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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 常见的新定义数列问题拓展资料素材 北师大版必修5


常见的新定义数列问题
近年高考中,常常出现新定义数列的考题.题目常常给出一种新数列的定义,通过阅读 与理解题意,完成相关的问题.这是一类创新题型,需要对已经学过的数列知识理解彻透, 并学会灵活运用这些知识去解决相关问题. 一、等和数列 【例1】 (2004·北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和 都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5 ,那么 a18 的值为 个数列的前 21 项和 S21 的值为 . ,且这

【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨.设 ?an ? 是等和数列,公和为 m ,则由等和数列的
m ? a1 , a1 , m ? a1 , ,即 定义知,数列 ?an ? 的各项依次为 a1 ,

?a , n 为奇数; an ? ? 1 n 为偶数. ?m ? a1 ,

? ? n ?1? n 为奇数; a ? ?m, ? ? 1 ? 2 ? ? Sn ? ? mn ? n 为偶数. , ? ? 2

【解析】 因为 a1 ? 2 ,公和为 m ? 5 ,所以 a18 ? 5 ? 2 ? 3 , S21 ? 2 ? 二、等积数列

21 ? 1 ? 5 ? 52 . 2

【例2】 (2005·保定市高考模拟)在一个数列中,若每一项与它的后一项的积都为同一个 常数 (有限数列的最后一项除外) , 则称该数列为等积数列, 其中的常数称为公积. 若 数列 ?an ? 是等积数列,且 a10 ? 2 ,公积为 6 ,则 a1 ? a5 ? a9 ? A. 2502 B. 2501 C. 3502
? a2005 ? (



D. 3501

【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨. 设 ?an ? 是等积数列,公积为 m ,则由等积数列的定义知,数列 ?an ? 的各项依次为
? a1 , n 为奇数; m m ? a1 , ,a1 , , , 即 an ? ? m a1 a1 ? a , n 为偶数. ? 1

【解析】 由 2005 ? 1 ? ? n ? 1? ? 4 可得: n ? 501 ,又因为 a10 ? 2 ,公积为 6 ,所以 a1 ? 3 ,
a1 ? a5 ? a9 ? ? a2005 ? 3502 ,故选 C.

三、等方比数列

-1-

【例3】 (2007·湖北)若数列 ?an ? 满足 方比数列”.

2 an ?1 ? p, ( p 为正常数, n ? N* ) ,则称 ?an ? 为“等 2 an

甲:数列 ?an ? 是等方比数列;乙:数列 ?an ? 是等比数列,则( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 由等比数列的定义数列,若乙:?an ? 是等比数列,公比为 q ,即 则甲命题成立;反之,若甲:数列 ?an ? 是等方比数列,即 数列 ?an ? 公比不一定为 q ,则命题乙不成立,故选 B. 四、绝对差数列



an?1 a 2?1 ? q ? n2 ? q2 , an an

2 an a ?1 ? q 2 ? n?1 ? ? q ,即 2 an an

a2 是正整数,且 an ? an?1 ? an?2 , 【例4】 (2006·北京)在数列 ?an ? 中,若 a1 ,
n ? 3, 4, 5 , ,则称 ?an ? 为“绝对差数列”.

⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前 10 项) ; ⑵若“绝对差数列” ?an ? 中 a20 ? 3 , a21 ? 0 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 ,
n ? 1,2 , 3 , ,分别判断当 n ?? 时, a n 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求

出其极限值; ⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义. 【解析】 ⑴ a1 ? 3 ,a2 ? 1 ,a3 ? 2 ,a4 ? 1 ,a5 ? 1 ,a6 ? 0 ,a7 ? 1 ,a8 ? 1 ,a9 ? 0 ,a10 ? 1 . (答 案不唯一) ; ⑵在“绝对差数列” ?an ? 中,因为 a20 ? 3 , a21 ? 0 ,所以自第 20 项开始, a20 ? 3 ,
a21 ? 0 , a22 ? 3 , a24 ? 0 , a25 ? 3 ,?,即每个相邻的项周期地取值 3 , 0 , 3 ,

所以当 n ?? 时, a n 的极限不存在,而当 n ≥ 20 时, bn ? an ? an?1 ? an?2 ? 6 ,所 以 lim bn ? 6 .
x??

⑶证明 根据定义,数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.证明如下: 假设 ?an ? 中没有零项,由于 an ? an?1 ? an?2 ,所以对任意的 n ,都有 an ≥1 ,从而 当 an?1 ? an?2 时, an ? an?1 ? an?2 ≤ an?1 ? 1? n ≥ 3? ,当 an?1 ? an?2 时,
n

? an?2 ? an?1 ≤ an?2 ? 1? n ≥ 3? , 即 a n 的值要么比 an?1 至少小 1 , 要么比 an? 2 至少小 1 ;

-2-

?a2n?1 ,a2 n?1 ? a2 n ? 1, 2, 3 , , 则 0 ? Cn ? Cn?1 ? 1? n ? 2 , 令 Cn ? ? 3, 4, ?a2n ,a2n?1 ? a2 n

?

由于 C1 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在 Ck ? 0 ,这与
Cn ? 0 ? n ? 1, 2, 3 , ,? 矛盾.

所以 ?an ? 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an?1 ? A? A ? 0? ,则自第 n 项开始,第三个相邻 的项周期地取值 0 , A , A ,即 an?3k ? 0 , an?3k ?1 ? A , an?3k ?2 ? A ,
k ? 0, 1,2 , 3, .

所以“绝对差数列” ?an ? 中总含有无穷多个为零的项. 五、对称数列
a2 , , an ( n 是正整数) 【例5】 (2007·上海)若有穷数列 a1 , a 2 , a1 , ,满足 a1 ? an , a2 ? an?1 ,?, an ? a1 ,即 ai ? an ?i ?1 ( i 是正整数,且 1 ≤ i ≤ n ) ,就称该数列为“对

称数列”.
b2 , b3 , b4 成等差数列, ⑴已知数列 ?bn ? 是项数为 7 的对称数列,且 b1 ,

b1 ? 2 , b4 ? 11 ,试写出 ?bn ? 的每一项;
ck ?1 , , c2k ?1 构成首项为 50 , ⑵已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ≥1? 的对称数列,且 ck ,

公差为 ?4 的等差数列, 数列 ?cn ? 的前 2 k ? 1 项和为 S2k ?1 , 则当 k 为何值时,S2k ?1 取 到最大值?最大值为多少? ⑶对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2 m 的对称数列,使得
1, 2, 22 , , 2m?1 成为数列中的连续项;当 m ? 1500 时,试求其中一个数列的前
2008 项和 S2008 .

【解析】 ⑴设 ?bn ? 的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11 ,解得 d ? 3 ,
5, 8, 11, 8, 5, 2. 所以数列 ?bn ? 为 2 ,

⑵ S2k ?1 ? c1 ? c2 ?

? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ?

? c2k ?1

? 2 ? ck ? ck ?1 ?
2

? c2k ?1 ? ? ck ,

S2k ?1 ? ?4 ? k ? 13? ? 4 ?132 ? 50 ,
所以当 k ? 13 时, S2k ?1 取得最大值.
S2k ?1 的最大值为 626 .

⑶所有可能的“对称数列”是: ① 1, 2, 22 , , 2m?2 , 2m?1 , 2m?2 , , 22 , 2, 1;

-3-

② 1, 2, 22 , , 2m?2 , 2m?1 , 2m?1 , 2m?2 , , 22 , 2, 1; ③ 2m?1 , 2m?2 , , 22 , 2, 1, 2, 22 , , 2m?2 , 2m?1 ; ④ 2m?1 , 2m?2 , , 22 , 2, 1, 1, 2, 22 , , 2m?2 , 2m?1 . 对于①,当 m ≥ 2008 时, S2008 ? 1 ? 2 ? 22 ? 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S2008 ? 1 ? 2 ?
? 22007 ? 22008 ? 1 .

? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m?2 ?

? 22m?2009

? 2m ? 1 ? 2m?1 ? 22 m?2009 ? 2m ? 2m?1 ? 22 m?2009 ? 1 .

对于②,当 m ≥ 2008 时, S2008 ? 22008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S2008 ? 2m?1 ? 22m?2008 ? 1 . 对于③,当 m ≥ 2008 时, S2008 ? 2m ? 2m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S2008 ? 2m ? 22009?m ? 3 . 对于④,当 m ≥ 2008 时, S2008 ? 2m ? 2m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S2008 ? 2m ? 22008?m ? 2 . 六、一阶差分数列 【例6】 (2007·青岛质检)对于数列 ?an ? ,定义 ??an ? 为数列 ?an ? 的“一阶差分数列”,其 中 ?an ? an?1 ? an n ? N* .

?

?

5 13 ⑴若数列 ?an ? 的通项公式 an ? n2 ? n ? n ? N* ? ,求 ??an ? 的通项公式; 2 2
⑵若数列 ?an ? 的首项是 1 ,且 ?an ? an ? 2n ,
?a ? ①证明数列 ? n 为等差数列; n ? ?2 ?

②求 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
13 13 2 ?5 ? 5 【解析】 ⑴依题意 ?an ? an?1 ? an ,所以 ?an ? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n 2 ? n ? 5n ? 4 . 2 2 ?2 ? 2

⑵①因为 ?an ? an ? 2n ,所以 an?1 ? an ? an ? 2n ,即 an?1 ? 2an ? 2n , 所以

an?1 an 1 a 1 ? ? ,又因为 1 ? , 2n?1 2n 2 2 2

1 1 ?a ? 所以 ? n 是以 为首项, 为公差的等差数列; n ? 2 2 ?2 ?
②由①得:

an 1 1 n ? ? ? n ? 1? ? . 2n 2 2 2

n 所以 an ? ? 2n ? n ? 2n?1 . 2
所以 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?
? n ? 2n .
-4-

错位相减得: Sn ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 七、周期数列 【例7】 在数列 ?an ? 中,如果存在非零常数 T ,使得 an?T ? am 对任意正整数 m 均成立,那么 就称 ?an ? 为“周期数列”,其中 T 叫做数列 ?an ? 的周期.已知数列 ? xn ? 满足
a ? 0? ,当数列 ? xn ? 周期 xn?1 ? xn ? xn?1 ? n ≥ 2 , n ? N* ? ,如果 x1 ? 1 , x2 ? a ? a ≤1,

为 3 时,则该数列的前 2008 项的和为( A. 668 B. 669

) D. 1339

C. 1338

【解析】 由题知, x3 ? x2 ? x1 ? a ? 1 , x4 ? x3 ? x2 ? a ? 1 ? a ? x1 ? 1 , 所以 a ? 1 ? a ? 1 或 a ? 1 ? a ? 1, 因为 a ≤ 1 ,a ? 0 , 所以 a ? 1 , 即得:x1 ? 1,x2 ? 1,x3 ? 0 ,x4 ? 1,x5 ? 1,x6 ? 0 , , 即数列 ? xn ? 自第 1 项开始,每三个相邻的项周期地取值 1 , 1 , 0 . 而 2008 ? 3 ? 669 ? 1 , 所以 S2008 ? 2 ? 669 ? 1 ? 1339 ,选 D.

-5-


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