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高三数学复习资料=三角函数、数列


教学课题

第八章 三角函数及解三角形

7. 三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)

课型:复习课 复习目标:掌握同角的三角函数基本关系式;掌握诱导公式;掌握 两角和与差的三角函数公式以及倍角公式; 掌握三角函数的图像及 其性质;掌握正弦定理及余弦定理和三角形的面积公式. 重点: 两角和与差的三角函数公式以及倍角公式; 三角函数的图像 及其性质;正弦定理及余弦定理和三角形的面积公式. 难点: 三角函数的图像及其性质; 正弦定理及余弦定理和三角形的 面积公式的应用. 教学方法:练习辅导法 教学时数:14 【高考题型:小题和解答题】 ? 本章中,要会公式的正用、逆用、变形用。 ●本章解题思路:1.化同名函数;2.化同次函数;3.化同角函数;

y

y

+ + o x - 正弦、余割
2

- + o - + x
余弦、正割
2

y

4.如果 A 为锐角, sin(? ? A) ? ? A. ?

- + o x + 正切、余切

1 2
?

B.

1 2

C. ?
?

3 2

1 ,那么 cos(? ? A) ? ( 2 3 D. 2



5. tan 300 ? tan 405 的值为____。 【能力提高】 1.若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值 范围是( ) A. (0,

8.同角三角函数的关系 平方和关系: sin ? ? cos ? ? 1

sin ? cos ? tan ? cot ? ?1 倒数关系:
商数关系: tan ? ? 9.诱导公式 完成下列诱导公式的填空:

?
4

)

B. ( ? , ? )

3 4

C. (

? 5

, ?) 4 4

D. [0,

?

3 ]? [ ?, ? ] 4 4

1 1 2 4.升、降次; sin ? ? (1 ? cos 2? ),cos ? ? (1 ? cos 2? ) 2 2
2

?
sin ?

?a

? ?a

? ?a

2? ? a

2 k? ? a

2.化简:

cos(? ? ? ) ? sin(? ? 2? )?cos(2? ? a) =__________. sin(? ? a)

5.“1”的变换 : sin 2 ? ? cos2 ? ? 1; tan ? cot ? ? 1; tan 450 ? 1. 6.切化弦: tan ? ?

cos?
tan ?

3.化简: tan ? (cos ? ? sin ? ) ? =__________.
?
2

sin ? . cos ?

(sin ? ? tan ? ) ? sin ? 1 ? cos ?

【第 1 课时】 §7.1 三角函数的概念,诱导公式,同角三角函数基本关系式 【知识点】 1.终边相同的角:与α 角终边相同的角的集合(连同α 角) ,记为 { ? | ? =2k ? +α ,k∈Z}. 2.终边在 x 轴上的角: ? ? k? 3.终边在 y 轴上的角: ? ? k? ? 4.弧长公式: l

?
sin ?

??

?
2

??

3? ?? 2

3? ?? 2

(k ? Z )

cos?
tan ?
可概括为:奇变偶不变,符号看象限. 【课前练习】 1.求下列的值: 1) sin 225 ? _____
?

tan ? ? ?1 ,求下列各式的值: tan ? ? 1 sin ? ? 3 cos ? 2 (1) ; (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 sin ? ? cos ? 2 cos ? ? sin ? cos ? ? 1 (3) sin 2 ? ? 2
4.已知

?
2

(k ? Z )

?| ? | ?r .
1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2

5.扇形面积公式: s扇形 ?

2) cos(?

?
4

) ? ______3) tan

6.三角函数的定义:在平面直角坐标系中,设角 ? 的顶点在原点, 始边在 x 轴的正半轴上,终边在坐标平面内,点 P( x, y) 是终边上 异于原点的任意一点, | OP |? r 。则

5? 3? 5? ? ______5) sin(? ) ? ___ 6) tan( ? ) ? _____ 6 4 6 4 2.已知 sin x ? ,则 cos x ? ____, tan x ? ____. 5
4) cos 3. (05 湖南)tan600°的值是( A. ? ) D. 3

3? ? _____ 4
【第二课时】§7.2 两角和与差、二倍角公式 【知识点】 1.两角和与差的三角函数

y (1) sin ? ? ; r

x (2)cos ? ? ; r

y (3) tan ? ? . x

3 3

B.

3 3

C. ? 3

(1)sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?
38

(2)sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

(4) 2sin ?

? 2 3cos?
3 , cos 2 ? 的值为 5 18 D. ? 25

A. tan ?
3. 已知 tan A.

B. tan 2?

C. 1
)

D.

(3)cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?
( 4 ) c o?? s ? ?? ? c o ?s c ? o? s s ?i n ? sin

2.已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? ( ) A.

?
2

1 2

? 3, 则 cos ? ? ( 4 5
C.

7 25

B.

18 25

C. ?

7 25

4 5

B.-

4 15

D.-

3 5

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? (6) tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? (5) tan(? ? ? ) ?
2.二倍角公式: (1) sin 2? ? 2 sin ? cos?

3.

1 3 的值等于 ( ? ? sin10 sin 80?
B.2 C.4 D.



3.设 0 ? ? ? ? ,sin ? ? cos ? ?

A.1

1 4

1 ,则 cos 2? =_____ 2

(2) cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 1 1 变形: sin 2 ? ? (1 ? cos 2? ) cos 2 ? ? (1 ? cos 2? ) 2 2 2 tan ? (3) tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
重要结论:

3 4.已知 sin ? ? ,? 是第二象限角, 且 tan( ? ? ? ) ? 1 , 则 tan ? 的 5 3 3 值为 ( ) A.-7 B.7 C. ? D. 4 4

4. 已知 ? 为第二象限的角, sin ? ?

3 , ? 为第一象限的角, 5

cos ? ?

5 .求 tan(2? ? ? ) 的值. 13

a sin ? ? b cos ? ?
( ? 由 tan ? 【课前练习】 1. 把下列式子化为 ? 式: (1)

a 2 ? b 2 sin(? ? ? )

?

b 及点( a, b )所在象限确定). a

?? ? 1 ? 2? ? 5.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ) ?6 ? 3 ? 3 ?
7 A. ? 9 1 B. ? 3 1 C. 3

7 D. 9

5.已知 tan

?
2

=2,求(I) tan(? ?

?
4

) 的值; (II)

2sin 2 ? ? 1 的值. sin ? cos ?

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中 | ? |?

?
2

) 的形
【能力提高】

2 sin? ? 2 cos? 3cos? ? sin? 3sin? ? cos?

1 ? 1.已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于( 4 3 4 1 1 2 2 2 2 A.. B. ? C. D. ? 3 3 3 3

?

) 【第三课时】巩固练习 1. tan 690° 的值为( )A. ?
3 3

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

(2)

(3) ?

2.

2sin 2? cos ? ? ? ( 1 ? cos 2? cos 2?
2

2. 已知 sin ? ?

)
A. ?

5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 5
3 5
C.



1 5

B. ?

1 5

D.

3 5
39

3.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
7 2
B. ?



二.余弦函数 y ? cos x 的性质 1.图像:
y f ?x? = cos?x?

A. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2
【第四课时】 §7.3 三角函数的图像和性质(一) 【知识点】

x -? o ? 2?

2.性质:(1)定义域:R

值域: [?1,1]

(2):在 [2k? ? ? , 2k? ] ( k ? Z ) 上是增函数; 在 [2k? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) 上是减函数;

4.若 cos(? ? ? ) ?

1 3 tan ? ? _____. , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? 5 5

一.正弦函数 y ? sin x 的图像和性质 1.图像:

y f ?x? = sin ?x? x
5.已知 ?

(3)大值和最小值: x ? 2k? (k ? Z ) 时, ymax ? 1

1 .(I)求 sin x ? cos x 的值; 2 5 x x x x 3sin 2 ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 2 的值. (??)求 tan x ? cot x ? x ? 0, sin x ? cos x ?

?

x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时, ymin ? ?1
(4)周期性:最小正周期是 2? .周期为 2k? (k ? Z , k ? 0) (5)对称轴: x ? k? (k ? Z ) 经过函数的最大值和最小值点.

? 2

o

? 2

?

3? 2
值域: [?1,1]

2?

2.性质: (1)定义域 : R (2)单调性:在 [2k? ?

?
2

3? ] ( k ? Z ) 上是减函数; 在 [2k? ? , 2k? ? 2 2
(3)最大值和最小值: x ? 2k? ?

?

, 2k? ? ] (k ? Z ) 上是增函数; 2

?

即方程 cos x ? ?1 的解。 cos x ? ?1 ? x ? k? (k ? Z ) (6)对称中心:点( k? ?

?
2

, 0 ) (k ? Z ) 图像与 x 轴的交点.横

?

坐标即方程 cos x ? 0 的解。 cos x ? 0 ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

x ? 2 k? ?

?
2

2

(k ? Z ) 时, ymax ? 1

◆对于函数 y ? sin x, y ? cos x 最小正周期 T ? 两相邻零点距离 的 2 倍=两相邻最值点距离的 2 倍=两相邻最值点与零点距离的 4 倍 ? 两相邻最大(小)值点的距离.
y

(k ? Z ) 时, ymin ? ?1
周期为 2k? (k ? Z , k ? 0)

(4)周期性:最小正周期是 2? . (5)对称轴: x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 经过函数的最大值和最小值点.

三.正切函数的图像和性质 1.图像:

6.已知 ? ? (

?
2

, ? ), 2cos ? ? sin ? cos? ? sin ? ? 0, 求 tan ?
2 2

即方程 sin x

? ?1 的解。 sin x ? ?1 ? x ? k? ?

?
2

f ?x? = tan ?x?

(k ? Z )
? 2 x o ? 2

(6)对称中心:点( k? , 0 )( k ? Z )图像与 x 轴的交点.横坐标 即方程 sin x ? 0 的解。 sin x ? 0 ? x ? k? (k ? Z )

和 sin(2?

? ) 的值。 3

?

40

2.性质:(1)定义域:{ x x ? k? ? (2)单调性:在 (k? ?

?
2

,k ?Z }

值域: R

向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位,得到 y =sinx+b 的图象. 六. y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? ? 0) 的奇偶性与单调性 1. 奇函数 ? ? ? k? (k ? Z ) 2. 偶函数 ? ? ? k? ?

1.为了得到函数 y ? sin( 3 x ? 图象( )

?
6

) 的图象, 只需把函数 y ? sin 3x 的

?

(3)周期性:最小正周期是 ?

, k? ? ) (k ? Z ) 上是增函数. 2 2

?

A.向左平移 D.向右平移

k? , 0) ( k ? Z ) . (4)对称性:对称中心:点 ( 2
四.三角函数的周期 (以下 A ? 0, ? ? 0 )

C.向右平移

?
2

? 6

? 6 ?
18

B.向左平移

? 18

(k ? Z )

2.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 的图象( )

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x

1. y ? A sin(? x ? ? ) ? B ;
周期 T ?

y ? A cos(? x ? ? ) ? B 的最小正

3.把 ? x ? ? 看作“ x ” ,利用 y ? sin x 的单调性求出。 七. y ? A cos(? x ? ? ) ( A, ? ? 0) 的奇偶性与单调性

2? |? |
y ? A | cos(? x ? ? ) | ? B y ? A | tan(? x ? ? ) | ? B 的最

1. 偶函数 ? ? ? k? (k ? Z ) 2. 奇函数 ? ? ? k? ?

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

2. y ? A | sin(? x ? ? ) | ? B; y ? A tan(? x ? ? ) ? B;
小正周期 T ?

?
2

(k ? Z )

3.把 ? x ? ? 看作“ x ” ,利用 y ? cos x 的单调性求出。 八.三角函数的图像变换 例:怎样由函数 图像? 解:方法 1: y ? sin x 3.要得到函数 y ?

? . |? |

2 cos x 的图象,只需将函数

? 方法点拨:要求三角函数的最小正周期,必须把函数化为上述形
式之一。 nT (n ? Z , n ? 0) 也是周期函数的周期。 五. 函数 y=Asin(ω x+φ)+B 图像的作法. 函数 y=Asin(ω x+φ)的物理意义: 振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ? (即
|? |
T 2?

y ? sin x 的图像得到函数 y ? 3sin(2x ?

?
3

)的

y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点的(



A.横坐标缩短到原来的

y ? sin( x ? ) 3 y ? sin(2 x ? ) 3

?

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 2 8 1 ? 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 2 4

个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 个单位长度 C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

?

当 x=0 时的相位) . (当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符 号) , (1)振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y)由 y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1) 或缩短(当 0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象. (2)周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x 替换 x)由 y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω |<1) 或缩短(|ω |>1)到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象.
?

y ? 3sin(2 x ? ) . 3
方法 2: y ? sin x

?

? 4 ? 8

y ? sin 2 x
y ? sin(2 x ? ) 3

个单位长度

?

(3)相位变换或叫做左右平移.(用 x+φ 替换 x)由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ>0)或向右(当 φ<0)平行移动| φ|个单位,得到 y=sin(x+φ)的图象. (4)上下平移(用 y+(-b)替换 y)由 y=sinx 的图象上所有的点

y ? 3sin(2 x ? ) . 3
【第五课时】图像与对称性 课前练习

?

4. 函数 y ? 2 co sx( sinx ? co sx) 的图象一个对称中心的坐标是 ( ) A. (

3? , 0) 8

B. (

3? , 1) 8

C. (

?
8

, 1)

D. ( ?

?
8

,?1)
41

4. 把函数 y ? ?3 cos( 2 x ?

) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位, 3 设所得图象的解析式为 y ? f ( x) ,则当 y ? f ( x) 是偶函数时,

?

【能力提高】 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是

m 的值可以是 ( ? ? A. B. 3 6
( )

) C.

? 4

D.

? . 12
?
12

3.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(

)

?? ? y ? sin ? x ? ? 6? ?
)
C. y ? cos ? 4 x ?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

5.已知函数 y=tan(2x+φ )的图象过点(
? A. 6 ? B. 6

则φ 的值可以是( ,0 ), D.
?
12

C. ?

?
12

? ?

??
? 3?

D. y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

【巩固练习】 2. 函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象 如图,则 ( A. ? ? C. ? ? ) 1. 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= ( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1

4.若 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a= 4 4

?

?

?

?

2

,? ? ,? ?

?

?

4

B. ? ?

?
3

4

4

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

,? ?

?
2. 为了得到函数 y

x ? ? 2sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 2 6
( )

【第六课时】周期性与单调性 课前练习 1.函数 y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( ) A.
π 2

B. π

C. 2π

D. 4π

y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点

A.向左平移 3.函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ? 所示,则函数表达式为( )

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来

2.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
2

) ? 1 ,则下列命题正确的是(



? , x ? R) 的部分图象如图 2



1 倍(纵坐标不变) 2
?
6

A. f ( x) 是周期为 1 的奇函数

B. f ( x) 是周期为 2 的偶函数

? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ? ? C. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4

? ? B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 ? ? D. y ? 4 sin( x ? ) 8 4

C. f ( x) 是周期为 1 的非奇非偶函数 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 D. f ( x) 是周期为 2 的非奇非偶函数

B.向右平移



1 倍(纵坐标不变) 2
?
6

C 向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 3.函数 y ? A .( ,
2

的 2 倍(纵坐标不变) D.向右平移

x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数(
B. (π ,2π ) C. (
3? 5? , ) 2 2



?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来

? 3?
2

)

D. (2π ,3π )

的 2 倍(纵坐标不变)
42

4.函数 y ? 2 sin( A [0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ] )为增函数的区间是( , ]
C[

)

?
3

]

B [

? 7?

? 5?
3 , 6

12` 12

]
)

D [

5? ,? ] 6

4.函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ?

? ?

??
4?

? 的单调增区间为______________.

2.可以化为二次函数的类型: y ? ax 函数) 例 2:求函数 y

2

? bx ? c (a ? 0, x 是三角

5. 下列函数中,周期为 1 的奇函数是 ( A y ? 1 ? 2 sin ?x
2

? cos 2 x ? sin x (| x |?

?
3

) 的值域。

B y ? sin (2?x ?

?
3

【第七课时】 三角函数的值域与最值 1.可以化为一次函数的类型: y ? kx ? b (k

)

? 0, x 是三角函数)

思路:化同名函数,转化为二次函数。

C y ? tg

?
2

x

D y ? sin ?x cos ?x

例 1: 求函数 y ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 在(1) x ? R ; (2) x ? [?

解:y ? ?2sin 2 x ? sin x ? 1 ? ? ??

?
3

?x?

?
3

,

【巩固练习】 1. 函数 f(x)= A B C D

? ?

1 ? cos 2 x cos x

, ] 的值域。 4 6
? a 2 ? b 2 sin(? x ? ? ) ? m 的形式。





思路:化为 y 解: y

3 3 1 9 ? sin x ? .当sin x ? 时,ymax ? ; 2 2 4 8 3 1? 3 当sin x ? ? 时,ymin ? ? 2 2

3? 3? ), ( , 2? ] 上递减 在 [0, ), ( , ? ] 上递增,在 [? , 2 2 2 2 ? 3? ? 3? ) 上递增,在 ( , ? ], ( , 2? ] 上递减 在 [0, ),[? , 2 2 2 2 ? 3? ? 3? , 2? ] 上递增,在 [0, ),[? , ) 上递减 在 ( , ? ], ( 2 2 2 2 3? 3? ? ? ), ( , 2? ] 上递增,在 [0, ), ( , ? ] 上递减 在 [? , 2 2 2 2

?

?

? 2(

1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2 2

?函数 y 的值域是 [?

1? 3 9 , ] 2 8

(1) x ? R ? ?1 ? sin(2 x ?

?
4

) ? 1 ? 1? 2 ? y ? 1? 2

3.含有式子 sin x ? cos x和sin x cos x 的类型: 例 3:求下列函数的值域: (1) y ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ;

?函数 y 的值域是 [1 ? 2,1 ? 2]。
(2) ?

?
4

?x?

?
6

??

?
2

? 2x ?

?
3

??

3? ? ? ? 2x ? ? 4 4 12

(2) y

?

2sin x cos x sin x ? cos x ? 1

2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 A

( D 2?



3? ? ? ? ? ? ? ? [? , ],?当2 x ? ? ? ,即x ? ? 时, 方法 1: 2 4 12 4 2 8
当 2x ? ymin ? 1 ? 2 ,

?

思路:换元,把它们转化为我们熟悉的函数。

? 4

B

? 2

C

?

?

? , 即 x ? 时,ymax ? 4 1 2 6

?

?

3 ?1 。 2

解:令 sin x ? cos x ? t , 则t ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] 4 2 2 且2sin x cos x ? 1 ? t .? (1) y ? ?t ? t ? 1 (? 2 ? t ? 2) 1 5 当t ? 时,ymax ? ; 当t ? ? 2时,ymin ? 2 ? 1. 2 4 (2)令 sin x ? cos x ? t , 则t ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2], 4 2 t ?1 2sin x cos x ? t 2 ? 1.? y ? 即y ? t ? 1 t ?1 (? 2 ? t ? 2且t ? ?1) ? ymin ? ? 2 ? 1; ymax ? 2 ? 1. (显然,值域为[? 2 ? 1, ?2) ? (?2, 2 ? 1])
43

?

3.设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到 图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ( ) A.2π B. π

?函数 y 的值域是 [1 ? 2,

3 ?1 ] 2

?

? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4
C.

? 2

D.

? 4

? ? 6? 2 ?1 ? sin(2 x ? ) ? sin ? 4 12 4 方法 2: 3 ?1 ?1 ? 2 ? y ? (以下略) 2

2sin 2 x ? 1 例 4:设 x ? (0, ) ,求函数 y ? 的最小值。 2 sin 2 x
解:? cos x ? 0 ? y ?

?

3 1 2.函数 y ? sin x ? cos x( x ? R) 的最大值为 2 2

.

【第九、十课时 】 三角函数的图像和性质(二) 【例题分析】 例 1:已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x +1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 x ? [0,

3sin 2 x ? cos 2 x 3tan 2 x ? 1 ? 2sin x cos x 2 tan x

?
2

? x ? (0, ) ? 3 tan 2 x ? 1 ? 2 3 tan x ? 0 2 2 3 tan x ? 1 ? ? 3 当3 tan 2 x=1 即x ? 时,ymin ? 3 2 tan x 6
4.形如 y

?

x x 3. 函数 y ? sin ? 3 cos 在区间 ?0, ? ? 上的最小值为 2 2

] ,求 f ( x) 的值域;

.

(3)求 f ( x ) 的单调区间; (4)求 f ( x ) 的对称轴方程以及对称中心; (5)说明怎样由 y ? cos x 的图像得到 f ( x ) 的图像.

?

ax ? b (c ? 0, ad ? bc ? 0, x 是三角函数) cx ? d sin x 2 ? sin x 2 ? sin x 2 ? cos x

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 4.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值 2 sin 2 x
为 ( ) A 2 B 2 3 C 4 D 4 3

?

例 5:求下列函数的最值: (1) y

?

(2) y

?

思路:转化为正弦型函数求解。

5.函数 y ? 2 sin( A.-3

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于(
D.- 5

)

sin x 2y ? (1 ? y )sin x ? 2 y ? sin x ? 2 ? sin x 1? y 2y ?| sin x |? 1,?| |? 1 ? 2 | y |?| y ? 1| 且y ? 1 1? y 1 1 3 y 2 ? 2 y ? 1 ? 0解得-1 ? y ? .? y的值域为[ ?1, ]. 3 3 解: (1) y ?
(2)sinx-ycosx ? 2-2y ? 1+y 2 sin( x ? ? ) ? 2-2y sin( x ? ? ) ? 2 ? 2y 1+y
2

B.-2

C.-1

6.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

,由 |

2 ? 2y 1+y
2

|? 1得|2 ? 2 y |? 1+y 2

? (2 ? 2 y ) 2 ? 1 ? y 2 ? 3 y 2 ? 8 y ? 3 ? 0 ? 4? 7 4? 7 4? 7 4? 7 ? y? .? y的值域为[ , ]. 3 3 3 3
【第八课时】 【巩固练习】 1.函数 f ( x) ? cos x ? 7.求函数 y .

?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

2sin x ? 2sin 2 x ( x ? (0, ? ) 的最大值。 3 ? cos 2 x ? 4sin x

44

2 例 2:已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin x ? sin x cos x

? 3

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的最小值及取得最小值时相应的 x 值; (3)若 x ? [

例 3:已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ?

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

π? ?, 4?

, ] ,求满足 f ( x) ? 1 的 x 值. 12 12 (4)若把 f ( x ) 的图像平移| m |个单位使之成为偶函数,求使| m |
最小时 m 的值.

? 7?

(I) 求 f ( x ) 的 最 大 值 和 最 小 值 ; (II) 若 不 等 式 f ( x) ? m ? 2 在

?π π? x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? ?2 ??

? ?

π? ? 3π ? 得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . ? ? ?1, 4? 8 ? ?

π? ? 1 ? sin 2x ? 3cos2x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

例 5:设 f ( x) ? 6cos 2 x ? 3sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

?π π?

π

π



4 5

? ?

π? ,f ( x)min ? 2 . ? ≤ 3 ,∴ f ( x)max ? 3 3? ?π π? ? ?

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

(II)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? 4 2

? 3 ? 1 cos 2 x ? sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? 2 3 ? ? ? 2 ??3 2 ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
cos 2 x) , · b , 其 中 向 量 a ? (m, 例 4 : 设 函 数 f ( x) ? a

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 6? ?
最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ?

b ? (1 ? sin 2 x, 1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? , 2? .
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

? ?

?? ? ?3 ? 3?2 3 , 6?
? ?

? cos ? 2? ? ? ? ?1 .由 0 ? ? ? 得 ? 2? ? ? ? ? , 2 6 6 6 6
?

? ?

??

?

?

? 2? ? ? ? ,解得 ? ?
方法 2:

? 6

5 4 ? ? .? tan ? ? tan ? 3 . 12 5 3

b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 解: (Ⅰ) f ( x) ? a?
由已知 f ?

f ( x) ? ? ? 3cos 2x ? 3 sin 2x ? 3 =

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ?

1 3 ? ?2 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 ? ?2 3 sin(2 x ? ) ? 3 2 2 3
(以下略)
45

【巩固练习】

2.已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx. (1) 求 f( (2) 设 ? ∈(0, ? ),f(

2

25? )的值; 6

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 1.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(1)求 f ( x ) 的定义域及最小值; (2)求单调递减区间及最小正周期; (3)求对称轴方程及对称中心; (4)若角 ? 在第一象限且 cos ? ?

? 1 3 )= - ,求 sin ? 的值; 2 4 2

(3)当 x ? [?

? ?

, ] 时求 f ( x) 的值域; 3 6

(4)说明怎样由函数 y ? sin 2 x 的图像得到函数

f ( x) 的图像。
4.已知函数

f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ,且 f (0) ? 2,

3 ,求 f (? ) . 5

f( )? 3
(2) ?

?

1? 3 . (1)求 f ( x) 的最大值; 2

? ? ? k? , 且 f (? ) ? f (? ), 求 tan(? ? ? ) 的值。

3.若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ? ) 的最大值为 4

?

2 ? 3 ,试确定常数 a 的值.

46

5.已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 。 【知识点】 (1)求它的单调减区间; (2)求它的对称中心; (3)说明 f ( x ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 1.正弦定理

【第十一课时】 §7.4 解三角形

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 变形: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, C ? 2R sin C; a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? . 2R 2R 2R ( R 是三角形外接圆的半径)
用正弦定理可以解以下两类问题: (1)已知一边及两角,求其它的边和角; (2)已知两边和其中一边所对的角,求其它的边和角. 2.余弦定理 a2 = b2+c2-2bccosA b2 = a2+c2-2accosB, c2 = a2+b2-2abosC, 变形: cos A ?

2. 在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cos C ? 0 ,则 ?ABC 必定 是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

3.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

a ?c ?b b2 ? c2 ? a2 , cos B ? , 2bc 2ac
2 2 2 2 2

2 cos , 则 sin A ? 3
C.

A ?(
D. ?



cos C ?

a ?b ?c . 2ab
2

A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

5 3

用余弦定理可以解以下三类问题: (1)已知三边,求角; (2)已知两边及其夹角,求第三边; (3)已知两边和其中一边所对的角,求其它的边和角. 3.三角形的面积公式

4.在 ?ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C

? 3: 2 : 4 ,那么

1 1 1 S? ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2
4.关于三角形内角的常用三角恒等式: (1)三角形内角定理的变形 由 A+B+C= ? 得 A= ? -(B+C)可得出: sinA=sin(B+C) ,cosA=-cos(B+C) . 而

cos C ? ____________

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、 c 成等差数列, ∠B=30°, △ABC 的面积为

(2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C .

A B?C A B?C A ? B?C ? ? .有: sin ? cos , cos ? sin . 2 2 2 2 2 2 2

3 , 那么 b= ________. 2

(3) tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C. 5.题型:(1)判断三角形的形状; (思路:从角或边入手) (2)解与三角形有关的问题。 (思路:正、余弦定理和三角形面积公 式,三角函数的有关公式) 【高考题型】多为解答题。 【课前练习】 1.在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 , 则 ?ABC 外接圆的直径是_________
?

47

【第十二、十三课时】 【例题】

4 例 1:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cosA= . 5 2 B?C ? cos 2 A 的值; (1)求 sin (2) 若 b=2, △ABC 的面积 S=3, 2
求a.

1.设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , 2 2

x ? R ,其中 t ≤1 ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) .
(I)求 g (t ) 的表达式; (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) , 内的单调性并求极值.

3.在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x , ?

周长为 y . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

例 2:在△ABC 中,sinA+cosA= △ABC 的面积.

2 ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值和 2

2.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,

4.在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

a ? 2b sin A .(Ⅰ)求 B 的大小;(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长

48

A. y ? cos 2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ? 7.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C 若 △ ABC 的面积为 5.在 △ ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,tan C ? 3 7

B. y ? 2cos2 x

?
4

)

D. y ? 2sin2 x

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

3. (2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,
y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则

??? ? ??? ? 5 CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? 2

f ( x) 的单调递增区间是(
A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6

) B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

4. 2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期 为( A. 2? ) B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

6.在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.

【第十四课时】 【2009 年部分高考题】 1.(2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点

5.(2009 全国卷Ⅰ)在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、

π B 2 5 若 a ? 2, C ? , cos ? ,求 △ ABC 的面积 S . 4 2 5

b 、 c ,已知 a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

,,

? 4? ? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为( ? 3 ?
A.



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

2.(2009 山东卷理 ) 将函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( ).

? 个单位 , 4
49

6. (2009 山东卷文)设函数 f(x)=2 sin x cos 最小值.

9.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取 2 (1)求 ? .的值;
2

?

1 . 3

(2) 在 ? ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 已 知

8. (2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2).

?

?

a ? 1, b ? 2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

(Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

?

?

?

?

7.(2009 全国卷Ⅱ文) 设△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2
50

教学课题: 第八章数列 课型:复习课 复习目标:掌握等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式的应用,能够把一些数列的问题转化 为等差或等比数列的问题. 重点:等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式的应用. 难点:求数列的通项公式及前 n 项和. 教学方法:讲授和辅导法. 教学时数:10

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取 ?a m ?1 ? 0

最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。 ?a m ?1 ? 0

4.数列{ an }与其前 n 项和 Sn 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) . 【课前训练】 1.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 ( ) A. 15 B.30 C.31 D.64

第一课时 §8.1 等差数列和等比数列的基础知识
【知识回顾】 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 定义 通项公 式 等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

an = a1 +(n-1)d= ak +(n-k)d
sn ?

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等差数列 (其中 k n ? N ) ,则
2

2.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是( 8 8 8 A.d> B.d<3 C. ≤d<3 D. <d≤3 3 3 3



n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 求和公 2 2 d d 式 ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 a?b 中项公 A= 推广:2 an = an?m ? an?m 式 2
1 若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq 若 {k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) 则 {a kn } 也 为 A.P。 3 . sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。

3.设数列 {an } 是等差数列,且 a2 ? ?6 , a 8 ? 6 , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则( A. S 4 ? S5 B. S 4 ? S5 C. S 6 ? S5 D. S 6 ? S5

)

4.等差数列 {an } 中, 已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33 , 则n为 (

1 3



A.48

B.49

C.50

D.51

2

5.等差数列 {an } 满足 3a4 ? 7a7 ,且 a1 ? 0 ,当前 n 项和 Sn 最大时, n ?



性 质

{a kn } 成等比数列。
sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。
q n?1 ? an , a1 q n?m ? an (m ? n) am
7.数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? 3 ,则通项 an ? __________________. 6.已知数列 {an } 是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的n___________.

4

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1) 定义法 ::对于 n ≥ 2 的任意自然数 , 验证

an ? an?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn

? n2 ? 2n ?1,求通项 an 并判断数列 {an } 是否为等差数列。

2 2an?1 ? an ? an?2 [ (an ?1 ? an an?2 ) (n ? N , an?1 ? 0) ]都成立。

51

第二课时: 【例题分析】

【巩固练习】 1.如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列, 公差 d ? 0 , 则( A. a1a8 ? a4 a5 B. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5 )

1 例 1:数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n (n ? N *) ,数列 {bn } 2 a ?1 (n ? N *) , 满足 bn ? n an (1)判断数列 {an } 是否为等差数列,并证明你的结论; (2)求数列 {bn } 中值最大的项和值最小的项.

7.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30, 则 S9=

2. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 OB =a1 OA +a 200 OC , 且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( A.100 B. 101 C.200 D.201 )

??? ?

????

??? ?

8.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120,那么 a2 ? a9 的值是 ( A. 12 B. 24 C. 16 D. 48



第三课时 §8.2 等差数列和等比数列. 3.在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若
2 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ≥ 2) ,则 S2n?1 ? 4n ? (

【课前训练】 1. 在公比为整数的等比数列 {an } 中,如果 a1 ? a4 )

? 18 ,


a2 ? a3 ? 12 ,则这个等比数列前 8 项的和为 (
A.513 B.512 C.510 D.

A. ?2

B. 0

C. 1

D. 2

225 8

1 例 2:已知数列 {an } 满足 a1 ? ,且当 n ? 1 , n ? N * 时, 5 an ?1 2an ?1 ? 1 1 ? 有 , (1)求证:数列 { } 为等差数列; an 1 ? 2 an an (2)试问 a1 ? a2 是否是数列 {an } 中的项?如果是,是第几项;
如果不是,请说明理由。

4. 设 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a 2 ? a 3? 15 ,

a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? (
A. 120 B. 105 C. 90

) D. 75

2. 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=3n+a,若数列 {an } 为等比数列, 则实数 a 的取值是 ( A.3 B. 1 ) C.0

D.-1

5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

3.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
4 7 10

3n?10

(n ? N ) ,则 f (n) 等于
D.

A.

2 n (8 ? 1) 7

B.

2 n ?1 (8 ? 1) 7

C.

2 n ?3 (8 ? 1) 7

2 n?4 (8 ? 1) 7

S3 1 S6 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12

4.如果-2,a,b,c,-9 成等比数列,那么

A

3 10

B

1 3

C

1 8

D

1 9

A.b ? 3 2, ac ? 18 C.b ? 3 2, ac ? ?18

B.b ? ?3 2, ac ? 18 D.b ? ?3 2, ac ? ?18

52

【例题分析】 例 1: 在等比数列 {an } 中, a1 ? a6 (1)求 an ; (2)若 Tn

? 33 , a3 ? a4 ? 32 , an?1 ? an , ? ? ? lg an ,求 Tn .

A 16( 1 ? 4 C

?n



B 16( 1 ? 2 D

?n



3.已知数列 {an } 前 n 项和 S n ,则

? lg a1 ? lg a2

32 ?n (1 ? 4 ) 3

32 ?n (1 ? 2 ) 3

n ?1 ? S1 (注意:不要忘记讨论 n ? 1 ) an ? ? n?2 ?S n ? S n ?1
4.已知数列 {an } 前 n 项之积 Tn , 一般可求 Tn?1 , 则 an = 意:不要忘记讨论 n ? 1 ). 5.已知 an ? an?1 ? f (n)(n ? 2) ,求 an 可用累加法.

Tn (注 Tn-1

例 2:设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66, a2 a n?1 ? 128 ,前n项 和 Sn=126,求 n 和公比 q.

4. 已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围 是( ) B ? ??,0? ? ?1, ??? D ? ??, ?1? ? ?3, ??? A ? ??, ?1? C ?3, ?? ?

6.已知 an

? an?1 f (n)(n ? 2) ,求 an 用累乘法.

7.已知数列 {an } 的递推关系,研究 an 与 an?1 的关系式的特点,可 以通过变形构造,得出新数列 { f (an )} 为等差或等比数列. (1) 形如 an 用待定系 ? qan?1 ? p( p, q是常数且q ? 1, p ? 0) ,

数法或消去法转化为等比数列求 an . (2) 形如 an 5.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数 列,则 ?an ? 的公比为 . 8.已知 an 与 S n 的关系式,利用 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ,将关系 转化为只含有 an 或 S n 的递推关系,再利用上述方法求出 an . 9.常用公式: 列求 an .

【巩固练习】 1.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2 等于( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

?

ban?1 ,两边取倒数,转化为等差数列或等比数 can?1 ? d

2.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a2

? a3 ? a4 ? 10
) D. ?

a5 ? a6 ? a 7 ?a8 ? ?5, 则数列 {an } 的前 16 项和 S16 为(
A.-50 B.

25 4

C.

125 4

25 4

5 2 6. 在数列 {an } 在中, an ? 4n ? , a1 ? a2 ? ?an ? an ? bn , 2

1)1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

n ? N * ,其中 a , b 为常数,则 ab ?

.

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n 3) 1 ? 2 ? ? ? n ?
2 2 2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
2

3.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

1 ,则 4

第四课时 §8.3 数列的通项 一.【知识点】 1.用观察法(不完全归纳法)求数列的通项. 2.运用等差(等比)数列的通项公式.

?1 ? 4) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =(



53

练习: 已知数列 {an } 前 n 项和 S n ? ?2n 2 ? 3n ? 1 , 则 an ? ______

【巩固练习】 1. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 0 , a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1
C. 3

5.(1)若满足 a1

? 1,

(n ? N * ) , 则
3 2

an n ? (n ? 2) , an =______________. a n ?1 n ? 1
3 an ? 3 , 那么这个数列的通项 2

(2)若数列 {an } 的前 n 项的和 S n ? D. 公式为__________________.

【例题分析】 例 1:在数列 {an } 中,设 a1

? 1, an?1 ? an ? 2n ,则 an ? _______. ? 1, an?1 ? an ? n2 ? 2n ,则

a2009 ? (

) A.0

B. ? 3

变题:在数列 {an } 中,设 a1

an ? ___________________________.
2.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A 2 ? ln n B 2 ? (n ? 1) ln n C 2 ? n ln n

1 n

)

D 1 ? n ? ln n

第五课时 续: 【例题分析】 例 4:设数列{ an }满足 a1 =1, an ?1 +2 an =2,求 an 及前 n 项和 Sn.

3.已知函数 f ( x) ? 2 ,等差数列 {ax } 的公差为 2 .若
x

例 2:在数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有

f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则 log2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ??? f (a10 )] ?
.

a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? _______; an ? _________.

例 3:已知 a1 ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项公式 ,an ? n(an?1 ? an)

an ? _________________.
4. 已知数列 {an } ,若满足 a1 ? 29 , an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,

an =________________.

54

例 5:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ,求 an . 3a n ? 1

变题:已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1

?

an ,求 an 3an ? 2

【巩固练习】 1. 已知数列满足 a1 =1,an?1 ? an ? an an?1 ( an ? an?1 ) , 求 an .

例 7:数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 5 , an?2 ? 3an?1 ? 2an , (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

2. 已知数列满足 a4

? 15, an ? 2an?1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公

例 6:设数列 {an } 满足 a1 =1,(1)an?1 ? 2an ? 2n ,求 an 及前 n 项 和 Sn. (2) an?1 ? an ? 2n ,求 an 。

式及前 n 项和的公式。

55

3.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2(n ? N * ) , 求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和的公式。

3. 分组求和法:有一类数列,既不是等差数列,又不是等比数列, 如将这类数列适当拆开, 可分为等差数列、 等比数列或常见的数列, 则和可求。 4.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是等比 数列。 二、常用结论 1)1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n 3) 1 ? 2 ? ? ? n ?
2 2 2

由例 1 你能得到怎样的一般性结论?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

4) 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ? 5)

?1

?

2

例 2:求数列:2,2+4,2+4+6,?,2+4+6+8+?+2 n ,?的前 n 项和。 变题:求数列:1? 2,2 ? 3,?, n ? (n ? 1),?的的前 n 项和。

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

6)

7)

【快速练习】 1.数列:9,99,999,9999,?的前 n 项和等于____________ 【2】用裂项相消法求和 例 3:求数列: 2.数列:0.9,0.99,0.999,0.9999,?的前 n 项和是________ 第 6 课时 §8.4 数列的求和 【知识点】 一、数列求和的常用方法 1. 公式法: 适用于等差、 等比数列或可转化为等差、 等比数列的数 列;或者利用常用求和公式,即二、1)-4) 。 项和。

1 1 1 , ,?, ,? 的前 n 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1

? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差 ? a n a n ?1 ?
数列,c 为常数;部分无理数列等。

【例题分析】 【1】用公式法求和 例 1: (1)求数列:2,22,222,2222,?的前 n 项和; (2)求数列:0.2,0.22,0.222,0.2222,?的前 n 项和;
56

例 4:已知数列{ an },{ bn }的通项公式分别为 an

? n ? 1,

3. 设

Sn ? 1 ? 2 ? ? ? n, n ? N ? , 求 f (n) ?

bn ? n ? 3, 设 cn ?

2 ,求数列{ cn }的前 n 项和。 anbn

Sn 的最 (n ? 32)Sn?1

大值。

第七课时 (续)数列的求和 【例题分析】 【3】用分组法求和 ◆由两个公差相同 的等差数列对应项之积的倒数作成的新数列, 用 .... 列项相消法求和。 【巩固练习】 1.求数列:1,1+2,1+2+4,?,1+2+4+?+ 2
n?1

例 1:求数列:1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, 3 ? 10,? 的前 n 项和。 a a a

◆由一个等差数列和一个等比数列对应项之积作成的新数列用错 位相减法求其前 n 项和。 5.【用分类的思想求和】 例 3:数列 {an } 中,设 a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3 ,求数列{ | an | } 的前 n 项和。

,?的前

n 项和。

4.【用错位相减法求和】 例 2:已知数列{ an },{ bn }的通项公式分别为 an 2. 求数列: 前 n 项和。

? 2n, bn ?

1 , 2n

1 1 1 1 ? , ,? , ,? 的 2 2? 4 2? 4? 6 2 ? 4 ? 6 ?? ? 2 n

设 cn

? anbn ,求数列求数列{ cn }的前 n 项和。

57

【巩固练习】 1.求和: 1 ?

4.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an . 1).求数列 ?an ? 的通项公式; 2).设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

n? N*

第八课时 (续)数列的求和 例 4:已知数列 {an } 的通项公式: an ? ? 数列 {an } 的前 n 项的和 Sn .

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

? ?6n ? 5(n为奇数) ,求 n ? ?2 (n为偶数)

2.数列: 1 ,2 ,3

1 3

1 9

1 1 ,4 ,? 的前 n 项和是 27 81

____________.

3. 数列 {an } 中,设 a1 ? ?20, an?1 ? an ? 4 ,

5.已知数列 ?an ? 满足 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,? ? ?an ? an?1 ,? ? ? 是首项为

则(1) a1 ? a2 ? a3 ?? a20 ? __________. (2) a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? _____________.

1 的等比数列, (1)求 an 的表达式. 3 (2)如果 bn ? (2n ? 1)an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 sn
1 公比为

【巩固练习】
?1 ? n2 ?2   n为奇数 an ? ? n 1. 已知数列 {an } 中, ?2 ? 2   n为偶数 ,试求数列 {an } ?

的前 n 项和。

58

3.某工厂去年的总产值为 a ,计划在今后 5 年内每年比上年总产 值增长 10%,则此今年起到第 5 年,这个厂的总产值为 ( ) A. 1.1
4

有存款本息全部取出(不计利息税),那么甲取回的金额是(

)

a

B.1.1

5

a

C.11(1.1

5

?1)a

D.10(1.1

5

?1)a

( A) m ?1 ? q ? 元
4

( B ) m ?1 ? q ? 元
5

(C )

m ?1 ? q ? ? ?1 ? q ?
4

q



( D)

m ?1 ? q ? ? ?1 ? q ?
5

q



2.在数列 {an } 中, an ? ?2[n ? (?1) n ] ,求 S10 和 S99

4.某种细菌在培养过程中, 每 20 min 分裂一次 (一个分裂成 2 个) 。 经过 3 h ,这种细菌由一个可繁殖成 ( )个 A.511 B.512 C.1023 D.1024

例 3:某人 2008 年 8 月 1 日到银行存入人民币 1000 元,存期为 5 年,存款年利率为 5.85%,利息税为 5%,到期后本利合计可得

1 5.排球落地后弹起的高度为落地前高度的 ,如果从 6 米的高度 2
落下,让其自由弹跳.则第 5 次着地时,排球总共弹跳了_____米。

________________元。

【例题分析】 第九课时 §7.5 数列的综合应用举例 【课前练习】 1.一套共 7 册的书计划每 2 年出一册,若各册书的出版年份数之 和为 13979,则出齐这套书的年份是( ) 例 1:2006 年 6 月 1 日甲到银行存入 m 元 3 年定期储蓄.若年利 率 q 保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定 期.到 2009 年 6 月 1 日,将存款本息全部取出(不计利息税),那 么甲取回的金额是( )

第十课时 (续)§7.5 数列的综合应用举例 【例题分析】 例 1:观察下列由奇数组成的数阵,回答下列问题: (1)求第 6 行的第 1 个数; 1 (2)求第 n 行的第 1 个数; 3 5 (3)求第 20 行的所有数之和。 7 9 13 15 17 ? 元 ? ? ? ?

( A) 1997

( B ) 1999

(C ) 2001

( D) 2003

( A) m ?1 ? q ? 元
4

( B ) m ?1 ? q ? 元
3

11 19 ? ?

(C )

m ?1 ? q ? ? ?1 ? q ?
4

q



( D)

m ?1 ? q ? ? ?1 ? q ?
5

q

2.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0.7 C,已知山顶气 0 0 温是 14.1 C, 山脚的气温是 26 C, 那么此山相对于山脚的高度是 ( )m A.1500 B.1600 C.1700 D.1800
0

例 2: 从 2006 年到 2009 年期间, 甲每年 6 月 1 日都到银行存入 m 元一年定期储蓄. 若年利率 q 保持不变, 且每年到期的存款本息均 自动转为新的一年定期.到 2009 年 6 月 1 日,甲不再存款,将所
59

3.某种汽车购车费为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费 9 千元,汽车的维修费平均为第 1 年 2000 元,以后每年增加 2000 元,问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年,年平均费 用最少)?



S9 = S6

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D. 3

例 2:已知数列{ an }对任意 n ? N 都有 an?1

?

? an ,且

4.(2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
2 已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

an ? n2 ? ?n ,求实数 ? 的取值范围。

A.38

B.20

C.10

D.9

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

【2009 年高考题】 1.(2009 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? 且 a5 ? a2n?5 【巩固练习】 1.已知函数

? 2 (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,
2n

5.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 则

1 ,前 n 项和为 Sn , 2

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 C. n
2

S4 ? a4



f ( x) 是偶函数,且 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,当

D. (n ? 1)2

?2 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,若 n ? N ? , an ? f (n), 则

a20009 ? ______________.
2.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
w.w.w. k. s.5

6.(2009 北京理)已知数列 {an } 满足:

a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ____; a2014 =_____.

2.设数列{ an }是正项等比数列,a1 , a99 是方程 x 的两个根,则 a1a50 a99 =___________.

2

? 10x ? 16 ? 0
3.(2009 辽宁卷理)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 =3, S3

7.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分)

60

在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

9.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ), 3 3

为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 若数列{ 是多少?

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

其前 n 项和为 Sn . (1) 求 Sn ; 项和 Tn .

(2) bn ?

S3 n , 求数列 { bn } 的前 n n ? 4n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

1000 1 问 Tn > 的最小正整数 n } 前 n 项和为 Tn , 2009 bn bn?1

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

8.(2009 浙江文 ) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n ,

n ? N * ,其中 k 是常数. ( I ) 求 a1 及 an ; ( II )若对于任意的 m ? N * , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.

10.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分)
x 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点,

1 3

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项
61

教学课题 第九章 概率与统计、统计案例 §9.1 概率 高考要求: 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 了解概率的意义 以及频率与概率的区别,了解频率接近于频率,但不等于概率;理 解概率是概率的稳定值,频率是概率的近似值。 2.了解对立事件与互斥事件的联系与区别, 了解两个互斥事件的概 率加法公式。 3.理解古典概型及概率的计算公式。 4.会计算一些事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 5.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。 6.了解几何概型的意义。 教学目标: 1.理解概率的有关概念, 会计算一些事件所含的基本事件数, 能根 据公式计算古典概型和几何概型的概率, 能计算两个互斥事件的概 率。 2.能把实际问题转化为概率问题, 并能用概率和数学方法分析和解 决实际问题。 教学重点: 1.掌握古典概型和几何概型的计算公式。 2.掌握两个互斥事件的计算公式。 教学难点: 几何概型的计算。 教学方法:辅导法和讲授法 教学时数:8 第一课时 §9.1.1 事件与概率 【知识点】 【1】随机现象 1.必然现象:在一定条件下,必然发生的现象称为必然现象。 2 随机现象:在一定条件下多次观察同一现象,每次观察到结果不 一定相同,事先很难预料哪一种结果会出现的现象。 3.试验: 为了探索随机现象的发生规律, 就要对随机现象进行观察 和模拟,这种观察和模拟的过程叫做试验。 4.随机试验:条件每实现一次,叫做进行一次试验。如果试验结果 事先无法确定,并且可以重复进行,这种试验叫做随机试验。 【2】事件 1.必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件,叫做必然事件, 以 U 记之。 2.不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件,叫做不可能 事件,以 ? 记之。 3.确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定

事件。简称确定事件。 4.随机事件:在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做 相对于条件 S 的随机事件,简称随机事件。 5.事件及其表示方法: 确定事件和随机事件统称事件, 一般用大写 字母 A、B、C、?表示。 【3】频率与概率 1.频数与频率: 在相同条件 S 下, 重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 m 为事件 A 出现的频

【5】概率的性质: 1.必然事件的概率等于 1;

2.不可能事件的概率等于 0;

3.随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1 ; 因此, 0 ? 4.设必然事件 U

P( A) ? 1.

? A1 ? A2 ? ? An 且 A1, A2 ,?, An 彼此互斥,

那么 P( A 1 ) ? P( A 2 ) ? ? ? P( A n ) ? 1。 【练习】 1.一个袋子里装有大小形状完全相同的白球、红球、黑球各 2 个, 从中任取 2 个球. (1)列出这个试验的所有基本事件,基本事件的总数是多少? (2)“至少有 1 个白球”这一事件包含几个基本事件?

m 数,称事件 A 出现的比例 f n ( A) ? 为事件 A 出现的频率。 n
2.概率及其记法:对于随机事件 A ,如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率

f n ( A) 稳定在某个常数,把这个常数记 作

P( A) ,称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率。 f n ( A) 是 P( A) 的
近视值。 【4】概率的运算 1.事件的和(或并):若事件 C 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生(即 A 、B 中至少有一个发生),则称事件 C 为 A与B 的和事 件(或并事件),记作 C 2.同时掷两枚骰子,以下事件各是什么事件? (1)点数之和是正整数; (2)点数之和小于 2; (3)点数之和是 3 的倍数。

? A ? B(或C ? A ? B) .

◆事件的和有三层含义:A 发生且 B 不发生;B 发生且 A 不发生; A 与 B 都发生。 2.事件的积(或交):若事件 C 发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生(即 A、B 都发生),则称事件 C 为 A与B 的积事件(或交事 件),记作 C

? AB(或C ? A ? B) .

3.据统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率 如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人以上(含 5 人) 0.04

3.互斥事件: 如果事件 A 与事件 B 不可能同时发生, 则称事件 A 与 事件 B 为互斥事件。 (若 A ? B ? ? ,则称 A 与 B 互斥) 。 此时有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ◆对立事件: 若 A 、B 是互斥事件且有且仅有一个发生, 则称 A ,

(1)求至多 2 人排队等候的概率; (2)求至少 3 人排队等候的概率。

B 互为对立事件。 (即 A ? B ? U , AB ? ? )以 B ? A 记之。
此时有 P( A) ? 1 ? P( A).

第二课时 §9.1.2 古典概型 【知识点】 1.基本事件: 试验结果是有限个, 且每个事件都是随机事件的事件
62

叫做基本事件。 2.古典概型:把具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个 (即有限性) ; (2) 试验中每个基本事件出现的可能性相等 (即 等可能性) 这两个特点的概率模型称为古典概率模型, 简称古典概 型。 2.古典概型的计算公式: P( A) ?

2.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率 分别为 0.21,0.23,0.25,0.28.求这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 8 环的概率; (2)不超过 7 环的概率。

m (其中 m 为事件 A 包含的基 n
例 4:一个盒子里装有完全相同的 5 个球,分别标上 1,2,3,4, 5 这 5 个数字,今随机的每次取出 1 个球,连取两次。如果: (1)小球是不放回的; (2)小球是放回的。求两个小球上的数字 为相邻整数的概率。

本事件个数, n 为基本事件总数) 。 3.求古典概型的概率的方法: (1)判断事件是否为等可能事件,并用字母 A 表示所求事件; (2)算出基本事件总数 n 和事件 A 包含的基本事件数; (3)代入公式计算事件 A 的概率 P( A) ?

m . n
n

3.某单位要在甲、乙、丙、丁四人中安排两人分别担任周六和周日 的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人) 。 (1)共有多少种安排方法?(2)甲、乙被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人至少有一人被安排的概率是多少?

4.一枚硬币掷 n 次等价于 n 枚硬币掷一次, 其基本事件总数为 2 。 5.一枚骰子掷 n 次等价于 n 枚骰子掷一次, 其基本事件总数为 6 。 【例题】 例 1:掷两枚骰子, (1)求“点数之和等于 6”的概率; (2)求点 数和小于 7 的概率。
n

◆例 3、例 4 有什么区别? 例 2:用 1,2,3,4 这 4 个数字组成无重复数字的 4 位数,求组 成的数比 2000 大的概率。 【巩固练习】 1.甲、乙两人做掷骰子游戏,两人掷同一枚骰子各一次,问: (1) 列出所有可能结果; (2)若谁掷的点数大谁就取胜,求乙获胜的概 率。

2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,求剩下两个数 4.在五个数字 1,,,,

字都是奇数的概率。

例 3:袋中装有完全相同的 2 个红球和 3 个白球,从中任取 2 个。 (1)求恰有 1 个白球的概率;(2)求至少有一个红球的概率。

63

5.甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外 完全相同,其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球, 乙袋装有 1 个红球、 5 个白球.现分别从甲、 乙两袋中各随机取出一个球,求取出的两球 都是红球的概率。

P( A) ?

?A 2 1 ? ? . ?? 6 3

高考总复习· 数学 与面积有关的几何概型的求法

2.与角度有关的几何概型 0 例 2:在圆心角为 90 的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC ,求 使得 ?AOC, ?BOC 都小于 30 的概率。
0

解:事件 A 是“作射线 OC ,使 ?AOC, ?BOC 都小于 30 ”,则
0

?A ? 900 ? 300 ? 300 ? 300 ,(如右图)
由几何概型的计算公式得 6.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字组成一个两位数, 这个两位数大于 40 的概率是___________.

? A 300 1 P ( A) ? ? ? . ?? 900 3
3.与面积有关的几何概型 例 3:小张和小王两人约定在下午 3 点到 4 点之间在某处会面,并 且约定先到者应等候另一人 15 分钟,如果另一人还没到,这时即 可离去。求两人那会面的概率。 解:设事件 A 是“两人那会面” 。 x, y 分别表示小张和小王两人到 达约会地点的时间,则两人能够会面得等价条件是 | x ? 建立平面直角坐标系如右图所示, 则 ( x, y) 的所有可能结果是边长 为 60 的正方形,而两人可能会面 的时间由不等式 | x ?

第三课时 §9,1.3 几何概型 【知识点】 1.几何概型的概念: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积、体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模 型,简称几何概型。 2.几何概型的特点: (1)试验的结果是无穷多的; (2)每个结果出现的可能性是相等的。 3.几何概型的概率公式:在几何区域 D 内任取一点,记“该点落 在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率:

4.与体积有关的几何概型 例 4:在 1 升高产小麦种子里混入了 1 粒带麦锈病的种子,从中随 机的取出 10 毫升,其含有麦锈病的种子的概率是多少? 解:设事件 A 为“带麦锈病的种子” ,则 ? A

y |? 15.

? 10 ,

? P( A) ?

?A 10 ? ? 0.01. ?? 1000

d的测度 ? A 。 P( A) ? ? D的测度 ??
【例题分析】 1.与长度有关的几何概型 例 1: 在两根相距 6 米的木杆上系一根绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 求灯与两端距离都大于 2 米的概率。 解:设“灯与两端的距离都大于 2 m ”为事件 A ,则

y |? 15 确定。

第四课时【巩固练习】 1.某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的 时刻是随意的, 则一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率是 ( )

(即右图中的阴影部分)由几何概型的计算公式得

1 602 ? 2 ? ? 452 7 2 P ( A) ? ? . 2 60 16

1 A. 5

B.

1 2

C.

7 10

D.

3 10

2.边长为 2 的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域, 在正方形中 随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 面积是( )
64

? A ? 6 ? 2 ? 2 ? 2 ,由几何概型的计算公式得

2 ,则阴影部分的 3

4 A. 3

8 B. 3

2 C. 3

D.无法计算

7.以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的坐标,则 点 P 落在圆 x
2

5.系统抽样: 当总体个体数很大 时, 可将总体分成均衡的几个部分, .. 然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取一个个体 (用简单随机 抽样) ,得到所需要的样本,这样的抽样方法叫系统抽样。 6.分层抽样: 当已知的总体由差异明显 的几部分组成时, 在抽样时 .... 将总体分成互不交叉的层, 然后按照一定的比例, 从各层抽取一定 数量的个体(用简单随机抽样) ,组成样本,这样的抽样方法叫分 层抽样。 【练习】 1.要从已编号 ( 1 ? 60 ) 的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法 确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) A C
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? y2 ? 16 内的概率是______________.

3. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积 不小于 ...3 的概率是( A.

S



2 3

B.

1 3

C.

3 4

D.

1 4
8.从分别写有 A,B,C,D,E 的 5 张卡片中任取 2 张, 这 2 张卡片上的 字母恰好是按字母顺序相邻的概率是___________.

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5,10,15, 20, 25,30 1, 2,3, 4,5,6

B

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3,13, 23,33, 43,53
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4. 在面积为 S 的△ABC 内任取一点 P, 则△PBC 的面积小于 .. 的 概率是( ) 教学课题 §9.2 统计 第五课时 §9.2.1 随机抽样

S 2

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D

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2, 4,8,16,32, 48

5.在区间[0,1]上任取两个数 a, b ,方程 x 均为实数的概率是( )

2

? ax ? b2 ? 0 的两根

A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

3 4

6.在区间(0,1)内任取两个数,则两数和大于

3 的概率是_______. 2

高考要求: 1.理解随机抽样的必要性和重要性。 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本。 3.了解分层抽样和系统抽样方法。 教学目标: 掌握简单随机抽样方法, 能解决分层抽样和系统抽样的 问题。 教学重点:简单随机抽样和分层抽样。 教学难点:系统抽样。 教学方法:自主学习辅导法 【知识点】 1.总体、 个体: 把所考察的某一数值指标的全体构成的集合看成总 体,构成总体的每一个元素作为个体。 2.样本: 从总体中随机抽取若干个体进行考察, 这若干个个体构成 的集合叫做总体的一个样本。 3.随机抽样: 抽样时要保持每一个个体都可能被抽到, 每一个个体 被抽到的机会是均等的,满足这样条件的抽样叫做随机抽样。 4.简单随机抽样:设一个总体的个数为 N ,如果通过逐个随机地 抽样方法从中抽取一个样本, 且每次抽取时每个个体被抽到的机会 相等,这样的抽样方法叫做简单随机抽样。 ◆常用的简单随机抽样有: (1)抽签法; (2)随机数表法。

2.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为调查 身体健康状况,需要从中抽取一个容量为 36 的样本,用分层抽 样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取 _人、 人、 人
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3.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的
情况如下表所示:

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_________人.

65

4.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一 般职员 90 人,现抽取 30 人进行分层抽样,则各职称人数分别 为( ) A
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◆ 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。 ◆ 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 3.方差: 对于一组数据 x1 , x2 ,?, xn , 则s
2

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5, 10, 15B

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3, 9, 1 8 C

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3, 1 0, 1 7D

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5, 9, 16

?

1 n ( xi ? x)2 叫做 ? n i ?1
2. 已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方 图如右图所示,求时速在 [60,70] 的汽车大约有多少辆? 频率 组距 0 0 0 0
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第五课时 §9.2.2 用样本估计总体 高考要求 1.会用频率分布估计总体分布。 2.会用样本估计总体平均数、标准差和方差。 3.会用茎叶图表示数据并加以分析。 教学目标 1.掌握求样本的平均数、 标准差和方差的方法; 会根据茎叶图对数 据进行分析。 2.会根据频率分布直方图对数据进行分析。 教学重点 1.样本的平均数、标准差、方差。2.频率分布直方图。 教学难点 频率分布直方图。 教学方法:自主学习辅导法 【知识点】一、统计 1.总体估计:一般分为两种,一种是用样本的频率分布估计总体; 一种是用样本的数字特征估计总体的的数字特征。 2.众数、中位数、平均数: (1)众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数。 (2)中位数:把一组数据按大小依次排列,处在中间位置的一个 数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 (3)如果有 n 个数 x1 , x2 ,?, xn ,那么 x ? 数的平均数。 当一组数据 x1 , x2 ,?, xn 的各数较大时, 可以将各数同时减去一个 适当的常数 a , 得到 xi
'
' 那么 x ? x ? a. ? xi ? a (i ? 1,2,?, n) ,

这组数据的方差。 4.标准差:方差的算术平方根叫做这组数据的标准差。 ◆刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数。 ◆刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差。 二、总体分布 1.频率分布:样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的 比,就是该数据的频率;所有数据(或者数据组)频率的分布变化 规律叫做频率分布;可以用频率分布表、频率分布直方图、频率分 布折线图、茎叶图来表示。 2.画频率分布直方图的一般步骤: (1)计算极差; (2)决定组距和组数;(3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图 ◆频率分布直方图中,每个小矩形的宽度为 ?xi (即组距) ,高为

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04 03 02 01 40 50 60 70 80 时速(km)

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3.容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9

fi , 小矩形的面积为相应的频率 fi .(频率之和为 1) ?xi
3.利用频率分布直方图估计数字特征: (1)众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点 横坐标; (2)在频率分布直方图中,中位数左右两边的直方图面积应该相 等,由此可以估计中位数的值; (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积(即频率) 乘以小矩形底边中点的横坐标之和。 【练习】 1.对某电子元件进行寿命跟踪调查,数据如下: 寿命 ( h ) 个数 100 200 20 ~ 200 300 30 ~ 300 400 80 ~ 400 500 40 ~ 500 600 30 ~

x

则第三组数的频数和频率分别是________,_________. 4.甲、乙两篮球队各 10 名队员身高如下: (单位: cm ) 甲组:182 185 183 176 190 184 186 180 187 186 乙组:182 183 185 189 179 180 191 189 178 173 用茎叶图表示两队队员的身高, 并判断哪个队的身高更整齐一些?

1 n ? xi ,叫做这 n 个 n i ?1

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在 100~400h 以内的概率; (4) 估计电子元件寿命在 400h 以上的概率。

加权平均数:如果在 n 个数据中, x1 出现 k1 次, x2 出现 k2 次, ?, xm 出现 km 次,那么 x ?

k1 x1 ? k2 x2 ? ? ? km xm . n

5.甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现从 中抽测 10 个,它们的尺寸分别如下: (单位: mm ) 甲:10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数和方差,如规定零件的尺寸为 10mm ,哪台机床加工这种零件较合适?

66

第六课时 §9.2.3 变量间的相关关系 高考要求 1.能正确作出关于两个变量统计数据的散点图, 并利用散点图判断 两个变量之间是否具有相关关系。 2.了解最小二乘法的思想, 理解两个变量之间的线性相关性, 能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程, 了解回归直线 方程的推导。 教学目标: 会做两个变量的散点图, 根据条件会建立线性回归方程。 教学重点:能够根据条件建立线性回归方程。 教学难点:求线性回归方程。 教学方法:自主学习辅导法。 【知识点】 1.变量之间的两种关系 (1)函数关系:变量之间的关系是一种确定性的关系。 (2)相关关系:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的 随机性, 这种变量之间的关系称为相关关系。 它是一种非确定性关 系。 2.两个变量的线性相关 (1)回归分析:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 叫回归分析。 (2)散点图:把样本中的 n 个数据点 ( xi , yi ) (i

◆如果所有的样本点都落在某一直线附近 , 变量之间就有线性相关 .. 关系。 3.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法. ①回归直线: 如果变量之间具有线性相关关系, 就称这条直线为回 归直线。 ②事实上,我们希望找一条直线, “从整体上看,各点与此直线的 距离最小” , 最贴近已知的数据点, 最能代表变量 x, y 之间的关系, 记此直线方程为 ? y ? b ? ax 其中 a, b 由下式确定:

(4)城镇居民的消费水平与平均工资之间的关系。 其中,具有相关关系的是_______________________.

2.为考虑广告费用 x (千元)与销售额 y (千元)之间的关系,抽 取了 5 家餐厅,得到如下数据:

x
y

1.0

4.0

6.0

10.0 52.0

14.0 53.0

b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

19.0 44.0 40.0 (1) x 与 y 是否具有线性相关关系?

?x
i ?1

2 i

? nx

2

(2) 若有相关关系, 求当销售额达到 6 万元时, 广告费用为多少? (保留两位有效数字)

a ? y ? bx
4.相关系数:对于变量 x, y 的一组观测值,把

r?

? x y ? nx y
i ?1 i i

n

(? x ? nx )(? y ? n y )
i ?1 2 i 2 i ?1 2 i 2

n

n

叫做变量 x, y 之间的样本相

关系数,简称相关系数。其中 ( x, y) 叫做样本中心。

3.某种图书每册的成本费 y (元)与印刷册数 x (千册)有关,据统 计得到数据如下:

r ? 0 时,称变量 y 与 x 正相关;r ? 0 时,称变量 y 与 x 负相关。
5.相关系数的性质: | r |? 1, 且 | r | 越接近于 1,相关相关性越大;

x

1

2

3 4.0 8

5 2.8 5

10 2.1 1

20 1.6 2

30 1.4 1

50 1.3 0

100 1.2 1

200 1.1 5

? 1,2,?, n) 描在

y 10.1 5.5
5 2

平面直角坐标系中, 以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的 图形叫做散点图。 (3) 从散点图可以看出点散布的位置是从左下角到右上角的区域, 即一个变量的值由小变大时, 另一个变量的值也由小变大, 这种相 关关系叫做正相关。 (4) 从散点图可以看出点散布的位置是从右上角到左下角的区域, 即一个变量的值由小变大时, 另一个变量的值也由大变小, 这种相 关关系叫做负相关。 ◆利用散点图可以判断变量之间有无相关关系。 ◆如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上, 就用该函数来描述 变量之间的关系,即两个变量之间具有函数关系。 ◆如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近 , 变量之间就有相 .. 关关系。

| r | 越接近于 0,相关相关性越小。
(1) | r |? 0.75 ,则称相关性很强; (2) 0.3 ?| r |? 0.75 ,则称相关性一般; (3) | r |? 0.25 ,则称相关性较弱。 【练习】 1.现有下列关系: (1)人的年龄与他(她)所拥有的财富之间的关系; (2)曲线上的点与该点坐标之间的关系; (3)苹果的产量与气候之间的关系;

检验每册书的成本费 y 与印刷册数倒数 系,如有,求 y 对 x 的回归方程。

1 之间是否有线性关 x

67

是: R

2

? 1?

yi )2 ? (yi ? ?

n

? (y ? y )
i ?1 i i

i ?1 n

, R 值越大,此时残差平方和越小,

2

例 1:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到 下面的数据表, 试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关 系。 晚上 男婴 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89

2

第七课时 §9.2.4 统计案例 高考要求 1.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 2.了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用。 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用。 教学目标: 会用残差分析和相关指数法来判断线性回归模型的拟 合效果的好坏。 会用独立性检验来判断两个分类变量在多大程度上 有关系。 教学重点:残差分析和相关指数法。2×2 列联表和独立性检验。 教学难点:残差分析和独立性检验。 教学方法:自主学习和辅导法 【知识点】 一、残差分析 1.线性回归模型:在 y ? bx ? a ? e 中, a, b 叫做未知参数,e 叫 做随机误差。 建立回归方程

说明模型的拟合效果越好, R 表示解释变量对预报变量变化的贡 献率, R 越接近于 1,表示回归效果越好。 二、独立性检验 1.用变量的不同“值”表示个体所属的不同类型,这种变量称为分 类变量。 2.列出两个分类变量的频数表,称为列联表。 3.假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的值域分别为 {x1 , x2} 和
2

2

女婴 合计

分析:首先看表中数据是否都大于 5,在利用表中的数据计算统 计量 K ,可以用它的大小来推断独立性是否成立。 解: K
2
2

?

89 ? (24 ? 26 ? 31? 8) 2 ? 3.68893 ? 3.841 55 ? 34 ? 32 ? 57

{ y1, y2} ,其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为

y1 x1 x2

y2
b d b?d

总计

查临界值表可得, 婴儿的性别与出生的时间是相互独立的。 即婴 儿的性别与出生的时间没有关系。 【2】有关两个事件不独立的判断的题型 例 2:为了考察某种药物预防疾病的效果,先进行动物试验,得到 如下的列联表: 患病 服用药 没有用药 合计 10 20 30 未患病 45 30 75 合计 55 50 105

a
c

a?b c?d a?b?c?d

? 是 bx ? a y ? bx ? ,a? y

的估计值,由于
2

总计

a?c

请问能有多大把握认为药物有效? 分析:首先看表中数据是否都大于 5,在利用表中的数据计算统 计量 K ,最后再与两个临界值相比较得出结论。 解: K
2
2

? ? y?? e y

, 所 以

? 是 e 的 估 计 量 , 对 于 样 本 点 e

ei ? yi ? ? yi = (i ? 1 ,? 2, n 相对于它们的随机误差 , ) ( xi , yi ) ? ? y ?? yi 称为相应于 其估计值 e yi ? bxi ? a(i ? 1,2,?, n) , i i
样本点 (i ? 1,2,?, n)

n(ad ? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
利用独立性检验判断表来判断“ x 与 y ”的关系。 注意: 常将 k 其步骤是: 1.设 H 0 : “ x 与 y 没有关系” ; 2.列 2×2 列联表; 3.计算 K
2

?

?

( xi , yi ) 的残差。
? ??? e ? ? (y ? ? ?e y1 )2 ? ( y2 ? ? y 2 )2 1
2 2 2 n

n(ad ? bc)2 2 叫做 K 的观测值, (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? 6.109 ? 3.841 55 ? 50 ? 75 ? 30

所以有 95%的把握认为药物有效。 【练习】 1.下表是两种教法实验的成绩对比统计,试分析两种教法的效果。 及格 掌握教学法 常规教学法 36 40 76 不及格 8 16 24 合计 44 56 100

? Q?e 残差平方和:
y n )2 +?+ ( yn ? ?

2 1

当 Q 的值越小,说明线性回归模型的拟合效果越好。 2.相关指数 R :用相关指数 R 来刻画回归的效果, 其计算公式
2 2

?

n(ad ? bc) =k (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

合计

4.查临界值表下结论。 【例题】 【1】有关两个事件相互独立的判断的题型
68

2.为了确定居民的头发颜色与居住地的依赖关系, 分别在两个地区 A、B 调查了两组人群,其结果如下表: 棕黄色、黑色 浅色 6 38 44 合计 30 70 100

A B
合计

24 32 56

(2)小前提:所研究的特殊情况( S 是 M ) ; (3)结论:由一般原理对特殊情况作出判断( S 是 P ) 。 用集合的观点即: (1)大前提: x ? M 且 x 具有性质 P ; (2)小前提: y ? S 且 S

例 2:观察下列各式: (1) tan10 (2) tan15
0

tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan100 tan 600 ? 1 tan 250 ? tan 250 tan500 ? tan150 tan500 ? 1

0

?M;

由以上两式成立,你能得到的一般性结论是什么? 分析: 共有三个角 ? , ? , ? , 每个角出现两次, 且? ? ? 解:若 ? ? ?

由调查得到的结果,能否证实居民的发色与他们的居住地有关?

(3)结论: y 也具有性质 P . ◆用演绎推理得出的结论是真实可靠的。 【3】合情推理与演绎推理的关系: (1)合情推理是特殊到一般和特殊到特殊的推理,演绎推理是由 一般到特殊的推理; (2)它们是相辅相成的,合情推理是演绎推理的前提,合情推理 的可靠性要靠演绎推理来论证。 【例题分析】 1.归纳推理 例 1:在数列{ an }中, a1 通项公式。 解: a1

? ? ? 900 .

? ? ? 900 ,
? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 .

则 tan ? tan ?

第十章 推理和证明 教学课题 §10.1 合情推理与演绎推理 高考要求 1.了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理, 了 解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它 进行简单的推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 教学目标:掌握归纳推理和类比推理以及演绎推理。 教学重点:掌握归纳推理和类比推理以及演绎推理。 教学难点:用合情推理解决数学问题和用演绎推理证明数学命题。 教学方法:自主学习辅导法 教学时数:1 教学过程: 【知识点】 【1】合情推理:归纳推理与类比推理统称为合情推理。 (1)归纳推理:由个别事实概括出一般结论的推理,即从特殊到 一般的推理。 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理。 它是一种 特殊到特殊的推理。 ◆由合情推理得到的结论其可靠性 有待于证明。 ... ◆推理过程:从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、 类比→猜想结论。 【2】演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。 它是一种一般到特殊的推理。 数学应用:演绎推理是数学中证明的基本推理模式。 推理模式: “三段论” : (1)大前提:已知的一般原理( M 是 P ) ;

【练习】 已知: sin
2

300 ? sin 2 900 ? sin 2 150 ?

? 1, an?1 ?

2an ,试猜想这个数列的 2 ? an

3 2 3 2

sin 2 100 ? sin 2 700 ? sin 2 1300 ?

? 1, a2 ?

2a1 2 2a2 1 2 ? , a3 ? ? ? , 2 ? a1 3 2 ? a2 2 4

通过观察上述两个等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明。

a4 ?
an ?

2a3 2 ? . 由 此 可 以 猜 想 数 列 { an } 的 通 项 公 式 是 2 ? a3 5
2 . n ?1

【练习】 1.数列 2,5,11,20,x,47?等于________.

2.从 1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 中,可以得到一般规律是: ___________________________________.

2

2

2

2.类比推理

教学课题 §10.2 直接证明与间接证明 高考要求 1.了解直接证明的两种基本方法: 综合法和分析法; 了解综合法和 分析法的思考过程及其特点。 2.了解间接证明的一种基本方法→反证法; 了解反证法的思考过程 及其特点。 教学目标:熟练掌握综合法和分析法,理解反证法。 教学重点:熟练掌握综合法和分析法,理解反证法。 教学难点:用综合法、分析法、反证法证明数学问题。 教学方法:自学及讲授法 教学时数:1 【知识点】 一、综合法
69

1.定义:由已知条件和相关的数学概念、公理、定理等经过一系列 的推理论证,得出所要证明的结论成立,即为综合法。 2.推理模式: P ? Q1

这与题设 a, b, c 互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证。

? Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ? Q .

【练习】 1.在锐角△ABCZ 中,已知 3b ? 2 证明:△ABC 为等边三角形。

简言之,即“由因导果” 。 二、分析法 1.定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的允许条件,直 至最后,而达“条件”止。 2.推理模式:Q ? P 1

3a sin B, 且 cos B=cos C ,

?P 1 ?P 2 ? ? ? 一个明显成立的条件

简言之,即“执果索因” 。寻找使结论成立的充分条件。 三、反证法 1.反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后导致矛盾, 从而说明原命题为真。 2.从思考方法上来说,是“正难则反” 。 3.反证法常用在:唯一性命题、结论为否定句的命题、结论含有 “至少”或“至多”等语句。 【例】已知 a, b, c 是三个互不相等的正数,求证:由

2.在△ABC 中,若 a

2

? b(b ? c), 证明: A ? 2 B.

y ? ax2 ? 2bx ? c, y ? bx2 ? 2cx ? a, y ? cx2 ? 2ax ? b 确 定
的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点。 【证明】 假设由题设中的函数所确定的三条抛物线与 轴没有两个 不同的交点(即任何一条抛物线与 轴没有两个不同的交点) ,

x

x

由 y ? ax

2

? 2bx ? c, y ? bx2 ? 2cx ? a, y ? cx2 ? 2ax ? b 得

?1 ? (2b)2 ? 4ac ? 0??(1) ? 2 ? (2c)2 ? 4ab ? 0??(2) (1)+(2)+(3)得 ?3 ? (2a)2 ? 4bc ? 0??(3)

4(a2 ? b2 ? c2 ) ? 4(ab ? ac ? bc) ? 0 即
2a2 ? 2b2 ? 2c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 0

?(a ? b)2 ? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ? 0 而 (a ? b)2 ? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ? 0

?(a ? b)2 ? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ? 0 ?a ? b ? c
70


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