放性问题

第八章试题详解
1. 解析 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,因为 AD ? BC ,所以 AD ? 平面 B1DC1 ,所以

1 1 1 VA? B DC ? S△ B DC ? AD ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ,故选 C. 3 3 2
1 1 1 1

C1

A1 C D A

B1

B

1 1 320 8 16 ? 16 ? 2.解析由 l ? ? r ,得 r ? ? ? . V ? ? ? 3? ? ? ? 5 ? . 4 3 9 ? 3 3 ?3? 2
l

2

故堆放的米约有

320 ? 1.62 ? 22 (斛).故选 B. 9

3.解析(1)因为 ?DBA ? 60? , AB ? 2 AD ,由余弦定理得 BD ? 3 AD ,
2 2 2 从而 BD ? AD ? AB ,故 BD ? AD ,又 PD ? 底面 ABCD ,可得 BD ? PD .

所以 BD ? 平面 PAD ,故 PA ? BD . (2)如图所示,作 DE ? PB ,垂足为 E .已知 PD ? 底面 ABCD ,则 PD ? BC . 由(1)知 BD ? AD ,又 BC∥AD ,所以 BC ? BD . 故 BC ? 平面 PBD , BC ? DE ,则 DE ? 平面 PBC . 因为 AD ? 1 , AB ? 2 , ?DAB ? 60? , 所以 BD ? 3 ,又 PD ? 1 ,所以 PB ? 2 . 根据 DE ? PB ? PD ? BD ,得 DE ?

3 3 ,即棱锥 D ? PBC 的高为 . 2 2

4.解析( 1)证明:由题设知 BC ? CC1 , BC ? AC , CC1 ? AC ? C ,所以 BC ? 平面

ACC1 A1 .又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以 DC1 ? BC .由题设知 ?A1DC1 ? ?ADC ? 45? ,所
以 ?CDC1 ? 90? ,即 D C 1 ?

C ,所以 C . D .又 C D C? B ? DC1 ? 平面 B D C
1 1 ? 2 1 ? ?1?1 ? .又三棱 3 2 2

(2)设棱锥 B ? D A C C V1 , AC ? 1 ,由题意得 V1 ? 1 的体积为 柱

ABC ?

1

V ? 1 ,所以 ?V ?V1 ? : V1 ? 1:1 .故平面 B D 1C 的体积 分此棱柱所得两部分体积的 A1 B 1C

比为 1 : .1 5.分析(1)先证明直线与平面垂直,再利用线面垂直的性质求解; (2)先证明三棱柱的高, 再利用体积公式求解体积. 解析: (1)取 AB 的中点 O ,连接 OC , OA1 , A1B .因为 C A?

C ,所以 B O C?

A .由于 B

A B?

A A?BAA1 ? 60? , 故 △A A 为等边三角形, 所以 O A 1 B 1 ? 1,
1

A.因为 B O C? O A , O 1 ?

C AC ? 平面OAC 所以 A B? 平面 O ,故 A B? 1 A.又 1 1

A .C

(2)由题设知 △ ABC 与 △A A 都是边长为 2 的等边三角形,所以 O C? 1 B
2 AC ? OC 2? OA1 2, 故 O A ? A? B 因 为 O C O. C 1 1 ? 6 , 则 AC 1 ?

O A 3 .又 1 ?
O所以 ,

OA1 ? 平面ABC , OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.又 △ ABC 的面积 S△ABC ? 3 ,故三
棱柱 ABC -A1B1C1 的体积 V ? S△ABC ? OA 1 ?3. 6.分析(1)运用直线与平面平行的判定定理进行求解; (2)求三棱锥的体积,应先找出三 棱锥的高及底面积并求出,然后运用体积公式求解. 解析: (1) 证明: 连接 AC1 交 AC 于点 F , 则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点, 连接 DF , 1 则 BC1 // DF .因为 DF ? 平面ACD , BC1 ? 平面ACD ,所以 BC1 // 平面ACD . 1 1 1 (2) 解: 因为 ABC -A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1 ? CD .由已知 AC ? CB ,D 为 AB 的 中 点 , 所 以 CD ? AB . 又 AA1 ? AB ? A , 于 是 CD // 平面ABB1 A 1 . 由

AA1 ? AC ? CD ? 2, AB ? 2 2 得 ?ACB ? 90? , CD ? 2 , A1D ? 6 , DE ? 3, A1E ? 3 , 故
A1D2 ? DE 2 ? A1E 2
, 即

DE ? A1D

. 所 以

1 1 V三棱锥C -A1DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1 . 3 2
7. 解 析 ( 1 ) 连接 BC1 , 则 O 为 B1C 与 BC1 的 交点 . 因为 侧面 BB1C1C 为 棱 形 , 所 以 所以 B1C ? AO , 故 B1C ? 平面 ABO .由于 AB ? 平 B1C ? BC1 .又 AO ? 平面 BB1C1C , 面 ABO ,故 BC1 ? AB .
A A1

H C D B O B1

C1

(2)作 OD ? BC ,垂足为 D ,连接 AD .作 OH ? AD ,垂足为 H .由于 BC ? AO , BC ? OD , 故 BC ? 平面 AOD , 所以 OH ? BC .又 OH ? AD , 所以 OH ? 平面 ABC .
? 因 为 ?CBB1 ? 60 , 所 以 △CBB1 为 等 边 三 角 形 , 又 BC ? 1 , 可 得 OD ?

3 .由于 4

所以 OA ? AC ? AB1 ,

1 1 7 2 2 B1C ? .由 OH ? AD ? OD ? OA , 且 AD ? OD ? OA ? , 2 2 4

得 OH ?

21 21 . 又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 . 故三棱柱 14 7

ABC ? A1B1C1 的高为

21 . 7

评注本题考查直线与平面垂直的判定, 点到平面的距离的求法等知识, 同时考查空间想象能 力和逻辑推理能力.第(2)文中作出垂线段是关键,也可用等积法求解. 8.解析(I)设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO .因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中 点.又 E 为 PD 的中点,所以 EO //PB . EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB // 平 面 AEC . (II) V ?

3 1 3 3 PA ? AB ? AD ? AB .由 V ? ,可得 AB ? .作 AH ? PB 交 PB 于 H . 2 6 6 4

由题设知 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC . 又 AH ?

PA ? AB 3 13 3 13 ? ,所以 A 到平面 PBC 的距离为 . PB 13 13
P E

H A O B C D

评注本题考查直线和平面平行、 垂直的判定方法以及空间距离的计算, 考查了空间想象能力. 9.解析(1)因为 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC . 又 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 又因为 BD ? BE ? B , BD , BE ? 平面 BED , 所 以 AC ? 平 面 BED . 又 AC ? 平 面 AEC , 所 以 平 面 AEC ? 平面 BED . (2)在菱形 ABCD 中,取 AB ? BC ? CD ? AD ? 2 x , 又 ?ABC ? 120 ,所以 AG ? GC ? 3x , BG ? GD ? x . 在 △ AEC 中, ?AEC ? 90 ,所以 EG ?
? ?
A G B C E

D

1 AC ? 3x , 2

所以在 Rt△EBG 中, BE ? 所以 VE ? ACD ?

EG2 ? BG2 ? 2x ,

1 1 6 3 6 ? ? 2 x ? 2 x ? sin120? ? 2 x ? x ? ,解得 x ? 1 . 3 2 3 3

在 Rt△EBA , Rt△EBC , Rt△EBD 中, 可得 AE ? EC ? ED ? 6 . 所以三棱锥的侧面积 S侧 ? 2 ? ? 2 ? 5 ?

1 2

1 ? 6 ? 6 ? 3? 2 5 . 2

10.解析

(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示:
D1 F C1 B1 G H B C

A1 A

E D

(2)作 EM

? AB ,垂足为 M ,则 AM ? AE 1 ? 4 , EB1 ? 12 , EM ? AA 1 ? 8 .因为 EHGF

为正方形, 所以 EH ? EF ? BC ? 10 .于是 MH 因为长方体被平面

? EH 2 ? EM 2 ? 6 ,AH ? 10 ,HB ? 6 .

? 分成两个高为10 的直棱柱,所以其体积的比值为

1 ? 4 ? 10 ? ? 8 ?10 7 9 2 ? 或 . 1 ? 6 ? 12 ? ? 8 ?10 9 7 2
评注文科对立体几何的考查主要是线面关系的推理证明, 画图及简单推理, 重点考查多边形, 多面体的体积计算,注意在计算中能从不同角度看图的能力.
2 11.解析设圆锥底面半径为 r ,球的半径为 R ,则由 πr ?

3 3 ? 4 πR 2 ,知 r 2 ? R 2 . 16 4

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O ,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是 球的大圆上的点,因此 PB ? QB . 设 PO? ? x , QO? ? y ,则 x ? y ? 2 R .? 又 △PO?B∽△BO?Q ,知 r ? O?B ? xy .
2 2
2 即 xy ? r ?

3 2 R .? 4 3 R R, y ? . 2 2 1 . 3

由??及 x ? y 可得 x ?

则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为 故答案为

1 . 3

12.分析利用截面圆的性质先求得圆的半径长.

M 为截面圆上任一点, 解析如图所示, 设截面圆的圆心为 O ' ,
则 OO ' ?

O'

M

2 , O ' M ? 1 ,所以 OM ?

? 2?

2

?1 ? 3 ,

O

即球的半径为 3 ,所以 V ?

4 π 3

? 3?

3

? 4 3π .故选 B. 1 2 R ? 2R ? R , 所以 OH ? . 3 3 3

13.分析利用球的截面建立直角三角形求解. 解析: 如图, 设球 O 的半径为 R , 则由 AH : HB ? 1 : 2 得 HA ?
2

因为截面面积为 ? ? ? ? ? HM ? , 所以 HM ? 1 .在 Rt△HMO 中, OM 2 ? OH 2 ? HM 2 ,
2 所以 R ?

3 2 1 2 1 R ? HM 2 ? R 2 ? 1 ,所以 R ? . 4 9 9
2 2

?? ?? 9 所以 S球 ? 4?R ? 4?? ? ? ? ? ? ? 2 ?. ? ? 14.分析本题先求出正四棱锥的高 h ,然后求出侧棱的长,再运用球的表面积公式求解.
解析: V四棱锥O -ABCD ?
2

1 3 2 3 2 ? 3 ? 3h ? ,得 h ? ,所以 3 2 2

? AC ? 18 6 2 OA ? h ? ? ? ? ? ? 6 .所以 S球 ? 4?OA ? 24? . 4 4 ? 2 ?
2 2

﹣ABC 15.解析根据题意, 可得图如下, 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时, 三棱锥 O
的体积最大,则可设球 O 的半径为 R , 此时 VO ﹣ABC ? VC ﹣AOB ?
C

1 1 2 1 ? R ? R ? R 3 ? 36 , 3 2 6
O A B

故 R ? 6 ,则球 O 的表面积为 S ? 4πR 2 ? 144π .故选 C. 16.解析由几何体的正视图和侧视图可知, 该几何体的底面为半 圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上 的高构成的平面图形. 故选 D. 17.分析结合三视图知识求解三棱锥的体积. 解析由题意知,此几何体是三棱锥,其高 h ? 3 , 相应底面面积为 S ? 所以 V ?

1 ? 6?3 ? 9, 2

1 1 Sh ? ? 9 ? 3 ? 9 .故选 B. 3 3

18.分析将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解. 解析:原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示) ,其体积为

1 V ? 4 ? 2 ? 2 ? ?? 22 ? 4 ? 16 ? 8?? 故选 A. 2
19.分析结合已知条件画出图形,然后按照要求作出正视图. 解析:根据已知条件作出图形:四面体 C1 -A1DB ,标出各个点的坐标如图(1)所示,可以

看出正视图是正方形,如图(2)所示.故选 A. 20.解析由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选 B.

评注本题考查几何体的三视图,记住基本几何体的三视图是解题的关键. 21.解析该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为 π ? 22 ? 4 ? π ? 32 ? 2 ? 34π cm3 ,圆
2 3 柱体毛坯的体积为 π ? 3 ? 6 ? 54π cm ,所以切削掉部分的体积为

54π ? 34π ? 20π cm3 ,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

20 π 10 ? ,故选 54 π 27

C. 22.解析由几何体的视图,还原其立体图形,并调整其摆放姿势,让半圆柱体在下方,半球 在上方,如图所示.

4πr 2 得r ? 2. S ? 2r ?2r ? π?r ?2r ? πr ? ? 4r 2 ? 5πr 2 ? 16 ? 20π , 2
2

r

故选 B.

2r

2r

23.解析

﹣A1B1C1D1 中, ﹣A1B1D1 , 由三视图得, 在正方体 ABCD 截去四面体 A 如图所示,

1 1 3 1 3 1 5 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 , 3 2 6 6 6 1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 .故选 D. 5
设正方体棱长为 a ,则 VA ﹣A1B1D1 ?

第九章直线与圆的方程
第一节直线的方程
题型 113 倾斜角与斜率的计算

题型 114 直线的方程 题型 115 两直线位置关系的判定 题型 116 有关距离的计算 题型 117 对称问题

第二节圆的方程
题型 118 求圆的方程(可参见本章 1/3 题) 题型 119 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型 120 点与圆的位置关系判断 题型 121 直线系方程和圆系方程 题型 122 与圆有关的轨迹问题(可参见本章第 4 题) 题型 123 与圆有关的最值或取值范围问题

第三节直线与圆、圆与圆的位置关系
题型 124 直线与圆的位置关系 1.(2011 全国文 20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在
2

圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.
2 2 2. (2013 全国 I 文 21) 已知圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1 , 圆 N : ? x ? 1? ? y ? 9 , 动圆 P 与圆 M 2 2

外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求 C 的方程;

, B 两点,当圆 P 的半径最 (2) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A
长时,求 AB . 3.(2013 全国 II 文 20) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 , 在 y 轴上截得线段长为

2 3.
(1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

4.(2014 新课标Ⅰ文 20)(本小题满分 12 分)

已知点 P ? 2,2? ,圆 C : x ? y ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段
2 2

AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程;
(2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 △POM 的面积. 5.(2014 新课标Ⅱ文 12)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x ? y ? 1 上存在点 N ,使得
2 2

?OMN ? 45°,则 x0 的取值范围是()
A. ??1,1? B. ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

C. ? ? 2, 2 ?

?

?

D. ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?
2 2

6. (2015 全国 I 文 20)已知过点 A 于 M, N 两点. (1)求 k 的取值范围;

? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 0,1? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:

? 1交

(2)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 题型 125 圆与圆的位置关系及其应用

???? ? ????

MN .

第九章试题详解
1.解析: (1)曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与 y 轴的交点为 (0,1) ,与 x 轴的交点为
2

?3 ? 2

2, 0 , 3 ? 2 2, 0 .故可设 C 的圆心为 ? 3, t ? ,则有 32 ? ? t ?1? ? 2 2
2

??

?

?

?

2

? t2 ,

2 2 解得 t ? 1 . 则圆 C 的半径为 3 ? ? t ? 1? ? 3 , 所以圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9 . 2
2

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其坐标满足方程组 ? 消去 y ,得方程 2x ? ? 2a ? 8? x ? a ? 2a ?1 ? 0 .
2 2

? ? x ? y ? a ? 0, 2 2 ? ?? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9.

2 由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0 ,因此 x1,2 ?

?8 ? 2a ? ?

56 ? 16a ? 4a 2 , 4

a 2 ? 2a ? 1 从而 x1 ? x2 ? 4 ? a , x1 x2 ? .? 2
由于 OA ? OB ,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 ? x1 ? a , y2 ? x2 ? a

所以 2x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 0 .?
2

由??得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0 ,故 a ? ?1 . 2.分析(1)结合圆的几何性质和椭圆的定义求解; (2)利用直线与圆相切的性质求解,要 注意直线的斜率是不是存在. 解析: 由已知得圆 M 的圆心为 M ? ?1,0? , 半径 r1 ? 1 ; 圆 N 的圆心为 N ?1,0? , 半径 r2 ? 3 . 设圆 P 的圆心为 P ? x, y ? ,半径为 R . ( 1 ) 因 为 圆

P

与 圆 M

外 切 并 且 与 圆

N

内 切 , 所 以

PM ? PN ? ? R ? r1 ? ? ? r2 ? R? ? r1 ? r2 ? 4 .由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M , N 为左,
右焦点, 长半轴长为 2, 短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外) , 其方程为

x2 y 2 ? ? 1? x ? ?2 ? . 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P ? x, y ? ,由于 PM ? PN ? 2R ? 2 ≤ 2 ,所以 R ≤ 2 ,当且
2 仅当圆 P 的圆心为 ? 2, 0 ? 时,R =2 , 所以当圆 P 的半径最长时, 其方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 . 2

l 若 l 的倾斜角为 90 ? ,则 l 与 y 轴重合,可得 AB =2 3 .若 l 的倾斜角为 90 ? ,由 r 1 ? R知
不平行于

x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q ,则
3k 1? k 2

QP QM

?

R ,可求得 Q ? ?4, 0? ,所以可 设 r1
2 . 4

l : y ? k ? x ? 4? .由 l 与圆 M 相切得

? 1 ,解得 k ? ?

当k?

2 2 x2 y 2 x ? 2 代入 ? ? 1 , 并 整 理 得 7 x2 ? 8x ? 8 ? 0 , 解 得 时,将 y ? 4 4 4 3 ?4 ? 6 2 2 18 2 ,所以 AB ? 1 ? k x2 ? x1 ? .当 k ? ? 时,由图形的对称性可知 7 4 7
18 . 7 18 . 7

x1,2 ?

AB ?

综上, AB ? 2 3 或 AB ?

3.分析(1)先设出点 P 的坐标,根据已知条件和勾股定理求出 P 的轨迹方程; (2)根据点 到直线的距离公式列出方程,然后结合(1)得出方程组进行求解.
2 2 2 2 解析: ( 1 ) 设 P ? x, y ? , 圆 P 的 半 径 为 r . 由 题 设 y ? 2 ? r , x ? 3 ? r , 从 而

y 2 ? 2 ? x2 ? 3.
故 P 点的轨迹方程为 y ? x ? 1.
2 2

( 2 ) 设 P ? x0 , y0 ? . 由 已 知 得

x0 ? y0 2

?

2 . 又 P 点 在 双 曲 线 y 2 ? x2 ? 1 上 , 从 而 得 2

? ? x0 ? y0 ? 1, ? ? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 由 得? 此时,圆 P 的半径 r ? 3. ? 2 ? 2 2 2 ? ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1. ? y0 ? x0 ? 1. ?
由?

? ? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 此时,圆 P 的半径 r ? 3. 2 2 y ? 1 y ? x ? 1 ? ? 0 0 ? 0
2 2

2 2 故圆 P 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 3 或 x ? ? y ? 1? ? 3. 2 (I)圆 C 的方程可化为 x ? ? y ? 4 ? ? 16 ,所以圆心为 C ? 0,4? ,半径为 4 . 2

4.解析

设 M ? x, y ? ,则 CM ? ? x, y ? 4 ? , MP ? ? 2 ? x, 2 ? y ? .由题设知 CM ? MP ? 0 , 故 x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4?? 2 ? y ? ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 由于点 P 在圆 C 的内部,
2 2

???? ?

????

???? ? ????

所以 M 的轨迹方程是 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2

(II)由(I)可知 M 的轨迹是以点 N ?1,3? 为圆心, 2 为半径的圆.由于 OP ? OM , 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上, 从而 ON ? PM .因为 ON 的斜率为 3 , 所以 l 得斜率为 ?

1 1 8 ,故 l 的方程为 y ? ? x ? .又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 3 3 3

4 10 4 10 16 , PM ? ,所以 △POM 的面积为 . 5 5 5
评注本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用 图形的几何性质可简化运算. 5.解析解法一: 过 M 作圆 O 的两条切线 MA, MB , 切点分别为 A, B , 若在圆 O 上存在点 N ,
? 使 ?OMN ? 45 ,则 ?OMB …?OMN ? 45 ,所以 ?AMB …90 ,

?

?

所以 ?1剟x0

1 ,故选 A.

y A O N M B x

解法二:过 O 作 OP ? MN 于 P ,则 OP ? OM sin 45? ? 1 ,所以 OM ? 即 x0 ? 1 ?
2

2,

2 ? 1 ,即 ?1剟x0 2 ,所以 x0

1 ,故选 A.

y N P O M x

评注本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法. 6.解析(1)由 l 与圆交于 M , N 两点,所以直线的斜率必存在. 设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 由圆 C 的方程,可得圆心为 C ? 2,3? , 则 d ? C, l ? ? 1 ,即

2k ? 3 ? 1 1? k 2

? 1 ,解得

4? 7 4? 7 ?k? . 3 3

(2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 OM ? ? x1 , y1 ? , ON ? ? x2 , y2 ? ,

???? ?

????

???? ? ???? OM ? ON ? x1 ?x2 ? y1 ?y2 ? 12 .
把直线 y ? kx ? 1 代入到 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 中,
2 2 2 2 得 k ? 1 x ? ? 4 ? 4k ? x ? 7 ? 0 .

?

?

由韦达定理得 x1 x2 ?

7 4 ? 4k , x1 ? x2 ? 2 . k ?1 k ?1
2

则 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? ? kx1 ? 1?? kx2 ? 1? ? 解得 k ? 1 .所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. 又圆心 C ? 2,3? 到直线 l 的距离 d ? C , l ? ? 所以 MN ? 2 .

4k ? 11k 2 ? 7 ? 1 ? 12 , 1? k 2

2 ? 3 ?1 12 ? 1

? 0 ,即直线 l 过圆心 C .

第十章圆锥曲线

第一节椭圆及其性质
题型 119 椭圆的定义与标准方程(另可参见第九章 2,本章 17 题) 1.(2015 全国 I 文 5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为

1 , E 的右焦点与抛物线 C : 2

y2 ? 8x 的焦点重合, A , B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? ().
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

题型 120 离心率的值及取值范围(另可参见本章第 16 题) 2.(2011 全国文 4)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为(). 16 8
1 2
C.

A.

1 3

B.

3 3

D.

2 2

x2 y 2 3.(2012 全国文 4)设 F1 , F2 是椭圆 E : 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左,右焦点, P 为直线 a b
x? 3a ? 上一点,△ F2 PF 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(). 2
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

4. (2013 全国 II 文 5) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是 C a 2 b2
?

?PF1F2 ? 30 ,则 C 的离心率为(). 上的点, PF2 ? F 1F 2 ,
A.

3 1 1 3 B. C. D. 3 2 6 3
题型 121 焦点三角形

第二节双曲线及其性质
题型 122 双曲线的定义与标准方程 题型 123 双曲线的的渐近线

5 x2 y 2 5.(2013 全国 I 文 4)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a >0,b>0 ? 的离心率为 ,则 C 的渐 2 a b

近线方程为(). A. y ? ?

1 1 x B. y ? ? x 4 3

C. y ? ?

1 x D. y ? ? x 2

1 6. (2015 全国 II 文 15) 已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的 2 标准方程为.
题型 124 离心率的值及取值范围

?

?

x2 y 2 ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a ? () 7.(2014 全国 I 文 4)已知双曲线 2 ? a 3
A. 2 B.

6 2

C.

5 2

D. 1

8.(2015 全国 I 文 16)已知 F 是双曲线 C :的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A 0, 6 6 , 当 △ APF 周长最小时,该三角形的面积为.

?

?

第三节抛物线及其性质
题型 126 抛物线的定义与方程 9.(2013 全国 II 文 10)设抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,直线 l 过 F 且与 C 交于 A , B
2

两点.若 | AF |? 3 | BF | ,则 l 的方程为(). A. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 B. y ?

3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2
2

C. y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1) D. y ?

10.(2014 新课标Ⅰ文 10)已知抛物线 C : y ? x 的焦点为 F , A( x0 , y0 ) 是 C 上一点,

AF ?

5 x0 ,则 x0 ? () 4

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 题型 127 与抛物线有关的距离和最值问题 11.(2012 全国文 10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的
2

准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为(). A.

2

B. 2 2

C. 4

D. 8

12.(2012 全国文 20)设抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0? 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一
2

点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点.
? (1)若 ?BFD ? 90 ,△ ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值. 13.(2014 新课标Ⅱ文 10)设 F 为抛物线 C : y ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线
2
°

交 C 于 A, B 两点,则 AB ? ()

A.

30 3

B. 6

C. 12

D. 7 3

题型 128 抛物线中三角形、四边形的面积问题 14.(2011 全国文 9)已知直线 l 过抛物线的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A , B 两点, AB ? 12 , P 为 C 的准线上一点,则 △ ABP 的面积为(). A.18 B. 24 C. 36
2

D. 48

15.(2013 全国 I 文 8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y ? 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点, 若 PF ? 4 2 ,则△POF 的面积为(). A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4

第四节曲线与方程
题型 129 求动点的轨迹方程

第五节直线与圆锥曲线
题型 130 直线与圆锥曲线的位置关系 16.(2014 新课标Ⅱ文 20)(本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的左、 右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x a 2 b2

轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N . (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 MN ? 5 F1N ,求 a , b . 题型 131 弦长与面积问题 题型 132 中点弦问题 题型 133 平面向量在解析几何中的应用 题型 134 定点问题 题型 135 定值问题

x2 y 2 2 17.(2015 全国 II 文 20)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 点 ?2 , 2 a b 2
C 上.
(1)求椭圆 C 的方程;

?在

l 与 C 有两个交点 (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

A ,B , 线段 AB 的中点为 M .

第十章试题详解
1.解析 y ? 8x 的焦点为 ? 2, 0 ? ,准线方程为 x ? ?2 .由 E 的右焦点与 y ? 8x 的焦点重合,
2 2

可得 c ? 2 .又

x2 y 2 c 1 ? 1. ? ,得 a ? 4 , b 2 ? 12 ,所以椭圆 E 的方程为 ? a 2 16 12
2

? ?2? 当 x ? ?2 时,
16

?

y2 ? 1 ,得 y ? ?3 ,即 AB ? 6 .故选 B. 12

x2 y 2 ? ? 1 中, a2 ? 16, b2 ? 8 ,所以 c2 ? a 2 ? b2 ? 8 , 2.解析因为 16 8
所以 e ?

c 2 2 2 ? ? . 故选 D a 4 2

3..分析本题重点考查椭圆基本量的关系.

?PF1F2 ? 30 , 解析如图所示,易知 F 1F 2 ? PF2 ,
?

2c ? 2 ? 所以 ?F2 PQ ? 30 , 在 Rt △ PF2Q 中,
?

c 3 ? 3a ? ?c? , 解得 ? , a 4 ? 2 ?

故 E 的离心率为

3 . 故选 C. 4

4.分析根据椭圆的定义以及三角知识求解.

解析: 如图, 由题意知 sin 30? ?

PF2 PF1

?

1 , 所以 PF 1 ? 2 PF 2 . 又因为 PF 1 ? PF 2 ? 2a , 2

2a PF2 3 c 3 2a ? 3 ? PF2 ? .所以 tan 30? ? .所以 ? .故选 D. F1 F2 2c 3 a 3 3
5.分析先由双曲线的离心率建立字母之间的关系,再求渐近线方程. 解析由 e ?

5 c 5 x2 y 2 1 a ,b ? c 2 ? a 2 ? a. 而 2 ? 2 ? 1? a > 0, b > 0 ? 的渐近线 ,得 ? 2 a 2 2 a b
b 1 x ,所以所求渐近线方程为 y ? ? x. 故选 C. a 2
1 x2 2 x, 可设双曲线的方程为 ? y ? m, 2 4

方程为 y ? ?

6.解析 根据题意知, 双曲线的渐近线方程为 y ? ?

把点 4,3 代入得 m ? 1 .所以双曲线的方程为

?

?

x2 ? y 2 ? 1. 4
c2 a2 ? 3 ? ?4, 又a ? 0, a2 a2

2 2 7.解析由双曲线方程知 b2 ? 3 , 从而 c ? a ? 3 , 又e ? 2 , 因此

所以 a ? 1 ,故选 D. 题型 125 焦点三角形 8.解析设双曲线的左焦点为 F1 ,连接 AF ,与双曲线左支交于点 P ,连接 PF .则此 P 点即 为使得 △ APF 周长最小时的点 P ,如图所示. 证 明 如 下 : 由 双 曲 线 的 定 义 知 , PF ? PF 1 ? 2a ? 2 . 所 以 PF ? PF 1 ?2 . 又

C△APF ? AF ? AP ? PF ,
所以 C△APF ? AF ? AP ? PF 1 ?2, 所以当点 A , P ,F 1 在同一条直线上时,周长取得最小值. 由题意可得 AF1 所在直线方程为 y ? 2 6 ? x ? 3? , 同理可得 AF 的直线方程为 y ? ?2 6 ? x ? 3? .
F1 P

y

A

O

F

x

? y ? 2 6 ? x ? 3? ? 联立 ? ,解得 P ?2, 2 6 .则 y2 2 ?1 ?x ? 8 ?

?

?

d ? P, AF ? ?

?2 ? 2 6 ? 2 6 ?1 ? 6 6

?2 6 ?

2

?

?1

2

8 6 2 . 又 AF ? 3 ? 6 6 5

?

?

2

? 15 , 所 以

1 8 6 S△PAF ? ?15 ? ? 12 6 . 2 5
9.分析结合焦点弦公式 AB ?

1 1 2 2p 及 ? ? 进行求解. 2 sin ? FA FB p
AF 1 1 2 ? 3. 又 ? ? , BF FA FB p

解析: 设直线 AB 的倾斜角为 ? , 由题意知 p ? 2 ,F ?1, 0 ? ,

所以

1 1 4 16 ? ?1, 所以 BF ? ,AF ? 4 , 所以 AB ? .又由抛物线焦点弦公式: 3 3 3 BF BF
3 2p 16 4 3 2 ? , 所以 , 所以 sin ? ? , 所以 sin ? ? , 所以 k ? tan ? ? ?3 . 2 2 2 sin ? 3 sin ? 4
1 1 ?1 ? ,因此焦点 F ? , 0 ? ,准线方程为 l : x ? ? ,设 A 2 4 ?4 ? 1 5 ? x0 ,解得 x0 ? 1 . 4 4

AB ?
故选 C.

10.解析由 y ? x 得 2 p ? 1 ,即 p ?
2

点到准线的距离为 d ,由抛物线的定义可知 d ? AF ,从而 x0 ? 故选 A. 11.分析利用抛物线的几何性质结合方程组求解.

x2 y 2 x2 y 2 2 解析设 C : 2 ? 2 ? 1 ,因为抛物线 y ? 16 x 的准线为 x ? ?4 ,联立 2 ? 2 ? 1 和 a a a a
x ? ?4 得 A ?4, 16 ? a2 , B ?4, ? 16 ? a 2 ,所以 AB ? 2 16 ? a 2 ? 4 3 ,所以 a ? 2 , 2a ? 4 .所以 C 的实轴长为 4 .故选 C.
12.解析(1)由已知可得 △BFD 为等腰直角三角形, BD ? 2 p ,圆 F 的半径 FA ? 由 抛 物 线 定 义 可 知 A 到 l 的 距 离 d ? FA ?

?

?

?

?

2p .

2 p . 因 为 △ABD 的 面 积 为 4 2 , 所 以

1 1 BD ? d ? 4 2 即 ? 2 p ? 2 p ? 4 2 ,解得 p ? ?2 (舍)或 p ? 2 .所以 F ? 0,1? ,圆 F 2 2
2 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 8 . 2

(2)因为 A, B, F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,?ADB ? 90? .由抛线定

义知 AD ? FA ?

3 3 1 AB ,所以 ?ABD ? 30? , m 的斜率为 或? . 当 m 的斜率为 3 3 2

3 3 2 3 x ? b ,代入 x2 ? 2 py 得 x 2 ? px ? 2 pb ? 0 .由于 n 与 时,由已知可设 n : y ? 3 3 3

C 只有一个公共点, 故? ?

4 2 p p b p ? 8 pb ? 0 .解得 b ? ? .因为 m 的截距 b1 ? , 1 ? 3 , 3 6 2 b

所以坐标原点到 m, n 距离的比值也为 3 .综上,坐标原点到 m, n 距离的比值为 3 .

13. 解 析 焦 点 F 的 坐 标 为 ?

3 ?3 ? , 0 ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 , 所 以 直 线 AB 的 方 程 为 3 ?4 ?

y?

3 3 3? 3? 1 2 7 3 2 x? ?0, 即y? , 代入 y ? 3x , 得 x ? x? 设 A ? x1 , y1 ? , ?x? ?, 3 4 3 2 16 3 ? 4?
21 3 21 3 ? ? 12 ,故选 C. ,所以 AB ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2 2
2

B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

14.解析不妨设抛物线的标准方程为 y ? 2 px ? p ? 0? , 由于 l 垂直于对称轴且过焦点, 故直

p 2 .代入 y ? 2 px 得 y ? ? p ,即 AB ? 2 p ,又 AB ? 12 ,故 p ? 6 , 2 1 所以抛物线的准线方程为 x ? ?3 ,故 S△ABP ? ? 6 ? 12 ? 36 .故选 C. 2
线 l 的方程为 x ? 15.分析先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标,再结合三角形面积公式求解. 解 析 : 设 P ? x0 , y0 ? , 则 PF ? x0 ? 2 ? 4 2 , 所 以 x0 ? 3 2 , 所 以
2 y0 ? 4 2x0 ? 4 2 ? 3 3 ? 24 , 所 以 y0 ? 2 6. 因 为 F

?

2, 0

?

, 所 以

S△ POF ?

1 1 OF ? y0 ? ? 2 ? 2 6 ? 2 3. 故选 C. 2 2

16. 解 析 ( I ) 根 据 c ?

? b2 ? a2 ? b2 及 题 设 知 M ? c, ? , 2b2 ? 3ac . 将 b2 ? a 2 ? c2 代 入 ? a?

2b2 ? 3ac ,解得

c 1 c 1 ? 或 ? ?2 (舍去).故 C 的离心率为 . 2 a 2 a

(II)由题意,知原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 //y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D ? 0,2? 是线段 MF1 的中点,故

b2 ? 4 ,即 b2 ? 4a ,① a

由 MN ? 5 F 得 DF .设 N ? x1 , y1 ? ,由题意知 y1 ? 0 , 1N 1 ?2 F 1N

3 ? ?2 ? ?c ? x1 ? ? c 9c 2 1 ? ? x1 ? ? c 则? ,即 ? 2 ,代入 C 的方程为,得 2 ? 2 ? 1 .② 4a b ? ??2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1
将①及 c ?

a2 ? b2 代入②得

9 ? a 2 ? 4a ? 4a
2

?

1 ? 1 .解得 a ? 7 , b2 ? 4a ? 28 . 4a

故a ? 7 ,b ? 2 7 . 评注本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质, 直线与椭圆的位置关系等基础知识, 考查用 代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.

a 2 ? b2 2 4 2 ? 17.分析(1)由题意可得 ,又 2 ? 2 ? 1 ,可得 a 2 ? 8 , b 2 ? 4 .由此可得 a b a 2
2 2 椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , 代入(1)所得的方程, 联立得 2k ? 1 x ?

?

?

4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0 ,所以 xM ?

x1 ? x2 ?2kb , yM ? 2 2 2k ? 1

? kxM ? b , yM

?

b 2k 2 +1

,于是有

kOM ?

yM 1 ? ? .所以 kOM ? k ? ? 1 ,即为定值. xM 2k 2
a 2 ? b2 2 , 4 ? 2 ? 1 ,解得 2 , 2 a ? 8 b ? 4 .所以椭圆 C 的方 ? a 2 b2 a 2

解析 (1)由题意有

程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(2)设直线 l : y ? kx ? b

? k ? 0,b ? 0? , A? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? , M ? xM,yM ? .将 y ?

x2 y 2 ? 1 得 ? 2k 2 ? 1? x 2 +4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 . kx ? b 代入 ? 8 4
故 xM ?

x1 ? x2 ?2kb b , yM ? kxM ? b ? . ? 2 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

于是直线 OM 的斜率 kOM

?

yM 1 ? ? ,即 kOM ? k ? ? 1 . xM 2k 2

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 评注解析几何是高考必考内容之一, 在命题时多考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运 算.在直线与圆锥曲线关系中,一般用方程的思想和函数的观点来解决问题,并会结合中点 坐标,方程根与函数关系来求解.

第十一章算法初步
题型 144 程序框图中的数列问题 1.(2013 全国 II 文 7)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S ? (). A. 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? B. 1 ? ? ? 2 3 4 2 3? 2 4 ? 3? 2

开始

输入 N k = 1, S=0, T=1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? C. 1 ? ? ? ? D. 1 ? ? 2 3 4 5 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
题型 145 程序框图中的分段函数求值的问题

T=

T k

S = S+T

, 3? ,则输 2.(2013 全国 I 文 7)7. 执行右面的程序框图,如果输入的 t ? ? ?1
出的 s 属于(). A.

k = k+1 否

开始 k >N ?
是 输出S

4? B. ? ?5, 2? C. ??4, 3? ??3,

D.

5? ??2,


输入 t
结束

3. (2014 新课标Ⅰ文 9) 执行如图所示的程序框图, 若输入的 a, b, k 分 别为 1,2,3,则输出的 M ? () A.

t<1?



20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

s = 3t

s = 4 t - t2

开始 输入 a,b,k

输出 s

n ?1


结束

n≤k ?


M ?a?
输出 M 结束

1 b

a?b
b?M n ? n ?1

4.(2011 全国文 5)执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6, 则输出的 p 是(). A. 120 C. 1440 B. 720 D. 5040

5.(2014 新课标Ⅱ文 8)执行如图所示程序框图,如果输入的 x , t 均为 2 ,则输出的 S ? () A. 4 B. 5 开始 输入 x,t C. 6 D. 7

M =1,S =3 k ?1


k≤t ?



M ?

M x k

输出 S 结束

S ?M ?S k ? k ?1

题型 146 程序框图中的概率统计问题 题型 147 程序框图中数的比较大小问题 6. (2012 全国文 6) 如果执行右边的程序框图, 输入正整数 N ? N …2? 和市属 a1 , a2 ,..., aN , 输出 A, B ,则 A. A ? B 为 a1 , a2 ,..., aN 的和 B.

A? B 为 a1 , a2 ,..., aN 的算术平均数 2
开始 输入t 1 2

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., aN 中最小的数和最大的数

题型 148 程序框图在解决其他问题中的应用 7.(2015 全国 I 文 9)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则 输出的 n ? (). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8


S=1,n=0,m=

S=S-m m= m ,n=n+1 2
S>t? 否 输出n 结束

8. (2015 全国 II 文 8)如图所示,程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中 “更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a 、 b 分别为 14、18,则输出的 a ? (). A. 0 B.

2

C.

4

D.

14

开始

输入a,b



a≠ b





a>b



输出a

a=a-b

b=b-a

结束

题型 149 算法案例

第十一章试题详解
1.分析根据程序框图所给的已知条件逐步求解,直到得出满足条件的结果. 解析:当输入的 N ? 4 时,由于 k ? 1, S ? 0, T ? 1 ,因此 T ? 满足 k > 4 ;当 k ? 2 时, T ?

1 ? 1 , S ? 1, k ? 2 ,此时不 1

1 1 , S ? 1 ? , k ? 3 ,此时不满足 k > 4 ; 1? 2 2 1 1 1 , S ? 1? ? , k ? 4 ,此时不满足 k > 4 ; 当 k ? 3 时, T ? 1? 2 ? 3 2 2?3 1 1 1 1 , S ? 1? ? ? ,k ? 5 , 当 k ? 4 时,T ? 此时满足 k > 4 .因此输出 1? 2 ? 3 ? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 1 1 1 S ? 1? ? ? ,故选 B. 2 2 ? 3 2 ? 3? 4
2.分析先识别程序框图的功能,即求分段函数的值域,再分别求出. 解析 因为 t ???1,3? ,当 t ???1,1? 时, s ? 3t ???3,3? ;当 t ??1,3? 时,

s ? 4t ? t 2 ? ? ? t 2 ? 4t ? ? ? ? t ? 2 ? ? 4 ? ?3, 4? ,所以 s ?? ?3, 4? .故选 A.
2

3 3 15 2 8 ? ? M? ? ? 1 3 ?M ? 2 ? ? ? ? M ? 1? ? 2 8 8 3 3 ?a ? 1 ? ? 2 2 ? 8 3 ?b ? 2 ? a ? 2 ? ? ?a ? ?a ? ? ? 3.解析由程序框图可知,? ,? ,? ,? , 3 2 ? ? ? k ? 3 ?b ? 3 8 15 ?b ? ?b ? ? ? 2 n ? 1 ? 3 8 ? ? ?n ? 2 ? ? ? ?n ? 3 ?n ? 4
循环结束,故输出 M ?

15 ,故选 D. 8

4.解析当输入的 N 是 6 时,由于 k ? 1, p ? 1 , 因此 p ? p ? k ? 1 .此时 k ? 1 ,满足 k ? 6 ,故 k ? k ? 1 ? 2 . 当 k ? 2 时, p ? 1? 2 ,此时满足 k ? 6 ,故 k ? k ? 1 ? 3 . 当 k ? 3 时, p ? 1? 2 ? 3 ,此时满足 k ? 6 ,故 k ? k ? 1 ? 4 . 当 k ? 4 时, p ? 1? 2 ? 3 ? 4 ,此时满足 k ? 6 ,故 k ? k ? 1 ? 5 . 当 k ? 5 时, p ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ,此时满足 k ? 6 ,故 k ? k ? 1 ? 6 . 当 k ? 6 时, p ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 720 , 此时 k ? 6 不再成立,因此输出 p ? 720 .故选 B.

S ? 2 ? 3 ? 5; k ? 2 时, 2 ? 2 成立, 1 ? 2 成立, 5.解析 k ? 1 时, 此时 M ? 2 , 此时 M ? 2 , S ? 2 ? 5 ? 7 ; k ? 3 时, 3 ? 2 ,终止循环,输出 S ? 7 .故选 D.
6.分析结合循环结构的意义求解. 解析由于 x ? ak ,且 x ? A 时,将 x 值赋给 A ,因此最后输出 的 A 值是 a1 , a2 ,..., aN 中最大的数;由于 x ? ak ,且 x ? B 时,将 x 值赋给 B ,因此最后输出的 B 值是 a1 , a2 ,..., aN 中最小的数.故选 C. 7.解析由程序框图可知,

1 1 1 1 第一次循环为: S ? 1 ? ? ? 0.01 , m ? 2 ? , n ? 0 ? 1 ? 1 ; 2 2 2 4

1 1 1 1 ? ? ? 0.01 , m ? , n ? 2 ; 2 4 4 8 1 1 1 1 第三次循环为: S ? ? ? ? 0.01 , m ? ,n ? 3; 4 8 8 16 1 1 1 1 ? ? 0.01 , m ? 第四次循环为: S ? ? ,n ? 4; 8 16 16 32 1 1 1 1 ? ? ? 0.01 , m ? 第五次循环为: S ? , n ? 5; 16 32 32 64 1 1 1 1 ? ? ? 0.01 , m ? 第六次循环为: S ? ,n ? 6; 32 64 64 128 1 1 1 1 ? ? ? 0.01 , m ? 第七次循环为: S ? ,n ? 7. 64 128 128 256 此时循环结束,输出 n ? 7 .故选 C.
第二次循环为: S ? 8.解析根据程序框图可知, 在执行程序过程中,a ,b 的值依次为 a ? 14 ,b ? 18 ;a ? 14 ,

b ? 4 ;a ? 10 ,b ? 4 ;a ? 6 ,b ? 4 ;a ? 2 ,b ? 4 ;a ? 2 ,b ? 2 .到此有 a ? b ? 2 ,
程序运行结束,输出 a 的值为 2 .故选 B.

第十二章概率与统计
第一节概率及其计算
题型 142 古典概型 1.(2011 全国文 6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参 加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(). A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

, 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的 2.(2013 全国 I 文 3)从1 概率是().
A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

3.(2013 全国 II 文 13)从1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______. 4.(2014 全国 I 文 13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数 学书相邻的概率为. 5.(2014 新课标Ⅱ文 13)甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服 中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为. 6. (2015 全国 I 文 4)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为 一组勾股数.从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为()

A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 20

题型 143 几何概型的计算

第二节统计与统计案例
题型 144 抽样方式 题型 145 样本分析——用样本估计总体 7.(2013 全国 I 文 18)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地 选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日 平均增加的睡眠时间(单位: h )实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:

0.6 2.5

1.2 2.6

2.7 1.2

1.5 2.7

2.8 1.5

1.8 2.9

2.2 3.0

2.3 3.1

3.2 2.3

3.5 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:

3.2 1.6

1.7 0.5

1.9 1.8

0.8 0.6

0.9 2.1

2.4 1.1

1.2 2.5

2.6 1.2

1.3 2.7

1.4 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
A药 B药

0. 1. 2. 3.

8.(2014 全国 I 文 18)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量 指标值,由测量结果得如图所示频数分布表: 质量指标值分组 频数

?75,85?
6

?85,95?
26

?95,105?
38

?105,115?
22

?115,125?
8

(1) 作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80% ”的规定? 9.(2014 新课标Ⅱ文 19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部 门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下: 甲部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 3 4 5 6 7 8 9 10 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 题型 146 统计图表与概率综合 10. (2011 全国文 19) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别成为 A 配方和 B 配 方)做试验,各生产了 100 件这样的产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到了下面试 验结果.

A 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表

指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

(1)分别估计用 A 配方, B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y (单位:元)

??2, t ? 94, ? 与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ?2,94 ? t ? 102, 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大 ?4, t …102. ?
于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 11.(2013 全国 II 文 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获 利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图, 如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以 X (单位:

100 ≤ x ≤150 )表示市场需求量, T 表示下一个销售季度内 t,
农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率/组距

经销该

100

110

120

130

140

150

t

12.(2012 全国文 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10 元 的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y ( 单位:元 ) 关于当天需求量 n(单 位: 枝, n ? Ν )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量( 单位:元 ),整理得下表: 日需求量 n

16 17 18 19 20 16 16 15 13 10 频数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)
1 10
的平均;

15 20

(ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生 的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 13.(2015 全国 II 文 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调 查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得出 A 地区用户满意评分的频率分布直方 图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

A地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100 满意度评分

B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100) 6

(1)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

B地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 50 60 70 80 90 100 满意度评分

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 题型 147 线性回归方程 14. (2012 全国文 3) 在一组样本数据 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,? ,? xn , yn ?( n …2 ,x1, x2, ?, xn 不全相等) 的散点图中, 若所有样本点 ? xi , yi ? ? i ? 1, 2,?, n ? 都在直线 y ? 则这组样本数据的样本相关系数为(). A. ?1 B. 0 C.

1 x ? 1 上, 2

1 2

D. 1

15. . (2015 全国 I 文 19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费, 需了解年宣传费 ( x 单 位:千元)对年销售量 y (单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传 费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1,2,?,8? 数据作了初步处理, 得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量/t 620 600 580 560 540 520 500 年宣传费/千元 480 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

x

y

w

? ? x ? x ? ? ? w ? w? ? ? x ? x ?? y ? y ? ? ? w ? w?? y ? y ?
8 8
8 8

2

2

i ?1

i

i ?1

i

i ?1

i

i

i ?1

i

i

46.6
表中 wi ?

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

xi , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1

(1)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x, y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(2)的结果回答下列问 题: (i)年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 ? u1 , v1 ? , ?u2 , v2 ? , ? , ?un , vn ? ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截

?? 距的最小二乘估计分别为 ?

? ? u ? u ?? v ? v ?
n i ?1 i i

? ?u ? u ?
n i ?1 i

2

? ?v?? ?u . ,?

题型 148 独立性检验

16. (2015 全国 II 文 3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万 吨)柱形图,以下结论中不正确的是(). A. 逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著 B. 2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C. 2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年

第十二章试题详解
1.解析甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3 ? 3 ? 9 (种) ,其中甲、乙两人参加 同一个小组的情况有 3 种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P ? 故选 A. 2.分析利用列举法求出事件的个数,再利用古典概型求概率. 解析从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数, 有 ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4? , ? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3,1? , ? 2,3? ,

3 1 ? . 9 3

? 3, 2? , ? 3, 4? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? ,共 12 种情形,而满足条件“2 个数之差的
绝对值为 2”的只有 ?1,3? , ? 2, 4 ? , ? 3,1? , ? 4, 2 ? ,共 4 种情形,所以取出的 2 个数之差 的绝对值为 2 的概率为

4 1 ? . 故选 B. 12 3

3.分析先找出两数之和等于 5 的各种情况,再利用古典概型的概率知识求解. 解 析 : 两 数 之 和 等 于 5 有 两 种 情 况 ?1, 4 ? 和 ? 2,3? , 总 的 基 本 事 件 有

?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ?2,3? , ?2,4? , ? 2,5? , ?3,4? , ?3,5? , ? 4,5? ,共 10 种.所以 P ? 10 ? 0.2 .
4.解析设 2 本不同的数学书为 a1 , a2 ,1 本语文书为 b ,在书架上的排法有 a1a2b , a1ba2 ,

2

a2 a1b , a2ba1 , ba1a2 , ba2 a1 ,共 6 中,其中 2 本书写数相邻的有 a1a2b , a2 a1b , ba1a2 , ba2 a1 ,共 4 中,因此 2 本数学书相邻的概率 P ?
4 2 ? . 6 3

5.解析甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝 9 种,

其中颜色相同的有 3 种,所以所求的概率为
2

3 1 ? . 9 3

6.解析由 1 ? 1 , 2 ? 4,3 ? 9, 4 ? 16,5 ? 25 ,
2 2 2 2

可知只有 ?3,4,5? 是一组勾股数. 从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,其基本事件有:

?1,2,3? , ?1,2,4? , ?1,2,5? , ?1,3, 4? , ?1,3,5? , ?1, 4,5? , ? 2,3, 4? , ? 2,3,5? , ? 2, 4,5? , ?3, 4,5? ,共10 种.
则从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率 P ?

1 .故选 C. 10

7.分析(1)直接求解平均数,并比较大小; (2)观察茎叶图,看看数据的离散情况及中位 数的位置. 解析: (1)设 A 药观测数所的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y .由观测结果可得

x?

1 ? 0.6 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.5 ? 1.5 ? 1.8 ? 2.2 ? 2.3 ? 2.3 20

?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 2.7 ? 2.8 ? 2.9 ? 3.0 ? 3.1? 3.2 ? 3.5? ? 2.3 ,
y? 1 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 20

?1.8 ?1.9 ? 2.1? 2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2? ? 1.6 .由以上计算结果可得 x > y ,因此
可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制茎叶图如图: 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 药疗效的试验结果有 8.解析(I)

7 的叶集中在茎“2.” , “3.”上,而 B 10

7 的叶集中在茎“0.” , “1.”上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10

频率/组距 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032 0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 75 85 95 105 115 125 质量指标值

(II)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标的样本方差为

s 2 ? ? ?20 ? ? 0.06 ? ? ?10 ? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 10 2 ? 0.22 ? 20 2 ? 0.08 ? 104 .
2 2

所以这种产品质量指标的平均数的估计值为100 ,方差的估计值为104 . (III)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 . 由于该估计值小于 0.8 ,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于 95 的产 品至少要占全部产品的 80% ”的规定. 评注 本题考查绘制频率分布直方图,计算样本的数字特征,及用样本估计总体等知识,同 时考查统计的思想方法. 9.解析(1)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25, 26 位的 是 75,75 , 故样本中位数为 75 , 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75 . 50 位 市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25, 26 位的是 66,68 ,故样本中位数为

66 ? 68 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67 . 2
(2)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为

5 ? 0.1 , 50

8 ? 0.16 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1 , 0.16 . 50
(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且 由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市 市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 评注本题考查利用茎叶图进行中位数, 概率的相关计算, 考查用样本的数字特征估计总体的

数字特征, 运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力, 考查数据处理能力及应用意 识. 10.【解析】 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 . 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品率的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 . (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 ,需其质量指标值 t …94 , 由试验结果知,质量指标值 t …94 的频率为 0.96 . 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

22 ? 8 ? 0.3 ,所 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

1 ? ? 4 ? ? ?2 ? ? 54 ? 2 ? 42 ? 4 ? ? ? 2.68 (元) 100 ?

11.分析(1)根据题意,应分两段进行求解; (2)运用得出的函数结合频率分布直方图求出 范围,然后估计概率. 解析: ( 1 ) 当 X ??100,130? 时 , T ? 500 X ? 300 ?130 ? X ? ? 800 X ? 39 000 . 当

?800 X ? 39 000,100 ≤ X < 130, X ??130,150? 时, T ? 500 ?130 ? 65 000 .所以 T ? ? ?65 000,130 ≤ X ≤150.
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当120 ≤ X ≤ 150 .由直方图知需求量

X ??120,150? 的频率为 0.7,所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计
值为 0.7.

17 时,利润 y ? 85 .当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 . 12.解析(1)当日需求量 n…
所以 y 关于 n 的函数解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17 ? n ? Ν? . 17 ?85, n…

(2)①这100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元, 54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的日利润的平均数为

1 ? 55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54 ? ? 76.4 . 100 ②利润不低于 75 元当且仅当日需量不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为 P ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7 .
13.分析 (1)根据题意通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 B 地区用户 满意评分的平均值高于

A 地区用户满意度评分的平均值, B 地区用户满意度评分比较集中,

A 地区用户的评分满意度比较分散;(2)由直方图得 P ? CA ? 的估计值为 0.6 . P ? CB ? 的估计
值为 0.25 ,所以 解析

A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大.

(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出, B 地区用户满意度评分

的平均值高于

A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中, 而A地

区用户满意度评分比较分散.

B地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 50 60 70 80 90 100 满意度评分

(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件: “

A 地区用户的满意度等级为不满意” ;CB 表示事件: “ B 地区用户的满意

度等级为不满意”. 由直方图得

P ? CA ? 的 估 计 值 为 ? 0.01? 0.02 ? 0.03? ?10 ? 0.6 , P ? CB ? 的 估 计 值 为

?0.005 ? 0.02? ?10 ? 0.25 .所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
评注高考中对统计与概率的考查,主要建立在实际问题中,特别要能读懂题意,分析题目中 的数据,并对数据进行处理,在解答中要注意概率的计算方法. 14.分析利用相关系数的意义直接作出判断. 解析样本点都在直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,即 yi ? ? yi ,代入相关系数 公式

r ? 1?

??
n i ?1 n i ?1

yi ? ? yi
i i

?

2

?? y ? y ?

2

? 1 .故选 D.

15.解析(1)由散点图变化情况选择 y ? c ? d x 较为适宜.

(2)由题意知 d ?

? ? w ? w?? y ? y ?
8 i ?1 i i

? ? w ? w?
8 i ?1 i

2

?

108.8 ? 68 . 1.6

又 y ? c ? d x 一定过点 w, y ,所以 c ? y ? dw ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6 , 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6 ? 68 x . (3) (ⅰ)由(2)可知当 x ? 49 时, y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 ,

? ?

z ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 . 所以年宣传费 x ? 49 时,年销售量为 576.6t ,年利润的预报值为 66.32 千元.
(ⅱ) z ? 0.2 y ? x ? 0.2 100.6 ? 68 x ? x ? 13.6 x ? x ? 20.12 ?

?

?

?

?

x ? 6.8 ? 6.82 ? 20.12 .
2

?

2

所以当 x ? 6.8 ,即 x ? 6.8 ? 46.24 (千元)时,年利润的预报值最大, 16.解析 由柱形图可以看出,我国二氧化碳排放量呈下降趋势,故年排放量与年份是负相

关关系,依题意,须选不正确的.故选 D.

第十三章推理与证明
第一节合情推理与演绎推理
题型 149 归纳推理 题型 150 类比推理

第二节证明
题型 151 综合法与分析法证明 题型 152 反证法证明

第十三章试题详解 第十四章数系的扩充与复数的引入
题型 153 复数的概念及分类 题型 154 与共轭复数、复数相等有关的问题 1.(2012 全国文 2)复数 z ? A. 2 ? i 题型 155 复数的模 2.(2013 全国 II 文 2)

?3 ? i 的共轭复数是(). 2?i
B. 2 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

2 ? (). 1? i

A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 3.(2014 新课标Ⅰ文 3)设 z ?

1 ? i ,则 z ? () 1? i

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

题型 156 复数的代数运算

4.(2011 全国文 2)复数 A. 2 ? i 5.(2013 全国 I 文 2)

5i ? (). 1 ? 2i
B. 1 ? 2i C. ?2 ? i D. ?1 ? 2i

1 ? 2i

?1 ? i ?

2

? ().
1 i 2 1 i 2 1 i 2

A. ?1 ?

1 i 2

B. ?1 ?

C. 1 ?

D. 1 ?

6.(2014 新课标Ⅱ文 2) A. 1 ? 2i

1 ? 3i ? () 1? i
C. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i

B. ?1 ? 2i

7. (2015 全国 I 文 3)已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? (). A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

8. (2015 全国 II 文 2)若 a 为实数,且 A. ? 4 B. ? 3 题型 157 复数的几何意义

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? (). 1? i
C. 3 D. 4

第十四章试题详解
1.分析先化简复数,再求共轭复数. 解析因为 z ?

?3 ? i ? ?3 ? i ?? 2 ? i ? ?5 ? 5i ? ? ? ?1 ? i ,所以 z ? ?1 ? i 2?i 5 ? 2 ? i ?? 2 ? i ?

2.分析先设出复数 z ? a ? bi ,然后运用复数相等的充要条件求出 a , b 的值. 解析:设 z ? a ? bi ,则 ?1 ? i ?? a ? bi ? ? 2i ,即 ? a ? b ? ? ?b ? a ? i ? 2i .根据复数相等的充

要条件得 ?

?a ? b ? 0, ?a ? ?1, 解得 ? 所以 z ? ?1 ? i .故选 A. ?b ? a ? 2, ?b ? 1,
1 1? i 1 1 1 2 ?1? ?1? ?i ? ? i ? ? i ,因此 z ? ? ? ? ? ? ? ,故选 B. ? 1? i 2 2 2 2 2 ?2? ?2?
2 2

3.解析 z ?

4.解析

5i ?1 ? 2i ? 5i ?1 ? 2i ? 5i ? ? ? ?2 ? i .故选 C. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5
1 ? 2i 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ? i 1 ? ? ? ?1 ? i. 故选 B. 2 1 ? 2i ? i ?2i 2 2

5.分析先进行复数的乘方运算,再进行除法运算. 解析:

?1 ? i ?

2

?

6.解析

1 ? 3i ?1 ? 3i ??1 ? i ? ?2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i ,故选 B. 1? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ?
1 ? 2i ? 2 ? i .故选 C. i

7.解析由题意可得 zi ? 1 ? i ? i ? 1 ? 2i , z ? 8.解析

可去分母两边同乘 1 ? i 得, 2 ? ai ?

?1? i ??3 ? i ? ? 2 ? 4i ,则 a ? 4 .故选 D.

第十五章选讲内容
第一节几何证明选讲(选修 4-1)
题型 158 相似三角形 1.(2012 全国文 22)如图, D, E 分别为△ ABC 边 AB , AC 的中点,直线

DE 交△ ABC 的外接圆于 F , G 两点.若 CF∥AB ,证明:
(1) CD ? BC ; (2)△ BCD ∽ △ GBD .

O 为等腰三角形 ABC 内一点, 2. (2015 全国 II 文 22)如图所示,
圆 O 与 △ABC 的底边 BC 交于 M , N 两点,与底边上的高
A G E O B M D N C F

AD 交于点 G ,且与 AB , AC 分别相切于 E , F 两点.
(1)证明: EF //BC ; (2)若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE ? MN 求四边形 EBCF 的面积.

?2 3,

题型 159 相交弦定理、切割线定理及其应用 3.(2013 全国 I 文 22)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上, ?ABC 的角 平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D . (1)证明: DB ? DC ; (2)设圆的半径为 1 ,BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F , 求△BCF 外接圆的半径. 4.(2014 新课标Ⅱ文 22)(本小题满分 10)选修 4—1:几何证 明选讲 如图所示,P 是 ? O 外一点,PA 是切线,A 为切点, 割线 PBC 与
C E A D B

F

? O 相交于点 B ,C , PC ? 2 PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 ? O 于点 E .求证:
(1) BE ? EC ;

DE ? 2 PB . (2) AD·
2

A

O

P

D B E
C
C E D A


5.(2015 全国 I 文 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 是圆 O 直径, AC 是圆 O 切线, BC 圆 O 于点 E. (1)若 D 为 AC 中点,求证: DE 是圆 O 的切线; (2)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

O

B

题型 160 四点共圆 6.(2011 全国文 22)如图所示,D ,E 分别为 △ABC 的边 AB, AC 上的点,且不与 ?ABC 的 顶 点 重 合 . 已 知 AE 的 长 为 m , AC 的 长 为 n , AD , AB 的 长 是 关 于

x 的方程

x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根.
(1)证明: C , B, D, E 四点共圆;

(2)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4 , n ? 6 , 求 C , B, D, E 所在圆的半径. 7.(2013 全国 II 文 22) 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点

D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B,E,F,C 四点共圆. (1)证明: CA 是 △ABC 外接圆的直径; (2)若 DB ? BE ? EA ,求过 B,E,F,C 四点的圆的面 积与△ABC 外接圆面积的比值.

C

F

D

B

E

A

8.(2014 新课标Ⅰ文 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图所示,四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且 CB ? CE . (1)求证: ?D ? ?E ; (2)设 AD 不是 ? O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,求证:△ADE 为等边三 角形.

D

M
O
A

C

B

E

第二节极坐标和参数方程(选修 4-4)
题型 161 参数方程化普通方程 9.(2014 新课标Ⅰ文 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值. 题型 162 普通方程化参数方程

10.(2013 全国 II 文 23)已知动点 P,Q 都在曲线 C : ? 数分别为 t ? ? 与 t ? 2? ( 0<? <2π ) , M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程;

? x ? 2cost ( t 为参数)上,对应参 ? y ? 2sint

(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 11.(2014 新课标Ⅱ文 23)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极 坐标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? . 2 (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标. 题型 163 极坐标方程化直角坐标方程 12.(2012 全国文 23)已知曲线 C1 的参数方程是 C1 : ?

? ?? ? ?

? x ? 2cos ? , (? 为参数 ) ,以坐标原 ? y ? 3sin ? ,

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 , 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? 2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围. 13.(2015 全国 II 文 23)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?
2 2 2 2

? ?

π? ?. 3?

? x ? t cos ? ( t 为参数, t ? 0 )其中 0 剟? ? y ? t sin ?

π .在以 O

为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2 sin ? , C3 : ? (1) 求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2) 若 C1 与 C2 相交于点

? 2 3 cos? .

A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

题型 164 直角坐标方程化极坐标方程 14.(2015 全国 I 文 23)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为
2 2

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 , C2 的极坐标方程. (2)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积. 题型 165 参数方程与极坐标方程互化 15.(2011 全国文 23) )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 △C2 MN 4

? x ? 2cos ? , (? ? y ? 2 ? 2sin ? .

为参数) , M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB . 16.(2013 全国 I 文 23)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

??? ?

???? ?

π 与 C1 的异于极点的 3

? x ? 4 ? 5cost ( t 为参数) ,以坐标原点 ? y ? 5 ? 5sint

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标 ? ? ≥ 0 , 0 ≤? <2π ?

第三节不等式选讲(选修 4-5)
题型 166 含绝对值的不等式 17.(2011 全国文 24)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) …3x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值. 18.(2012 全国文 24)已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) …3 的解集;

(2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围. 19.(2013 全国 I 文 24)已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? 2x ? a ,g ? x ? ? x ? 3 . (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ? x ? <g ? x ? 的解集; (2)设 a > ? 1 ,且当 x ? ? ? , ? 时, f ? x ? ≤ g ? x ? ,求 a 的取值范围. (2014 新课标Ⅱ文 24) (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 20. 设函数 f ? x ? ? x ?

? a 1? ? 2 2?

1 ? x ? a ? a ? 0? . a

(1)求证: f ? x ?≥2 ; (2)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围. 21 . (2015 全国 I 文 24)选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ? x? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . f ? x ? ? 1的解集;

(1)当 a ? 1 时,求不等式 (2)若

f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
题型 167 不等式的证明

22.(2013 全国 II 文 24)设 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (1) ab ? bc ? ac ≤

1 ; 3

(2)

a 2 b2 c 2 ? ? ≥1 . b c a
1 1 ? ? ab . a b

23.(2014 新课标Ⅰ文 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0 , b ? 0 ,且

3 3 (1)求 a ? b 的最小值;

(2)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 24.(2015 全国 II 文 24)选修 4-5:不等式选讲 设 a , b , c , d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (1)若 ab ? cd ,则

a? b ? c? d;

(2)

a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

第十五章试题详解 3
1.解析证明:(1)因为 D , E 分别为 AB, AC 的中点,所 以 DE∥BC . 又已知 CF∥AB ,故四边形貌 BCFD 是 平行四边形,所以 CF ? BD ? AD ,而 CF∥AD ,连 接 AF , 所 以 四 边 形 ADCF 是 平 行 四 边 形 , 故
G D E F A

CD ? AF .
(2) 因为 FG∥BC , 故 GB ? CF .由(1) 可知 BD ? CF , 所以 GB ? BD ,所以 ?BGD ? ?BDG .由 BC ? CD 知 ?CBD ? ?CDB ,又因为 ?DGB ? ?EFC ? ?DBC ,所以 △BCD∽△GBD . 2.分析(1)根据等腰三角形的性质可快速求解; (2)由(1)的结论可得 OE ? AE 和 △ ABC 及 △ AEF 都是等边三角形, 则所求四边形面积为两 个三角形面积之差. 解析(1)由于 △ ABC 是等腰三角形,AD ? BC , 所以 AD 是 ?CAB 的平分线. 又因为圆 O 分别与
B C

AB , AC 相切于 E , F 两点,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF .从而 EF //BC . ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 是圆 O 的弦,
. 由 AG 等于圆 O 的半径得 AO ? 2OE ,

(2)由(1)知, AE

E ?A E 所以 O 在 AD 上. 连接 OE ,OM , 则O

所以 ?OAE ? 30? .所以 △ ABC 和 △ AEF 都是等边三角形. 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 .
A G E O B M D N C F

1 因为 OM ? OE ? 2 , DM ? MN ? 3 ,所以 OD ? 1 . 2

10 3 于是 AD ? 5 , AB ? . 3
2

2 3 16 3 1 ? 10 3 ? 3 1 所以四边形 EBCF 的面积为 ? ? . 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 ? 3 ? 2 2

?

?

评注几何证明选讲的考查主要是有关圆与直线、圆与三角形、圆与多边形的推理与计算, 解题中特别要注意特殊图形的性质. 3.分析(1)利用圆的性质结合弦切角定理证明线段相等; (2)先证明中垂线,再结合圆的 几何性质求圆的半径. 解析: (1)证明:如图,连接 DE ,交 BC 于点 G .

由弦切角定量,得 ?ABE ? ?BCE ,而 ?ABE ? ?CBE ,故 ?CBE ? ?BCE ,所 以 BE ? CE. 又因为 DB ? BE , 所以 DE 为圆的直径,?DCE ? 90? .由勾股定理可得

DB ? DC.
( 2 )解:由( 1 )知, ?CDE ? ?BDE, DB ? DC, 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以

BG ?

3 . 设 DE 的 中 点 为 O , 连 接 BO , 则 ?BOG ? 60? , 从 而 2

?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30? ,所以 CF ? BF ,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于

3 . 2
4.解析(I)连接 AB , AC ,由题设知 PA ? PD ,故 ?PAD ? ?PDA . 因 为 ?PDA ? ?DAC ? ?DCA , ?PAD ? ?BAD ? ?PAB , ?DCA ? ?PAB , 所 以

? ? EC ? ,因此 BE ? EC . ?DAC ? ?BAD ,从而 BE
2 (II) 由切割线定理得 PA ? PB ? PC .因为 PA ? PD ? DC , 所以 DC ? 2 PB ,BD ? PB ,

2 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC ,所以 AD ? DE ? 2PB .

5.解析(1)连接 OE , AE ,如图所示. 因为 AB 为直径,所以 AE ? BC . 又 D 为 AC 中点,所以 DE ? AD , 所以 ?CAE ? ?DEA .① 因为 AC 为切线,所以 ?CAB ? 90 , 即 ?CAE ? EAO ? 90 .② 在圆 O 中, OA ? OE ,所以 ?EAO ? ?OEA .③ 结合 ①②③ ,可得 ?DEA ? ?OEA ? 90 ,即 OE ? DE . 所以 DE 是圆 O 的切线. (2)设
? ? ?

C E D A

O

B

AB CB ? x, ?y ,由切割线定理,可得 AC AC

AC 2 ? CE ? CB .
又 OA ? 3CE ,所以 AC ?
2

AB CB AB ? ? CB ,整理可得 2 3 ? ,即 2 3 ? x ? y . AC AC 2 3

2 2 2 在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ? CB ,整理可得 ?

? AB ? ? CB ? 2 2 ? ?1 ? ? ? ,即 x ? 1 ? y . ? AC ? ? AC ?

2

2

联立 ?

?2 3 ? x ? y ?
2 2 ? ?x ?1 ? y

,解得 x ? 3 .所以 tan ?ACB ?

AB ? 3 ,则 ?ACB ? 60? . AC

6.解析(1)如图所示,连接 DE ,在 ?ADE 和 ?ACB 中,

AD ? AB ? mn ? AE ? AC ,即

AD AE ? . BC AB

又 ?DAE ? ?CAB ,从而 △ADE∽△ACB . 因此 ?ADE ? ?ACB ,所以 C , B, D, E 四点共圆.
2 (2) m ? 4 , n ? 6 时,方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两根为 x1 ? 2, x2 ? 12 ,故

AD ? 2, AB ? 12 .如图所示,取 CE 中点 G , DB 的中点 F ,分别过 G , F 作 AC ,
AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH .因为 C , B, D, E 四点共圆,所以 C , B, D, E
四点所在圆的圆心为 H ,半径为 DH .由于 ?A ? 90 ,故 GH∥AB, HF∥AC ,
?

从而 HF ? AG ? 5, DF ?

1 ?12 ? 2 ? ? 5 .故 C, B, D, E 所在圆的半径为 5 2 . 2

7.分析(1)要证 CA 为外接圆的直径,只需证 ?ABC 为直角,根据已知条件可证得; (2) 要求两圆的面积比,可先求两圆的直径比. 解析: (1) 证明: 因为 CD 为 △ ABC 外接圆的切线, 所以 ?DCB ? ?A .由题设知

BC DC ? , FA EA

故 △CDB ∽ △ AEF , 所 以 ?DBC ? ?EFA . 因 为 B, E, F , C 四 点 共 圆 , 所 以

?CFE ? ?DBC ,故 ?EFA ? ?CFE ? 90? ,所以 ?CBA ? 90? . 因此 CA 为 △ ABC 外
接圆的直径. (2)连接 CE ,因为 ?CBE ? 90? ,所以过 B, E, F , C 四点的圆的直径 CE .
2 2 2 2 2 2 由 DB ? BE , CE ? DC .又 BC ? DB ? BA ? 2 DB ,所以 CA ? 4DB ? BC ? 6DB . 2 2 2 而 CE ? DC ? DB ? DA ? 3DB ,故过 B, E, F , C 四点的圆的面积与 △ ABC 外接圆面积

的比值为

1 . 2

C ,D 四点共圆, 8.解析 (I) 由题设知 A ,B , 所以 ?D ? ?CBE .由已知得 ?CBE ? ?E , 故 ?D ? ?E . (II)设 BC 的中点为 N ,连接 MN ,则由 MB ? MC 知 MN ? BC ,故 O 在直线 MN 上.
M 为 AD 的中点, 又 AD 不是 ? O 的直径, 故 OM ? AD , 即 MN ? AD .所以 AD //BC ,

故 ?A ? ?CBE .又 ?CBE ? ?E ,故 ?A ? ?E .由(I)知, ?D ? ?E ,所以 △ ADE 为 等边三角形.

D

M O A N B

C E

9. 解 析 ( I ) 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数).直线 l 的普通方程为 ? y ? 3sin ?

2x ? y ? 6 ? 0 .
(II)曲线 C 上任意一点 P ? 2cos? ,3sin ? ? 到 l 的距离为 d ?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 ,则 5

PA ?

4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角,且 tan ? ? . ? 3 sin 30 5

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, PA 取得最大值,最大值为

22 5 . 5

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, PA 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

10.分析(1)根据已知条件得出 P、Q 两点的坐标,然后转化为参数方程; (2)根据两点间 的距离公式进行求解验证. 解析:解: (1)依题意有 P ? 2cos ? ,2sin ? ? , Q ? 2cos 2? ,2sin 2? ? ,因此

? x ? cos ? ? cos 2? , ( ? 为参 M ? cos? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? . M 的轨迹的参数方程为 ? ? y ? sin ? ? sin 2?
数, 0 <

? < 2? ).
x 2 ? y 2 ? 2 ? 2cos ? ? 0 < ? < 2? ? .
2

(2) M 点到坐标原点的距离 d ?

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.
2 11. 解 析 ( I ) C 的 普 通 方 程 为 ? x ? 1? ? y ? 1? 0 剟 y

1? . 可 得 C 的 参 数 方 程 为

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 剟t ? ? y ? sin t

π ).

(II)设 D ?1 ? cos t,sin t ? .由(I)知 C 是以 G ?1,0 ? 为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同. tan t ? 3 , t ?

π .故 D 的直角坐 3

标为 ?1 ? cos

? ?

π π? ?3 3? , ,sin ? .即 ? ?. 2 2 ? 3 3? ? ? ?

12.解析(1)由已知可得 A ? 2 cos

? ?

π π? ? ?π π? ? π π ?? , 2sin ? , B ? 2cos ? ? ? , 2sin ? ? ? ? , 3 3? ?3 2? ? 3 2 ?? ?

? ? ?π ? ?π ?? ? π 3π ? ? π 3π ? ? C ? 2cos ? ? π ? , 2sin ? ? π ? ? , D ? 2cos ? ? ? , 2sin ? ? ? ? , ?3 ? ?3 ?? ?3 2 ? ? 3 2 ?? ? ?
即 A 1, 3 , B ? 3,1 , C ?1, ? 3 , D
2

?

?

?

?

?

?

?

3, ?1 .
2 2 2

?

(2)设 P ? 2cos ?,3sin ? ? ,令 S ? PA ? PB ? PC ? PD ,则

S ? 16cos2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20sin 2 ? . 因为 0剟 sin 2 ? 1 ,所以 S 的取值范围是

?32,52? .
13.分析(1)将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可求解; (2) 先 确 定曲 线 C1 的 极坐 标方 程 ? ? ? ? ? ? R,? ? 0? , 进 一步 求出 点 A 的极 坐 标为

? 2sin ?,? ? ,点 B 的极坐标为 ? 2
π? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4 . 3? ?

3 cos ?,? ,由此可得 AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ?

?

解 析 (1) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0 , 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为
2 2

? 2 2 x? ? ? x ? y ? 2 y ? 0 x ? 0 ? ? ? 2 2 ,解得 ? 或? x ? y ? 2 3x ? 0 .联立 ? 2 2 ? ?y ? 0 ?y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? ?
所以 C2 与 C1 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 2 . 3 2

3 3 , ). 2 2

(2) 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) , 其 中 0? ? ? π . 因 此 A 的 极 坐 标 为

(2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) .

所以 AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4 sin(? ? ) ? 4 ,当 ? ? 大值为 4 .

π 3

5π 时, AB 取得最大值,最 6

14.解析(1)由 C1 : x ? ?2 ,可得极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , 由 C2 : x ? 2 x ? 1 ? y ? 4 y ? 4 ? 1 ,得极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .
2 2 2

(2)由题意可得 C3 : y ? x ? x …0? . 由 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,得圆心 C2 ?1, 2? .
2 2

则 d ? C2 , MN ? ?

1? 2 1 ? ? ?1?
2

?

2 . 2
2

由半径、弦心距及半弦长的关系,可得 MN ? 2 1 ? d ? 所以 S△C2 MN ?

2,

1 2 1 ? 2? ? . 2 2 2 ?x y? , ? .由于 M 点在 C1 上, ?2 2?

15.解析(Ⅰ)设 P( x, y) ,则由条件知 M ?

?x ? 2 cos ? , ? ? x ? 4cos ? , ?2 所以 ? 即? ? y ? 2 ? 2sin ? , ? y ? 4 ? 4sin ? . ? ?2
从而 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? , ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ? .

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ?

π π 与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 π π 与 C2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin . 3 3

射线 ? ?

所以 AB ?

?2 ? ?1 ? 2 3 .

16.分析利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程; (2)利用联立方程组求解 曲线的交点.

解析: (1)将 ?

ts , 2 2 ?x ? 4 ? 5 c o 消去参数 t ,化为普通方程 ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? 25, 即 ? y ? 5 ? 5 s it n

s , ?x ? ? c o ? 2 2 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0. 将 ? 代入 x ? y ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 得 ? ?y ? ? s i n

?2 ?8 ? c o s ?? 1 ? 0 si ? ? n
所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 8
2 2

?1 6

0. ?1 6 0.

?c o s ?? 1 ? 0 si ? ? n
2

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? x ? 1, ? ( 2 ) C2 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0 . 由 ? 2 解得 ? 或 2 ? ?y ?1 ? x ? y ? 2 y ? 0.

?? ? ?? ? x ? 0, ? 所以 C1 与 C2 的交点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? ? 4? ? 2? ? ? y ? 2.
x ? 1 …2 ,由此可得 x… ? 可化为 2 3 或 x? ? 1 ,故不 17.解析(1)当 a ? 1 时, f ( x)… 3x

? 的解集为 2 3或 x ?1? . 等式 f ( x)… 3x ?x x厔
(2)由 f ( x )?

0 得 x ? a ? 3x ? 0 ,此不等式化为不等式组

a ? x… ? x? a a ? x… ? x? a ? ? 或? ,即 ? ? a 或? a. x? x? ? ? x ? a ? 3x? 0 ?a ? x ? 3x? 0 ? ? ? 4 ? 2
由于 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x x? ?

? ?

a? ?. 2?

由题设可得 ?

a ? ? 1 ,故 a ? 2 . 2

,? 2 ? ?2 x ? 5 x ? 3 18.解析 (1)当 a ? ?3 时, f ( x )? ? 1 ,?2x ? , ?2 x ? 5 x ,… 3 ?
…3 …3 …3 3 当 x? 2 时,由 f ( x ) 得 ?2 x ? 5 ,解得 x? 1 ;当 2 ? x ? 3 时, f ( x ) 无解;当 x… …3 …3 1 ? xx 4 . …3 4 .所以 f ( x ) 时,由 f ( x ) 得 2x ? 5 ,解得 x… 的解集为 x x剠
(2) f

?

? ?

?

? x?剠

x ? 4 ? x?4 ? x ? 2

x ?. 当 a x ??1 , ? 2 时 , x ? 4 ? x ? 2 …x ? a

? 4 ?x ?( 2 ? x厔 ) x ?a ? 2 ? a ? ? x 2 .? a 2 ,即 由 条 件 知 ?2 ? a? 1 且 2 ? a…

?3剟 a 0 . 故满足条件 a 的取值范围为 ? ?3,0? .
19.分析(1)利用绝对值的代数意义将函数化为分段函数; (2)结合函数的图像将问题转化 为恒成立问题求解. 解析: (1)当 a ? ?2 时,不等式 f ? x ? < g ? x ? 化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 < 0.

1 ? ? ?5 x , x < 2 , ? 设函数 y ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则 y ? ? ? x ? 2, 1 ≤ x ≤ 1, 其图象如图所示,由图象 ? 2 ? ?3 x ? 6, x > 1,
可知,当且仅当 x ? ? 0,2? 时, y < 0 ,所以原不等式的解集是 x 0 < x < 2 . ( 2 )当 x ? ? ?

?

?

? a 1? , ? 时, f ? x ? ? 1 ? a ,不等式 f ? x ? ≤ g ? x ? 化为 1 ? a ≤ x ? 3 ,所以 ? 2 2?

a 4 4? ? a 1? ? x ≥ a ? 2 对 x ? ? ? , ? 都成立, 故 ? ≥ a ? 2, 即 a ≤ . 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 2 3 3? ? 2 2? ?
20. 解 析 ( I ) 由 a ? 0 , 有 f ? x ? ? x ?

1 1 1 ? x ? a 厖 x ? ? ? x ? a? ? ? a a a a

2 ,所以

f ? x ? …2 .
(II) f ? 3? ? 3 ?

1 5 ? 21 1 ? 3 ? a .当 a ? 3 时, f ? 3? ? a ? ,由 f ? 3? ? 5 得 3 ? a ? . a 2 a 1 1? 5 ? a ? 3. ,由 f ? 3? ? 5 得 a 2

当 0 ? a ? 3 时, f ? 3? ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 ? ?

? 1 ? 5 5 ? 21 ? , ?. 2 ? ? 2 ?

21.解析(1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 ,即 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 .① 当 x ? ?1 时,不等式 ① 化简为 x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式 ① 化简为 3 x ? 2 ? 0 ,解得

2 ? x ? 1; 3

当 x …1 时,不等式 ① 化简为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 .

综上所述,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 的解集为 ?

?2 ? ,2? . ?3 ?

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1 ? (2)由 a ? 0 ,可得 f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 剟x ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
作出 f ? x ? 的图像,如图所示. 图像与 x 轴所围成三角形的三个顶点分别为 A ?

a.

? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0? , C ? a, a ? 1? , ? 3 ?

S△ ABC ?

2 2 2 2 ? a ? 1? .由 ? a ? 1? ? 6 ,解得 a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 ? 2, ??? . 3 3
y

C

O A

B

x

22.分析(1)运用重要不等式进行转化求解: (2)运用均值不等式求解,还要注意“1”的 整体代换. 解析:证明: (1)由 a ? b ≥ 2ab, b ? c ≥ 2bc, c ? a ≥ 2ca,
2 2 2 2 2 2
2 2 2 得 a ? b ? c ≥ ab ? bc ? ca. 2 2 2 由题设得 ? a ? b ? c ? ? 1 ,即 a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 .
2

所以 3? ab ? bc ? ca ? ≤1 ,即 ab ? bc ? ca ≤

1 . 3

(2)因为

a2 b2 c2 ? b ≥ 2a , ? c ≥ 2b , ? a ≥ 2c , b c a



a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 ? ? ? ? a ? b ? c ? ≥ 2 ? a ? b ? c ? .即 ? ? ≥ a ? b ? c . b c a b c a

所以

a 2 b2 c 2 ? ? ≥1 . b c a
1 1 2 ,得 ab …2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立. ? … a b ab

23.解析(I)由 ab ?

故 a ? b 厖2 a b
3 3

3 3

4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立.所以 a3 ? b3 的最小值为 4 2 .

( II ) 由 ( I ) 知 2a ? 3b 厖2 6 ab

4 3 .由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a , b 使得

2a ? 3b ? 6 .
24.分析 (1)由 a ? b ? c ? d ,及 ab ? cd ,可证明

?

a? b

? ??
2

c? d

? ,两边开方
2

即得 a ? b ? c ? d ;(2)利用第(1)问的结论来证明,在证明中要注意分别证明充分性 和必要性. 解析 (1)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?

c? d c? d

?
2

2

? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd ,得

?

a? b
2

? ??
2

? ,因此
2

a? b? c? d .
2

(2)若 a ? b ? c ? d ,则 ? a ? b ? ? ? c ? d ? ,即 ? a ? b ? ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd .因为 a ?
2

b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(1)得 a ? b ? c ? d .
若 a ? b ? c ? d ,则

?

a? b

? ??
2

c? d

?,
2

即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd .因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd , 于是 ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd ? ? c ? d ? ,因此 a ? b ? c ? d .
2 2 2 2

综上所述, a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件. 评注 不等式的证明要紧抓不等式的性质, 结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学 推理的严谨性,要分充分性和必要性两个方面来证明.


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