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广西柳州市一中高三文科2013届数学文科模拟卷附答案


柳 州 市 一 中 2013 届 高 三 第 一 次 全 市 统 测 前 数 学 模 拟 卷 ( 文 ) (2012.10.20) 班别 姓名 学号 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U= ? ,3,5,7?,则集合 M 满足 CU M = ?5,7?, 则集合 M 为 1 A. ( )

?1,3?

B. ?1? 或 ?3?

C. ? ,3,5,7? 1

D. ?1? 或 ?3? 或 ?1, 3? 2.cos(—3000)等于
3 2


1 2


1 2
3 2

A.



B.-

C.

D.

3.已知数列{ a n }为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan( a 2 ? a12 )等于 ( A. 3 ) B.- 3 C.± 3 D.- 3 3

4.某校高一、高二、高三的学生人数分别为 3200 人、2800 人、2000 人,为 了了解学生星期天的睡眠时间,决定抽取 400 名学生进行抽样调查,则高一、 高二、高三应分别抽取 ( ) A、160 人、140 人、100 人 B、200 人、150 人、50 人 C、180 人、120 人、100 人 D、250 人、100 人、50 人 5.已知 p:
1 ? 2, q : x ? x , 则 p 是 q 的 x



) D.既不充分也不必

A.充分不必要条件 要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

??? ??? ??? ???? ? ? ? PA ? PB ? PC ? AC , 6. 已知 P、 B、 是平面内四点, A、 C 且 那么一定有 ( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB ? 2CP CP ? 2 PB A. B. C. AP ? 2 PB D. PB ? 2 AP



1

? ? ? 7.把函数 y ? sin(2 x ? ) ? 1 的图象按向量 a ? ( ,1) 平移,再把所得图象上各点 6 6 1 的横坐标缩短为原来的 则所得图象的函数解是( ) 2 2? ? ? A. y ? sin(4 x ? ) ? 2 B. y ? sin(4 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) 3 6 6 2? D. y ? cos(4 x ? ) 3 8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 都 成立,则实数 a 的取值范围是 ( )

A. ?? 1,? 1

B. ?0,2?

C. (? , )

1 2

3 2

D. (? , )

3 1 2 2

9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点都在同一个 球面上,这个球面的表面积为 125π 则 x 的值为 A.5 B.6 C.8
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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D.10

10.双曲线

x2 y2 ? ? 1 左、右集点分别 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交 a2 b2

双 曲 线 右 支 于 M 点 , 若 MF2 垂 直 于 x 轴 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( A. 6 ) B. 3 C. 2
3 D. 3

11.从甲、乙等 10 名同学挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人 参 加 , 则 不 同 的 挑 选 方 法 有 ( ) A.70 种 B.112 种 C.140 种 D.168 种 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数, 对于 x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 且 f(-4)=-2,当 x 1 ,x 2 ? [0,3],且 x 1 ? x 2 时,都有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 。则给出 x1 ? x2

下列命题: (1)f(2008)=-2;(2) 函数 y=f(x)图象的一条对称由为 x=-6; (3) 函数 y=f(x)在[-9,-6]上为减函数; (4)方程 f(x)=0 在[-9,9]上有 4 个根;其 中正确的命题个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 4

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接填在题中 横线上. 13.函数 y ? 2 ? x ? 3(x ? 0) 的反函数解析式为______ ,
1 ? ? 14.若 ? x 2 ? 3 ? 展开式的各项系数和为 32,则展开式中的常数项为______ x ? ?
n

?x ? 3 y ? 3 ? 0 2 2 x、y 满足 ? x ? 0 15.若实数 ,则目标函数 z ? x ? ( y ? 2) 的最大值是 ? ?y ? 0 ?

_____ 16.在体积为 4 3π 的球的表面上有 A、B、C 三点,AB=1,BC= 2,A、C 两点的球面距离为 3 π ,则∠ABC=_____ 3 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤

17.已知向量 p=(sin x, 3cos x),q=(cos x,cos x),定义函数 f(x)= p?q. (1)求 f(x)的最小正周期 T;(2)若△ABC 的三边长 a,b,c 成等比数列,且
c 2 ? ac ? a 2 ? bc ,求边 a 所对角 A 以及 f(A)的大小.

18.某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规 定:学员必须按顺序从第一次开始参加考核,一旦考核合格就不必参加以后的 考核,否则还需参加下次考核。若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成 一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率不超过 ,且他直到
1 8

1 2

3

参加第二次考核才合格的概率为

9 。 32

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1 ;(2)小李第四次参加考核的概率。

19. 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1CC1 ? 侧面ABB1 A1 , 侧面 ABB1 A1 的面积为 3 , CA ? CA1 ? AB ? BB1 ? 1 , ?ABB1 为锐角(1)求证: CB1 ? AA1 ; 2

(2)求二面角 C ? BB1 ? A 的大小.

20.已知正数数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 ?an ? 2?2 , ?n ? N *? (1)求数列 8

?a n ?的通项公式;
(2)设 bn ?
8 ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n ,如果 Tn ? m 2 ? m ? 5 对一切 a n .a n ?1

n ? N * 成立,求正数 m 的取值范围.

4

21.已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d ?x ? R, a ? 0? , ? 2 是 f ? x ? 的一个零点,
f ? x ? 在 x ? 0 处有极值,若 f ? x ? 在区间 ?? 6,?4?和?? 2,0? 上是单调的,且在这两

个区间上的单调性相反, (1)求 c 的值,并求
b 的取值范围 a

( 2 ) 当 a ? 0 b ? 3a 时 , 求 使

?y / y ? f ?x?,?3 ? x ? 2? ? ?? 3,2? 成立的实数 a 的取值范围;

22.已知方向向量为 v ? ?1, 3 ? 的直线 l 过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点以 a2 b2

及点(0,? 2 3 ),椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上。 (1) 求椭圆 C 的方程。(2)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N, 使⊿MON 的面积为
2 6 ,(O 3

为坐标原点)?若存在,求出直线 m 的方程;若不

存在,请说明理由。

5

文科数学答案 一、1-5 ACBAA

6—10 DBCD 14.10

11-12 CD 15.13 16. π 2

13. y ? log 1 ?x ? 3?, ?3 ? x ? 4?
2

17. (本小题满分 10 分) 解:(1)f(x)=p?q=(sin x, 3cos x)?(cos x,cos x)=sin xcos x+ 3 cos2x2 分 1 1+cos 2x 1 3 3 π 3 = sin 2x+ 3? = sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ . 2 2 2 2 2 3 2 ∴f(x)的最小正周期为 T= 2π =π . 2

(2)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,又 c2+ac-a2=bc. ∴cos A= b2+c2-a2 ac+c2-a2 bc 1 π = = = .又∵0<A<π ,∴A= . 2bc 2bc 2bc 2 3 π π 3 3 3 + )+ =sin π + = . 3 3 2 2 2

f(A)=sin(2?

1 9 1 5 18. (⑴根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ? ,解得 p1 ? 或 p1 ? . 8 32 4 8 1 1 ∵ p1 ? , ∴ p1 ? , 即 小 李 第 一 次 参 加 考 核 就 合 格 的 概 率 为 2 4 1 .……………(6 分) 4 ⑵由⑴的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 1 3 1 5 , , , ……………(8 分) 4 8 2 8 1 3 1 15 ∴小李第四次参加考核的概率为 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?1 ? .…………… 4 8 2 64 (12 分) ……………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵CA=CA1=AB=BB1=1,∴ABB1A1,ABB1A1 都是菱形,
1?1? sin B ? 3 2 ,又∠ABB1 为锐角,∴∠ABB1=60°,
6

∵面积=

∴△ABB1,△AB1A1,△CAA1 均为边长为 1 的等边三角形. ………3 分 ∵侧面 AA1C1C⊥侧面 ABB1A1,设 O 为 AA1 的中点,则 CO⊥平面 ABB1A1, 又 OB1⊥AA1,∴由三垂线定理可得 CB1⊥AA1. ………… 7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AA1⊥平面 CB1O(如图) , ∴BB1⊥平面 CB1O, ∴∠CB1O 是二面角 C-BB1-A 的平面角, ……………9 分
tan ?CB1O ? CO ?1 OB1 ,



∴ 二 面 角 C - BB1 - A 的 大 小 为 45°. …………12 分 20. (本小题满分 12 分)
1 1 Sn ? (an ? 2)2 Sn ?1 ? (an ?1 ? 2)2 8 8 解: (I)∵ ,∴ ,

……………2 分 ,

两式相减得 ∴ ∴

2 2 8an?1 ? an?1 ? an ? 4an?1 ? 4an

,∴

2 2 an ?1 ? an ? 4an ?1 ? 4an ? 0

(an?1 ? an )(an ?1 ? an ? 4) ? 0 an ?1 ? an ? 4 ? 0

,又

{an }

是正数数列,
{an }

,∴

an?1 ? an ? 4

,∴

是等差数列.
a1 ? 2

……4 分


an ? 4

1 S1 ? (a1 ? 2) 2 8
n?2 N*


, n? (









) ……………6 分

(II)∵

an ? 4n ? 2

,∴

bn ?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 ,

……7 分

1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ,…9 分 ∴

∴对一切 n ?N ,必有
*

Tn ? 1



……10 分

2 故令 m ? m ? 5 ? 1,∴ m ? ?2 或 m ? 3 ,

又 m ? 0 ,∴ m ? 3 .

…12 分
7

?

解:(Ⅰ)因为

,所以

.





处有极值,所以



……………………2 分

所以



所以



---------3 分

又因为

在区间

上是单调且单调性相反

所以

所以

-------------------------------5 分

(Ⅱ)因为

,且



的一个零点,

所以

,所以

,从而

.

所以

,令 . ------------------7 分

,所以



列表如下: (-2,0) 0 (0,2) 2

+ 增

— 减

0 0

— 减

+ 增

0

+ 增

— 减

所以当

时,若

,则
8



时,若

,则

-----------------------10 分

从而







所以存在实数

,满足题目要求.……………………12 分

22.解: ⑴直线 l : y ? 3x ? 2 3 ①, 过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ? 3 x
3


3 . 2 ∵椭圆中心 O(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

解①②得 x ?
2

∴ a ? 2 ? 3 ? 3 , ………(3 分)
c 2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0),
2 2 ∴ c ? 2, a 2 ? 6, b2 ? 2 ,故椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1

③……………(6

6

2

分) ⑵当直线 m 的斜率存在时,设 m : y ? k ( x ? 2) 代入③并整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 ,
2 2 设 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 12k , x1 ? x2 ? 12k2 ? 6 …………………(8 2

3k ? 1

3k ? 1

分)
2 ∴ MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 6(1 ? k ) ,………(10 2

3k ? 1

分) 点 O 到直线 m 的距离 (11 分) ∵ S ?OMN ? 解得 (13 分)
9

d?

2k 1? k 2
4 6 3

, ……………………………………

1 MN ? d , 2

∴ MN ? d ?

2 ,即 2 6(1 ? k ) ? 2k 2

3k ? 1

1? k

2

?

4 6 3

k ??

3 3 ,此时 m: y ? ? ( x ? 2) 3 3

…………………………………

当直线 m 的斜率不存在时, m : x ? ?2 ,也有 S ?OMN ? 2 6
3

故存在直线 m 满足题意, 其方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 或 x ? ?2 .…………… (14 分)

10


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