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2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列的概念及通项公式练习 苏教版必修5


2.2.1

等差数列的概念及通项公式

1.如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那 么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差. 2.如果数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 a2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d. 3.等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d. 4.等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=a3+(n-3)d,因此等差数列的通 项公式又可以推广到 an=am+(n-m)d(n>m). 5.由 an=am+(n-m)d,得 d= 连线的斜率. 6.如果在 a 与 b 之间插入一个数 A,使 a,A,b 成等差数列,那么 A 可以用 a,b 表示 为 A=

an-am ,则 d 就是坐标平面内两点 A(n,an),B(m,am) n-m

a+b
2

,A 称为 a,b 的等差中项.

7.如果数列{an}的通项公式 an=a·n+b,则该数列是公差为 a 的等差数列. 8.等差数列的性质. 若{an}是等差数列,公差为 d ,则: (1)an,an-1,…,a2,a1 亦构成等差数列,公差为-d; (2)ak,ak+m,ak+2m,…(m∈N )也构成等差数列,公差为 md; (3)λ a1+μ , λ a2+μ , …, λ an+μ , …(λ , μ 是常数)也构成等差数列, 公差为 λ d; (4)an=am+(n-m)d(m,n∈N )是等差数列通项公式的推广,它揭示了等差数列中任意 两项之间的关系,还可变形为 d=
* * *

an-am ; n-m

(5)若 m,n,k,l∈N ,且 m+n=k+l,则 am+an=ak+al,即序号之和相等,则它们 项的和相等, 例如:a1+an=a2+an-1=… ?基础巩固 一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(B)

A.1

B.2

C.3

D.4

a1+a5 解析:由等差中项的性质知 a3= =5,又 a4=7,∴公差 d=a4-a3=7-5=2. 2 2.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则(A)
1

A.a=2,b=5 B.a=-2,b=5 C.a=2,b=-5 D.a=-2,b=-5
解析:考查项数与 d 之间关系. 3.首项为-20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是(C)

A.d>
20 9

20 5 B.d≤ 9 2 5 20 5 D. ≤d< 2 9 2
?a10>0, ? ?-20+9d>0, 20 ? 5 即? 即 <d≤ . 9 2 ? ? ?a9≤0, ?-20+8d≤0,
2

C. <d≤

解析:由题意知?

4.已知 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax +2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数 为(D)

A.1 个 B.0 个 C.2 个 D.1 个或 2 个
解析:∵Δ =(2b) -4ac=(a+c) -4ac, ∴Δ =(a-c) ≥0. ∴A 与 x 轴的交点至少有 1 个.故选 D. 5.(2014·重庆卷)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=(B)
2 2 2

A.5 B.8 C.10 D.14
解析:设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解. 方法一 设等差数列的公差为 d,则 a 3+a5=2a1+6d=4+6d=10,所以 d=1,a7=a1 +6d=2+6=8. 方法二 由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=10,又 a1=2,所以 a7=8. 二、填空题 6.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. 解析:根据等差数列的性质,a2+a8=a4+a6=a3+a7=37. ∴原式=37+37=74. 答案:74 7.(2013·广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________ . 解析:由 a3+a8=10 得 a1+2d+a1+7d=10,即 2a1+9d=10, 3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
2

答案:20 8.在等差数列{an}中,a3=50,a5=30,则 a7=________. 解析:2a5=a3+a7,∴a7=2a5-a3=2×30-50=10. 答案:10 三、解答题 9.在等差数列{an}中,已知 a1+a6=12,a4=7. (1)求 a9; (2)求此数列在 101 与 1 000 之间共有多少项. 解析:(1)设首项为 a 1,公差为 d,则 2a1+5d=12, a1+3d=7,解得 a1=1,d=2, ∴a9=a4+5d=7+5×2=17. (2)由(1)知,an=2n-1,由 101<an<1 000 知 101<2n-1<1 000, 1 001 ∴51<n< . 2 ∴共有项数为 500-51=449. 1 1 1 1 10.已知数列{an}中,a1= , = + ,求 an. 2 an+1 an 3 1 1 1 ?1? 1 1 1 n+5 解析: 由 = + 知? ?是首项为 2, 公差为 的等差数列, ∴ =2+(n-1)× = . a an+1 an 3 ? n? 3 an 3 3 ∴an= 3 * (n∈N ). n+5

?能力升级 一、选择题 11.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N ),若 b3=-2,b10= 12,则 a8=(B) A.0 B.3 C.8 D.11 解析:由 b3=-2 和 b10=12 得 b1=-6,d= 2, ∴bn=2n-8,即 an+1-an=2n-8,由叠加法得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a8 -a7)=-6-4-2+0+2+4+6=0. ∴a8=a1=3. 12.等差数列{an}中,前三项依次为: 1 5 1 , , ,则 a101 等于(D) x+1 6x x
3
*

1 2 A.50 B.13 3 3 2 C.24 D.8 3 解析:由 1 1 5 1 1 + =2× 解得 x=2,故知等差数列{an}的首项为 ,公差 d= ,故 a101 x+1 x 6x 3 12

1 1 26 2 =a1+100d= +100× = =8 . 3 12 3 3 13.已知数列-1,a1,a2,-4 与数列 1,b1,b2,b3,-5 各自成等差数列,则 等于(B) A. 1 4 1 B. 2 1 D.- 4 -4-(-1) -5+1 =-1, b2= 4-1 2

a2-a1 b2

1 C.- 2

解析: 设数列-1, a1, a2, -4 的公差是 d, 则 a2-a1=d= =-2,故知

a2-a1 1 = . b2 2

二、填空题 14.设数列{an},{ bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. 21-7 14 解析: ∵{an},{bn}都是等差数列,∴{an+bn}也是等差数列,其公差为 = =7. 2 2 ∴a5+b5=7+(5-1)×7=35. 答案:35 15.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2- 4,则 an=________. 解析:利用等差数列的通项公式求解. 设等差数列公差为 d,则由 a3=a2-4, 得 1+2d=(1+d) -4, ∴d =4.∴d=±2.由于该数列为递增数列, ∴d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N ). 答案:2n-1(n∈N ) 三、解答题 16.等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式. 解析:由题设条件可得
* * 2 2 2 2

4

?a1+a1+3d+a1+6d=15, ? ? ? ?(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, ?a1=-1, ? ?d=2 ? ?a1=11, ? ?d=-2. ?
*

解得?

或?

∴数列{an}的通项公式为 an=2n-3 或 an=13-2n,n∈N . 17.已知 1

b+c c+a a+b
1



1



1

是等差数列,求证:a ,b ,c 是等差数列. + 1 = 2 ,

2

2

2

证明:由已知条件,得 ∴

b+c a+b c+a

2b+a+c 2 = . (b+c)(a+b) c+a

∴(2b+a+c)(a+c)=2(b+c)(a+b). ∴a +c =2b ,即 a ,b ,c 是等差数列.
2 2 2 2 2 2

5


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