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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)6.3基本不等式课件 新人教A版


[知识能否忆起]
a+b 一、基本不等式 ab≤ 2

1.基本不等式成立的条件: a、b都是非负数 . 2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.

二、几个重要的不等式
b a a +b ≥2ab(a,b∈R);a+b≥2(a,b 同号).
2 2 2 2 ?a+b? ?a+b? a + b ? ?2 ? ?2 ab≤? ( a , b ∈ R) ; ? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R). ? 2 ? ? ?

三、算术平均数与几何平均数
a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2

,几

两个正数的算术平 何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 均数不小于它们的几何平均数 .

四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则:

(1)如果积x y是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y
有最小值是 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 x=y 时,xy 2 s 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4

[小题能否全取]
1 1.(教材习题改编)函数 y=x+x(x>0)的值域为 ( A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞) )

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)

1 解析:∵x>0,∴y=x+x≥2,当且仅当 x=1 时取 等号.

答案:C

2.(教材习题改编)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时

x的值为
1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3

(

)

1 1 9 3 解析:由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3 3 4 4 1 3x=3-3x,即 x= 时等号成立. 2

答案:B

3.下列函数中,y 的最小值为 4 的是

(

)

4 A.y=x+x C.y=e +4e
x
-x

2?x2+3? B.y= 2 x +2 4 D.y=sin x+ (0<x<π) sin x

解析:对于 A,当 x<0 时,最小值不存在且 y<0;
? ? 1 2?x2+3? 2 ? 2 + x +2 ? B 中 y= 2 =2? 2 ≥ 4 ,当且仅当 x +2 ? x +2 ? x +2 ?

2?x2+3? =1 时等号成立,这样的实数 x 不存在,故 y= 2 的最 x +2 小值大于 4; 同理对于 D,等号成立的条件为 sin2x=4,这也是不可能的; 只有 C,y=ex+4e-x≥4,当且仅当 ex=2,即 x=ln 2 时等 号成立,函数有最小值 4.

答案:C

4 4.若x>1,则x+ 的最小值为________. x-1
4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1

答案:5

2 5 5.已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,则z= + 的最小值 x y 为________.
解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 则x+ y≥2
?2 5? 10 ? + ?min=2,当且仅当 2y= = 2 ,故 xy ?x y ?

5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2,y=5 时等号成立.

答案:2

1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立 的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或

和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条
件,就会出现错误.
2.对于公式a+b≥2
?a+ b? ?2 ab ,ab≤ ? ? 2 ? ,要弄清它 ? ?

们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab 和a+b的转化关系.

3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注
2 2 a + b 意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤ ; 2

?a+ b? a+b ?2 ≥ ab (a,b>0)逆用就是ab≤ ? ? 2 ? (a, b>0)等.还 2 ? ?

要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.

利用基本不等式求最值
[例1] 4 (1)已知x<0,则f(x)=2+ +x的最大值 x

为________.

(2)(2012· 浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy, 则3x+4y的最小值是 24 A. 5
C.5

(
28 B. 5 D.6

)

[自主解答 ]

(1)∵ x<0,∴- x>0,

? 4 ? 4 ? ∴ f(x)= 2+ + x= 2-? +?- x?? ?. x - x ? ?

4 4 ∵- +(- x)≥2 4 =4,当且仅当- x= ,即 x=- x -x 2时等号成立.
? 4 ? ? ∴ f(x)= 2-? +?-x?? ? ≤ 2- 4=- 2, - x ? ?

∴ f(x)的最大值为- 2.

1?1 3? (2)∵x>0,y>0,由x+3y=5xy得 ? + ?=1. 5?y x?
?1 3 ? 1?3x 1 12y? 13 ∴3x+4y= (3x+4y)? + ?= ? +4+9+ ?= + 5 x ? 5 ?y x ? 5? y

1 ?3x 12y? 13 1 ? + ? ≥ + ×2 5? y x ? 5 5

3x 12y · =5(当且仅当x=2y时取等 y x

号),∴3x+4y的最小值为5.

[答案] (1)-2

(2)C

本例(2)条件不变,求xy的最小值.
解:∵x>0,y>0,则 5xy=x+3y≥2 x· 3y, 12 ∴xy≥ ,当且仅当 x=3y 时取等号. 25 12 ∴xy 的最小值为 . 25

用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形 为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.在 求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最值;另 一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等 式将要求最值的表达式放缩为一个定值,但无论哪种方 法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.

2x 1.(1)当x>0时,则f(x)= 2 的最大值为________. x +1 (2)(2011· 天津高考)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最

小值为________.

(3)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,
则实数m的最大值是________. 2x 2 2 解析:(1)∵x>0,∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+x
1 当且仅当 x=x,即 x=1 时取等号.

(2)由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1, a+2b 即 ab≥2,∴3 +9 =3 +3 ≥2×3 (当且仅当 3a= 2
a b a 2b

32b,即 a=2b 时取等号). 又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时取等号), ∴3a+9b≥2×32=18. 即当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18.
(3)由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是 由 m-2≤xy 恒成立,得 m-2≤8,即 m≤10.故 m 的最 大值为 10. 答案:(1)1

(2)18

(3)10

基本不等式的实际应用

[例 2]

(2012· 江苏高考)如图,

建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在 地平面上,y 轴垂直于地平面,单 位长度为 1 千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨 1 迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上, 其中 k 与 20 发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行
高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹 可以击中它?请说明理由.
[自主解答] 1 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际 20

意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1 2 1+k k+ k 所以炮的最大射程为 10 千米.

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 1 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标.

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物
价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需 认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化 为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变

量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时
可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

2.(2013· 福州质检)某种商品原来每件售价为25元,年销售 8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少 2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件

定价最多为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该 商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元. 1 公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定 6 1 宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年 5 的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不 低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

解:(1)设每件定价为 t 元,
? ? t-25 ? ? 依题意,有?8- ×0.2?t≥25×8, 1 ? ?

整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元.

(2)依题意,x>25 时, 1 2 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ x + x+ 有解. 6 5 150 1 ∵ x + x≥2 6 成立),∴a≥10.2. 因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和, 此时该商品的每件定价为 30 元. 150 1 x=10(当且仅当 x=30 时,等号 x · 6

[典例] (2011· 重庆高考)已知 a>0,b>0,a+b=2, 1 4 则 y=a+b的最小值是 ( )

7 A. 2 9 C. 2

B.4 D.5

a+ b [尝试解题 ] ∵ a+ b= 2,∴ = 1. 2 1 4 ?1 4?? a+ b? ? ? ∴ + =? + ? ? a b ?a b?? 2 ? ? 5 ?2a b ? = +? + ? 2 ? b 2a? 5 ≥ +2 2 2a b · b 2a

? 9? 2a b = ?当且仅当 = ,即 b= 2a时,等号成立 ?. 2? b 2a ?

1 4 9 故 y= + 的最小值为 . a b 2 [答案] C

1.解答本题易两次利用基本不等式,如:
( a ? b )2 ∵a>0,b>0,a+b=2,∴ab≤ =1. 4 1 4 4 1 ?4 , 又y= ? ? 2 a b ab ab 1 又ab≤1,∴y≥ 4 =4. 1 但它们成立的条件不同,一个是a=b,另一个是

b=4a.这显然是不能同时成立的,故不正确.

2.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对 其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式

求最值,这三个条件缺一不可.
3.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑 ”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

?针对训练

1.(2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是
? 1? 2 A. lg?x + ?> lg 4? ?

(

)

x(x> 0)

1 B. sin x+ ≥ 2(x≠ kπ, k∈ Z) sin x C. x2+ 1≥ 2|x|(x∈ R) 1 D. 2 > 1(x∈ R) x +1

? 1? 1 3π 2 ? ? 解析: 取 x= , 则 lg x +4 =lg x, 故排除 A; 取 x= , 2 2 ? ?

1 则 sin x=-1,故排除 B;取 x=0,则 2 =1,故排 x +1 除 D.

答案:

C

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.函数 y=a1 x(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,


1 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上,则m 1 +n的最小值为________.

解析:因 y=ax 恒过点(0,1), 则 A(1,1), 又 A 在直线上, 所以 m+n=1(mn>0). 1 1 m+ n 1 1 故m+n= mn =mn≥? ? =4, m + n ? ?2 ? 2 ? ? ? 1 当且仅当 m=n= 时取等号. 2

答案:4

1 2.(2012· 郑州质检)若 a>b>0,则代数式 a + 的 b?a-b?
2

最小值为

(

)

A.2 C.4

B.3 D.5

1 解析:依题意得 a-b>0,所以代数式 a + ≥a2+ b?a-b?
2

1 4 2 ?b+?a-b?? = a + a2 ≥2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ?b=a-b>0, ? ? 2 4 a= 2 ? a, ?

4 a ·2 = 4 , 当 且 仅 当 a
2

即 a= 2, b=

2 时取等号,因此 a2+ 2

1 的最小值是 4. b?a-b?

答案:C

3.若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30. (1)求xy的取值范围; (2)求x+y的取值范围. 解:由 x+2y+xy=30,(2+x)y=30-x,
30-x 则 2+x≠0,y= >0,0<x<30. 2+x -x2+30x (1)xy= x+ 2
-x2-2x+32x+64-64 = x+2 64 =-x- +32 x+2

? 64 ? ? ? =-??x+2?+x+2?+34≤18,当且仅当 ? ?

x=6 时取等号,

因此 xy 的取值范围是(0,18].

30-x 32 (2)x+y=x+ =x+ -1 2+x x+2
? ?x=4 2-2, 32 =x+2+ -3≥8 2-3,当且仅当? 时 x+2 ? ?y=4 2-1

32 等号成立,又 x+y=x+2+ -3<30,因此 x+y 的 x+2 取值范围是[8 2-3,30).


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