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含参数的一元二次不等式的解法


含参数的一元二次不等式的解法
基础知识: 2 2 1.一元二次不等式的形式: ax ? bx ? c ? 0 与 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0) 2. 只考虑 a ? 0 的情形。当 a<0 时,将不等式两边乘-1 就化成 了“a>0”。 3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系:从函数的观点来考虑。 2 2 2 设二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)的图象是抛物线 L,则不等式 ax +bx+c>0,ax +bx+c<0 的解集分别是 2 抛物线 L 在 x 轴上方,在 x 轴下方的点的横坐标 x 的集合;二次方程 ax +bx+c=0 的根就是抛物线 L 与 x 轴 的公共点的横坐标。

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)的图象

ax2 ? bx ? c ? 0 的根 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

x1, 2 ?

?b? ? 2a
1 2

x1 ? x2 ? ?

b 2a

?
R
R

?x x ? x 或x ? x ? ?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ? x x ? R但x ? ? ? 2a ? ?

R
? b? ? x x= ? ? 2 a? ?

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

?x x
?x x

1

? x ? x2 ?
? x ? x2 ?

? ?

1

?

4.二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌 握,并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二 次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。 5.一元二次不等式的解法步骤。 2 2 1)化为一般式 ax +bx+c>0 (a>0)或 ax +bx+c<0 (a>0)。这步可简记为“使 a>0”。 2 2 2).计算△=b -4ac,判别与求根:解对应的二次方程 ax +bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0 时求出根。 3).写出解集:用区间或用大括号表示解集。 注意:1.解题策略:使 a 值为正,求得两根, “>”则两根之外; “<”则两根之内。 2.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 二次不等式的解集求法可用数轴标根。 △>0 +
x1

△≥0
x2

△<0

x1 ? x 2 x 注意:正反思维:不等式的解集区间端点值就是不等式相应方程的根; 知识应用 :一、不含参数的一元二次不等式的解法 二、关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法

-

+

x

x

1

(一) .二次项系数为常数 1.解关于 x 的不等式:x2-(m+2)x+2m<0。

2.解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0.

(二) .二次项系数含参数 3. 解关于 x 的不等式:mx2-(m+1)x+1<0。

4.解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

5.解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

练习 解不等式:mx 2-2x+1>0.

2

三.正反思维:已知一元二次不等式解集,求参数问题 思考 1:能否写出一个解集为(-2,1)的一元二次不等式?这样的不等式有几个?

思考 2:若不等式 2x2-ax+b>0 的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),求 a、b 值。

例.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} ,则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为
2 2



变式:1..若不等式 ax 2+5x+b>0 的解集为{x|
2

1 1 <x< },则 a、b 的值分别是__________. 3 2
2

2.已知 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 0 ? ? ? x ? ? } ,则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集是 四.一元二次不等式解集为 R 或 ? 问题 2 2 7.不等式(a -1)x -(a-1)x-1 <0 的解集为 R,求 a 的取值范围。

.

8.k 为何值时,关于 x 的不等式(k+1)x2-2x+(k+1)>0 的解集为 ? ?

探究训练: 1.已知不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1)
2

(1)若对于所有实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围? (2)若对于 m ? [?2,2] 不等式恒成立,求实数 x 的取值范围?

3

2..已知 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

3 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的 图 象 过 点 (?1, 0) , 问 是 否 存 在 常 数 a, b, c , 使 不 等 式 1 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2

4.已知不等式 kx2-2x+6k<0 (1)若不等式的解集是{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式的解集是全体实数集 R,求 k 的值

5.已知不等式① x ? 4 x ? 3 ? 0 ;② x ? 6 x ? 8 ? 0 ;③ 2 x ? 9 x ? m ? 0 ,要使同时满足①②的 x 也 满足③,则 m 的取值范围是_____________.
2 2 2

6. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ?
2

④ a ? b ? c ? 0 ;⑤ a ? b ? c ? 0 .其中正确的有__________________. 7.若 0≤x2+ax+5≤4 有且只有一解,则实数 a 的值为 . 8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立,求 a 的取值范围

1 , 2) , 对于 a, b, c 有以下结论: ①a ? 0; ②b ? 0; ③c ? 0; 2

4


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