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广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 三角函数


广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 三角函数
一、选择、填空题题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) )设函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的最小正周期 为 T ,最大值为 A ,则 A . T ?? , A ? D. T ? 2? , A ? 2 答案:C 2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试) .函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 ,

2

B. T ? ? , A ? 2

C . T ? 2? , A ?

2

? ?

?
2

)的部分图象如图 1 所示,则函数 y ? f ? x ? 对应的解

析式为 A. y ? sin ? 2 x ? C. y ? cos ? 2 x ? 答案:A 3、 ( 增 城 市 2014 届 高 三 上 学 期 调 研 ) 已 知 c o s ?x?

? ?

??
? 6?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

? ?

??
? 6?

D. y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

? ?

??

3 17 ? ? 7 ?x? ,则 ?? , 4 ? 5 12 4

sin x 2 ? 2 s2ix n ? 1? t a n x 28 28 (A) ? (B) 75 75

(C) ?

21 100

(D)

21 100

答案:A 4 、( 省 华 附 、 省 实 、 广 雅 、 深 中 四 校 2014 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 函 数

f ( x)? A s i? n (x ??
A. 2 sin(2 x ? ) C. 答案:B

)A ? ( ?0 ?, 的部分图象如图所示,则 0) f ( x) ?
B.

y 2

π 6 π 2 sin(4 x ? ) 3

π 2 sin(2 x ? ) 3 π D. 2 sin(4 x ? ) 6

-

π 3

O

5π 12

x

5、 (江门市 2014 届高三调研考试) 在 ?ABC 中,c ?

3 ,A ? 45 0 ,B ? 75 0 ,



a?
答案: 2



1

6、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测)已知函数① y ? sin x ? cos x ,②

y ? 2 2 s in x cosx ,则下列结论正确的是( ) ? A.两个函数的图象均关于点 ( ? , 0 ) 成中心对称 4 ? B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? 对称 4 ? ? C.两个函数在区间 (? , ) 上都是单调递增函数 4 4
D.可以将函数②的图像向左平移 答案:C

? 个单位得到函数①的图像 4

7、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试)已知 0 ? ? ?

?
2

, cos( ??

?
6

)?

3 ,则 cos? ? 5

答案:

4?3 3 10

8、 (珠海市 2014 届高三上学期期末)已知 cos ? ? ? 答案: ?

1 ? 0 ? ? ? ? ? ,则 sin 2? ? 3

4 2 9


9、 (珠海市 2014 届高三上学期期末)在△ABC 中, A: B:C=1:2: 3,则 a: b:c 等于 ( A、1:2:3 C、1: 3 :2 答案:C B、3:2:1 D、2: 3 :1

10、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考)如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于 直线 x ? ? A.

?
8

对称,那么 a 等于( C B.-

) C.1 D.-1

2

2

答案:C 二、解答题 1、 (佛山市 2014 届高三教学质量检测(一) ) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ) 求 cos B 的值;

3 b,B?C. 2

?? ? ? 的值. ?6? 【解析】解法 1:(Ⅰ) 因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………2 分
(Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? B ? ,求 f ?

2

3 b, 2 a 2 ? c 2 ? b2 所以 cos B ? , ……………………………3 分 2ac 3 2 b 4 ………………………………………………4 分 ? 3b 2
又a ?

?

3 4

……………………………………………5 分

3 3 b ,∴ sin A ? sin B …………………………………2 分 2 2 3 sin B ………………………3 分 ∵ B ? C ,且 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 2 B ? 2
解法 2:∵ a ? 又 2sin B cos B ?

3 sin B 2

……………………4 分

∵ sin B ? 0 , ∴ cos B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

3 .………………………………………5 分 4
13 ,…………………………………………7 分 4

(注:直接得到 sin B ? 所以 f ?

13 不扣分) 4
……………………………………………8 分 ……………………………10 分 ………………………………11 分 ………………………………………12 分

?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ?6? ?3 ?

? sin
?

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B

3 3 1 13 ? ? ? 2 4 2 4 ? 3 ? 13 . 8

2、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .………………………………………1 分 所以 cos

A?C 3 ? . 2 3

A?C ? ?B …………………………………………………2 分 ? cos 2 2

3

? sin

B 3 .………………………………………………3 分 ? 2 3

所以 cos B ? 1 ? 2sin 2

B …………………………………………………………5 分 2

1 ? .………………………………………………………………7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,……………………………………………9 分
2 2 2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 .…………………………………………………………………11 分
2

解得 c ? 1 .………………………………………………………………………12 分 3、 (增城市 2014 届高三上学期调研) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin x ? . (1)当 0 ? x ? ? 时,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值; 利用函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到 f(x)的图象. 解(1) f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin x ? ? 2sin x cos x ? 2sin x
2

(2)

1分 3分 5分

? sin 2x ? cos 2x ?1

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
∵ 0 ? x ? ? ,∴ 所以当 2 x ?

?
4 2

? 2x ?

?
4

?

9? 4


6分

?
4

?

?

时,即 x ?

?
8

7分

f(x)有最大值 2 ? 1 所以 f(x)最大值是 2 ? 1 ,相应的 x 的值 x ? (2)函数 y=sin x 的图象向左平移 把图象上的点横坐标变为原来的

?
8

8分

? 个单位, 4

9分

1 倍, 2

10 分

把图象上的点纵坐标变为原来的 2 倍,

11 分

4

最后把图象向下平移 1 个单位得到 y ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象 4? ?
1 倍 2

12 分

方法 2:把函数 y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的 把函数 x 的图象向左平移

9分

? 个单位, 8

10 分

把图象上的点纵坐标变为原来的 2 倍,

11 分

最后把图象向下平移 1 个单位得到 y ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象 4? ?

12 分

4、 (省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三上学期期末) 在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 3(b ? c ? a ) ? 2bc , B ? 2 A .
2 2 2

(1) 求 tan A ; (2) 设 m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), 求 m ? n 的值. 解: (1)? 3(b ? c ? a ) ? 2bc,
2 2 2

?

π 4

?

π 4

? ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? cos A ? ? . 2bc 3


…………………………………………2

? 0 ? A ? π,
? sin A ? 1 ? cos 2 A ?


2 , 3

…………………………………………… 4

tan A ?


sin A ? 2. cos A ?

………………………………………………………6

(2)(解法一)? m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), ……………………… 7

π π ? 4 4 π π ? ? ? m ? n ? 2sin( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4



? 2?

2 2 (cos B ? sin B) ? (cos B ? sin B) ? 1 2 2
5

? cos2 B ? sin 2 B ?1 ………………………………………… 9


? ?2sin 2 B.


……………………………………………… 10

?B ? 2A ,
? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ?
分 (2)(解法二)? m ? (2sin( ? B),1), n ? (sin( ? B), ?1), ……………………… 7

2 2 ? ? 16 , m?n ? ? . 3 9

…………12

π π ? 4 4 π π ? ? ? m ? n ? 2sin( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4 ?



π ?π π ? ? 2 cos ? ? ( ? B) ? sin( ? B) ? 1 4 ?2 4 ?

π π ? 2cos( ? B)sin( ? B) ? 1 4 4 π ? sin( ? 2 B) ? 1 2 ? cos 2B ?1 ………………………………………………………9


? ?2sin 2 B. ……………………………………………………… 10


?B ? 2A ,
? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ?
分 (2)(解法三) ? B ? 2 A ,

2 2 ? ? 16 , m?n ? ? . 3 9

…………12

? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ?

2 2 , 3
………………………9

1 cos B ? cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? ? . 3


π 2?4 ? ? m ? (2sin( ? B),1) ? ( 2(cos B ? sin B),1) ? (? ,1), ……10 4 3


6

π 2 4? 2 ? n ? (sin( ? B), ?1) ? ( (sin B ? cos B), ?1) ? ( , ?1). …11 4 2 6


4? 2 4? 2 16 ? ? ?m ? n ? ? ? ?1 ? ? . 3 6 9
分 5、 (江门市 2014 届高三调研考试) 已知 f ( x) ? 2 cos ( 3 sin ⑴ 求 f ( x) 的最小正周期; ⑵ 设 ? 、 ? ? (0 , 解:⑴ f ( x) ?

………………………12

x 2

x x ? cos ) ? 1, x ? R . 2 2

?
2

) , f (? ) ? 2 , f ( ? ) ?

8 ,求 f (? ? ? ) 的值. 5

3 sin x ? cos x ……2 分, ? 2 sin(x ?

?
6

) ……4 分,

f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ……5 分
⑵因为 2 sin(? ? 所以 ? ?

?
6

) ? 2 , sin(? ?

?
6

) ? 1,

?
6

?? ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,? ?

?
3

2? ……6 分, 3

……7 分,

8 ? 4 ? ? 2? , sin(? ? ) ? , ? ? ? ? ……8 分, 6 5 6 5 6 6 3 4 3 ? ? ? ? 3 因为 ? ,所以 ? ? ? ? , cos(? ? ) ? ……9 分, 5 2 6 6 2 6 5 2 sin(? ?

?

)?

所以 f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?

?

? 2 cos[(? ?
?

?

) ? ] ? 2 cos(? ? ) cos ? 2 sin(? ? ) sin ……11 分, 6 6 6 6 6 6

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ……10 分, 6 2

?

?

?

?

?

3 3?4 ……12 分。 5

(或者在第 7 分之后: f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?

?

? 2 cos[(? ?

) ? ] ? 2 cos(? ? ) cos ? 2 sin(? ? ) sin ……9 分, 6 6 6 6 6 6 ? 8 ? 4 ? 3 因为 2 sin(? ? ) ? , sin(? ? ) ? ,所以 cos(? ? ) ? ? ……10 分, 6 5 6 5 6 5 4?3 3 所以 f (? ? ? ) ? ……11 分, 5 4?3 3 ? 因为 ? ? (0 , ) , f (? ? ? ) ? 2 cos ? ? 0 ,所以 f (? ? ? ) ? …12 分) 5 2

?

?

?

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ……8 分, 6 2

?

?

?

6、 (揭阳市 2014 届高三学业水平考试)

7

在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 cos(

?
3

? A) ? 2cos A, 求 A 的值;
1 , 且△ABC 的面积 S ? 2c 2 ,求 sin C 的值. 3

(2)若 cos A ?

解: (1)由 cos( A ? 得

?

3

) ? 2cos A,

cos A cos
--2 分

?
3

? sin A sin

?
3

? 2cos A, -----------------------------------------------

1 3 ? cos A ? sin A ? 2 cos A, 2 2
分 ∴

3 sin A ? 3cos A ,-----------------------------4

tan A ? 3 -----------------------------------------------------------------------------------6 分 ∵0? A?? ∴A?

?
3



-----------------------------------------------------------------7 分

(2)解法 1:? cos A ? ∴

1 ? , ∴0 ? A ? 3 2

sin A ? 1 ? cos 2 A ?
-----8 分 由S ?

2 2 , ----------------------------------------------------3

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c , 2 3

----------------------------------------10 分 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴
2 2 2 2 2 2 2

a ? 2 2c -----------12 分
由正弦定理得:

2 2c c a c ? ,即 ? sin A sin C sin A sin C

8

? sin C ?

sin A 1 ? .----------------------------------------------------------2 2 3

------14 分 【解法 2:? cos A ?
2

1 ? , ∴0 ? A ? 3 2
2 2 , ---------------------------------------------8 分 3

∴ sin A ? 1 ? cos A ? 由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c , 2 3

----------------------------------------10 分 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴
2 2 2 2 2 2 2

a ? 2 2c -----------12 分
∵ a ? c ? 8c ? c ? 9c ? b ,∴△ABC 是 Rt△,角 B 为直角,
2 2 2 2 2 2

-------------------------13 分

? sin C ?

c 1 ? .-----------------------------------------------------14 分】 b 3

7、 (汕头市 2014 届高三上学期期末教学质量监测) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重 合,终边交单位圆于点 A ,且 ? ? ?

? ?? ? ? , ? .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于 6 ?3 2?
1 ,求 x 2 ; (Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足 4

点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .(Ⅰ)若 x1 ?

依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? S 2 ,求角 ? 的值.

(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos( ?? 因为 ? ? ?

?
6

) …………………(3 分)

1 ?? ? ? , ? , cos? ? , 4 ?3 2?
9

15 ?1? 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 4 ?4?
2

2

…………………(4 分)

所以 x 2 ? cos? ? ?

? ?

??

3 1 3 ? 15 cos? ? sin ? ? …………………(7 分) ?? 6? 2 2 8

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y 2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

?
6

).

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , …………………(8 分) 2 2 4 1 1 ? ? 1 ? S 2 ? | x2 | y 2 ? sin(? ? ) | cos( ? ? ) |? ? sin(2? ? ) ……………(9 分) 2 2 6 6 4 3

依题意得 sin 2? ? ? sin(2? ? 整理得 tan 2? ? ? 因为

?

3

) ? ? sin 2? cos

?

3

? cos 2? sin

?

3

,

3 3

……………(10 分)

?
3

?? ?

?
2

, 所以

所以 2? ?

5? , 即 6

2? ? 2? ? ? , 3 5? ……………(12 分) ?? 12

8、 (肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估) 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? (1) 求 f ?? ? 的值;

? ?

??

? , ( A ? 0, x ? R) 的最大值为 2 . 6?

(2) 若 sin ? ? ?

3 ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 6? ?

【解析】∵函数 f ( x) ? A sin ? x ?

? ?

??

? 的最大值为 2 ,∴ A ? 2 6?
(2 分) (4 分)
2

?? ? f ( x) ? 2sin ? x ? ? 6? ? ?? ? 1 ? (1) f (? ) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 6? 6 2 ?

4 3 ? 3? ? ? ? 2 (2)∵ sin ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? 5? ? 2 ? 24 ? 3? 4 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? (7 分) 25 ? 5? 5

(6 分)

cos 2? ? 2 cos
∴ f ? 2? ?

2

? ?

??
? 6?

7 ?4? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5? ?? ? ? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? 2sin 2? cos ? 2 cos 2? sin 3? 3 3 ?

2

(8 分) (10 分)

10

7 3 7 3 ? 24 ? 24 ? 1 ? 2?? ? ?? ? 2? ? ? 25 2 25 ? 25 ? 2
9、 (中山市 2014 届高三上学期期末考试) 设平面向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (

(12 分)

?

? ? 3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3
3 1 3 1 , ) ?1 ? cos x ? sin x ? 1 ………(2 分) 2 2 2 2

解: 依题意 f ( x) ? (cos x, sin x) ? (

? sin( x ? ) ? 1 ………………………………………………(4 分) 3
(Ⅰ) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2 ? ;………………………………………………(5 分) 令?

?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) .……………………(8 分) 6 6 ? 9 ? 4 (Ⅱ)由 f (? ) ? sin(? ? ) ?1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 因为 ? ? ? , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? ,………………………(10 分) 6 3 2 3 3 5 2? ? ? ? 4 3 24 sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ?? 3 3 3 3 5 5 25
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? ……………………………………………………………………(12 分) 10、 (珠海市 2014 届高三上学期期末) 已知 f ( x) ? 2cos(

5? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ………………(7 分) 6 6

?
2

? x) cos x ? 3 cos 2 x , x ? R

(1) 求 f ( ) 的值;

?

6

(2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的最值.

解: (1) f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 3 cos 2 x

? sin 2 x ? 3 cos 2 x

f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin 0 ? 0 6 6 3

?

? 2sin(2 x ? ) 3

?

?

?

11

(2) ? x ? [0,

?
2

] ,? 2 x ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]

? 3 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] 3 2
? 2sin(2 x ? ) ?[? 3, 2] 3
? f max ( x) ? 2 , f min ( x) ? ? 3
11、 (珠海一中等六校 2014 届高三第三次联考) 设 ?ABC 的 三 内角 A、B、C 的 对 边 长 分别 为 a、b、c , 已 知 a、b、c 成 等 比数 列 , 且

?

sin A sin C ?
?? ?

3 . 4
?

(Ⅰ)求角 B 的大小;

(Ⅱ) 设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? (? 状.

?? ? ? 12 , 1) , 当 m ? n 取最小值时 , 判断 ?ABC 的形 5

解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b 2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 又 sin A sin C ?

3 3 3 ,所以 sin 2 B ? .因为 sin B ? 0 ,则 sin B ? . 2 4 4

因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ?

?
3



2? . 3

又 b 2 ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是 ?ABC 的最大边,故 B ? (Ⅱ)因为 m ? n ? ? 所以 m ? n ? ?

?
3

.

…………6 分

?? ? ?

?? ? ?

12 cos A ? cos 2 A , 5
所以当 cos A ?

12 3 43 . cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2(cos A ? ) 2 ? 5 5 25

?? ? 3 时, m ? n 5

取得最小值. 此时 又B ?

1 3 3 ? ? ? cos A ? ? (0 ? A ? ? ) ,于是 ? A ? . 6 3 2 5 2

?
3

? A? B ?

?
2

, 从 而 ?ABC 为锐角三角形. ……………………………12 分

12、 (东莞市 2014 届高三上学期期末调研测试) 已知函数 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 求 sinB 的值。 ,

12

解: (1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2 3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

………2 分

?

? sin(2 x ? ) . 6

?

…………4 分

? f ( x) 的最小正周期为 T ?
(2)由 f (

2? ?? . 2

…………6 分

A ? 1 ? 1 1 ? ) ? ,得 sin( A ? ) ? ,则 cos A ? . 2 3 3 2 3 3
2 2 . 3

…………8 分

在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos 2 A ? 又因为 a ? 分

…………9 分

2, b ? 1 ,由正弦定理可得 sin B ?

b 2 sin A ? . a 3

……… 12

13


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