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2.3.1离散型随机变量及其分布列1


2.3.1离散型随机变量 及其分布列1

引例:
(1)抛掷一枚骰子,可能出现的点数有几种情况?

1,2,3,4,5,6
(2)姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况? 能否把掷硬

币的结果也 用数字来表 (3)抛掷一枚硬币,可能出现的结果有几种情况? 示呢?

0分,1分,2分

正面向上,反面向上

思考:在上述试验开始之前,你能确定结果是哪一种情况吗? 分析:不行,虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的 所有结果,但在一般情况下,试验的结果是随机出现的。

一、随机变量的概念:
在前面的例子中,我们把随机试验的每一个结果都用 一个确定的数字来表示,这样试验结果的变化就可看 成是这些数字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值,则这个变量就叫 做随机变量,常用X、Y、x、h 来表示。
注意:有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但还是 可以用数量来表达,如在掷硬币的试验中,我们可以定义 “X=0,表示正面向上,X =1,表示反面向上”

按照我们的定义,所谓的随机变量,就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。

例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球,若从中任取3个, 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量,求X的取值 范围,并说明X的不同取值所表示的事件。
解:X的取值范围是{0,1,2,3} ,其中 X=0表示的事件是“取出0个白球,3个黑球”; X=1表示的事件是“取出1个白球,2个黑球”; X=2表示的事件是“取出2个白球,1个黑球”; X=3表示的事件是“取出3个白球,0个黑球”;

变题:“X < 3”在这里又表示什么事件呢?

“取出的3个球中,白球不超过2个”

写出下列各随机变量可能的取值,并说明它们各自 所表示的随机试验的结果:
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数x ; (x=1、2、3、· · · 、10) (2)抛掷两个骰子,所得点数之和Y; (Y=2、3、· · · 、12)

(3)某城市1天之中发生的火警次数X( ;X=0、1、2、3、· · · )
(4)某品牌的电灯泡的寿命X; [0,+∞) (5)某林场树木最高达30米,最低是0.5米,则此林场 任意一棵树木的高度x. [0.5,30]

思考:前3个随机变量与最后两个有什么区别?

二、随机变量的分类:
1、如果可以按一定次序,把随机变量可能取的值一一 列出,那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 (如掷骰子的结果,城市每天火警的次数等等) 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值,那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 (如灯泡的寿命,树木的高度等等) 注意: (1)随机变量不止两种,我们只研究离散型随机变量; (2)变量离散与否与变量的选取有关; 比如:对灯泡的寿命问题,可定义如下离散型随机变量

? 0, 寿命 ? 1000小时 Y ?? ?1, 寿命 ? 1000小时

若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数, 请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生 的概率是多少? (1){X是偶数};(2) {X<3};

X
P

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

1 解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) ? 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) ? 3

三、离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表: X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示X的分布列

离散型随机变量的分布列应注意问题:
X
P

x1
P1

x2
P2




xi
Pi




1、分布列的构成: (1)列出了离散型随机变量X的所有取值; (2)求出了X的每一个取值的概率; 2、分布列的性质:

(1)pi ? 0, i ? 1, 2, ???

(2) ? pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
i ?1

n

练习:
1. 已知随机变量X的分布列,请完成下列表格.

X P

0

1 p

1-p

像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称 X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。

练习:
2.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 B.1± 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2

(C ) 2 2 C.1- D.1+ 2 2

3.设随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

5 则 P(|X-3|=1)=________. 12

例2、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 两 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试 两 写出从该盒内随机取出一球所得分数 X的分布列,并 求所得分数大于等于0的概率.

变2:从中有放回摸出两个球?
1 2 1 3 1 ? P ( X ? 1) ? , P ( X ? 0) ? ? , P ( X ? ?1) ? ? 6 6 3 6 2
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为: 解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1

X

1

0

-1

P

1 6

1 3

1 2

变3:袋子中有3个红球,2个白球,1个黑 两 球,这些球除颜色外完全相同,每摸一个 球为一次实验,直到摸出的球中有白球(不 放回),则实验结束.记实验次数Y,求Y的分 布列.

练习: 1.一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最 小的号码,求X的分布列。
随机变量X的分布列为

X
P

1
3 5

3 10

2

1 10

3

a 2.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? ?1 5? 其中 a 是常数,则 P?2<X<2?的值为 ( D ) ? ? 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6
解 析
a ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1?
a a a a 5 ∴2+6+12+20=1,∴a=4,
?1 5? ∴P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2) ? ?

5 1 5 1 5 = × + × = . 4 2 4 6 6

3.在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中, 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.
审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)根据 x,y 的取值,随机变量 ξ 的最大值为 3,当 ξ=3 时,只能 x=1, y=3 或 x=3,y=1;(2)根据 x,y 的取值,ξ 的所有取值为 0,1,2,3, 列举计数计算其相应的概率值即可.

3.在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.
审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)∵x,y 可能的取值为 1,2,3,∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,
3分

∴ξ≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ=3.

因此,随机变量 ξ 的最大值为 3. ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种),
2 ∴P(ξ=3)=9. 2 故随机变量 ξ 的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为9.

6分

(2)ξ 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ξ=0 时,只有 x=2,y=2 这一种情况,

4.在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

ξ=1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种 情况,ξ=2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况, ξ=3 时,有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况. 1 4 2 2 ∴P(ξ=0)=9,P(ξ=1)=9,P(ξ=2)=9,P(ξ=3)=9. 则随机变量 ξ 的分布列为

12分

ξ P

0 1 9

1 4 9

2 2 9

3 2 9

14分

求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

例 3.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件, 求(1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.
解:∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3? k C5 C95 又∵ P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 C5 C95 C 5 C 95 C 5 C 95 C 5 C 95 P 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100

例 4.一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任 7 意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9

(1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机 变量 X 的分布列.
解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,

C2 10-x 7 设袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1- 2 = ,得到 x=5.故白球有 5 个. C10 9

(2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3, 3-k 于是可得其分布列为 Ck 5C5 其中 P(X=k)= , k=0,1,2,3. C3 10 X 0 1 2 3 1 5 5 1 P 12 12 12 12

超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数,则事件 { X ? k} 发生的概率为
k n? k CM CN ?M P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2,? , m ) 其中 n CN

* , 且 m ? min{ M , n} n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N .

称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n

练习:

1.设随机变量 ξ 的分布列为 4 1 ? 3? 则 a=________ ,P?ξ≥5?=________. 5 15 ? ?
随机变量 ξ 的分布列为 1 2 3 4 ξ 5 5 5 5 P a 2a 3a 4a

? k? P?ξ=5?=ak(k=1,2,3,4,5), ? ?

1 5a

? ? ? 3? 3? 4? P?ξ≥5?=P?ξ=5?+P?ξ=5?+ ? ? ? ? ? ?

4 P(ξ=1) =3a+4a+5a=12a= 5

由 a+2a+3a+4a+5a=1, ? ? 3? 2 4? 1 ? ? ? ? ξ ≥ 或 P = 1 - P ? ξ ≤ ? = 1 - 3 a = 解得 a= . . ? 5? 15 5 5? ? ? ?

探究问题
甲有一个箱子,里面放有x个红球,y个白球(x,y≥0,且 x+y=4);乙有一个箱子,里面放有2个红球,1个白球,1个黄 球.现在甲从箱子任取2个球,乙从箱子里在取1个球,若取出的 3个球颜色全不相同,则甲获胜. (1)试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数,才能使自己获胜的 概率最大? (2)在(1)的条件下,求取出的3个球中红球个数的分布列.

x P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

练习:抛掷一枚质地均匀的硬币3次,写出正 面向上次数的分布列.

题型分类·深度剖析
思想与方法 21.分类讨论思想在概率中的应用
典例:(14 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子 中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列. 审 题 视 角 规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率. (2)随机变量 ξ 的值是 x,y 的函数,所以要对 x,y 的取值进行分类讨论. (3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位 时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记 从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信 息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______.

解 析
方法一
1 C2 C 1 2 2 由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10,∵P(ξ=7)= 3 = , C5 5

1 2 1 1 1 C2 3 C1 2 2C1+C2C2 2C2C1 P(ξ=8)= =10,P(ξ=9)= C3 =5, C3 5 5
1 C2 C 1 2 1 P(ξ=10)= C3 =10, 5

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位 时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记 从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信 4 5 息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______.

解 析

∴ξ 的分布列为 ξ 7 1 5 8 3 10 9 2 5

10 1 P 10 3 2 1 4 ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10) = + + = . 10 5 10 5

方法二

1 C2 4 2C2 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1- C3 =5. 5

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设随机变量 X 的概率分布列如下表所示: X P 0 a 1 1 3 2 1 6

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)等于( D ) 1 1 1 5 A. B. C. D. 3 6 2 6

解 析
1 1 1 ∵a+ + =1,∴a= . 3 6 2

1 1 5 ∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=2+3=6.

课堂练习:
1、随机变量 x 的所有等可能取值为 1, 2,3,…, n , 若 P ?x ? 5? ? 0.4 ,则( A. n ? 4 B. n ? 5

C

) D.不能确定

C. n ? 10


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