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2.1 函数的概念 第1 2课时


1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 整体设计 教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一 .在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶 段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、 反比例函数、 一次函数、 二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习 的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函 数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步 深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同 时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中 抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养 学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生 运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数 学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应 关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 函数的概念 导入新课 思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5 天后 圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距 离 y 随时间 t 是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度为 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2. 时间 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},h 的变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.则有对应 f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:106 km2)随时间 t(单位:年)从 1991~2001 年的变化情况.

图 1-2-1-1 根据图 1-2-1-1 中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面 积 S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应: f:t→S,t∈A,S∈B. ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高. 下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质 量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 恩格尔系数 y 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变化范围是数集 B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应: f:t→y,t∈A,y∈B. 以上三个对应有什么共同特点? (2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的? (4)函数有意义又指什么? (5)函数 f:A→B 的值域为 C,那么集合 B=C 吗? 活动: 让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解: (1)共同特点是:集合 A、 B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系 f:A→B 下,在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应. (2)一般地,设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 a<b,如下表所示: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,b] (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞) 数轴表示

(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.

(4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为 0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时, 那么还要满足实际取值等等. (5)C ? B. 应用示例 思路 1 1.已知函数 f(x)= x ? 3 + (1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f(

1 , x?2

2 )的值; 3

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 活动: (1)让学生回想函数的定义域指的是什么?函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范 围 , 故转化为求使

x?3和

1 有意义的自变量的取值范围 ; x ? 3 有意义 , 则 x+3≥0, x?2

1 有意义,则 x+2≠0,转化解由 x+3≥0 和 x+2≠0 组成的不等式组. x?2 2 2 (2)让学生回想 f(-3),f( )表示什么含义?f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函数值,f( )表示自 3 3 2 2 2 变量 x= 时对应的函数值.分别将-3, 代入函数的对应法则中得 f(-3),f( )的值. 3 3 3
(3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数值. 分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值. 解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 ? 即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)= - 3 ? 3 +

? x ? 3 ? 0, 解得-3≤x<-2 或 x>-2, ? x ? 2 ? 0.

1 =-1; ?3? 2

f(

2 2 1 3 33 ?3 ? )= = ? . 2 3 3 8 2 ?2 3

(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞), 即 f(a),f(a-1)有意义.

1 ; a?2 1 1 f(a-1)= a - 1 ? 3 ? = a?2? . a ?1? 2 a ?1
则 f(a)= a ? 3 + 点评: 本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范 围,通常转化为解不等式组. f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号 f(x)没有什么意义.符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如 f(x)=x2-x+5,当 x=2 时, 看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5;当 x 为某一代数式(或某一个函数

记 号 时 ), 则 左 右 两 边 的 所 有 x 都 用 同 一 个 代 数 式 ( 或 某 一 个 函 数 ) 来 代 替 . 如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f[g(x)]=[g(x)]2-g(x)+5 等等. 符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x 的乘积;符 号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数;当 m 是常 数时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量. 已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实 数集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练 1.求函数 y=

( x ? 1) 2 ? 1 ? x 的定义域. x ?1

答案:{x|x≤1,且 x≠-1}. 点评:本题容易错解:化简函数的解析式为 y=x+1 - 1 - x ,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原 因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数 的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式. 2.2007 山东滨州二模,理 1 若 f(x)= M∩N 等于( )

1 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 x

A.M B.N C. M D. N 分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M. 答案:A 3.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. 答案: [0,1] 思路 2 1.2007 湖北武昌第一次调研,文 14 已知函数 f(x)=

1 1 x2 ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( ) 2 3 2 1? x

+f(4)+f( 活动:

1 )=________. 4 1 )的值. a

观察所求式子的特点,引导学生探讨 f(a)+f(

12 22 解法一:原式= ? ? 1 ? 12 1 ? 2 2

1 1 1 ( )2 ( )2 ( )2 2 2 1 3 4 2 = + ? ? 3 ? ? 4 2 2 1 1 1 2 1? 3 1? 4 1 ? ( )2 1 ? ( )2 1? ( )2 2 3 4

4 1 9 1 16 1 7 ? ? ? ? ? = . 5 5 10 10 17 17 2

1 ( )2 1 x2 1 x x ? 解法二:由题意得 f(x)+f( )= = =1. ? 2 2 1 2 1? x x 1? x 1? x2 1? ( ) x 1 7 则原式= +1+1+1= . 2 2
2

点评:本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值时,相应地 f(x) 也是一个具体的函数值 . 本题没有求代数式中的各个函数值 , 而是看到代数式中含有 f(x)+f(

1 1 ),故先探讨 f(x)+f( )的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值 x x

时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特 ?找到规律再求解. 受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解 ,虽然可行,但是这样会浪费时间, 得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练 1.已知 a、b∈N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则 a=x,b=1(x∈N*), 则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x), 即有

f (2) f (3) f (2007 ) ? ??? =_________.分析:令 f (1) f (2) f (2006 )

f ( x ? 1) =2(x∈N*). f ( x)
2006

所以,原式= 2 ? 2 ? ? 2 =4012. ? ? ? ? ? 答案:4012 2.2007 山 东 蓬 莱 一 模 , 理 13 设 函 数 f(n)=k(k∈N*),k 是 π 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数 字,π=3.1415926535…,则 f ? f ? ? f (10 )?? 等于________.

?? ? ??? ?
100

分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…, 则有 f ? f ? ? f (10 )?? =1.

?? ? ??? ?
100

答案:1 2.2007 山东济宁二模,理 10 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这 样的函数 f(x)有( ) A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 活动: 学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不 同的函数,因此对 f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足 f(a)+f(b)+f(c)=0. 解:当 f(a)=-1 时, 则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个; 当 f(a)=0 时, 则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,

即此时满足条件的函数有 3 个; 当 f(a)=1 时, 则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个. 综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个). 故选 C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解 析式为 y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数. 令 x2=1,得 x=± 1;令 x2=4,得 x=± 2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有 9 个. 答案:A 知能训练 1.2007 学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理 16 已知函数 f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3, 则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) f 2 (5) ? f (10) =______ ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7) f (9)
. 解:∵f(p+q)=f(p)f(q), ∴f(x+x)=f(x)f(x),即 f2(x)=f(2x). 令 q=1,得 f(p+1)=f(p)f(1),∴

f ( p ? 1) =f(1)=3. f ( p)

∴原式=

2 f (2) 2 f (4) 2 f (6) 2 f (8) 2 f (10) ? ? ? ? =2(3+3+3+3+3)=30. f (1) f (3) f (5) f (7 ) f (9)
1 的定义域为 x

答案:30 2.2006 第 十 七 届 “ 希 望 杯 ” 全 国 数 学 邀 请 赛 ( 高 一 ) 第 一 试 ,2 若 f(x)=

A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为 B,那么( ) A.A∪B=B B.A B C.A ? B D.A∩B= ? 分析:由题意得 A={x|x≠0},B={x|x≠0,且 x≠-1}.则 A∪B=A,则 A 错;A∩B=B,则 D 错;由于 B?A, 则 C 错,B 正确. 答案:B 拓展提升 问题:已知函数 f(x)=x2+1,x∈R. (1)分别计算 f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明.

活动:让学生探求 f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解:(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-[(-1)2+1]=2-2=0; f(2)-f(-2)=(22+1)-[(-2)2+1]=5-5=0; f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0. (2)由(1)可发现结论:对任意 x∈R,有 f(x)=f(-x).证明如下: 由题意得 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x). ∴对任意 x∈R,总有 f(x)=f(-x). 课堂小结 本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解. 作业 课本 P24,习题 1.2A 组 1、5. 设计感想 本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么 会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求 法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习 .由于函数是高中数学的重点内容之一 ,也 是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.

第 2 课时 函数相等 复 习 1.函数的概念. 2.函数的定义域的求法. 导入新课 思路 1.当实数 a、b 的符号相同,绝对值相等时,实数 a=b;当集合 A、B 中元素完全相同时,集 合 A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢?引出课题:函数相等.

x2 思路 2.我们学习了函数的概念,y=x 与 y= 是同一个函数吗?这就是本节课学习的内容,引 x
出课题:函数相等. 推进新课 新知探究 提出问题 ①指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分? ②一个函数的构成要素有几部分? ③分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同. ④函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗?由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同, 值域相同吗? ⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识? 讨论结果:①函数 y=x+1 的构成要素为:定义域 R,对应关系 x→x+1,值域是 R. ②一个函数的构成要素为:定义域、 对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数 的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同. ③定义域和对应关系分别相同. ④值域相同. ⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数 的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 应用示例 思路 1 1.下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y=( x )2;(2)y= 3 x3 ;(3)y= x 2 ;(4)y=

x2 . x

活动: 让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简 形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 解:函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 x→x. (1)∵函数 y=( x )2 的定义域是[0,+∞), ∴函数 y=( x )2 与函数 y=x 的定义域 R 不相同. ∴函数 y=( x )2 与函数 y=x 不相等.

(2)∵函数 y= 3 x3 的定义域是 R, ∴函数 y= 3 x3 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= 3 x3 =x, ∴函数 y= 3 x3 与函数 y=x 的对应关系也相同. ∴函数 y= 3 x3 与函数 y=x 相等. (3)∵函数 y= x 2 的定义域是 R, ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= x 2 =|x|, ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 的对应关系不相同. ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 不相等. (4)∵函数 y=

x2 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), x

∴函数 y=

x2 与函数 y=x 的定义域 R 不相同, x

∴函数 y=( x )2 与函数 y=x 不相等. 点评: 本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两 个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再 化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数. 变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ①y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N; ②y= x 2 - 4 与 y= ③y=1+

x?2 · x ? 2 ;

1 1 与 u=1+ ; x x

④y=x2 与 y=x x 2 ; ⑤y=2|x|与 y= ?

?2 x, x ? 0, ?? 2 x, x ? 0;

⑥y=f(x)与 y=f(u).

是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可). 解:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. ①前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; ②前者的定义域是{x|x≥2 或 x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个 函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同,故是同 一个函数; ④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数; ⑤函数 y=2|x|= ?

?2 x, x ? 0, 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数; ?? 2 x, x ? 0,

⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数. 故填③⑤⑥. 思路 2 1.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1. (2)f(x)=x-1,g(x)= x 2 - 2x ? 1 . (3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2. (4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1. 活动:学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同 时,再判断它们的对应关系是否相同. 解:(1)∵f(x)=(x-1)0 的定义域是{x|x≠1},函数 g(x)=1 的定义域是 R, ∴函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 的定义域不同. ∴函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 不表示同一个函数.
2 (2)∵f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)= x 2 - 2x ? 1 = (x - 1) 的定义域是 R,

∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 的定义域相同.
2 又∵g(x)= x 2 - 2x ? 1 = (x - 1) =|x-1|,

∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 的对应关系不同. ∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 不表示同一个函数. (3)很明显 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 的定义域都是 R, 又∵f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 的对应关系不同, ∴函数 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 不表示同一个函数. (4)很明显 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的定义域都是 R, 又∵f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的对应关系也相同, ∴函数 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 表示同一个函数. 变式训练 1.2007 湖北黄冈模拟,理 13 已知函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b)且 f(2)=p,f(3)=q,则 f(36)=_______. 解:由题意得 f(36)=f(6× 6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2× 3)=2[f(2)+f(3)]=2p+2q.

答案:2p+2q 2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=2 的公共点共有( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.不确定 答案:C 2.设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的定义域,N 是函数 y=f(u) 的值域,当 M∩N≠ ? 时,则 y 成为 x 的函数,记为 y=f[g(x)].这个函数叫做由 y=f(u)及 u=g(x)复 合而成的复合函数,它的定义域为 M∩N,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层函数.指出 下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y=

1 1 1 ;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y= 2 ? -1. x ?1 x x 1 ,u=x+1, u

活动:让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么. 解:(1)设 y= 即 y=

1 1 的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1. x ?1 u

(2)设 y=u2,u=x2-2x+3, 即 y=(x2-2x+3)2 的外层函数是二次函数 y=u2,内层函数是二次函数 u=x2-2x+3. (3)设 y=u2+u-1,u= 即 y=

1 , x

1 1 1 ? -1 的外层函数是二次函数 y=u2+u-1,内层函数是反比例函数 u= . 2 x x x

点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二 次函数复合而成的 ,随着学习的深入 ,我们还会学习其他复合函数 .复合函数是高考重点考查 的内容之一,应引起我们的重视. 变式训练 1.2004 重庆高考,文 2 设 f(x)=

x2 ?1 f (2) ,则 =_______. 2 1 x ?1 f( ) 2

答案:-1 2.2006 安徽高考,理 15 函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= =. 分析:∵函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ∴f(1)=f(1+4)=f(5). 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5. ∴f[f(5)]=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)= 答案: ?

1 ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)] f ( x)

1 1 ,∴f(x+4)=f [(x+2)+1] = =f(x). f ( x) f ( x ? 2)

1 1 =? . 5 f (1)

1 5

知能训练 1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( ) A.① B.①③④ C.①②③

D.③④

图 1-2-1-2 答案:B 2.函数 y=f(x)的定义域是 R,值域是[1,2],则函数 y=f(2x-1)的值域是_______. 答案: [1,2] 3.下列各组函数是同一个函数的有________. ①f(x)= x3 ,g(x)=x x ;②f(x)=x0,g(x)= ③f(x)=

?2 ?2 ,g(u)= ;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u. u u

1 ; x0

答案:②③④ 拓展提升 问题:函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 有几个交点? 探究:设函数 y=f(x)定义域是 D, 当 m∈D 时,根据函数的定义知 f(m)唯一, 则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m 的点仅有一个(m,f(m)), 即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 仅有一个交点; 当 m?D 时,根据函数的定义知 f(m)不存在, 则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m 的点不存在, 即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 没有交点. 综上所得,函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 有交点时仅有一个,或没有交点. 课堂小结 (1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素; (2)学习了复合函数的概念; (3)判断两个函数是否是同一个函数. 作业 1.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域 的函数关系是( )

图 1-2-1-3 分析:A 中,当 0<x≤2 时,N 中没有元素与 x 对应,不能构成函数关系;C 中一个 x 有两个 y 与之

对应,所以不是函数关系;D 中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是 N. 答案:B 2.某公司生产某种产品的成本为 1000 元,以 1100 元的价格批发出去,随生产产品数量的增加, 公司收入_______,它们之间是关系________. 分析:由题意,多生产一单位产品则多收入 100 元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成 是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值 ,因变量都有唯一确定值与之对应 ,从而判断 两者是函数关系. 答案:增加 函数 3.函数 y=x2 与 S=t2 是同一函数吗? 答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此 y=x2 与 S=t2 表示的 是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的. 设计感想 本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申, 设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、拓展,不能急于求成,否则事倍功半.

备课资料 备选例题 【例 1】已知函数 f(x)=

1 ,则函数 f[f(x)]的定义域是. 1? x

解:∵f(x)=

1 1 ,∴x≠-1.∴f[f(x)]=f( )= 1? x 1? x

1 1 1? 1? x

.

∴1+

1 x?2 ≠0,即 ≠0.∴x≠-2. 1? x x ?1

∴f(x)的定义域为{x|x≠-2 且 x≠-1}. 答案:{x|x≠-2 且 x≠-1} 【例 2】已知函数 f(2x+3)的定义域是[-4,5),求函数 f(2x-3)的定义域. 解:由函数 f(2x+3)的定义域得函数 f(x)的定义域,从而求得函数 f(2x-3)的定义域.设 2x+3=t, 当 x∈[-4,5)时,有 t∈[-5,13),则函数 f(t)的定义域是[-5,13),解不等式-5≤2x-3<13,得-1≤x<8, 即函数 f(2x-3)的定义域是[-1,8). 函数的传统定义和近代定义的比较 函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的. 两个定义中的定义域和值域的意义完全相同;两个定义中的对应法则实际上也一样,只不过叙 述的出发点不同.传统定义是从运动变化的观点出发,其中对应法则是将自变量 x 的每一个取 值与唯一确定的函数值对应起来;近代定义则是从集合、对应的观点出发,其中的对应法则是 将原象集合中任一元素与象集合中的唯一元素确定对应起来. 至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因 ,从历史上看,函数的传统定义来源于物理公式 , 最初的函数概念几乎等同于解析式,要说清楚变量以及两个变量的依赖关系,往往先要弄清各 个变量的物理意义 ,这就使研究受到了不必要的限制 .后来,人们认识到了定义域和值域的重

x ? 0, ?1, ? x ? 0, 用集 要性,如果只根据变量的观点来解析,会显得十分勉强,如:符号函数 sgnx= ?0, ?? 1, x ? 0, ?
合与对应的观点来解释,就显得十分自然了,用传统定义几乎无法解释,于是就有了函数的近 代定义.由于传统的定义比较生动、直观,有时仍然会使用这一定义.


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