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惠州市2016届高三第二次调研考试数 学(理科)


惠州市 2016 届高三第二次调研考试数

学(理科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
x (1)设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ,则 A ? B 等于(

?

?

)

(A)(1,2)

(B) (1,2]

(C) [1,2) )

(D) [1,2]

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (3)已知双曲线

1 ? i 所对应的点位于( 1? i
(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 )

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率等于( a 2 b2
(B) 2 (C) 5 (D) 6 )

(A) 3

(4)已知两个非零单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? ,则下列结论不正确 的是( ... (A) e1 在 e2 方向上的投影为 cos ? (C) e1 ? e2 ? e1 ? e2

?? ?? ?

??

?? ?

(B) e1 ? e2

?? 2

?? ?2

?

?? ?? ?

? ?

?? ?? ?

?
)

(D) e1 ? e2 ? 1

? ? ?? ?

3
4
主视图

(5)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示, 则该三棱锥的外接球表面积( (A) 29? (B) 30?

2
侧视图

(C)

29? 2

(D) 216? 俯视图

数学(理科)试题

第 1 页 (共 16 页)

(6)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机, 已知抽到的司机年龄都在 ? 20,45? 岁之间,根据调 查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方 图如右图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估 计该市出租车司机年龄的中位数大约是( (A) 31.6 岁 (C) 33.6 岁 (B) 32.6 岁 (D) 36.6 岁 )

( 7 )函数 f ? x? ? Asin?? x? ? ? (其中 A ? 0, ? ?

?
2

)的图像如图所示,为了得到

?? ? g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将 f ( x) 的图像( 2? ?
? 个长度单位 3 ? (C)向左平移 个长度单位 6
(A)向左平移 (B)向右平移

)

?

7?

? 个长度单位 3 ? (D)向右平移 个长度单位 6

x

x ?x (8)若函数 f ( x) ? k ? a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ??,?? ? 上既是奇函数又是增函数,

则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(

)

y

y

y

y

O 1

2

x

O 1 2
(B)

x

?1

O

2

x

?1

O
2
(D)

x

(A)

(C)

(9) 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数, 其中比 40000 大的偶数有( (A)144 个 (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

)

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 (10)已知变量 x, y 满足 ? ,则 的取值范围是( x?2 ? x? y?2?0 ?
(A) ? 2, ? 2
数学(理科)试题

)

? 5? ? ?

(B) ? , ? 4 2

?5 5? ? ?

(C) ? , ? 5 2

?4 5? ? ?

(D) ? , 2 ? 4

?5 ?

? ?

第 2 页 (共 16 页)

(11) 由等式 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ?b4 , 定义映射 f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 f (4,3,2,1) ? ( (A)0 (B)10 (C)15 (D)16 )

(12)如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在 ?ABC 中用 余弦定理解得 AC ? 8 ? 8cos108? ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得

A B E

AC ?

1 ? ,据此可得 cos 72 的值所在区间为( ? cos 72
(B) ? 0.2,0.3?

)

C

H

D

(A) ? 0.1,0.2 ?

(C) ? 0.3,0.4 ?

(D) ? 0.4,0.5?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 (14)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且 ?C ? 60? , c ? 3 ,则 .

a ? 2 3 cos A ? sin B

. .

(15)如图所示程序框图,输出的结果是

2 2 p 为常数,n ? 2 , n ? N ? ), (16) 若数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? p (

则称数列 {an } 为等方差数列, p 为公方差,已知正数等方差数 列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列, a1 ? a2 ,设集合

a ? 50?

? ? 1 1 1 ? ? A ? ?Tn Tn ? ? ?? ? ,1 ? n ? 100, n ? N ? ? ,取 A 的非空子集 a1 ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1 ? ? ? ?
B ,若 B 的元素都是整数,则 B 为“完美子集” ,那么集合 A 中的完美子集的个数
为 .

数学(理科)试题

第 3 页 (共 16 页)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1 是 a1 ? 1 与 a7 ? 1 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

(18) (本小题满分 12 分) 某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合 格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 芯片甲 芯片乙 [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100) 8 6

(Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片 乙,若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下,记 X 为 生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润, 求随机变量 X 的概率分布列和数学期 望值.

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ? BC , EA ? EB , AB ? 2CD ? 2 BC .
(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求二面角 C ? DE ? A 余弦值.
B C D

E

A

数学(理科)试题

第 4 页 (共 16 页)

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 离心率 e ? 的焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 S ? ? , 0 ? 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一 个定点 T , 使得无论 l 如何转动, 以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在, 求出点 T 的 坐标;若不存在,请说明理由.

1 2 2 , 且其中一个焦点与抛物线 y ? x 4 2

? 1 ? 3

? ?

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2ln x .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ? ①求实数 a 的值; ②若对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ( e 为自然对数的底数) ,

a 有相同极值点. x

?1 ? ?e ?

不等式

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1

数学(理科)试题

第 5 页 (共 16 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答 题时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

?ABC ? 90 , 如图, 在 ?ABC 中, 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , 点 D 是 BC
?

边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB .

A
E

O
M

B
(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

D

C

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ,以坐标原点 3 ? y? t ? ? 2
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

惠州市 2016 届高三第二次调研考试


数学(理科)试题

学(理科)答案与评分标准
第 6 页 (共 16 页)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。

题 1 号 答 B 案 A C D A C D C B 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1 B

1 2 A

1

C

x (1) 【解析】集合 A ? x | 2 ? 4 = ?x | x ? 2? ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? =

?

?

?x | x ? 1? ,

所以 A ? B =(1,2],故选 B.

1 1? i 1? i ?i ? ?i ? ,故选 A. 1? i 2 2 b (3) 【解析】由渐近线知 ? 2 ,则双曲线的离心率 e ? 1 ? 22 ? 5 ,故选 C. a ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? (4) 【解析】因为 e1 , e2 为单位向量,所以 e1 ? e2 ? cos e1 , e2 ? ? ?1,1? ,故选 D.
(2) 【解析】
2 2 2 (5) 【解析】把三棱锥补为长方体,则对角线为外接球直径,所以 ? 2 R ? ? 4 ? 3 ? 2 2

? 4 R 2 ? 29 ,所以外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 29? ,故选 A.
(6) 【解析】由面积和为 1,知 ? 25,30

? 的频率为 0.2 ,为保证中位数的左右两边面积都是

0.5 ,必须把 ?30,35? 的面积 0.35 划分为 0.25 ? 0.1 ,此时划分边界为

0.25 ? 33.57 ,故选 C. 0.35 T 7? ? 2? 7? ? ?T ?? , ? ? ? ? ? 2 , f ( ) ? ?1 (7) 【解析】由图像知 A ? 1 , ? 4 12 3 ? 12 7? 3? ? ? ? ? 2? ?? ? ? 2k? , ? ? ,得 ? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,为了 12 2 2 3 3 30 ? 5 ?
得到 g ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? sin(2 x) 的图像,所以只需将 f ( x) 的图象向右平移 2? 6

个长度单位即可,故选 D.
x ?x x (8) 【解析】 f ( x) ? ka ? a ? ka ?

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 ax 1 1 k ? 1 ,即 f ( x) ? a x ? x ,又函数 y ? a x , y ? ? x 在定义域上单调性相同,由函 a a
第 7 页 (共 16 页)

数是增函数可知 a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,故选 C.
数学(理科)试题

3 (9) 【解析】据题意,万位上只能排 4、5.若万位上排 4,则有 2 ? A4 个;若万位上排 5,

则有 3? A4 个.所以共有 2 ? A4 ?3? A4 ? 5 ? 24 ? 120 个,选 B.
3 3 3

(10) 【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如 图阴影部分所示,即 ?ABC 的边界及其内部,又 因为

x? y?3 y ?1 y ?1 ? 1? , 而 表示可行域内 x?2 x?2 x?2

一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ?1? 连线的斜率,由图可知

y ?1 ? k PC ,根据原不等式组解得 x?2 0 ?1 y ?1 2 ?1 1 y ?1 3 ? ? ? ? ? B ? 2,0? , C ? 0, 2? ,所以 2?2 x?2 0?2 4 x?2 2 5 x? y ?3 5 ? ? ? .故选 B . 4 x?2 2 (11) 【解析】由定义可知 x4 ? 4x3 ? 3x2 ? 2x ?1 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 k PB ?

?b3 ( x ? 1) ? b4 ,令 x ? 0 得, 1 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 1 ,所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ,
即 f (4,3, 2,1) ? 0 ,故选 A. ( 12 ) 【解析】因为 8 ? 8 cos108 ?
?

1 1 ? ,令 cos 72 ? t ,则 8 ? 8t ? ,所以 ? cos 72 t

8t 3 ? 8t 2 ? 1 ? 0 .令 f (t ) ? 8t 3 ? 8t 2 ?1 ,则当 t ? 0 时, f '(t ) ? 24t 2 ?16t ? 0 ,
所以 f (t ) ? 8t ? 8t ?1 在 ? 0, ??? 上单调递增.又因为 f ? 0.3) f (0.4? ? 0 ,所以
3 2

f (t ) ? 8t 3 ? 8t 2 ?1 在 ? 0.3,0.4? 上 有 唯 一 零 点 , 所 以 cos 72? 的 值 所 在 区 间 为

? 0.3,0.4? .故选 C .
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)

1 , 6

(14) 4 ,

(15) 4 ,

(16) 63

1 1 1 ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |10 ? . 2 3 6 a c ? ? 2 ,所以 a ? 2 sin A , (14) 【解析】由正弦定理 sin A sin C
(13) 【解析】 S ?

?

1

0

数学(理科)试题

第 8 页 (共 16 页)

代入得

2sin A ? 2 3 cos A sin( A ? 60?) ? 4? ? 4. sin B sin B

(15) 【解析】本程序框图中循环体为“直到型”循环结构, 第 1 次循环: S ? 0 ? 1 ? 1 , i ? 2 , a ? 1? 2 ? 1 ? 3 ? 50 ; 第 2 次循环: S ? 1 ? 3 ? 4 , i ? 3 , a ? 3 ? 3 ? 4 ? 13 ? 50 ; 第 3 次循环: S ? 4 ? 13 ? 17 , i ? 4 , a ? 13 ? 4 ? 17 ? 69 ? 50 ;结束循环, 输出 i ? 4 . (16) 【解析】根据等方差数列的即时定义得 an ? 2n ?1 ,Tn ?

an ?1 ? a1 2n ? 1 ? 1 , ? 2 2

* ? 2k ?1 ? ?1 ,由1 ? n ? 100 得 k 可取 1,2,3……6,即集 令 Tn ? k k ? N ,则 n ?

?

?

2

2

合 A 中有六个整数,于是 A 中的完美子集的个数为 26 ? 1 ? 63 个. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) ? a3 ? 1? ? ? a1 ? 1?? a7 ? 1? ,又 d=2,得 a1 =3,………………………2 分
2

? an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1,? ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1……5 分
(Ⅱ) bn ? a2n ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1

? 1 ………………………………………………6分

Sn = 22 ? 1 ? 23 ? 1 ? ?? ? 2n?1 ? 1 ? 22 ? 23 ? ?? ? 2n?1 ? n …………8 分
4(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 ……………………………………………11 分 1? 2

? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?2 ? n ? 4 …………………………………12分

(18) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为
数学(理科)试题

40 ? 32 ? 8 80 4 ? ,…………………1 分 = 100 100 5

第 9 页 (共 16 页)

芯片乙为合格品的概率约为

40 ? 29 ? 6 75 3 ? .…………………2 分 = 100 100 4

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 90, 45,30, ?15 ,…………………………4 分

P( X ? 90) ? P( X ? 30) ?

4 3 3 1 3 3 × = , P( X ? 45) ? × = , 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 × = , P( X ? ?15) ? × = ,……………8 分 5 4 5 5 4 20

所以随机变量 X 的概率分布列为

X
P

90

45

30

?15

3 5

3 20

1 5

1 20

……………………………10 分

3 3 1 1 E ( X ) ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
所以随机变量 X 的数学期望值为 66 .…………………………………12 分 (19) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)取 AB 中点 O ,连结 EO , DO .因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB .……1 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD .……2 分 又 EO ? DO ? O ,………………………………3 分
E

EO ? 面 EOD , DO ? 面 EOD ,……………4 分
所以 AB ? 平面 EOD ,又 ED ? 面 EOD ,
C

O
B D

A

所以 AB ? ED .………………………………5 分

(Ⅱ)因面 ABE ? 面 ABCD ,且 EO ? AB ,所以 EO ? 面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OD, OA, OE 两两垂直,建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .………………6 分 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OD ? OA ? OE ,设 OD ? a , 所以 C ? a, ?a,0? , D ? a,0,0? , E ? 0,0, a ? , A? 0, a,0? .

数学(理科)试题

第 10 页 (共 16 页)

所以 DC ? ? 0, ?a,0 ? , DE ? ? ?a,0, a ? , DA ? ? ?a, a,0 ? ,………………7 分 设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? .

????

????

??? ?

??

z
E

?? ???? ? ?n1 ? DC ? 0 ? ?a ? y1 ? 0 则 ? ?? ???? , ?? ? a ? x ? a ? z ? 0 n ? DE ? 0 ? 1 1 ? ? 1 ?? 所以可取 n1 ? ?1,0,1? ……………………8 分
设平面 ADE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? .

O
B C D

y
A

?? ?

x

?? ? ??? ? ?? ? ? n2 ? DA ? 0 ??a ? x2 ? a ? y2 ? 0 ? ?? 则 ? ?? ,所以可取 n2 ? ?1,1,1? ………………9 分 ? ???? ? ?n2 ? DE ? 0 ? ?a ? x2 ? a ? z2 ? 0
所以 cos n1 , n2 ?

?? ?? ?

1?1 6 ,………………………………………………11 分 ? 3 2? 3
6 .………12 分 3

由图可知二面角 C ? DE ? A 为钝角,所以二面角的余弦值为 ? (20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 c 2 解(Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? ,…1 分 , ? b a 2 a 2
又抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 ,………2 分 4

? 椭圆 C 的方程是 x 2 ?

y2 ? 1.……………………………………………3 分 2

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴, 则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

1? 3?

2

16 .………………………………………4 分 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 即两圆相切于点 ?1,0 ? .………………………5 分 1? 16 解得 ? 2 ? y ? 0. ?? x ? ? ? y ? , 3? 9 ??
数学(理科)试题 第 11 页 (共 16 页)

因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? .事实上,点 T ?1,0 ? 就是所求的点. 证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T ?1,0 ? .……………………………6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l : y ? k ? x ? ? .………………………………7 分

? ?

1? 3?

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? ? 2 2 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 .…………………8 分 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2
2 ? ? k2 ? x ?x ? 3 , ? ? 1 2 k2 ? 2 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . 1 2 ? k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA ? ? x1 ? 1, y1 ? , TB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,

…………………………………9 分

??? ??? ?TA ? TB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 …………………………………………………10 分
1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9
? 0, ………………………………………………………………………11 分
? TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0 ? .
故在坐标平面上存在一个定点 T ?1,0 ? 满足条件. ………………………………12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) f ? ? x ? ? ?2 x ?
数学(理科)试题

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 ?? ? x ? 0 ? ,…………………………1 分 x x
第 12 页 (共 16 页)

由?

? f ? ? x ? ? 0, ? f ? ? x ? ? 0, 得 0 ? x ? 1 ;由 ? 得 x ?1. x ? 0 ? x?0 ?

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数. ……………………2 分
? 函数 f ? x ? 的最大值为 f ?1? ? ?1.…………………………………………3 分
(Ⅱ)? g ? x ? ? x ?

a a ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

①由(1)知, x ? 1 是函数 f ? x ? 的极值点, 又? 函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?

a 有相同极值点, ? x ? 1 是函数 g ? x ? 的极值点, x

? g? ?1? ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .……………………………………………4 分
经验证,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,符合题意. ……5 分 ②? f ? ? ? ?

?1? ?e?

1 ? 2, f ?1? ? ?1, f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3 , e2
1 ?1? ? 2 ? ?1 ,即 f ? 3? ? f ? ? ? f ?1? . 2 e ?e?
………7 分

易知 ?9 ? 2 ln 3 ? ?

?1 ? ??x1 ? ? ,3? , f ? x1 ?min ? f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3, f ? x1 ?max ? f ?1? ? ?1 ?e ?
由①知 g ? x ? ? x ?

1 1 ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

当 x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1,3? 时, g? ? x ? ? 0 . 故 g ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1,3? 上为增函数.

?1 ? ?e ?

?1 ? ?e ?

1 1 10 ?1? ? g ? ? ? e ? , g ?1? ? 2, g ? 3? ? 3 ? ? , e 3 3 ?e?
而2? e?

1 10 ?1? ? ,? g ?1? ? g ? ? ? g ? 3? . e 3 ?e?
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数学(理科)试题

10 ?1 ? ??x2 ? ? ,3? , g ? x2 ?min ? g ?1? ? 2, g ? x2 ?max ? g ? 3? ? . …………………9 分 3 ?e ?
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 1? 当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ,不等式 ? 1 恒成立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ?1? ? g ?1? ? ?1? 2 ? ?3 ,
? k ? ?3 ? 1 ? ?2, 又? k ? 1,? k ? 1 . ……………………………………………10 分
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 2? 当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ,不等式 ? 1 恒成立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? 3? ? g ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3 ? ?k ? ?

10 37 ? ? ? 2 ln 3 , 3 3

34 34 ? 2 ln 3, 又 ? k ? 1,? k ? ? ? 2 ln 3 . ………………………………11 分 3 3

综上,所求实数 k 的取值范围为 ? ??, ? 22.(本小题满分 10 分)

? ?

34 ? ? 2ln 3? ? ?1, ?? ? .…………………12 分 3 ?
A E

解: (Ⅰ)连结 OE .∵点 D 是 BC 中点,点 O 是 AB 中点, ∴ OD // ?

1 AC ,∴ ?A ? ?BOD , ?AEO ? ?EOD . 2

O
M B D

∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO ,∴ ?BOD ? ?EOD . 在 ?EOD 和 ?BOD 中,∵ OE ? OB ,??EOD ? ?BOD ,
? ∴ ?OED ? ?OBD ? 90 ,即 OE ? ED .

C

∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线. ………………………………5 分 (Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB . ∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2 DB .
数学(理科)试题 第 14 页 (共 16 页)

∵ DE , DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE2 . ∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF , ∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF . ∵ DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线,
2 ∴ DE ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB ……………………10 分

23.(本小题满分 10 分)

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 解: (Ⅰ)将直线 l : ? 消去参数 t 得普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,?2 分 3 ? y? t ? ? 2
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .??4 分 y ? ? sin ? ?

化简得 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 ??4 分(注意解析式不进行此化简步骤也不扣分) 6?

(Ⅱ)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .??????????6 分 由?

? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ?????????8 分 ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 解得: ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .????????10 分 3 6

方法二:由 ?

? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ? ,???????????6 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ??????????8 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 6 ?
所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .??????10 分 3 6

数学(理科)试题

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24.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 1 ? 1 ? ? 1 ?x ? x?? ?? ? x ? ? 所以 ? ?????????3 分 2 或? 2 2 或? 2 ? ? ? ??4 x ? x ? 2 ? 2 ? x ? 2 ?4 x ? x ? 2
1 1 2 或 ? x ? ??????????????4 分 2 2 3 ? 2? 综上,不等式的解集为 ?0, ? .?????????????????5 分 ? 3?
解得 x ?? 或 0 ? x ? (Ⅱ) | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ,转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ,??????????????6 分

1 ? ? ?5 x ? a ? 3, x ? ? 2 ? 1 a ? h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? ,??????????????7 分 2 2 ? a ? ? 3 x ? a ? 1, x ? 2 ?
a ? 0 时, h( x ) min ?


a ? 1 ,?????????????????8 分 2

a ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ??????????????????10 分 2

数学(理科)试题

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