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高中数学3.2-3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修


3.2.2 函数模型的应用实例

【课标要求】
1.了解几种现实生活中普遍使用的函数模型. 2.能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题. 【核心扫描】 1.利用已知函数模型解决实际问题.(重点) 2.建立函数模型解决实际问题.(难点) 3.选择恰当的函数模型解决实际问题.(易错点)

新知导学

1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下 几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图:

2.数学模型

就 是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度
来反映或近似地反映实际问题,得出关于实际问题的 数学描述.

互动探究
探究点1 解决函数实际应用问题的关键是什么? 提示 关键是选择或建立恰当的函数模型.

探究点2 数据拟合时,得到的函数为什么要检验? 提示 因为根据已给的数据,作出散点图,根据散点图,一

般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型,但所估计的
函数有时可能误差较大或不切合客观实际,此时就要改选其 他函数模型.

类型一

二次函数模型的应用

【例1】 某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品,每年可 售出1 000吨.若该产品每吨的价格上涨x%,则每年的销售量 将减少mx%(m>0). 1 (1)当m= 时,求销售额的最大值; 2 (2)如果涨价能使销售额增加,求m的取值范围.
[思路探索] 先建立销售额与x的函数关系即函数模型,再利

用函数模型解决实际问题.

解 当价格上涨 x%,即价格为 1
? mx ? 000?1-100?吨,销售总额为 ? ?

? x ? 10?1+100?万元时,销售量为 ? ?

? x? y=?10+10?(1 ? ?
2

000-10mx)
? 100? 000?0<x< m ?. ? ?

=-mx +100(1-m)x+10

1 1 2 (1)当 m= 时,y=- x +50x+10 000 2 2 1 =- (x-50)2+11 250(0<x<200). 2 所以 x=50 时销售额最大,最大值为 11 250 万元.

(2)涨价能使销售额增加,也就是x>0时, y>10×1 000,即 -mx2+100(1-m)x>0,∴-mx+100(1-m)>0. 100?1-m? 又m>0,∴ >x>0,解得0<m<1. m 所以m的取值范围是(0,1).
[ 规律方法 ] (1) 第一小题关键在于建立 y关于 x的二次函数; (2) 第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义,从而得到关

于m的不等式.
(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型,根据实际问 题建立函数关系式后,可以利用配方法、换元法、单调性等方 法求其最值,从而解决实际问题中的最大、最小等问题.

【活学活用1】 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为0.5万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投 入)0.25万元,市场对此商品的年需求量为500台,销售收入(单 位:万元)函数为: 1 2 R(x)=5x- x (0≤x≤5),其中x是产品生产的数量(单位:百 2 台). (1)把利润表示为产量的函数; (2)年产量为多少时,企业所获得的利润最大?



(1)由题意,得总成本为0.5+0.25x,

1 2 从而利润为f(x)=5x- x -(0.5+0.25x) 2 1 2 =- x +4.75x-0.5 2 1 2 19 1 =- x + x- (0≤x≤5). 2 4 2 1 19 2 345 (2)f(x)=- (x- ) + , 2 4 32 19 345 当x= 时,f(x)有最大值 . 4 32 345 ∴年产量为475台时,利润最大为 万元. 32

类型二

分段函数模型的应用

【例2】 通过研究学生的学习行为,专家发现,学生注意力 随着老师讲课时间的变化而变化.设f(t)表示学生注意力随时 间t(分钟)的变化规律,其中f(t)越大,表明学生注意力越集 中.经过实验分析得知 ?-t2+24t+100,0<t≤10, ? f(t)=?240,10<t<20, ?-7t+380,20≤t≤45. ?

(1)讲课开始后 5分钟与 25分钟比较,何时学生的注意力更集

中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生注意力最集中?能持续多少分 钟? [ 思路探索 ] 由于 f(t)是关于 t 的分段函数,计算时应分清 f(t)

满足的关系式,分段求解,并加以比较,得出结论.



(1)f(5)=-52+24×5+100=195.

f(25)=-7×25+380=205. ∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中. (2)当0<t≤10时,f(t)=-(t-12)2+244, 此时,当t=10时,f(t)max=240; 当10<t<20时,f(t)=240; 当20≤t≤45时,f(t)max=f(20)=240. ∴讲课开始后10分钟到20分钟,学生注意力最集中,能持续 10分钟.

[规律方法]

(1)对于分段函数,一定要注意对各个定义区间

内的表达式进行分析,特别是区间的端点,以保证在各区间
端点“不重不漏”. (2)求解分段函数问题,必须分段处理,注意在有限制条件的 前提下,如何进行分类讨论解决问题.

【活学活用2】 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用
水超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分 每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户 该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数;

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户
该月用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过 4吨时,即 5x≤4,乙的用水量也

不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x; 当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨, 即3x≤4,且5x>4时,

y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4吨,即3x>4时, y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)] =24x-9.6. 4 ? ?14.4x,0≤x≤ , 5 ? ? 4 4 所以y=?20.4x-4.8,5<x≤3, ? ? 4 24x-9.6,x> . ? 3 ?

(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增,
? ?4? 4? 当x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? ?4 4? ?4? 当x∈?5,3?时,y≤f?3?<26.4; ? ? ? ? ?4 ? 当x∈?3,+∞?时, ? ?

令24x-9.6=26.4,解得x=1.5. 所以甲户用水量为5x=7.5吨, 付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨, 付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

类型三

数据拟合型函数的应用问题

【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐
月投资金额与所获纯利润列成下表: 投资A种商品 金额(万元) 1 2 1.39 2 0.59 3 1.85 3 0.88 4 2 4 1.20 5 1.84 5 1.51 6 1.40 6 1.79

获纯利润(万元) 0.65 投资B种商品 金额(万元) 1

获纯利润(万元) 0.30

该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知

A,B两种商品各投入多少万元才合算.请你帮助制定一个
资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并按你的 方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留 两位有效数字).

[思路探索]

先作出散点图,根据散点图设出拟合函数,然

后检验判定,选择恰当拟合函数解决问题. 解 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标

系中画出散点图,如下图所示.

观察散点图可以看出, A种商品所获纯利润 y与投资额 x之间

的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.
取 (4,2) 为最高点,则 y= a(x- 4)2+ 2(a≠0) ,再把点 (1,0.65) 代 入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15, 所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润 y与投资额x 之间的变化规律是线性的,

可以用一次函数模型进行模拟.
设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.30)和(4,1.20)代入,
? ?0.30=k+b, 得? ? ?1.2=4k+b, ? ?k=0.3, 解得? ? ?b=0.

所以y=0.3x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为 x万元,(12-x) 万元,总利润为W万元, 那么W=yA+yB=-0.15(x-4)2+2+0.3(12-x), 所以W=-0.15(x-3)2+0.15×9+3.2. 当x=3时,W取最大值,约为4.55万元, 此时B商品的投资为9万元.

故该经营者下个月把 12万元中的 3万元投资 A种商品,9万元
投资B种商品,可获得最大利润,约为4.55万元.

[规律方法]

解此类实际应用问题,关键是建立适当的函数

关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义
作出回答.这个过程就是先拟合函数,再利用函数解题.

【活学活用3】 某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场
调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间t 50 110 250

种植成本Q

150

108

150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种 植成本Q与上市时间t的变化关系:

Q=at+b;Q=at2+bt+c;Q=a·bt;Q=a·logb t.
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市时间

及最低种植成本.



(1)由提供的数据知道, 描述西红柿种植成本 Q 与上市时间

t 的变化关系的函数不可能是常数函数, 从而用函数 Q=at+b, Q=a· bt,Q=a· logb t 中的任意一个进行描述时都应有 a≠0,而 上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合. 所以,选取二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述. 将表格所提供的三组数据分别代入 Q=at2+bt+c,得 ?150=2 500a+50b+c, ? ?108=12 100a+110b+c, ?150=62 500a+250b+c. ?

1 3 425 解之得a= ,b=- ,c= . 200 2 2 所以,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数 1 2 3 425 为Q= t - t+ . 200 2 2 3 - 2 (2)当t=- ? 1 ? =150时,西红柿种植成本最低,最低为Q 2×?200? ? ? 1 3 425 2 = · 150 - · 150+ =100(元/102 kg). 200 2 2

易错辨析

解决图表信息问题没能理解题意致错

【示例】 如图所示,圆弧型声波DFE 从坐标原点O点外传播.若D是DFE与 x轴的交点,设OD=x(0≤x≤a),圆弧 型声波DFE在传播过程中扫过平行四边 形OABC的面积为y(图中阴影部分 ),则函数y=f(x)的图象大 致是

(

).

[错解]

观察题图可知,声波扫过的面积先增大后减少,选

项B符合题意,满足图象要求.
[错因分析] 本题的错误很明显,y指的是声波扫过的总面

积,不是发展趋势,所以扫过的面积始终是增大的,上述判 断是因主观性太强而致错.

[正解]

从题目所给的背景图形中不难发现:在声波未传到

C 点之前,扫过图形的面积不断增大,而且增长得越来越
快.当到达C点之后且离开A点之前,因为OA∥BC,所以此 时扫过图形的面积呈匀速增长.当离开 A点之后,扫过图形 的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应是下凹的, 然后是一条上升的线段,最后是上凸的.故选A.

答案

A

[防范措施]

(1)注意细节变化,一些细节不能忽视,它往往

起提示作用,如图表下的“注”、“数字单位”等.函数图 象的凸凹变化规律:上凸函数图象若减,则从左到右减得越 来越快;若增,则从左到右增得越来越慢. (2)审清要求:图表题往往对答题有明确的要求,根据考题要 求进行回答,才能有的放矢.题目要求往往包括字数句数限 制、比较对象、变化情况等.

课堂达标 1.某公司市场营销人员的个人月收 入与其每月的销售量成一次函数

关系,如图所示,由图中给出的
信息可知,营销人员没有销售量 时的收入是 A.310元 解析 B.300元 C.390元 ( ).

D.280元

由图象知,该一次函数过 (1,800) , (2,1 300) ,可

求得解析式y=500x+300(x≥0),当x=0时,y=300. 答案 B

2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得 沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则 沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是 ( A.y=0.2x 2x C.y= 10 1 2 B.y= (x +2x) 10 D.y=0.2+log16x ).

解析 当x=1时,否定B;当x=2时,否定D;当x=3时, 否定A,检验C项较为近似. 答案 C

3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算 公式为: ?4x,1≤x≤10,x∈N, ? y= ?2x+10,10≤x<100,x∈N, ?1.5x,x≥100,x∈N, ?

其中,x代表拟录用

人数,y代表面试人数,若应聘的面试人数为60人,则该公 司拟录用人数为________人. 解析 若4x=60,则x=15>10舍,

若2x+10=60,则x=25满足题意.若1.5x=60, 则x=40<100,不合题意.因此,公司拟录用25人. 答案 25

4.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,

甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对
应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好. 解析 图象法,即指出已知的三个点的坐标并画出两个 甲

函数的图象,比较发现选甲更好. 答案

5.(2013· 长沙高一检测)2012年我国人均国民生产总值约为a美 元,若按年平均增长率8%的速度增长. (1)计算2014年我国人均国民生产总值; (2)经过多少年可达到翻一番?(lg1.08≈0.0334,lg 2≈0.301 0)



(1)设经过x年后,人均国民生产总值为y美元,

由题意y=a×(1+0.08)x. 所以,2014年我国的人均国民生产总值为y=a×(1+0.08)2 =1.166 4a(美元). lg 2 (2)由题意:1.08 ≥2?x≥ ≈9.012. lg 1.08
x

故经过10年可达到翻一番.

课堂小结
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决实际问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.

2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注
意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用 估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求. 3.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语 言,如引入字母,列表,画图等使实际问题数学符号化.



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