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山东省东营市2013年中考数学真题试题(解析版)


秘密★启用前

试卷类型:A

二 0 一三年东营市初中学生学业考试 数 学 试 题
(总分 120 分 考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,36 分;第Ⅱ卷为非选择题,84 分;全卷共 6 页. 2. 数学试题答案卡共 8 页.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在 答题卡上,考试结束,试题和答题卡一并收回. 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】 涂黑.如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用 0.5mm 签 字笔答在 答题卡的相应位置上. 4. 考试时,不允许使用科学计算器. 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把 正确的选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1.(2-3 二次根式·2013 东营中考) 16 的算术平方根是( A. )

?4

B.

4

C.

?2

D. 2

1.D.解析:因为 16 ? 4 ,所以 平方根为 2.

16 的算术平方根就是 4 的算术平方根,4 的算术

2.(2-1 整式·2013 东营中考)下列运算正确的是( A. a
3



? a2 ? a
6

B. a ? a ? a
2 3
3

6

C. (a ) = a

3 2

D. ?3a ? ? 9a
2

3

a 2.C.解析: a 与 a 不能合并同类项,故选项 A 错误. a ? ? a
3
2 3

2 ?3

? a5 ,所以选项 B 错

a 误. (3a) ? 3 ? ? 27a ,选项 D 错误.
3 3 3 3

3.(1-5 近似数、有效数字和科学记数法·2013 东营中考)国家卫生和计划生育委员会公 布 H7N9 禽流感病毒直径约为 0.0000001m,则病毒直径 0.0000001m 用科学记数法表示为( A. 0.10 ?10 m C. 1.0 ?10 m
?7 ?6 ?7

)(保留两位有效数字).

B. 1?10 m D. 0.1?10 m
?6

1

3.C.解析:把一个绝对值小于 1 的数表示成 a ?10 的形式,其中 a 的聚会范围是 1≤|a| <10,n 为正整数, 且等于第 1 个不为零的数字前面零的个数, 所以 0.0000001m≈ 1.0 ?10 m. 4.(7-2 平行线的性质与判定·2013 东营中考)如图,已知 AB∥CD,AD 和 BC 相交于点
?7

?n

O,∠A= 50? ,∠AOB= 105? ,则∠C 等于(
A.

) C.

20?

B. A

25?

B

35?

D. y

B?
O

45?
A B x

A?
O

C

D
(第 4 题图)

(第 5 题图)

4.B.解析:因为 ?A ? 50? , ?AOB ? 105? ,所以 ?B ? 180? ? ?A ? ?AOB ? 25? ,因为 AB∥CD,所以 ?C ? ?B ? 25? . 5.(10-3 平移与旋转·2013 东营中考)将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置,然后绕点

O 逆时针旋转 90?至 ?A?OB? 的位置,点 B 的横坐标为 2,则点 A? 的坐标为(
A.(1,1) B.( 2, 2 ) C.(-1,1) D.( ? 2, 2 )



5.C.解析:在 Rt ?AOB 中, OB ? 2 , ?AOB ? 45? , ?AOB ?

OA ,所以 OB

OA ? OB?cos ?AOB ? 2?

2 ? 2 ,所以 OA? ? 2 ,过 A? 作 A?C ? y 轴于点 C,在 2

Rt ?A?OC , ?A?OC ? 45? , OA? ? 2 , sin ?A?OC ?
A?C ? A?O sin ?A?OC ? 2 ?

A?C , A?O

2 ? 1 ,又因为⊙O ? A?C ? 1 ,且点 A? 在第二象限,所以点 2

A? 的坐标为(-1,1).
6. 5-&函数的综合与创新· ( 2013 东营中考) 若定义:f (a, b) ? (?a, b) , g (m, n) ? (m, ?n) , 例如 f (1, 2) ? (?1, 2) , g (?4, ?5) ? (?4,5) ,则 g ( f (2, ?3)) =( A. (2, ?3) B. (?2,3) C. (2,3) ) D. (?2, ?3)

6.B.解析:由题意得 f(2,3)=(-2,-3),所以 g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选 B. 7.(12-3 圆与圆的位置关系·2013 东营中考)已知 ⊙O1 的半径 r1 =2, ⊙O2 的半径 r2 是方

2



3 2 的根, ⊙O1 与 ⊙O2 的圆心距为 1,那么两圆的位置关系为( ? x x ?1
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切



A 3 2 7.D.解析:解方程 ? 得,x=3,经检验 x=3 是原方程的根,所以 x x ?1

D

r2 ? 3 ,因为 r2 ? r1 ? 1 ,所以两圆外切.
8.(12-4 圆的弧长与扇形面积·2013 东营中考)如图,正方形 ABCD 中,分别以 B、D 为圆心,以正方形 的边长 a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树 叶形图案的周长为( A. C. ) B. D. B C
(第 8 题图)

?a
1 ?a 2

2? a 3a

8.A. 解 析 : 由 题 意 得 , 树 叶 形 图 案 的 周 长 为 两 条 相 等 的 弧 长 , 所 以 其 周 长 为

l?

2?9 0 ?a ? ??a . 180

9.(6-6 概率的计算与实际应用·2013 东营中考)2013 年“五·一”期间,小明与小亮两 家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景 点,则两家抽到同一景点的概率是( A. ) C.

1 3

B.

1 6

1 9

D.

1 4

9.A.解析:小明与小亮抽签等可能的结果共有 9 种,分别是(东营港、东营港), (东营港、 黄河入海口),(东营港、龙悦湖),(黄河入海口、东营港),(黄河入海口、黄河入海 口),(黄河入海口、龙悦湖),(龙悦湖、东营港),(龙悦湖、黄河入海口),(龙悦 湖 、 龙 悦 湖 ) , 其 中 抽 到 同 一 景 点 的 有 三 种 , 所 以

P ?

3 1 1 x ? 4OH ? OD ? 5S?BCN ? MN ?10 ? 5MNS?BMN ? S?CMN 9 2 2 .

10. (9-2 图形的相似·2013 东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另 一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 C. 可以有 3 个 ) D. 有无数个

10.B.解析:当直角边为 6,8 时,且另一个与它相似的直角三角形 3,4 也为直角边时, x 的值为 5,当 8,4 为对应边且为直角三角形的斜边时,x 的值为 7 ,故 x 的值可以为 5

3

或 7 .两种情况。 11.(4-4 一元二次方程·2013 东营中考)要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两 队之间都赛一场),计划安排 21 场比赛,则参赛球队的个数是( A. 5个 B. 6 个 C. 7个 D. 8个 )

11.C.解析:设参赛球队有 x 个,由题意得 x(x-1)=21,解得, x1 ? 7, x2 ? ?6 (不合题意舍 去),故共有 7 个参赛球队. 12.(8-3 矩形、菱形、正方形·2013 东营中考)如图,E、F 分别是正方形 ABCD 的 边 CD、 上的点, CE=DF, 、 相交于点 O, AD 且 AE BF 下列结论: (1) =BF; AE (2) ⊥BF; AE O (3)AO=OE;(4) S?AOB ? S四边形DEOF 中正确的有( A. 4个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 C ) E A F D

B (第 12 题图) 12.B.解析: 在正方形 ABCD 中, 因为 CE=DF, 所以 AF=DE, 又因为 AB=AD, 所以 ?ABF ? ?DAE , 所以 AE=BF, ?AFB ? ?DEA , ?DAE ? ?ABF ,因为 ?DAE ? ?DEA ? 90? ,所以

?DAE ? ?ABF ? 90? ,即 ?AOF ? 90? ,所以 AE⊥BF,因为 S?AOB ? S?AOF ? S?AOF ? S
四边形 DEOF

,所以 S ?AOB ? S 四边形 DEOF,故(1),(2),(4)正确.

第Ⅱ卷(非选择题 共 84 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,共 20 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(2-2 因式分解·2013 东营中考)分解因式 2a - 8b =
2 2

.

13. 2 ? a ? 2b ?? a ? 2b ? .解析:先提取公因式 2,再利用平方差公式进行因式分解. 14.(6-2 平均数、众数、中位数·2013 东营中考)一组数据 1,3,2,5,2,a 的众数是

a,这组数据的中位数是

.

14. 2.解析:因为众数是 a,故由题意得 a=2,把这组数据按从小到大排列得:1,2,2,2, 3,5,故中位数是中间两个数的平均数,即

2?2 ?2 2

.点拨:求一组数据的中位数应先将所有数据按由小到大(或由大到小)排列。若数据个数 为奇数,则中间位置的数据是中位数;若数据个数为偶数,则处于中间位置的两个数据的平 均数是中位数。 15.(11-4 解直角三角形的实际应用·2013 东营中考)某校研究性学习小组测量学校旗杆

AB 的高度,如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60?,在教学楼三楼 D 处测得旗杆

4

顶部的仰角为 30?,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为 3 米,则 旗杆 AB 的高度为 米. 中, ?ACB ? tan

15. 9.解析: B 作 BE⊥CD 于点 E, 过 设旗杆 AB 的高度为 x, RA 在t B ? C 所以 AC?

AB , AC

AB x x 3 3 ? ? ? x , 在 R t? B DE , B E ? A C? 中 , x t a n?A C B t a n 6 0 3 ? 3 3
3 3

BE BE ? ,所以 DE ? ?BOE ? 60? , tan ?BDE ? tan ?BDE DE
所以 DC ? CE ? DE ? x ?

x 3

?

1 x ,因为 CE=AB=x, 3

1 x ? 6 ,所以 x=9,故旗杆的高度为 9 米. 3

16. (10-4 图形变换综合与创新·2013 东营中考)如图,圆柱形容器中,高为 1.2m,底面 周长为 1m, 在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子, 此时一只壁虎正好在容器外壁, .. .. 离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处, 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 .. 器厚度忽略不计). 16. 1.3.解析: 因为壁虎与蚊子在相对的位置, 则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上, 如图所示,要求壁虎捉蚊子的最短距离,实际上是求在 EF 上找一点 P,使 PA+PB 最短,过 A 作 EF 的对称点 A? ,连接 A?B ,则 A?B 与 EF 的交点就是所求的点 P,过 B 作 BM ? AA? 于 点 M,在 Rt?A?MB 中, A?M ? 1.2 , BM ? m (容

1 2 2 ,所以 A?B ? A?M ? BM ? 1.3 ,因为 2

A?B ? AP ? PB ,所以壁虎捉蚊子的最短距离为 1.3m.

16 题答案图

17.(5-7 函数的综合与创新·2013 东营中考)如图,已知直线 l:y=

3 x,过点 A(0,1) 3

作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线

5

交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2;??按此作法继续下去,则点 A2013 的坐标为 .

B A
30?

D

A2 l B A1 A O
(第 16 题图)

B1 B x

60?

A 17.

C (第 15 题图)
2013 4026

(第 17 题图)

? 0, 4 ? 或 ? 0, 2 ? (注:以上两答案任选一个都对)
y? 3 x 与 x 轴的正方向的夹角为 30°,所以 ?AOB ? 60? ,在 3

解析:因为直线

Rt? AOB中,因为 OA=1,所以 OB=2,Rt ?A1OB 中,所以 OA1 =4,即点 A1 的坐标为(0,4),
同理 OB1 =8,所在 Rt ?A2OB1 中, OA2 =16,即点 A2 的坐标为 (0, 4 )
2

依次类推,点 A2013 的坐标为 (0, 4

2013

) 或 (0, 24026 ) .

三、解答题:本大题共 7 小题,共 64 分 .解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 18. (本题满分 7 分,第⑴题 3 分,第⑵题 4 分) (1)(1-4 实数的比较与运算·2013 东营中考) 计算: ? 2 ? ? ?? ? 3.14 ?0 ? 2sin 60? ? 12 ? 1 ? 3 3 . ? ?
?3?
?1

(2)(2-5 代数式的化简与求值·2013 东营中考) 先化简再计算:
a2 - 1 a - 1 a ,再选取一个你喜欢的数代入求值. ? 2 a - 2a +1 a +1 a - 1

18.解析:(1) ( )

2 3

?1

?

1
2 3

?

3 3 0 , (? ? 3.14) ? 1 , sin 60? ? , 12 ? 2 3 . 2 2

(2)先做乘除法,再做加减法,然后代入求值. (1)解:

6

原式=

3 3 +1 ? 2 ? ? 2 3 ? 1? 3 3 2 2

?

?

=

3 +1 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 3 2
=

3 2

??????????3 分

(2)解: 原式=
?

a2 ?1 a ?1 a ? ? a ? 2a ? 1 a ? 1 a ? 1
2

? a ? 1?? a ? 1? ? a ? 1 ? a 2 a ?1 a ?1 ? a ? 1?
a a ?1

? 1? ?

1 ??????????6 分 1? a

选取任意一个不等于 ?1 的 a 的值,代入求值.如:当 a ? 0 时, 原式 ?

1 ? 1 ?????????????7 分 1? a

点拨:(1)分别根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数,再根据 实数混合运算的法则进行解答即可. (2)当分式的分子与分母是多项式时,应先分解因式,再约分. 19.(6-4 统计图(表)·2013 东营中考)(本题满分 8 分)东营市“创建文明城市”活动如 火如荼的展开.某中学为了搞好“创城”活动的宣传,校学生会就本校学生对东营“市情市 况”的了解程度进行了一次调 查测试.经过对测试成绩的分析,得到如下图所示的两幅不 完整的统计图(A:59 分及以下;B:60—69 分;C:70—79 分;D:80—89 分;E:90—100 分).请你根 据图中提供的信息解答以下问题: 人数 E A 10% B D 35% 400 350 300 250 200 150 100 50 A (第 19 题图) B C D E D E
成绩

C 30%

7

(1)求该校共有多少名学生; (2)将条形统计图补充完整; (3)在扇形统计图中,计算出“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数; (4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是多少? 19. (本题满分 8 分)解析:(1)由扇形统计图可以看出,C 种情况占总数的 30%,而且 C 种情况共有学生 300 人,故该校有学生 300÷30%=1000(人). (2)A、D 两种情况的学生数为 1000×10%=100(人),1000×35%=350(人). (3)B 种情况共有学生 1000-300-100-350-50=200(人),故 B 种情况在扇形统计图中所对 的圆心角为 360?? (

200 ?100%) ? 72? . 1000 50 1 . ? 1000 20

(4)由题意得该校共有 1000 名学生,而 E 种情况共有 50 名学生,所以任选一名学生抽得 E 种情况学生的概率为

解:(1)该学校的学生人数是: 300 ? 30% 1000 (人).?????????2 分 (2)条形统计图如图所示.?????????????????????4 分 (3)在扇形统计图中,“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数是:

200 360?? ( ?100%) ? 72? ?????????????????????6 分 1000
(4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是:

50 1 = ????????????????????????8 分 1000 20
人数

400 350 300 250 200 150 100 50 A B C D E 成绩 D (第 19 题答案图) E 点拨:制作扇形统计图时,扇形圆心角的度数等于该组百分比乘 360°.
8

20.(12-2 直线与圆的位置关系·2013 东营中考)(本题满分 8 分)如图, AB 为 ⊙O 的直 径,点 C 为 ⊙O 上一点,若 ? BAC

CAM ,过点 C 作直线 l 垂直于射线 AM,垂足为点 D.

(1)试判断 CD 与 ⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若直线 l 与 AB 的延长线相交于点 E , ⊙O 的半径为 3,并且 ?CAB ? 30° . 求 CE 的长. M D C

l

E

B

O

A

(第 20 题图)

20. (本题满分 8 分)解析:1) ( 连接 CO, 根据 ?OCA ? ?DAC , 证明 DC∥AD, 再根据 AD ? l , 得 OC ? CD ,从而证明 CD 是⊙O 的切线. (2)由题意得 ?COE ? 2?CAB ? 60? ,则在 Rt?COE 中,

CE ? OC ?tan 60? ? 3? 3 ? 3 3 .
(1)解:直线 CD 与⊙O 相切. ??????1 分 理由如下:连接 OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM ∴OC∥AM??????????3 分 ∵CD⊥AM ∴OC⊥CD ∴直线 CD 与 ⊙O 相切. ??????????5 分 (2)解: ∵ ?CAB ? 30° ∴∠COE=2∠CAB= 60? ∴在 Rt△COE 中,OC=3,CE=OC·tan 60? = 3 3 .??????????8 分
9 (第 20 题答案图)

M D C

l

E

B

O

A

点拨:要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时,只需连结圆心和这点,再证过已知点的半 径垂直于这条直线即可.

21. (5-4 反比例函数·2013 东营中考)(本题满分 9 分)如图,在平面 直角坐标系中,一次 函数 y = nx + 2(n

0) 的图象与反比例函数 y =

m (m x

0) 在第一象限内的图象交于点 A,
y A

4 与 x 轴交于点 B,线段 OA=5,C 为 x 轴正半轴上一点,且 sin∠AOC= . 5 B O (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.

C x

(第 21 题图)

21. (本题满分 9 分)解析: 过点 A 作 (1)

在 由 AD ? x 轴, Rt?AOD 中, sin ?AOC ?

4 , 5

OA=5,可得 AD=4,由勾股定理得 OD=3,故可得点 A 的坐标为(3,4),把(3,4)分别代 入 y ? nx ? 2 ,与 y ?

m 中可求得 m,n 的值. x 1 OB?AD . 2

(2) 根据直线 y ? nx ? 2 与 x 轴的交点可求点 B 的坐标, OB 可得, 故 所以 S?AOB ? 解:(1)过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,

AD 4 ∵sin∠AOC= = ,OA=5 AO 5
∴AD=4. B 由勾股定理得:DO=3, ∵点 A 在第一象限 ∴点 A 的坐标为(3,4)??????2 分 将 A 的坐标为(3,4)代入 y= ,得 4 =

y A

OD

C x

(第 21 题图)

m x

m ,∴m=12 3

∴该反比例函数的解析式为 y =

12 ??????4 分 x 2 3

将 A 的坐标为(3,4)代入 y = nx + 2 得: n =

∴一次函数的解析式是 y =

2 x + 2 ??????????6 分 3

10

(2)在 y =

2 2 x + 2 中,令 y=0,即 x+2=0,∴x= - 3 3 3

∴点 B 的坐标是 (- 3,0) ∴OB=3,又 DA=4 ∴ SDAOB =

1 OB? AD 2

1 创 4 = 6 ,所以△AOB 的面积为 6.???9 分 3 2

点拨:用待定系数法求函数解析式时,正确求出函数图象上点的坐标是解题的关键.

22. (3-3 列不等式(组)解应用题·2013 东营中考) (本题满分 10 分)在东营市中小学标 准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买 1 台电脑 和 2 台电子白板需要 3.5 万元,购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元. (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元? (2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共 30 台,总费用不超过 30 万元,但不低于 28 万元,请你通过计算求出有几种 购买方案,哪种方案费用最低. 22. (本题满分 10 分)解析:(1)设电脑、电子白板的价格分别为 x,y 元,根据等量关系: 1 台电脑+2 台电子白板凳 3.5 万元,2 台电脑+1 台电子白板凳 2.5 万元,列方程组即可. (2)设购进电脑 x 台,电子白板有(30-x)台,然后根据题目中的不等关系列不等式组解答. 解: (1)设每台电脑 x 万元,每台电子白板 y 万元,根据题意得:

? x ? 2 y ? 3.5, ??????????3 分 ? ? 2 x ? y ? 2.5
解得: ?

? x ? 0.5, ??????????4 分 ? y ? 1.5

答:每台电脑 0.5 万元,每台电子白板 1.5 万元. ??????????5 分 (2)设需购进电脑 a 台,则购进电子白板(30-a)台, 则?

?0.5a ? 1.5(30 ? a )≥28, ??????????6 分 ?0.5a ? 1.5(30 ? a )≤30
17 ,即 a=15,16,17.??????????7 分

解得: 15 # a

故共有三种方案: 方案一:购进电脑 15 台,电子白板 15 台.总费用为 0.5 ?15 ? 1.5 ?15 ? 30 万元; 方案二:购进电脑 16 台,电子白板 14 台.总费用为 0.5 ?16 ? 1.5 ?14 ? 29 万元;

11

方案三:购进电脑 17 台,电子白板 13 台.总费用为 0.5 ?17 ? 1.5 ?13 ? 28 万元; 所以,方案三费用最低. ??????????10 分 点拨: (1)列方程组或不等式组解应用题的关键是找出题目中存在的等量关系或不等关系。 (2)设计方案题一般是根据题意列出不等式组,求不等式组的整数解。

23. (9-3 全等与相似的综合与创新·2013 东营中考)(本题满分 10 分) (1)如图(1),已知: 在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥直线 m, CE⊥直线 m,垂足分别为 点 D、E.证明:DE=BD+CE. (2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三点都在直线 m 上,并且 有∠BDA=∠AEC=∠BAC= a ,其中 a 为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立, 请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3) 拓展与应用:如图(3),D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点(D、A、E 三点互 不重合),点 F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接 BD、CE, 若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF 的形状.

C B B

C B

F C

D

A
(图 1)

E

m

D

A
(图 2) (第 23 题图)

E

m

D

A
(图 3)

E

m

23. (本题满分 10 分)解析:(1)因为 DE=DA+AE,故通过证 ?BDA ? ?AEC ,得出 DA=EC, AE=BD,从而证得 DE=BD+CE. (2)成立,仍然通过证明 ?BDA ? ?AEC ,得出 BD=AE,AD=CE,所以 DE=DA+AE=EC+BD. (3)由 ?BDA ? ?AEC 得 BD=AE, ?BDA ? ?EAC , ?ABF 与 ?ACF 均等边三角形,得 ?FBA ? ?FAC ? 60? , FB=FA , 所 以 ?FBA ? ?DBA ? ?FAC ? ?EAC , 即 , ?F B D ? F, 所B ?B D F ? ? A E F 所 以 FD=FE , ?BFD ? ?AFE , 再 根 据 ? A 以 ?BFD ? ?DFA ? ?BFA ? 60? ,得 ?AFE ? ?DFA ? 60? ,即 ?DFE ? 60? ,故 ?DFE 是等边三角形. 证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直线 m ∴∠BDA=∠CEA=90° C B
12

D

A

E

m

∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD??????1 分 又 AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????2 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE ??????3 分 (2)∵∠BDA =∠BAC= ? , ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ? ∴∠DBA=∠CAE??????4 分 ∵∠BDA=∠AEC= ? ,AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????5 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE??????6 分 (3)由(2)知,△ADB≌△CEA, B C

D

A
(图 2)

E

m

BD=AE,∠ DBA =∠CAE
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF F ∴∠DBF=∠FAE??????8 分 ∵BF=AF ∴△DBF≌△EAF??????9 分 ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.??????10 分 C B O D A
(图 3)

E

m

点拨:利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.

13

24.5-6 与二次函数相关的综合题· ( 2013 东营中考) (本题满分 12 分) 已知抛物线 y=ax +bx+c 的顶点 A(2,0),与 y 轴的交点为

2

B(0,-1).
(1)求抛物线的解析式; (2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C,使以 BC 为直 径的圆经过抛物线的顶点 A.并求出 点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标. (3)在(2)的基础上,设直线 x=t(0<t<10)与抛物线交于点 N,当 t 为何值时,△BCN 的 y 面积最大,并求出最大值.
O B A

x

(第 24 题图)

24. (本题满分 12 分)解析:(1)已知抛物线的顶点坐标,可直接设抛物线的解析式为顶点 式进行求解. (2) C 点坐标为 设 (x,y) ,由题意可知 ?BAC ? 90 .过点 C 作 CD ? x 轴于点 D,连接 AB,AC.
0

易证 ?AOB ? ?CDA ,根据对应线段成比例得出 x, y 的关系式 y ? ?2 x ? 4 ,再根据点 C 在 抛物线上得 y ? ?

1 2 x ? x ? 1 ,联立两个关系式组成方程组,求出 x, y 的值,再根据点 C 所 4

在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点,取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位 线.可得 OH ?

1 OD ? 5 ,故点 H 的坐标为(5,0)再根据点 P 在 BC 上,可求出直线 BC 的 2 1 MN ?10 ? 5MN ,所以求 S ?BCN 的最大值 2

解析式,求出点 P 的坐标。 (3)根据 S?BCN ? S?BMN ? S?CMN ,得 S?BCN ?

就是求 MN 的最大值, M,N 两点的横坐标相同, 而 所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵 坐标,从而形成关于 MN 长的二次函数解析式,利用二次函数的最值求解。 解:(1) ∵抛物线的顶点是 A(2,0),设抛物线的解析式为 y = a( x - 2) . 由抛物线过 B(0,-1) 得 4a = - 1 ,∴ a = ∴抛物线的解析式为 y = 2

1 .????????2 分 4

1 ( x - 2)2 . 4

14

即 y =-

1 2 x + x - 1 .????????????3 分 4

(2)设 C 的坐标为(x,y). ∵A 在以 BC 为直径的圆上.∴∠BAC=90°. 作 CD⊥x 轴于 D ,连接 AB、AC. ∵ ?BAO ? ?DAC ? 90 , ?DAC ? ?DCA ? 90 ∴ ?BAO ? ?DCA
0 0

∴ △AOB∽△CDA.?????????4 分 ∴ ∴OB·CD=OA·AD. 即 1· y =2(x-2).∴ y =2x-4. ∵点 C 在第四象限. ∴ y = - 2 x + 4 ????????????5 分

OB OA = AD CD

y
O B A H D

x

P

ì y = - 2 x + 4, ? 由í 解得 1 ? y = - x2 + x - 1 ? 4

C

? x1 ? 10 ? x2 ? 2 ,? . ? ? y1 ? 10 ? y2 ? 0

(第 24(2)答案图)

∵点 C 在对称轴右侧的抛物线上. ∴点 C 的坐标为 (10,-16).????????6 分 ∵P 为圆心,∴P 为 BC 中点. y 取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线. ∴PH=
x=t

1 17 (OB+CD)= .????????7 分 2 2

O B

A N

x

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -

17 ). 2

M

故点 P 坐标为(5, -

17 ).??????????8 分 2
(第 24(3)答案图)

C

1 ? ? ? 2 (3)设点 N 的坐标为 ? t, t ? t ? 1? ,直线 x=t(0<t<10)与直线 BC 交于点 M. 4 ? ?

1 1 SDBMN = MN t , SDCMN = MN ? (10 t ) 2 2

15

所以 SDBCN = SDBMN + SDCMN =

1 MN 10 ?????????9 分 2

设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)

3 ? ?b ? ?1, ?k ? ? , 所以 ? 成立,解得: ? 2 ??????????10 分 ?10k ? b ? ?16 ?b ? ?1 ?
所以直线 BC 的解析式为 y = -

3 3 ? ? ? x - 1 ,则点 M 的坐标为. ? t, t ? 1? 2 2 ? ?
? ?

MN= ? ? t ? t ? 1? ? ? ? t ? 1? = 2

? 1 ? 4

? ? 3 ? ? 2

1 2 5 t + t ?????????11 分 4 2

1 1 5 SDBCN = (- t 2 + t ) 10 2 4 2
=-

5 2 25 5 125 t + t = - (t - 5) 2 + 4 2 4 4 125 .??????????12 分 4
2

所以,当 t=5 时, S DBCN 有最大值,最大值是

点拨:(1)已知抛物线的顶点坐标(h,k)一般可设其解析式为 y ? a ? x ? h ? ? k .(2)求 最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.

16

秘密★启用前 2013 年东营市初中学生学业考试 数学试题参考答案与评分标准

试卷类型:A

评卷说明: 1. 选择题和填空题中的每小题,只有满分和零分两个评分档,不给中间分. 2. 解答题中的每小题的解答中所对应的分数,是指考生正确解答到该步骤所应得的累 计分数.本答案对每小题只给出一种解法,对考生的其他解法,请参照评分意见相应评分. 3. 如果考生在解答的中间过程出现计算错误,但并没有改变试题的实质和难度,其后 续部分酌情给分,但最多不超过正确解答分数的一半;若出现严重的逻辑错误,后续部分就 不再给分. 一.选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的 选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 5 小题,共 20 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13. 2 ? a ? 2b ?? a ? 2b ? ; 14. 2; 15. 9; 16. 1.3; 17.

? 0, 4 ? 或 ? 0, 2 ? (注:以上两答案任选一个都对)
2013 4026

三、解答题:本大题共 7 小题,共 64 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 18. (本题满分 7 分,第⑴题 3 分,第⑵题 4 分) (1)解: 原式=

3 3 +1 ? 2 ? ? 2 3 ? 1? 3 3 2 2

?

?

=

3 +1 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 3 2
=

3 2

??????????3 分

(2)解: 原式=
?

a2 ?1 a ?1 a ? ? 2 a ? 2a ? 1 a ? 1 a ? 1

? a ? 1?? a ? 1? ? a ? 1 ? a 2 a ?1 a ?1 ? a ? 1?
a a ?1

? 1? ?

1 ??????????6 分 1? a

17

选取任意一个不等于 ?1 的 a 的值,代入求值.如:当 a ? 0 时, 原式 ?

1 ? 1 ?????????????7 分 1? a

19. (本题满分 8 分) 解:(1)该学校的学生人数是: 300 ? 30% 1000 (人).?????????2 分 (2)条形统计图如图所示.?????????????????????4 分 (3)在扇形统计图中,“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数是:

200 360?? ( ?100%) ? 72? ?????????????????????6 分 1000
(4)从该校中任选一名学生,其测试成绩为“90—100 分”的概率是:

50 1 = ????????????????????????8 分 1000 20
人数

400 350 300 250 200 150 100 50 A B C D E 成绩 D (第 19 题答案图) E 20. (本题满分 8 分) (1)解:直线 CD 与⊙O 相切. ??????1 分 理由如下:连接 OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM ∴OC∥AM??????????3 分 ∵CD⊥AM ∴OC⊥CD ∴直线 CD 与 ⊙O 相切. ??????????5 分
(第 20 题答案图)

M D C

l

E

B

O

A

18

(2)解: ∵ ?CAB ? 30° ∴∠COE=2∠CAB= 60? ∴在 Rt△COE 中,OC=3,CE=OC·tan 60? = 3 3 .??????????8 分 21. (本题满分 9 分) 解:(1)过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,

AD 4 ∵sin∠AOC= = ,OA=5 AO 5
∴AD=4. B 由勾股定理得:DO=3, ∵点 A 在第一象限 ∴点 A 的坐标为(3,4)??????2 分 将 A 的坐标为(3,4)代入 y= ,得 4 =

y A

OD

C x

(第 21 题图)

m x

m ,∴m=12 3

∴该反比例函数的解析式为 y =

12 ??????4 分 x 2 3

将 A 的坐标为(3,4)代入 y = nx + 2 得: n =

∴一次函数的解析式是 y =

2 x + 2 ??????????6 分 3

(2)在 y =

2 2 x + 2 中,令 y=0,即 x+2=0,∴x= - 3 3 3

∴点 B 的坐标是 (- 3,0) ∴OB=3,又 DA=4 ∴ SDAOB =

1 OB? AD 2

1 创 4 = 6 ,所以△AOB 的面积为 6.???9 分 3 2

22. (本题满分 10 分) 解: (1)设每台电脑 x 万元,每台电子白板 y 万元,根据题意得:

? x ? 2 y ? 3.5, ??????????3 分 ? ? 2 x ? y ? 2.5

19

解得: ?

? x ? 0.5, ??????????4 分 ? y ? 1.5

答:每台电脑 0.5 万元,每台电子白板 1.5 万元. ??????????5 分 (2)设需购进电脑 a 台,则购进电子白板(30-a)台, 则?

?0.5a ? 1.5(30 ? a )≥28, ??????????6 分 ?0.5a ? 1.5(30 ? a )≤30
17 ,即 a=15,16,17.??????????7 分

解得: 15 # a

故共有三种方案: 方案一:购进电脑 15 台,电子白板 15 台.总费用为 0.5 ?15 ? 1.5 ?15 ? 30 万元; 方案二:购进电脑 16 台,电子白板 14 台.总费用为 0.5 ?16 ? 1.5 ?14 ? 29 万元; 方案三:购进电脑 17 台,电子白板 13 台.总费用为 0.5 ?17 ? 1.5 ?13 ? 28 万元; 所以,方案三费用最低. ??????????10 分 23. (本题满分 10 分) 证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直线 m ∴∠BDA=∠CEA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD??????1 分 又 AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????2 分 ∴AE=BD,AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE ??????3 分 (2)∵∠BDA =∠BAC= ? , ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ? ∴∠DBA=∠CAE??????4 分 ∵∠BDA=∠AEC= ? ,AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????5 分 ∴AE=BD,AD=CE B C B C

D

A
(图 1)

E

m

D

A
(图 2)

E

m

20

∴DE=AE+AD=BD+CE??????6 分 (3)由(2)知,△ADB≌△CEA,

BD=AE,∠ DBA =∠CAE
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF F ∴∠DBF=∠FAE??????8 分 ∵BF=AF ∴△DBF≌△EAF??????9 分 ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.??????10 分 24. (本题满分 12 分) 解:(1) ∵抛物线的顶点是 A(2,0),设抛物线的解析式为 y = a( x - 2) . 由抛物线过 B(0,-1) 得 4a = - 1 ,∴ a = ∴抛物线的解析式为 y = 2

C B O D A
(图 3)

E

m

1 .????????2 分 4

1 ( x - 2)2 . 4

即 y =-

1 2 x + x - 1 .????????????3 分 4
y

(2)设 C 的坐标为(x,y). ∵A 在以 BC 为直径的圆上.∴∠BAC=90°. 作 CD⊥x 轴于 D ,连接 AB、AC. 则有 △AOB∽△CDA.?????????4 分
O B A H D

x

OB OA = AD CD
∴OB·CD=OA·AD. 即 1· y =2(x-2).∴ y =2x-4. ∵点 C 在第四象限. ∴ y = - 2 x + 4 ????????????5 分

P

C (第 24(2)答案图)

21

ì y = - 2 x + 4, 祆1 = 10 x2 = 2 x ? 镲 , 由í 解得 眄 . 1 2 y 镲1 = 10 y2 = 0 ? y = - x +x- 1 铑 ? 4
∵点 C 在对称轴右侧的抛物线上. ∴点 C 的坐标为 (10,-16).????????6 分 ∵P 为圆心,∴P 为 BC 中点. y 取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线. ∴PH=
x=t

1 17 (OB+CD)= .????????7 分 2 2

O B

A N

x

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -

17 ). 2

M

故点 P 坐标为(5, -

17 ).??????????8 分 2
(第 24(3)答案图)

C

骣 1 (3)设点 N 的坐标为 琪 - t 2 + t - 1 ,直线 x=t(0<t<10)与直线 BC 交于点 M. t, 琪 桫 4

1 1 SDBMN = MN t , SDCMN = MN ? (10 t ) 2 2
所以 SDBCN = SDBMN + SDCMN =

1 MN 10 ?????????9 分 2

设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)

ì 3 ì b = - 1, ? k =- , ? 所以 í 成立,解得: í 2 ??????????10 分 ? ? ? 10k + b = - 16 ?b =-1
所以直线 BC 的解析式为 y = -

骣 3 3 t, x - 1 ,则点 M 的坐标为. 琪 - t - 1 琪 2 桫 2

MN= 琪 琪

骣1

骣3 1 5 t 2 + t - 1 - 琪 t - 1 = - t 2 + t ?????????11 分 琪 4 2 桫4 桫2

1 1 5 SDBCN = (- t 2 + t ) 10 2 4 2
=-

5 2 25 5 125 t + t = - (t - 5) 2 + 4 2 4 4
22

所以,当 t=5 时, S DBCN 有最大值,最大值是

125 .??????????12 分 4

23


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