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2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (25)


2014 届高三一轮“双基突破训练” (详细解析+方法点拨) (25)
一、选择题 1.公差不为零的等差数列{an}中,有 2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7 =a7,则 b6b8=( A.2 C.8 【答案】D 【解析】 因为数列{an}是等差数列, 所以由 2a3-a72+2a11=0 得 a72=2(a3+a11)=4a7,解得 a7=4 或 a7=0. 又因为数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 所以 b7=4(b7=0 舍 去). 于是 b6b8=b72=16.故选择 D. 2.一父母为了给他们的孩子准备上大学的学费,从婴儿一出生就到银行存入一笔钱, 以后每年生日都到银行储存相同数目的钱. 设大学学费 4 年共需 1 万元, 若银行储蓄年利率 为 2%,每年按复利计算,为使孩子 18 足岁上大学时本金和利息共有 1 万元,父母每年至 少应存入(1.0217≈1.400,1.0218≈1.428,1.0219≈1.457)( A.358 元 C.458 元 【答案】C 【解析】设每年存 a 元,则 a(1.0218+1.0217+?+1)=10 000, ∴a=458 元. 3.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项和 S10 等于(
科网] [来源:Z*xx*k.Com]

) B.4 D.16

)

B.400 元 D.500 元

)

[来源:学

A.64 C.110 【答案】B 【解析】a1+a2=4,a7+a8=28,

B.100 D.120

∴(a7+a8)-(a1+a2)=12d=28-4=24, ∴d=2,a1+a2=2a1+d=4, 10×9 ∴a1=1,∴S10=10a1+ d=10+90=100. 2 4.将数列{3n 1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),?, 则第 100 组中的第一个数是( A.3
4 950


). B.35 000 D.35 060

C.35 090 【答案】A

【解析】由“第 n 组有 n 个数”的规则分组,各组数的个数构成一个以 1 为首项,公差

?1+99?99 为 1 的等差数列,前 99 组数的个数共有 =4 950 个. 2 故第 100 组中的第 1 个数是 34 950. 5.小正方形按照图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成一个数列{an}, 则下列结论正确的是( )

①a5=15 ②数列{an}是一个等差数列 ③数列{an}是一个等比数列 ④数列{an}的递推关系式是 an=an-1+n(n∈N*) A.①②④ C.①② 【答案】D 【解析】a1=1,a2=3,a3=1+2+3=6, a4=1+2+3+4=10, a5=1+2+3+4+5=15 , ∴①、④正确,②、③不正确. 故选择 D. 二、填空题 6.(2011 广东卷· 文)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q = . 【答案】2 【解析】由题意得 2q2-2q=4,解得 q=2 或 q=-1. 又{an}单调递增,得 q>1,∴q=2. 7.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项 an= 【答案】2
n+1

B.①③④ D.①④

.

-3

【解析】由 an+1=2an+3,则有 an+1+3=2(an+3), 即 an+1+3 =2. an+3
- + +

所以数列{an+3}是以 a1+3 为首项,公比为 2 的等比数列, 即 an+3=4×2n 1=2n 1,所以 an=2n 1-3. 8. 一房地产开发商将他新建的一幢 20 层商品楼的房价按下列方法定价; 先定一个基价 a 元/m2,再根据楼层的不同进行上、下浮动.一层的价格为(a-d)元/m2,二层的价格为 a 2 - 元/m2,三层的价格为(a+d)元/m2,第 i(i≥4)层的价格为?a+d?3?i 3?元/m2,则该商品房各 ? ? ? ? 层价格的平均值是 .

2 1 【答案】a+ ?1-?3?17?d 元/m2 10? ? ? ? 2 2 【解析】各 层单价之和为:(a-d)+a+(a+d)+?a+d?3??+?+?a+d?3?17? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2? 1-?3?17? ? ? ? 3? =3a+17a+ d 2 1- 3 2 =20a+2?1-?3?17?d, ? ? ? ? 所以各层价格的平均值是 2 20a+2?1-?3?17?d ? ? ? ? 20 2 1 =a+ ?1-?3?17?d(元/m2). 10? ? ? ? 三、解答题 1 1 1 9.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a 1 为 a(a∈R)且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较 + + +?+ 与 的大小. a2 a22 a23 a2n a1 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d, 1 1 1 由题意知?a ?2= · , ? 2? a1 a4 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2. 因为 d≠0,所以 d=a1=a. 所以通项公式 an=na. 1 1 1 (2)记 Tn= + +?+ ,因为 a2n=2na, a2 a22 a2n 1 1 1 1 所以 Tn= ?2+22+?+2n? ? a? 1 1? 1-?2?n? ? ? ? 1? ?1?n? 1 2? = · = ?1-?2? ?. a 1 a 1- 2 1 1 从而当 a>0 时,Tn< ;当 a<0 时,Tn> . a1 a1 10.已知等差数列{ an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
?a1+d=0, ?a1=1, ? ? ? 解得? ? ? ?2a1+12d=-10, ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ?

a2 an 即 Sn=a1+ +?+ n-1, 2 2 Sn a1 a2 an 故 S1=1, = + +?+ n. 2 2 4 2 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn =a 1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 1 1 1 2-n =1-?2+4+?+2n-1?- n ? ? 2 1 2-n n =1-?1-2n-1?- n = n. 2 ? ? 2 n 所以 Sn= n-1. 2
? an ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ?

11.等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2, a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式;
[来源:学科网 ZXXK]

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

(2)若数列{bn}满足: bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解析】(1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3. 故 an=2·n 1. 3 (2)因为 bn=an+(-1)nln an =2·n 1+(-1)nln(2·n 1) 3 3 =2·n 1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] 3 =2·n 1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln3,所以 3 Sn=2(1+3+?+3n 1)+ [-1+1-1+?+(-1)n](ln 2-ln 3)+ [-1+2-3+?+(-1)nn]ln 3. 所以当 n 为偶数时, 1-3n n n Sn=2× + ln 3=3n+ ln 3-1; 2 1-3 2
- - - - - -

当 n 为奇数时, 1-3n n-1 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? ? 2 -n?ln 3 1-3 n-1 =3n- ln 3-ln 2-1. 2 n为偶数, ?3 +2ln 3-1, 综上所述,S =? n-1 ?3 - 2 ln3-ln 2-1, n为奇数.
n

n

n

n

12. (2011 天津卷· 文)已知数列 {an}与 {bn}满 足 bn + 1an +bnan + 1 = (-2)n +1, bn = 3+?-1?n 1 ,n∈N*,且 a1=2. 2 (1)求 a2,a3 的值; (2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明 + +?+ + ≤n- (n∈N*). a1 a2 3 a2n-1 a2n 3+?-1?n 1 【解析】(1)由 bn= ,n∈N*, 2
? ?2, n为奇数, 可得 bn=? ?1, n为偶数. ?
- -

又 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当 n=1 时,a1+2a2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ; 2 当 n=2 时,2a2+a3=5,可得 a3=8. (2)对任意 n∈N*, a2n-1+2a2n=-22n 1+1,① 2a2n+a2n+1=22n+1.②
[来源:学科网 ZXXK]



②-①,得 a2 n+1-a2n-1=3×22n 1, cn+1 - 即 cn=3×22n 1,于是 =4. cn 所以{cn}是等比数列. (3)a1=2,由(2)知,当 k∈N*且 k≥2 时, (a2k-1-a2k-3) =2+3(2+23+25+?+22k 3) 2?1-4k 1? 2k-1 =2+3× =2 . 1-4
- -
[来源:学科网 ZXXK]



a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+

故对任意 k∈N*,a2k-1=22k 1. 由①得 22k 1+2a2k=-22k 1+1, 1 - 所以 a2k= -22k 1, k∈N*.因此, 2
- -



k S 2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)= . 2 k-1 2k-1 于是,S2k-1=S2k-a2k= +2 . 2 k-1 2k-1 k +2 2 2 S2k-1 S2k 故 + = + - 1 2k-1 a2k-1 a2k 22k 1 -2 2 = k-1+22k k 1 k - 2k =1- k- k k . 2k 2 4 4 ?4 -1? 2 -1

所以,对任意 n∈N*, S2n-1 S2n S1 S2 + +?+ + a1 a2 a2n-1 a2n S1 S2 S3 S4 ?S2n-1+S2n? =?a +a ?+?a +a ?+?+? ? ? 1 2? ? 3 4? ?a2n-1 a2n? 1 2 1 1 =?1-4-12?+?1-42-42?42-1??+?+ ? ? ? ?

?1- 1n- n n ? ? 4 4 ?4n-1??
1 2 1 1 =n-?4+12?+?42+42?42-1??-?- ? ? ? ?

? 1n+ n n ? ?4 4 ?4n-1??
1 1 1 ≤n-?4+12?=n- . ? ? 3



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