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高中数学 第三章 数列(文科)


高中数学 第三章 数列
考试内容: 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能 根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际 问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实际 问题. §03. 数 列 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

1. ⑴等差、等比数列:
等差数列 定义 递推公式 通项公式
a n ?1 ? a n ? d
a n ? a n ?1 ? d

等比数列
a n ?1 an ? q (q ? 0)

; a n ? a m ? n ? md

a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n ? m
a n ? a1 q
n ?1

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

( a1 , q ? 0 )

A ?
中项

a n?k ? a n?k 2

G ? ?

a n ? k a n ? k ?a n ? k a n ? k ? 0 ?
?

?n , k ? N
前 n 项和
S
n

?

,n ? k ? 0

?

?n , k ? N
?

,n ? k ? 0

?

?

n 2

(a1 ? a n )
n ( n ? 1) 2
*

S n ? na 1 ?

d

? na 1 ( q ? 1) ? S n? ? a 1? q n a1?an q 1 ? (q ? 2) ? 1? q 1? q ?

?

重要性质

a m ? a n ? a p ? a q (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q)

a m ? a n ? a p ? a q (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q )

*

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ②2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n ?1 q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 )
2 ② a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n

? 2

, a n a n ? 1 a n ?1 ? 0 )

等差数列 定义
{ a n }为 A ? P ? a n ? 1 ? a n ? d ( 常数)

等比数列
{ a n }为 G ? P ? a n ?1 an
n?k

? q ( 常数)

通 项 公式

a n = a 1 +(n-1)d= a k +(n-k)d= dn + a 1 -d

a n ? a1 q

n ?1

? ak q

求 和 公式

sn ? ? d 2

n ( a1 ? a n ) 2 n
2

? na 1 ? )n

n ( n ? 1) 2

d

? ( a1 ?

d 2

sn

? na 1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

( q ? 1) ( q ? 1)

中 项 公式

A=

a?b 2

推广:2 a n = a n ? m ? a n ? m

G

2

? ab 。推广: a n

2

? a n?m ? a n?m

性 质

1

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 { k n } 成 A.P(其中 k n ? N )则 { a k } 也
n

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。 若 { k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) { a k } ,则
n

2

为 A.P。 3

成等比数列。

s n , s 2n ? s n , s3n ? s 2n
成等差数列。
a n ? a1 n ?1 am ? an m ?n

s n , s 2n ? s n , s3n ? s 2n
成等比数列。

4
d ?

?

(m ? n)

q

n ?1

?

an a1



q

n?m

?

an am

(m ? n)

注①:i. b ? ii. b ?

ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b ?
ac

ac

a、b、c 等比数列.

(ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.

iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b ? ? ac 且 ac
? 0

→为 a、b、c 等比数列的充要.

注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个.

③ a n ? cq ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log
x

n

a n }(x>1)成等比数列.

⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n

? s 1 ? a 1 ( n ? 1) an ? ? 与通项 a n 的关系: ? s n ? s n ?1 ( n ? 2 )

[注]: ① a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ? nd ? ? a 1 ? d ? ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即 常数列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).
2 ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An ? Bn ? ?

d ? ?d ? 2 ? ?n ?? a 1 ? ?n 2 ? ? 2 ? ?



d 2

可以为零也可不为零→为等差

的充要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k
2



S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ... ;
②若等差数列的项数为 2 n n ? N

?

?

?

,则 S
?

?S 偶

? nd , 奇
2 n ?1 ?

S S

奇 偶

?

an a n ?1



③若等差数列的项数为 2 n ? 1 n ? N
S奇 S偶 ? n n ?1

?

? ,则 S

?2 n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n



? 代入 n 到 2 n ? 1得到所求项数

3. 常用公式:①1+2+3 …+n =

n ?n ? 1? 2

2 2 2 2 ②1 ?2 ?3 ? ? n ?

n ? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 6
2

? n ?n ? 1? ? ③1 ?2 ?3 ? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3

n [注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10 ? 1 ; 5,55,555,… ? a n ?

5 9

?10

n

?1

?.

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产 量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a (1 ? r )
a ? a (1 ? r ) ? a (1 ? r )
2

n ?1

,且过 n 年后总产量为:

? ... ? a (1 ? r )

n ?1

?

a [ a ? (1 ? r ) ] 1 ? (1 ? r )

n

.

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按复 利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) 元. 因此,第二年年初可存款:
a (1 ? r )[ 1 ? (1 ? r ) 1 ? (1 ? r )
12
n

a (1 ? r )

12

? a (1 ? r )

11

? a (1 ? r )

10

? ... ? a (1 ? r ) =

]

.

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.
a ?1 ? r ?
m

? x ?1 ? r ?

m ?1

? x ?1 ? r ?

m?2

? ...... x ?1 ? r ? ? x ? a ?1 ? r ?

m

?

x ?1 ? r ? r

m

?1

? x ?

ar ?1 ? r ?

m

?1 ? r ?

m

?1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n ? 2 ? pa
n ? 1 ? qa n

(p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解.
Px ? q( x
2

具体步骤: ①写出特征方程 x 2 ?
n n

对应 a n ? 2 , 对应 a n ? 1 ) 并设二根 x 1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 x ,
n

可设 a n . ? c 1 x 1 ? c 2 x 2 ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? ( c 1 ? c 2 n ) x 1 ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . ⑵ a n ? Pa
n ?1 ? r

(P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n
n ? 1 ? qa n

转化为 a n ? 2 ? Pa
c 1 ,c 2

的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ? c 1 ? c 2 P

n ?1

(公式法) ,

由 a 1 ,a 2 确定.
r P ?1

①转化等差,等比: a n ? 1 ? x ? P ( a n ? x ) ? a n ? 1 ? Pa n ? Px ? x ? x ? ②选代法:

.

a n ? Pa

n ?1 ? r

? P ( Pa

n?2

? r ) ? r ? ? ? a n ? (a 1 ?

r P ?1

)P

n ?1

?

r P ?1

? (a 1 ? x) P

n ?1

?x

?P

n ?1

a1?P

n?2

? r ? ? ? Pr ? r .

③用特征方程求解:
a n ? 1 ? Pa ?r? ? 相减, ? a n ? 1 ? a n ? Pa n ? Pa a n ? Pa n ? 1 ? r ?
n
n ?1 ?

a n ? 1 ? P ? 1) a n ? Pa (

n ?1

.

④由选代法推导结果:
c1? r 1? P , c 2 ?a1? r P ?1 , a n ?c 2 P
n ?1

?c1? a1? (

r P ?1

)P

n ?1

?

r 1? P

.

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d<0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两 种方法: 一是求使 a n ? 0 , a n ? 1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ?
d 2 n
2

? (a1 ?

d 2

) n 利用二次函数的

性质求 n 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1 ?
1 2 ,3 1 4 ,...( 2 n ? 1) 1 2
n

,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d 1, d 2 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验证 a n ? a n ? 1 (
an a n ?1 ) 为同一常数。(2)通项公式法。

2 (3)中项公式法:验证 2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ( a n ? 1 ? a n a n ? 2 ) n ? N 都成立。

?a m ? 0 3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ? 的项数 m ? a m ?1 ? 0

?a m ? 0 使得 s m 取最大值. (2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ? 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝 ? a m ?1 ? 0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

(三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理 ? a n a n ?1 ?

数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?a n b n ? 其中{ a n }是等差数列, ?b n ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论

n ( n ? 1)
1): 1+2+3+...+n =

2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

3) 1 ? 2 ? ? ? n
3 3

3

?1 ? ? ? n ( n ? 1) ? ?2 ?
2

2

4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n
2 2 2

?

1 6

n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

5)

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

1 n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n?2

6)

1 pq

?

1 q? p

(

1 p

?

1 q

)

( p ? q)


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