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等比数列前n项和习题课


如设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ( n ? N * ) 关于数列 { a n } 有下列 , 三个命题: ①若 a n ? a n ? 1 ( n ? N * ) ,则 { a n } 既是等差数列又是等比数列; ②若 S n ? an 2 ? bn ( a 、 b ? R ) ,则 { a n } 是等差数列; ③若 S n ? 1 ? ( ? 1) n ,则 { a n } 是等比数列。这些命题中,真命题 的序号是

设 { a n } 是公比为 q 的等比数列,其前 n 项的积为 T n ,并且满足条件 a 1 ? 1 ,
?1 ? 0 ,
a 99 ? 1 a1 0 0 ? 1 ? 0 .给出下列结论:

a 99 a100

① 0 ? q ? 1 ;② T198 ? 1 ;③ a 9 9 a1 0 1 ? 1 ;④使 T n ? 1 成立的最小自然 数 n 等于 199.其中正确结论的编号是_________.

基础知识
1、等比数列定义及公比、等比中项等相关概念
a n?1 an a n ? a n?1a n?1 ( n ? 2 , n ? N , a n ? 0 )
2

? q ( n ? N * , q ? 0 ),

2、等比数列通项公式和前n项和公式:
a n ? a1q
n ?1

? am q

n?m

Sn

na 1 , ( q ? 1 ) ? ? n ? ? a 1 (1 ? q ) a1 ? a nq ? , (q ? 1) ? 1?q 1?q ?

例题解析
例1 若 {an}为等比数列,且a n>0,
前n项和为80,其中最大项为54,前2n 项和为6560,求S100 . 3100 ?1

公式的应用 :
例2 已知数列{an}中, a1 = 5, 且当n>1, n?N时, an = a1 + a2 +…+ an ? 1. (1) 求{an}的通项公式; (2) 求证:
1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 ? 3 a1 a2 a3 an 5

.

公式的应用 :
例3 求和: 1 + 3a + 5a2 + 7a3 + … + (2n ?1)an ?1.
分析:当a ? 1时,{(2n ? 1)an ? 1}是由 数列{2n ? 1}与数列{ an ? 1}的相应项相乘 而来的,所以用错位相减法来求和.

说明:求和问题要分析数列的项的结构,当 通项是一个等差数列与等比数列的乘积 时,用错位相减法求和,此时要注意等比数 列的公比是否为1(用字母表示公比时).

公式的应用 :
练习:求和:
Sn ? 1 2 ? 2 4 ? 3 8 ?? ? n 2
n

例题
(全国卷Ⅰ)设正项等比数列{an}的首项 1 a1 ? ,前n项和为Sn,且
2

2 S 30 ? (2
10

10

? 1) S 20 ? S10 ? 0

(Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和。

设 { a n } 为等比数列, T n ? na 1 ? ( n ? 1) a 2 ? ? ? 2 a n ?1 ? a n , 已知 T1 ? 1 , T 2 ? 4 , (1)求数列 { a n } 的首项和公比; (2)求数列 {T n } 的通项公式。

a1 ? 1

q ?2

Tn ? 2

n ?1

?n?2

(山东卷 19)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则 排成如下数表: ?2 a1 bn ? ( n ? 2) n( n ? 1) a2 a3 a4 a5 a6 13 a79 a80 a81 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数 列{bn}的前 n 项和,且满足:
2bn bn S n ? S
2 n

=1(n≥2).

(I)证明数列{

1 Sn

}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;

(II)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成 等比数列,且公比为同一个正数.当 a 81 ? ? 所有项和的和.
4 91

时,求上表中第 k(k≥3)行

练习:
1.{an}是实数构成的等比数列, S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ,则数列{S }中( ) n A、任一项均不为零 B、可能有且只有一项为零 C、至多有有限项为零 D、可能无穷多项为零

2.四个数构成递增的等比数列,其中外两项 和为13,内两项和为4,求此数列各项.

练习: 3.若方程 x 2 ? 5 x ? m ? 0与 x 2 ? 10 x ? n ? 0 的 四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为 1的等比数列,则m:n=___________
a 4.等比数列{an}中,1 ? a n ? 66 , a 2 a n ? 1 ? 128 , 且S n=126,求n及q.

S 5.等比数列{an}中, n

? 2 ? 1 ,求
n

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n

2

2

2

1.某商品提价10%后,要恢复其原价,应由 现价降价( C )

(A)10%
(C)9
1 11 %

(B)9%
(D)9
2 11 %

2.等比数列{an}的公比是2,前4项和为2,则 前8项和为( B )

(A)17
(C)19

(B)34
(D)21

3.若{an}是等比数列,Sn=2n-1,则
a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2 2

等于( D )
1 3 1 ( 2 ? 1)
n 2

(A)(2n-1)2 (C)4n-1

(B)

(D) ( 4 n ? 1)
3

4.若数列{an}是等比数列,且S3=3a3,则公 比q=( C )

(A)-1或 ?
(C)1或 ?
1 2

1 2

(B)1或

1 2
1 2

(D)-1或

5.设f(x)是一次函数,f(8)=15,且f(2)、f(5)、 f(14)成等比数列,令Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),则

Sn等于( A )
(A)n2 (C)n2+n (B)n2-n (D)以上都不对

6.设公比为q(q≠1)的等比数列的前n项和为Sn, 且Sn=qn+k,则k的值为( D )

(A)2
(C)0

(B)1
(D)-1

7.在等比数列{an}中,S3 : S2=3 : 2,则公比

q的值为( A
(A)1或 ? (C)?
1 2


1 2

(B)1或

1 2

(D)-1或

1 2

8.数列{an}的通项公式为

an ?

1 n ? n ?1

,

已知前m项和Sm=5,则m为( C )

(A)5
(C)35

(B)6
(D)36

9.某厂第一年产值为a,若改革后每年可增

产20%,则这个厂前五年产值总和为( C )
(A)(
6 5 ) ?a
5

(B)(

6 5

) ?a
4

(C)5[( ) ? 1] ? a 5
5

6

(D)5[( 6 ) 4
5

? 1] ? a

10.已知数列{an}中,an=n,数列{bn}中,bn= 2 则数列{an·n}的前n项和是( B ) b

n ?1

(A)-n·n-1+2n 2

(B)n·n+1-2n 2

(C)2n-(n-1)·n-1 (D)n·n-1 2 2

11.已知等比数列{an}的公比q<0,前n项和为
Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是( B ) (A)S4a5=S5a4 (B)S4a5>S5a4 (C)S4a5<S5a4 (D)不能确定

12.在等比数列{an}中,an=2×3n-1,则该数 列中前n个偶数项的和为( D )

(A)3n-1
(C)
1 4

(B)3(3n-1)
(D) (9n-1)
4 3

(9n-1)

13.在数列{an}中,已知a6=48,an+1=-2an,
则数列{an}的前n项和Sn=
1 2 [( ? 2 ) ? 1]
n



14.某人每年初存款1万元,年利率4%,每年按

复利计算,存足10年后本利和共 12.4863



15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,



S10 S5

?

31 32

,则此数列的公比为

?

1 2



16.数列{an}是等比数列,公比q=2,a1>0, 数列{bn}是等差数列,公差d= bn=logxa1-b1,则x= 8
1 3

,且logxan-



17.已知在数列{an}中,an=2n+n,则此数列
前n项和为
2
n ?1

?2?

n ( n ? 1) 2


1 n ( n ? 1)

18.已知数列{an}的通项公式 且前n项和为
2008 2009

an ?

, 。

,则项数n为 2008

19.已知数列{an}的通项公式为an=an+lgbn
(a>0,b>0,且a≠1),则此数列前n项和 为
a?a
n ?1

1? a

?

1 2

n ( n ? 1) lg b




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