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含参数不等式的解法(含答案)


含参数不等式的解法
典题探究
例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。

例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。

2 例 3:在 ? ABC 中,已知 f ( B) ? 4 sin B sin (

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒 2

成立,求实数 m 的范围。 例 4: (1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: (2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2

?

演练方阵 A 档(巩固专练)

? ?( x ? 1) 2 ( x ? ?1) ? 1.设函数 f(x)= ?2 x ? 2( ?1 ? x ? 1) ,已知 f(a)>1,则 a 的取值范围是( ?1 ? ? 1( x ? 1) ?x

)

1 ,+∞) 2 1 C.(-∞,-2)∪(- ,1) 2
A.(-∞,-2)∪(-

B.(-

1 1 , ) 2 2
D.(-2,-

1 )∪(1,+∞) 2
a2 b , ), 则 f(x)· g(x) 2 2

2. 已知 f(x)、 g(x)都是奇函数, f(x)>0 的解集是(a2, b), g(x)>0 的解集是( >0 的解集是__________.

3.已知关于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解,则 a 的取值范围是__________.
2 4. 解不等式 x ? (a ?

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a

2 2 5. 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

6.已知函数 f(x)=x2+px+q,对于任意 θ∈R,有 f(sinθ)≤0,且 f(sinθ+2)≥2. (1)求 p、q 之间的关系式;(2)求 p 的取值范围; (3)如果 f(sinθ+2)的最大值是 14,求 p 的值.并求此时 f(sinθ)的最小值.
1 )>1 x

7.解不等式 loga(1-

8.设函数 f(x)=ax 满足条件:当 x∈(-∞,0)时,f(x)>1;当 x∈(0,1 ] 时,不等式 f(3mx- 1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,求实数 m 的取值范围.

9.设 f ( x) ? lg 范围。

1 ? 2x ? a4x , 其中 a ? R ,如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,求 a 的取值 3

10.已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数 a 的取值范围。

B 档(提升精练) 1.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数, 偶函数 g(x)在区间 [0, +∞)的图象与 f(x)的图象重合, 设 a>b>0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( ) ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 1 9 4 2.下列四个命题中: ①a+b≥2 ab ; ②sin2x+ 2 ≥4 ; ③设 x, y 都是正数, 若 ? =1, x y sin x 则 x+y 的最小值是 12 ; ④若|x-2|<ε,|y-2|<ε,则|x-y|<2ε,其中所有真命题的序号是 __________. 3.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成反比, 而每月库存货物的运 费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________公里处. 4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两实数根为 x1,x2. (1)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证 x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求 b 的取值范围.

5.某种商品原来定价每件 p 元, 每月将卖出 n 件, 假若定价上涨 x 成(这里 x 成即

x , 0<x≤10 10

) .每月卖出数量将减少 y 成,而售货金额变成原来的 z 倍.
(1)设 y=ax,其中 a 是满足 (2)若 y=

1 ≤a<1 的常数,用 a 来表示当售货金额最大时的 x 的值; 3

2 x,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围. 3

6.设函数 f(x)定义在 R 上,对任意 m、n 恒有 f(m+n)=f(m)· f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1;(2)求证:f(x)在 R 上单调递减; (3)设集合 A={ (x,y)|f(x2)· f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若 A∩B= ? , 求 a 的取值范围.
2 x 2 ? bx ? c x2 ?1

7.已知函数 f(x)=

(b<0)的值域是[1,3] ,

(1)求 b、c 的值;(2)判断函数 F(x)=lgf(x),当 x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论; (3)若 t∈R,求证:lg

1 1 7 13 ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg . 5 5 6 6

8.对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x +px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
2

9.设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数,如果不等式 f (1? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意
2

x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。

10.若对一切 p ? 2 ,不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立,求实数 x 的
2

取值范围。

C 档(跨越导练)

,且x ? loga b,y ? log 1 1 ab,z ? log1 a,则x、y、z 之间的大 1.设 a ? b ? 0,a ? b ? 1 ( ? )
a b b

小关系为( ) A、 y ? x ? z

B、 z ? y ? x

C、 y ? z ? x

D、 x ? y ? z

2.已知 x 2 ? y 2 ? 4 ,那么 x 2 ? 8 y ? 5 的最大值是() (A)10 (B)11 (C)12 (D)15

3.若 2 sin2 α ? sin2 β ? 2 sin α=0 ,则 cos2 α ? cos2 β 的取值范围是() (A)[1,5] (B)[1,2] (C) [1, ] (D)[-1,2]
9 4

4.数列 ?a n ?中, an ? 0 ,且 ?a n a n ?1 ?是公比为 q(q ? 0) 的等比数列,满足
a n a n?1 ? a n?1a n? 2 ? a n? 2 a n?3 (n ? N ) ,则公比 q 的取值范围是()

1? 2 1? 5 ?1 ? 2 ?1 ? 5 (B) 0 ? q ? (C) 0 ? q ? (D) 0 ? q ? 2 2 2 2 a?b 5.已知 a ? b ? 0 ,全集 I=R·M={ x | b ? x ? },N={ x | ab ? x ? a },则 M ? N =() 2

(A) 0 ? q ?

(A){ x | b ? x ? ab } (C){ x | b ? x ?

(B){ x | ab ? x ?

a?b } 2

a?b a?b } (D){ x | x ? ,或 x ? a } 2 2 6.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 是减函数,设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式:

(A) f (a) f (?a) ? 0 ; (B) f (a) f (?b) ? 0 ; (C) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) (D) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 其成立的是() (A)①与③(B)②与③(C)①与④(D)②与④ 7.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x 2 y ? z ,则 xy ? x 2 的最小值为。

8.如图, 假设河的一条岸边为直线 MN, 又 AC⊥MN 于 C,点 B、D 在 MN 上。先需将货物从 A 处运往 B 处,经陆路 AD 与水路 DB.已知 AC=10 公里, BC=30 公里,又陆路单位距离的运费是水路运费的 两倍, 为使运费最少, D 点应选在距离 C 点多远处?

9.若奇函数 f(x)在定义域(-1,1)上是减函数 ⑴求满足 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0的集合M ⑵对⑴中的 a,求函数 F ( x) ? loga ?1 ?? ? x
?1? ?a?
2

?x

?的定义域。

10.已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比。当该机以 a 公里/小时的速 度飞行时,其耗油费用为 m 元(油的价格为定值) 。又设此机每飞行 1 小时,除耗油费用外 的其他费用为 n 元。试求此机飞行 l 公里时的最经济时速及总费用。

含参不等式的解法参考答案
典题探究
例 1 【解析】 :我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为:

m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,; 令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 ,
2 ? f (?2) ? 0 ? ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 即? ,所以 x 的范围 f (m) ? 0 恒成立,所以只需 ? 2 ? ? f (2) ? 0 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0

是 x?(

?1? 7 1? 3 , )。 2 2

例 2【解析】 :保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m,所以要讨论 m-1

是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0
2

,所以, m ? [1,9) 。

例 3【解析】 :由 f ( B) ? 4 sin B sin (

? B ? )?c os 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] 4 2

?m ? f ( B) ? 2 恒 f ( B) ? (1,3] ,? | f ( B) ? m |? 2 恒成立,? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? ?m ? f ( B) ? 2
成立,? m ? (1,3]
例 4【解析】(1):由于函 a ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?

? 3? ), x ? ? ? [? , ] ,显然 4 4 4 4

函数有最大值 2 ,? a ?

2。

(2) :我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化,这 样使得 y ? sin x ? cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也满足条件,所以 a ?

2。

演练方阵
A 档(巩固专练) 1.【答案】C【解析】 :由 f(x)及 f(a)>1 可得:
? ?a ? ?1 ? 2 ? ?(a ? 1) ? 1



?? 1 ? a ? 1 或? ?2a ? 2 ? 1



?a ? 1 ? 或 ?1 ?a ?1?1 ?



解①得 a<-2,解②得-

1 <a<1,解③得 x∈ ? 2

∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-

1 ,1) 2

2.【解析】 :由已知 b>a2∵f(x),g(x)均为奇函数,∴f(x)<0 的解集是(-b,-a2),g(x)<0

b a2 的解集是(- ,? ).由 f(x)· g(x)>0 可得: 2 2
?a 2 ? x ? b ?? b ? x ? ?a 2 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 或? , 即? a 2 ? b 或? b a2 g ( x ) ? 0 g ( x ) ? 0 ? ? ?x? ? ?? ? x ? ? 2 ? 2 2 ? 2

∴x∈(a2,

b b )∪(- ,-a2) 2 2 b b )∪(- ,-a2) 2 2

答案:(a2,

3.【答案】 : [-2,2] 【解析】 :原方程可化为 cos2x-2cosx-a-1=0,令 t=cosx,得 t2-2t -a-1=0,原问题转化为方程 t2-2t-a-1=0 在[-1,1]上至少有一个实根.令 f(t)=t2-2t -a-1,对称轴 t=1,画图象分析可得 ?
? f (?1) ? 0 解得 a∈[-2,2]. ? f (1) ? 0

4. 【解析】 :分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? 题只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本 a

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?
2

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

5. 【解析】 : 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根 2a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,
即 2a ? 3a ,解集为 x | x ? 2a或x ? 3a

?

?

6.【解析】 :(1)∵-1≤sinθ≤1,1≤sinθ+2≤3,即当 x∈[-1,1]时,f(x)≤0,当 x∈[1,3] 时,f(x)≥0,∴当 x=1 时 f(x)=0.∴1+p+q=0,∴q=-(1+p) (2)f(x)=x2+px-(1+p),当 sinθ=-1 时 f(-1)≤0,∴1-p-1-p≤0,∴p≥0 (3)注意到 f(x)在 [1, 3] 上递增, ∴x=3 时 f(x)有最大值.即 9+3p+q=14, 9+3p-1-p=14, ∴p=3. 此时,f(x)=x2+3x-4,即求 x∈[-1,1]时 f(x)的最小值.又 f(x)=(x+ 此函数在[-1,1]上递增. ∴当 x=-1 时 f(x)有最小值 f(-1)=1-3-4=-6.
? 1? ? ? 7.【解析】 :(1)当 a>1 时,原不等式等价于不等式组 ? ?1 ? ? ? 1 ?0 x 1 ?a x

3 2 25 ) - ,显然 2 4

由此得 1-a>

1 1 .因为 1-a<0,所以 x<0,∴ <x<0. x 1? a
1 ?0 x 1 ?a x

? 1? ? ? (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于不等式组: ? ?1 ? ? ?

① ②

由 ①得 x>1 或 x<0,由②得 0 <x< 综上,当 a>1 时,不等式的解集是{x| {x|1<x<

1 1 ,∴1<x< . 1? a 1? a

1 <x<0 } ,当 0<a<1 时,不等式的解集为 1? a

1 }. 1? a

8.【解析】 :由已知得 0<a<1,由 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2),x∈(0,1 ] 恒成立.
2 ? ?3mx ? 1 ? 1 ? mx ? x 在 x∈(0,1 ] 恒成立. ?? 2 ? 1 ? mx ? x ? m ? 2 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? x 2 ? ?m( x ? 1) ? x ? 1

整理,当 x∈(0,1)时, ?

恒成立,

? 1 ? x2 m? ? 2 ? ? 2x ?2mx ? 1 ? x 即当 x∈(0,1 ] 时, ? 恒成立,且 x =1 时, 恒成立, ? 2 2 ? m ( x ? 1 ) ? x ? 1 ?m ? x ? 1 ? ? x ?1 ?

1 ? x2 1 ? x2 1 x 1 ? x2 恒成立 ? m<0. ? ? 在 x∈(0,1 ] 上为增函数,∴ ? 0 ,∴m< 2x 2x 2x 2 2x

又∵

x2 ?1 x2 ? 1 2 <-1. ? ( x ? 1) ? ? 2 ,在 x∈(0,1 ] 上是减函数,?∴ x ?1 x ?1 x ?1
2

? 1 ? x2 m? ? x ?1 ? 2 x 恒成立 ∴m> 恒成立 ? m>-1 当 x∈(0,1)时, ? ? m∈(-1,0)① 2 x ?1 ?m ? x ? 1 ? x ?1 ?
2 ? ?m ? 0 ?2mx ? 1 ? x 当 x=1 时, ? ,即是 ? ∴m<0 2 0 ? 1 ? m ( x ? 1 ) ? x ? 1 ? ?



∴①、 ②两式求交集 m∈(-1, 0) ,使 x∈(0, 1 ] 时, f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立, m 的取值范围是(-1,0)

9.【解析】 :如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义 ? 1 ? 2x ? a 4x ? 0 ,对 x ? (??,1) 恒 成立. ? a ? ?
1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) x ? (??.1) 恒成立。 4x

1 1 令 t ? 2? x , g (t ) ? ?(t ? t 2 ) 又 x ? (??.1) 则 t ? ( , ??) ? a ? g (t ) 对 t ? ( , ??) 恒 2 2 1 1 3 3 成立,又? g (t ) 在 t ? [ , ??) 上为减函数, g(t ) max ? g ( ) ? ? ,? a ? ? 。 2 2 4 4 10.方法一:解:原不等式 ? 4sinx+cos2x<-a+5 当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? -a+5>(4sinx+cos2x)max
设 f(x)=4sinx+cos2x 则 ∴ -a+5>3 ? a<2 方法二:题目中出现了 sinx 及 cos2x, 而 cos2x=1-2sin x,故若采用换元法把 sinx 换元成 t, 则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求解。 解:不等式 a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t ? [-1,1],
2 2

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2 x+4sinx+1=-2(sinx-1)2 +3 ? 3

? 不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? 2t2-4t+4-a>0,t ? [-1,1]恒成立。
设 f(t)= 2t -4t+4-a,显然 f(x)在[-1,1]内单调递减,f(t)min=f(1)=2-a,? 2-a>0? a<2
2

B 档(提升精练) 1.【答案】 :A【解析】 :由题意 f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0,且 f(a)>f(b),g(a)>g(b) ∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b) 而 g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)]

=2g(b)>0,∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 同理可证:f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 2.【答案】 :④【解析】 :①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式:|x-y|=|(x -2)-(y-2)|≤|(x-2)-(y-2)|≤|x-2|+|y-2|<ε+ε=2ε. 3.【答案】 :5 公里处解析:由已知 y1=

20 ;y2=0.8x(x 为仓库与车站距离)费用之和 x

y=y1+y2=0.8x+

20 20 ≥2 0.8 x ? =8 x x

当且仅当 0.8x=

20 即 x=5 时“=”成立 x

4.证明:(1)设 g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且 x>0. ∵x1<2<x2<4,∴(x1-2)(x2-2)<0,即 x1x2<2(x1+x2)-4,
于是得x0 ? ? b 1 b ?1 1 1 1 1 ? ? (? ? ) ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 2a 2 a a 2 2 2 1 1 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ? (2 ? 4) ? 2 ? ?1 2 2

(2)解:由方程 g(x)=ax2+(b-1)x+1=0 可知 x1· x2=

1 >0,所以 x1,x2 同号? a

1° 若 0<x1<2,则 x2-x1=2,∴x2=x1+2>2,∴g(2)<0,即 4a+2b-1<0 又(x2-x1)2=
(b ? 1) 2 a
2



?

4 ?4 a

∴2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 (∵a>0)代入①式得,2 (b ? 1) 2 ? 1 <3-2b②解②得 b< 2° 若-2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0 又 2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 ,代入③式得 2 (b ? 1) 2 ? 1 <2b-1 综上,当 0<x1<2 时,b< ③
7 . 4

1 4

④解④得 b>

1 7 ,当-2<x1<0 时,b> . 4 4

5.【解析】 :(1)由题意知某商品定价上涨 x 成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货 金 额 分 别 是 : p(1+
npz ? p(1 ?
2

x y ) 元 、 n(1 - ) 元 、 npz 10 10

元 , 因 而

1 5(1 ? a) y x 1 在 y=ax 的条件下, z= [-a [x- ] ) ? n(1 ? ),? z ? (10 ? x)(10 ? y) , 100 a 10 10 100

+100+

1 5(1 ? a) 25(1 ? a) 2 ].由于 ≤a<1,则 0< ≤10.要使售货金额最大,即使 z 值最大, a a 3
5(1 ? a) . a 1 2 (10+x)(10- x)>1,解得 0<x<5. 3 100

此时 x= (2)由 z=

6.(1)证明:令 m>0,n=0 得:f(m)=f(m)· f(0).∵f(m)≠0,∴f(0)=1 取 m=m,n=-m,(m<0),得 f(0)=f(m)f(-m) ∴f(m)=
1 ,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1 f (?m)

(2)证明:任取 x1,x2∈R,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1] =f(x1)-f(x2-x1)· f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)] , ∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数 f(x)在 R 上为单调减函数.
? ?x 2 ? y 2 ? 1 ? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) ? 得? (3)由 ? ,由题意此不等式组无解,数形结合得: ? ? f (ax ? y ? 2) ? 1 ? f (? ) ? ?ax ? y ? 2 ? 0

|2| a ?1
2

≥1,解得 a2≤3∴a∈[- 3 , 3 ]
2 x 2 ? bx ? c x ?1
2

7.(1)【解析】 :设 y=

,则(y-2)x2-bx+y-c=0

① ②

∵x∈R,∴①的判别式 Δ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0,即 4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0

由条件知,不等式②的解集是[1,3]∴1,3 是方程 4y2-4(2+c)y+8c+b2=0 的两根
?1 ? 3 ? 2 ? c ? ? 8c ? b 2 ∴c=2,b=-2,b=2(舍) ?1 ? 3 ? 4 ?

(2)任取 x1,x2∈[-1,1] ,且 x2>x1,则 x2-x1>0,且 (x2-x1)(1-x1x2)>0,∴f(x2)-f(x1)=-
2x2 1 ? x2
2

? (?

2x 1 ? x1
2

)?

2( x 2 ? x1 )(1 ? x1 x 2 ) (1 ? x1 2 )(1 ? x 2 2 )

>0,

∴f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即 F(x2)>F(x1)∴F(x)为增函数.
(3)记u ?| t ? 1 1 1 1 1 1 1 | ? | t ? |, | u |?| (t ? ) ? (t ? ) |? , 即- ≤u≤ ,根据 F(x)的单调性知 6 6 6 6 3 3 3

7 1 1 13 1 1 F(- )≤F(u)≤F( ),∴lg ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 对任意实数 t 成立. 5 6 6 3 3 5
8【解析】 :原不等式可化为

(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问

题等价于 f(p)>0 在 p∈[-2,2]上恒成立,故有:
y y

-2

2

x

-2

o 2

x

?x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 方法一: ? 或? ∴x<-1 或 x>3. ? f (2) ? 0 ? f (?2) ? 0
2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 方法二: ? 即? 2 解得: ? ? ? f (2) ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ?x ? 1 ? 0

∴x<-1 或 x>3.
9【解析】 :? f ( x) 是增函数? f (1 ? ax ? x
2

) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立

? 1 ? ax ? x2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立
? x 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 对 于 任 意 x ? [0,1] 恒 成 立 , 令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a ,

x ? [0,1] , 所 以 原 问 题 ? g ( x)min

?????? , a? 0 ?g( 0 ) ? a ? ? 0 , 又 g ( x )m i n? ? g ? ( ) ?, ?2a ? 2 ? , a?? 2 ? ?2 ???????????

即 0

g ( x) min

?1 ? a,??????a ? 0 ? 2 ? a ? ?? ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ? 4 ? ?2,???????????a ? ?2

易求得 a ? 1 。

10【解析】原不等式变形为

p?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0 ,
2 2

现在考虑 p 的一次函数: f ? p? ? p?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ∴ f ? p ? ? 0 在 p ? ?? 2,2?上恒成立

f ?? 2? ? ?2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2



f ?2? ? 2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2

解得: x ? 8 或 0 ? x ?

1 ∴ 2

x 的取值范围为 ? 0, ? ? ?8,???

? ?

1? 2?

C 档(跨越导练)
1.【答案】C【解析】 :? a ? b ? 1

? 0 ? a ? 1, 0 ? b ?1 ?y ? z ? x

? loga b ? loga a ? 1

? x ? 1,y ?

lg ab 1 ? ?1,z ? ? ? ?1 a?b loga b lg ab

2.【答案】B【解析】 :由 x 2 ? y 2 ? 4 ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 0 ? ?2 ? y ? 2 .

由 u ? x 2 ? 8 y ? 5 ? (4 ? y 2 ) ? 8 y ? 5 ? ?( y 2 ? 8 y) ?1 ? 15 ? ( y ? 4) 2·u' ? ( y ? 4) 2 在[-2,2]上单调递减,∴当 y=2 时, u max ? 15 ? (2 ? 4) 2 ? 11. 选 B. (利用圆的参数方程也可很快求解)
3.【答案】B【解析】 : cos2 ? ? cos2 ? ? 2 ? sin2 ? ? sin2 ? ,而 ? sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 2 sin? ,

故 cos2 ? ? cos2 ? ? 2 ? sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 2 sin? ? 2 ? (sin? ?1) 2 ? 1 . 又∵ 2 sin2 ? ? 2 sin? ? ? sin2 ? ? 0 ,∴ 0 ? sin ? ? 1 ,∴ 1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 。选 B.
4.【答案】 B 【解析】解一:设 an an?1 ? (a1a2 )q n?1 ,不等式可化为

(a1a2 )q n?1 ? (a1a2 )q n ? (a1a2 )q n?1.

∵ a n ? 0, q ? 0, ∴ q 2 ? q ? 1 ? 0. 0 ? q ?

1? 5 . 选 B. 2

q ? a1a2 q 2 · 解二:令 n=1,不等式变为 a1a2 ? a 2 a3 ? a3 a 4 , a1a2 ? a1a2 ·
2 ∵ a 1a 2 ? 0 ,∴ 1 ? q ? q ,解之 0 ? q ?

1? 5 . 2

5.【答案】A 6.【答案】C 7. 【解析】 提示: xy ? x 2 ?
1 1 1 1 1 xy ? xy ? x 2 ? 33 x 4 y 2 ? 33 ? 2 2 ? 3 ,当且仅当 xy ? x 2 即 2 2 4 4 2

y ? 2 x 时,上式等号成立,又 x 2 y ? 2 故此时 x ? 1, y ? 2

8.解:设 CD=x 公里,设水路运价每公里为 a 元,

则陆路运价为每公里 2a 元,运费
y ? 2a(( x 2 ? 100) ? x) ? a(30 ? x) (0≤x≤30)

令 z ? 2( x 2 ? 100) ? x , 则 z ? x ? 2 x 2 ? 100 , 平方得 3x -2zx+(400-z )=0
2 2

由 x∈R, 得△ =4z -4× 3(400-z )≥0 由 z≥0 解得 z≥ 10 3 ,当且仅当 x ? 因此当 x ?
10 3 时 z ? 10 3 3

2

2

10 3 10 3 时 y 有最小值,故当 CD ? 公里时,运费最少。 3 3

注:对于 z ? 2 x 2 ? 100 ? x ,也可以设 x=10tgθ(0≤θ<
2

? =去解。 2
2

9.【解析】 :⑴∵f(x)是奇函数,又 f(1-a)+f(1-a )<0,∴f(1-a)<f(a -1)

又? f ( x) 是减函数,∴1-a>a2-1 再由 x ? (?1,1)得 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? a ? 1 解得 M={a|0<a<1} ⑵为使 F(X)=loga[1-(
1 1 ? o ? a ? 1,? . ? 1, u ? ( ) a a 1 x 2 -x 1 2 1 2 ) ]有意义,必须 1 ? ( ) x ? x ? 0, 即( ) x ? x ? 1 a a a
x2 ? x

是增函数

? x 2 ? x ? 0, 解得 0<x<1,F(x)的定义域为{x|0<x<1}
10.解:设最经济的时速为 x 公里/小时;依题意,设 1 小时耗油费用为 y1(元) ,

由已知,耗油量与其速度的立方成正比,则耗油费用也与速度的立方成正比, 因此可设 y1 ? kx 3 ;又由已知,当 x ? a时,y1 ? m ,代入上式可求出 k ? 由题意,飞行 1 小时的总费用为 设飞行 l 公里的总费用为 y,则
? mx3 ? l ? mx2 n ? ? mx2 n n ? 3l mn2 y ? ? 3 ? n? · ? l? 3 ? ? ? l? 3 ? ? ?? 3 ? a ? x ? a ? x? 2x 2x ? 4 ? ? ? ? ? a ? a
mx2 a
3

m a3

∴ y1 ?

mx3 a3

mx 3 a3

?n

当且仅当

?

n n 3l mn2 ,即x ? a 3 时, y min ? 3 2x 2m a 4
3l mn2 n 公里/小时,总费用为 3 元。 2m a 4

答:最经济的时速为 a 3


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