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2013-2014学年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数课后知能检测 新人教A版选修1-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.3.1 函数的 单调性与导数课后知能检测 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题 1.(2013·郑州高二检测)函数 f(x)=ln x-x 在(0,e)上的最大值为( A.1-e C.-e B.-1 D.0 )

1 【解析】 f′(x)= -1,令 f′(x)>0,得 0<x<1;令 f′(x)<0,得 1<x<e,∴

x

f(x)在(0,1)上递增,在(1,e)上递减,∴f(x)max=f(1)=-1.
【答案】 B 2.函数 y= 4x ( x2+1 )

A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为 2,最小值为-2 D.无最值 4?x +1?-4x?2x+0? 4?x+1??1-x? 【解析】 y′= = . 2 2 2 2 ?x +1? ?x +1? 令 y′=0,得 x1=1,x2=-1, ∴当-1<x<1 时,y′>0;当 x<-1 或 x>1 时,y′<0. 因此,y= 4x 的最大值为 f(1)=2;最小值 f(-1)=-2. x2+1
2

【答案】 C π 3.(2013·临沂高二检测)函数 y=x+2cos x 在[0, ]上取最大值时,x 的值为 2 ( A.0 C. π 3 B. D. π 6 π 2 )

1 π 【解析】 y′=1-2sin x,令 y′>0 得 sin x< ,故 0≤x< ,令 y′<0 得 sin x 2 6
1

1 π π π π π π > ,故 <x≤ ,∴原函数在[0, )上递增,在( , ]上递减,当 x= 时,函数取 2 6 2 6 6 2 6 得最大值. 【答案】 B 4.已知函数 f(x)、 g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x), 则 f(x)-g(x)的最大值为( A.f(a)-g(a) C.f(a)-g(b) ) B.f(b)-g(b) D.f(b)-g(a)

【解析】 设 F(x)=f(x)-g(x),F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,∴F(x)在[a,b]上是 减函数. ∴F(x)在[a,b]上的最大值为 F(a)=f(a)-g(a). 【答案】 A 1 4 3 5. (2013·吉林高二检测)已知函数 f(x)= x -2x +3m, x∈R, 若 f(x)+9≥0 恒成立, 2 则 m 的取值范围是( 3 A.m≥ 2 3 C.m≤ 2
3

) 3 B.m> 2 3 D.m< 2

【解析】 f′(x)=2x -6x,令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=3,验证可知 x=3 是函数的 27 最小值点,故 f?x?=f(3)=3m- ,由 f(x)+9≥0 恒成立得 f(x)≥-9 恒成立,即:3m 2 min 27 3 - ≥-9,∴m≥ . 2 2 【答案】 A 二、填空题 6.函数 y=x·e ,x∈[0,4]的最小值为________. 1 -x -x -x 【解析】 ∵y′=e -xe =e (1-x),令 y′=0,得 x=1,而 f(0)=0,f(1)= , e
-x

f(4)= 4,∴ymin=0.
【答案】 0 7.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则
2

4 e

m 的取值范围是________.
【解析】 f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0 得 x= ,由题设得:-2< <-1, 故 m∈(- 2 2

m

m

2

4,-2). 【答案】 (-4,-2) 8.对于定义在区间[a,b]上的函数 f(x),给出下列命题: ①若 f(x)在多处取得极大值,那么 f(x)的最大值一定是所有极大值中最大的一个值; ②若 f(x)有极大值 m,极小值 n,那么 m>n; ③若 x0∈(a, b),在 x0 左侧附近 f′(x)>0,在 x0 右侧附近 f′(x)<0,且 f′(x0)=0, 则 x0 是 f(x)的极大值点; ④若 f′(x)在[a,b]上恒为正,则 f(x)在[a,b]上为增函数.其中正确命题的序号为 ________. 【答案】 ③④ 三、解答题 9.已知函数 f(x)=(x -4)(x-a)(常数 a∈R). (1)求 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在[-2,4]上的最大值. 【解】 (1)f(x)=x -ax -4x+4a, ∴f′(x)=3x -2ax-4. 1 (2)由 f′(-1)=0,得 3+2a-4=0,∴a= . 2 1 2 3 则 f(x)=x - x -4x+2, 2
2 3 2 2

? 4? 2 ∴f′(x)=3x -x-4=3(x+1)?x- ?. ? 3? ?4 ? 当 x∈[-2,-1)∪? ,4?时,f′(x)>0, ?3 ? ?4 ? 所以 f(x)的单调递增区间是[-2,-1)与? ,4?; ?3 ?
4? ? 当 x∈?-1, ?,f′(x)<0, 3? ? 4? ? 所以 f(x)的单调递减区间是?-1, ?. 3? ? 9 44 ?4? 又 f(-1)= ,f(4)=42,f(-2)=0,f? ?=- . 2 27 ?3? ∴f(x)在[-2,4]上的最大值 f(x)max=f(4)=42. 2 3 2 6 3 10.设 <a<1,函数 f(x)=x - ax +b(-1≤x≤1)的最大值为 1,最小值为- , 3 2 2 求常数 a,b 的值.

3

【解】 令 f′(x)=3x -3ax=0,得 x1=0,x2=a. 由题意可知当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

2

x f′(x) f(x)

-1

(-1,0) +

0 0

(0,a) -

a
0

(a,1) +

1

3 -1- a 2 +b

?

b

?

- +b 2

a3

?

3 1- a+b 2

从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b, 而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较 f(0)与 f(1)的大小. 3 因为 f(0)-f(1)= a-1>0, 2 所以 f(x)的最大值为 f(0)=b,所以 b=1, 1 2 又 f(-1)-f(a)= (a+1) (a-2)<0, 2 3 3 所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1- a+b=- a, 2 2 3 6 6 所以- a=- ,所以 a= . 2 2 3 综上,a= 6 ,b=1. 3
4 4

11.(2013·邢台高二检测)已知函数 f(x)=ax ln x+bx -c(x>0)在 x=1 处取得极值 -3-c,其中 a,b,c 为常数.若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 恒成立,求 c 的取值范 围. 1 3 4 3 【解】 f′(x)=4ax ln x+ax × +4bx
2

x

=x (4aln x+a+4b). ∵在 x=1 处取得极值-3-c, ∴?
?f?1?=-3-c, ? ?f′?1?=0, ?

3

即?

?b-c=-3-c, ? ?a+4b=0, ?

解得 a=12,b=-3. ∴f′(x)=48x ln x(x>0), 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=1. ∵x>0,∴x=1. 当 x 变化时,f′(x)及 f(x)的变化情况如表:
3

x

(0,1)

1

(1,+∞)

4

f′(x) f(x)

- ?

0 -3-c

+ ?

∴x=1 时,f(x)有极小值为-3-c,并且该极小值为函数的最小值. ∴要使对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 恒成立,只需-3-c≥-2c 即可. 整理得 2c -c-3≥0. 3 解得 c≥ 或 c≤-1. 2 3 ∴c 的取值范围为(-∞,-1]∪[ ,+∞). 2
2 2 2

5



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