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函数的单调性及最值


1.3.1

函数的单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

1.3.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解函数单调性的定义、 明确增函数、 减函数的图像特征; 能根据图像写出函数的单调区间,并能利用定义进行证明. 2.过程与方法 由一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的图像,让 学生从图像获得“上升”“下降”的感性认识. 根据函数的自 变量与函数值的关系, 用自然语言描述图像的“上升”与“下 降”, 再转化为数学符号的描述, 完成函数单调性概念的形成 过程.

1.3.1 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 在形与数的结合中感知数学的内在美, 在图形语言、 自然 语言、 数学语言的转化中感知数学的严谨美, 在潜移默化中培 养化归与转化能力.

1.3.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 理解函数单调性的概念,用定义法证明函数的单调性. [难点] 单调性概念的形成与应用.

1.3.1 │ 教学建议 教学建议
建议从学生较熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数图像出 发,先利用图像直观了解函数值随变量的变化情形,在此基础上用 自然语言给出函数单调性的定义,实现一种由特殊到一般、 由 感 性认识上升到理性认识的一个感知过程. 建议在讲解函数单调性这一概念时,注意把握概念中要求的几 个字眼:“任意性”“都有”“在区间 I 上”,且最好在讲完概念 后,让学生自己举几个单调性的例子,并指明单调区间,真正理解 此概念. 建议在讲函数的单调区间时,提醒学生注意“函数的单调递增 区间是 I”与“函数在区间 I 上递增”这两个概念的区别与联系.

1.3.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 图 13是某地区一天 24 小时内的气温图.x 轴表示时间, y 轴表示温度,温度是时间的函数.

图 13思考:(1)说出气温在哪些时间段内是升高的?在哪些时 间段内是降低的? (2) 怎样用数学语言描述“随着时间的推移气温逐步提 高,随着时间的推移气温逐步降低”这一特征?

1.3.1 │ 新课导入

[导入二] 观察图像,如图 13. (1)指出 y 随着 x 的变化而变化的关系.

图 13(2)怎样用数学语言描述函数“y 值随着 x 的增大而减小; y 值随着 x 的增大而增大”这一特征? 这些问题我们会在今天“函数的单调性”的学习中得到 解决.

1.3.1 │ 预习探究 预习探究
知识点一 增函数与减函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区 间 D 中的任意两个自变量的值 x1,x2. f(x1)<f(x2) . (1)条件:x1<x2 时,都有____________ 结论:函数 f(x)在区间 D 上是增函数. f(x1)>f(x2) . (2)条件:x1<x2 时,都有____________ 结论:函数 f(x)在区间 D 上是减函数.

1.3.1 │ 预习探究
[探究] (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗? (2)在增函数和减函数定义中, 能否把“任意 x1, x2∈D” 改为“存在 x1,x2∈D”?
解:(1)不一定.如函数 y=x2 在定义域 R 上不是单调函数. (2)不能.如函数 f(x)=x2,虽然 f(-1)<f(2),但 f(x)=x2 在 R 上不具备单调性.

1.3.1 │ 预习探究

知识点二 单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就 说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)________ 单调性 ,区间 D 叫作 y =f(x)的单调区间 ________.

1.3.1 │ 预习探究
[探究] 若函数 f(x)在定义域内的两个区间 D1,D2 上都是 增函数,那么 f(x)的增区间能写成 D1∪D2 吗?

解:不一定.如 y=2x-1 在区间[1,2],[2,3]上都是增 1 函数,它在区间[1,3]上仍是增函数,但 y=-x在区间(-∞, 0),(0,+∞)上都是增函数,但在区间(-∞,0)∪(0,+∞) 上不是增函数.

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
1.理解增函数、减函数定义的注意事项 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域 的不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局 部”性质. (2)定义中的 x1,x2 有以下三个特征:①任意性,即“任意取 x1,x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般; ②有大小;③属于同一个单调区间. (3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相 互转化.

1.3.1 │ 备课素材

2.理解单调函数需明确的三点 (1)有些函数在定义域上是单调的, 有些函数在定义域内的子区 间上是单调的,有些函数是常数函数,不具有单调性.如 y=-2x 在定义域 R 上单调递减;y=(x-1)2 在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增,在定义域 R 上不具有单调性;y=4 是常数函数. (2)函数在定义域的某几个子区间上具有相同的单调性, 也不一 定在定义域上是单调的.如 y=(x-1)2 在(-∞,1)上单调递减,在 (1,+∞)上单调递增,在定义域 R 上不具有单调性.

1.3.1 │ 备课素材

(3)注意定义域是否含有端点,如 y=x2 的减区间为(-∞,0), 1 也可以写为(-∞,0],但 y= 的递减区间只能写成(-∞,0)和(0, x +∞).

1.3.1 │ 考点类析 考点类析
考点一 由函数图像确定单调区间? 基础夯实型 例 1 (1)如图 131 所示的是定义在区间[-5,5]上的函数 -2,1)、________ [3,5] , y=f(x)的图像,则函数的单调递减区间是[ ________ [-5,-2) [1,3) 在区间__________________ 、 __________________ 上是增函数.

图 131
(-∞,1),(1,+∞) 1 (2)函数 y= 的单调递减区间是__________________. x-1

1.3.1 │ 考点类析

[解析] (1)观察图像可知, y=f(x)的单调区间有[-5, -2), [- 2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3) 上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 1 1 (2)y= 的图像可由函数 y= 的图像向右平移一个单位得 x x-1 到,如图所示,其单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞).

1.3.1 │ 考点类析

(3)画出函数 y=x2-2|x|+2 的图像,并讨论函数的单调性.

2 ? x ? -2x+2,x≥0, 2 解:y=x -2|x|+2=? 2 的图像如图所 ? ?x +2x+2,x<0

示,由图可知,函数在(-∞,-1)和(0,1)上是减函数, 在(-1,0]和[1,+∞)上是增函数.

1.3.1 │ 考点类析
考点二 函数单调性的证明? 重点探究型 [导入] (1)如果画出函数的图像,我们就能够求出函数的单 调区间,如果不画函数的图像,怎样判断函数的单调性呢?

(2)函数的单调性定义是函数单调性判断的依据,怎样用单 调性定义证明函数的单调性呢?

解:(1)利用函数单调性的定义判断. (2)定义法证明函数单调性的步骤:①取值,在区间上任 取两个值 x1,x2,且 x1<x2;②作差变形,f(x1)-f(x2);③定 号,确定 f(x1)-f(x2)的符号;④判断,根据定义得出结论.

1.3.1 │ 考点类析

例2 性.

2x 利用定义判断 f(x)= 在区间(0, +∞)上的单调 x+3

解:任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 2[x2(x1+3)-x1(x2+3)] 2x2 2x1 f(x2) - f(x1) = - = = x2+3 x1+3 (x1+3)(x2+3) 6(x2-x1) . (x1+3)(x2+3) 因为 x1<x2 且 x1,x2∈(0,+∞),所以 x2-x1>0,x1+3>0,x2 +3>0, 2x 所以 f(x2)-f(x1)>0,所以 f(x)= 在区间(0,+∞)上是增函数. x+3

1.3.1 │ 考点类析

? 考点二 利用输入、输出和赋值语句编写程序 【变式】 证明:函数 f(x)=3x2-2x 在(-∞,-1]上是减函数.

证明:设 x1<x2≤-1,则 2 2 2 f(x2)-f(x1)=3x 2 - 2 x - (3 x - 2 x ) = 3( x - x 2 2 1 1 2 1 ) - 2(x2 - x1)= (x2-x1)[3(x2+x1)-2]. 因为 x1<x2≤-1,所以 x2-x1>0,3(x2+x1)-2<0, 所以 f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

1.3.1 │ 考点类析

[小结] 证明函数 f(x)在区间 D 上的单调性应遵循以下步 骤: ①设元:设 x1,x2∈D,且 x1<x2; ②作差:将函数值 f(x1),f(x2)作差; ③变形:将上述差值变形(因式分解、配方等); ④判号:对上述变形结果的正负加以判定; ⑤定论:根据定义对 f(x)的单调性作出结论.

1.3.1 │ 考点类析

考点三 函数单调性的应用? 重点探究型 [导入] 给出函数 f(x)=kx+1. (1)当 k=2 时,f(x)是单调函数吗? (2)当 k 变化时,f(x)的单调性如何?

1.3.1 │ 考点类析

解:(1)f(x)是单调递增函数.(2)k>0 时,f(x)是 R 上的 增函数,k<0 时,f(x)是 R 上的减函数,k=0 时,f(x)是 R 上的常数函数.

1.3.1 │ 考点类析

例3

(1)已知 f(x)=(2a+3)x-b 在 R 上是减函数,则 a

3 a<- . 的取值范围是________ 2

[解析] 要使函数在 R 上是减函数,只需 2a+ 3 3<0,得 a<-2.

1.3.1 │ 考点类析

(2) 已知 y=f(x)在定义域(-1, 1)上是减函数, 且满足 f(a -1)>f(1-4a),求 a 的取值范围.
? ?-1<a-1<1, 1 ? 解: 由题意知 解得 0<a< .①又因为 y=f(x) 2 ? - 1<1 - 4 a <1 , ?

在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(a-1)>f(1-4a), 2 2 所以 a-1<1-4a,得 a< .②由①②得 0<a< ,所以 a 的取值 5 5 2 范围是 0, . 5

1.3.1 │ 考点类析

【变式】 函数 f(x)=-x2+2ax+1 在(-∞,2)上 a≥2 是增函数,则实数 a 的取值范围是________ .

[解析] f(x)=-x2+2ax+1=-(x-a)2+1+a2,抛物线 开口向下,对称轴 x=a≥2 时,f(x)在(-∞,2)上是增函数, 所以实数 a 的取值范围是 a≥2.

1.3.1 │ 考点类析

[小结] (1)对于一次函数、二次函数的单调性问题中所涉 及的参数问题,要根据这些函数的图像、性质进行讨论. (2)解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题, 关键是利 用单调性“脱去”函数符号“f”, 从而转化为熟悉的不等式. 具 体做法是: ①若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数, 对任意 x1, x2∈D,且 f(x1)<f(x2),则有 x1<x2;②若函数 y=f(x)在区间 D 上是减函数,对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),则有 x1>x2.但 需要注意的是,不要忘记函数的定义域.

1.3.1 │ 考点类析

ax+1 1 拓展:讨论函数 f(x)= a≠ 在(-2,+∞)上的单调性. 2 x+2

1.3.1 │ 考点类析
ax+1 1 - 2a 解:f(x)= = a+ , x+ 2 x+ 2 设 x1,x2∈(-2,+∞)且 x1<x2, 1-2a 1-2a (1-2a)(x2-x1) 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2) 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0,又(x1+2)(x2+2)>0, 1 所以 a> 时,1-2a<0,则 f(x1)-f(x2)<0, 2 即 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(-2,+∞)为增函数. 1 a< 时,1-2a>0,则 f(x1)-f(x2)>0, 2 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在(-2,+∞)上为减函数.

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
1.求函数单调区间的两种方法: (1)定义法:求函数的定义域,再依据单调性定义进行判断求 解. (2)图像法:先画函数图像,根据图像写出函数的单调区间. [例] 画出函数 y=|-x2+2x+3|的图像,并写出函数的单调 递减区间. 解:图像如图所示,单调递减区间是(-∞,-1)和(1,3).

1.3.1 │ 备课素材

2.函数单调区间认识的误区 (1)正确理解“单调区间”和“在区间上单调”的含义, 函数的 单调区间是函数单调的最大范围,而函数在某一区间上单调,则指 此区间是相应单调区间的子区间. (2)函数如果有多个单调区间,这些区间之间要用逗号隔开,不 能用集合的“∪”连接. [ 例 ] 已知函数 f(x) = x2 - 2x - 3 ,则 f(x) 的单调递增区间是 ________ ;若 f(x) 在 (a ,+∞) 上单调递增,则 a 的取值范围是 ________. [答案] [1,+∞) [1,+∞) [解析] f(x)的单调递增区间是[1,+∞);由图像可知 a≥1,即 当 a≥1 时,f(x)在(a,+∞)上单调递增.

1.3.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.函数 y=x2-6x 的减区间是( A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] )

1.3.1 │ 当堂自测

[答案]

D

[解析] 函数 y=x2-6x 图像的对称轴为 x=3,所 以函数的递减区间是(-∞,3].

1.3.1 │ 当堂自测
2.[0,3]是函数 f(x)定义域内的一个区间,若 f(1)<f(2), 则函数 f(x)在区间[0,3]上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.既是增函数又是减函数 D.单调性不确定

[答案] D
[解析] 由于仅知道 f(1)<f(2)而不明确其他数值间的关系, 故不具备单调性的判断条件.

1.3.1 │ 当堂自测

3.函数

? ?x+1,x≥0, f(x)=? 在 ? x - 1 , x <0 ?

R 上是(

)

A.减函数 C.先减后增

B.增函数 D.无单调性

1.3.1 │ 当堂自测

[答案]

B

[解析] 函数 f(x)的图像如图所示,由图像结合单调性定义 可知,该函数在 R 上是增函数.故选 B.

1.3.1 │ 当堂自测
[0,+∞) 4.函数 f(x)=1-|x|的单调递减区间是______________ .

[解析]

? ?1-x,x≥0, f(x)=? 的图像如图所示,单调 ? ?1+x,x<0

递减区间为[0,+∞).

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 方法 易错 1. 对 单 调 性 概 念理解不透致 使函数的单调 性判断错误 2 .不能灵活应 用函数单调性 概念, 致使求错 参数的值或范 围

1. 利用函数的单调性 定义判断或证明函数 1. 函 数 单 调 的单调性 性的概念 2. 利用函数的图像求 2.函数的单 函数的单调区间 调区间 3. 利用函数的单调性 求参数的范围(或值) 下节课预习问题: 1.函数的最大(小)值及其几何意义. 2.简单函数的最值的求法.


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