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函数的单调性与最值 系统复习


第3课时

函数的单调性与最值

第 3 课 时 函 数 的 单 调 性 与 最 值

温故夯基·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2, 定 当x1<x2时,都有 义 ___________,那么就 __________,那么就 f(x1)>f(x2) f(x1)<f(x2) 说函数f(x)在区间D上 说函数f(x)在区间D上 是增函数 是减函数

(2)单调性、单调区间的定义 增函数 若函数f(x)在区间D上是________或________, 减函数 则称函数f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调

性,________ 叫做f(x)的单调区间. 区间D

思考感悟

1.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,与函数
f(x)的单调递增区间为[a,b]含义相同吗?

提示:不相同,f(x)在区间[a,b]上单调递增并
不能排除f(x)在其他区间单调递增,而f(x)的单

调递增区间为[a,b]意味着f(x)在其他区间不可
能单调递增.

2.函数的最值

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 前提 满足
(1)对于任意x∈I, f(x)≤M 都有__________; 条件 (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M 得__________ 结论 M为最大值 (1)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M _________; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M ___________ M为最小值

思考感悟 2.函数的最值与函数值域有何关系? 提示:函数的最值与函数的值域是关联的, 求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函 数的最值,但只有了函数的最大(小)值,未 必能求出函数的值域.

考点探究·挑战高考

考点突跛

函数单调性的判断与证明 函数的单调性用以揭示随着自变量的增大,函
数值的增大与减小的规律.在定义区间上任取

x1 、 x2 , 且 x1<x2 的 条 件 下 , 判 断 并 证 明
f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),这一过程就是实施不等 式的变换过程.

例1 (2011 年云浮质检)已知 a>0,函数 f(x)=x

a +x(x>0),证明函数 f(x)在(0, a]上是减函数, 在[ a,+∞)上是增函数.

【思路分析】

利用定义进行判断,主要判

定f(x2)-f(x1)的正负.

【证明】 设 x1、2 是任意两个正数, x1<x2, x 且 x1-x2 a a 则 f(x1)- f(x2)= (x1 + ) - (x2 + ) = x1 x2 x1x2 (x1x2-a). 当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函数 f(x)在(0, a]上是减函数; 而当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数 f(x)在 [ a,+∞)上是增函数.

【规律小结】 用定义证明函数单调性的一般步 骤: (1)取值:即设x1,x2是该区间内的任意两个值, 且x1<x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2)),并通过 通分、配方、因式分解等方法,向有利于判断差 的符号的方向变形. (3)定号:根据给定的区间和x2-x1的符号,确定 差f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号.当符号不确 定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义得出结论.

互动探究

本例条件“x>0”改为“x<0”,试

判断f(x)的单调性. a 解:因 f(x)=x+x为奇函数,由例 1 知 f(x)在

区间(-∞,- a]上为增函数,在[- a,0) 上为减函数.

求函数的单调区间
在求函数的单调区间(即判断函数的单调性)时, 一般可以应用以下方法:(1)定义法;(2)图象法; (3)借助其他函数的单调性判断法;(4)利用导数法 等.

例2 求下列函数的单调区间.

(1)y=-x2+2|x|+3; 9 (2)y=x+ (x>0). x
【思路分析】 法. (1)利用图象法,(2)利用导数

【解】 (1)∵y=-x2+2|x|+3 ?-x2+2x+3 ?x≥0? =? , 2 ?-x -2x+3 ?x<0? ?x≥0? . ?x<0? 由图知,单调递增区间是 (-∞,-1]和[0,1]. 单调递减区间是 (-1,0)和(1,+∞).
?-?x-1?2+4 即 y=? -?x+1?2+4 ?

x2-9 9 (2)y′=1- 2= 2 x x ?x-3??x+3? = . 2 x 令 y′≥0,即(x-3)(x+3)≥0,得:x≥3 或 x≤ -3(舍去). ∴单调递增区间为[3,+∞). 令 y′<0, 即(x-3)(x+3)<0, x>0, 0<x<3, 又 得: ∴单调递减区间为(0,3).

【误区警示】

确定函数的单调区间时应注意:

(1)必须在定义域内研究.
(2)对于同增(减)的不连续的单调区间不能写成并 集,只能分开写.

求函数的最值 函数的最值求法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函

数,常用配方法.
(2)函数单调性的变化是求最值和值域的主要依

据,函数的单调区间求出后,再判断其增减性
是求最值和值域的前提,当然,函数图象是函 数单调性的最直观体现.

(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子、

分母不同次时常用此法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指数、对数函数

与多项式结合)时,一般采用此法.
(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范

围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范
围.

1 1 例3 已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 a 的值. 2 2 【思路分析】 (1)利用函数单调性定义证明. 1 (2)由 f(x)在 x∈[ ,2]上的最大值、最小值, 2 建立 a 的等式,求 a 的值.

【解】 (1)证明: x2>x1>0, x2-x1>0, 1x2>0. 设 则 x ∵f(x2)-f(x1) 1 1 1 1 =( - )-( - ) a x2 a x1 1 1 = - x1 x2 x2-x1 = >0, x1x2 ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.

1 1 (2)∵f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2], 2 2 1 又 f(x)在[ ,2]上单调递增, 2 1 1 ∴f( )= ,f(2)=2, 2 2 2 易得 a= . 5

【规律小结】

(1)求一个函数的最值时,应首

先考虑函数的定义域. (2)函数的最值是函数值域中的一个取值,是自 变量x取了某个值时的对应值,故函数取得最值 时,一定有相应的x的值.

方法感悟 方法技巧 1.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是 其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数 等基本初等函数的单调区间(如例2(1)).常用方法 有:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还

可以利用导数的性质(如例2(2)).

2.复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b) 上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者

(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的
单调性相同(同时为增或为减),则y=f[g(x)]为增

函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=
f[g(x)]为减函数.简称为:同增异减.

失误防范 1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区 间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写, 即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集 表示(如例 2(1)). 2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函 1 数, f(x)+g(x)也为增(减)函数, f(x)· 则 但 g(x), f?x? 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
从近几年的广东高考试题来看,函数单调性的判 断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题 型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等 偏高,客观题主要考查函数的单调性、最值的灵 活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重 要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转 化、数形结合、分类讨论的思想方法.

预测2012年广东高考仍将以利用导数求函数

的单调区间,研究单调性及利用单调性求最
值或求参数的取值范围为主要考点,重点考

查转化与化归思想及逻辑推理能力.

规范解答


(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)(本题满分

12分)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设a=2,求f(x)的单调区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a的取值范围.

【解】 (1)当 a=2 时,f(x)=x -6x +3x+1, f′(x)=3(x-2+ 3)(x-2- 3).1 分 当 x∈(-∞, 2- 3)时, f′(x)>0, f(x)在(-∞, 2- 3)上单调递增; 当 x∈(2- 3, 2+ 3)时, f′(x)<0, f(x)在(2- 3, 2+ 3)上单调递减; 当 x∈(2+ 3, +∞)时, f′(x)>0, f(x)在(2+ 3, +∞)上单调递增.4 分 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞), f(x)的单调减区间是(2- 3,2+ 3).6 分

3

2

(2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2]. 当 1-a2≥0 时, f′(x)≥0, f(x)为增函数, f(x) 故 无极值点;7 分 2 2 当 1-a <0 时, f′(x)=0 有两个根 x1=a- a -1, x2=a+ a2-1.8 分 由题意,知 2<a- a2-1<3,①或 2<a+ a2-1 <3,② 10 分 5 5 ①无解,②的解为 <a< , 4 3 5 5 因此 a 的取值范围是( , ).12 分 4 3

【名师点评】 此题的题型很常规,主要考查了 三次函数求导,单调区间的求法,极值的概念及 有关不等式的解法. 本题考生极易入手,从高考反馈信息来看,满分 率很低,主要是解题不规范、不全面:如(2)中讨 论丢掉 1-a2≥0 的情况;解不等式①②出错; 5 5 转化不等式出错,导致结果为[ , ];区间错写 4 3 5 5 为( , ).当然(2)也可用二次函数法求解. 3 4

名师预测 1.函数y=x2+2x-3(x>0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,-1) 答案:A B.(1,+∞) D.(-∞,-3] )

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减 函数,则( ) 1 1 A.k> B.k< 2 2 1 1 C.k>- D.k<- 2 2
答案:D

3.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+ ∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2 x C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
答案:A

1 4. 函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为________, x-1 最大值为________.
1 答案: 2 1

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