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1997年全国统一高考数学试卷(理科)


1997 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 15 小题,1-10 每小题 4 分,11-15 每小题 5 分,满分 65 分) 1. (4 分)设集合 M={x|0≤x<2},集合 N={x|x2﹣2x﹣3<0},集合 M∩N=( A. {x|0≤x<1} B. {x|0≤x<2} C. {x|0≤x≤1} D. {x|0≤x≤2} 2. (4 分)如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,那么实数 a 等于( A. ﹣6 B. ﹣3 C. D.





3. (4 分)函数 y=tan( A. B.

)在一个周期内的图象是( C. D.



4. (4 分)已知三棱锥 P﹣ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= A 的大小为( ) A. B. C. D.

,BC=2.则二面角 P﹣BC﹣

5. (4 分)函数 y=sin( A. B. π

)+cos2x 的最小正周期是( C. 2π D. 4π



6. (4 分)满足 arccos(1﹣x)≥arccosx 的 x 的取值范围是( A. C. D. [﹣1,﹣ ] B. [﹣ ,0] [0, ] [ ,1]



7. (4 分)将 y=2x 的图象____________再作关于直线 y=x 对称的图象,可得到函数 y=log2(x+1)的 图象( ) A. 先向左平行移B. 先向右平行移 动 1 个单位 动 1 个单位 C. 先向上平行移D. 先向下平行移 动 1 个单位 动 1 个单位 8. (4 分)长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表 面积是( ) A. 20 π B. 25 π C. 50π D. 200π

9. (4 分)曲线的参数方程是

(t 是参数,t≠0) ,它的普通方程是(



A. (x﹣1)2(y B. y= ﹣1)=1

C.

D.

10. (4 分)函数 y=cos2x﹣3cosx+2 的最小值为( A. 2 B. 0 C.

) D. 6

11. (5 分)椭圆 C 与椭圆 A. B. C.

关于直线 x+y=0 对称,椭圆 C 的方程是( D.



12. (5 分)圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( A. B. 2 π C. D. π π π



13. (5 分) (2014?碑林区一模)定义在区间(﹣∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x) 在区间[0,+∞)的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ① f(b)﹣f(﹣a)>g(a)﹣g(﹣b) ; ② f(b)﹣f(﹣a)<g(a)﹣g(﹣b) ; ③ f(a)﹣f(﹣b)>g(b)﹣g(﹣a) ; ④ f(a)﹣f(﹣b)<g(b)﹣g(﹣a) , 其中成立的是( ) A. ① 与④ B. ② 与③ C. ① 与③ D. ② 与④

14. (5 分)不等式组

的解集是(

) D. {x|0<x<3} )

A. {x|0<x<2} B. {x|0<x<2.5} C.

15. (5 分) 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 则不同的取法共有 ( A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 16. (4 分)已知 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为 _________ .

17. (4 分) (2014?陕西模拟)已知直线的极坐标方程为 离是 _________ 18. (4 分) . 的值为 _________ .

,则极点到该直线的距

19. (4 分)已知 m、l 是直线,α、β 是平面,给出下列命题:① 若 l 垂直于 α 内两条相交直线,则 l⊥ α; ② 若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内所有的直线;③ 若 m?α,l?β 且 l⊥ m,则 α⊥ β;④ 若 l ? β 且 l⊥ α,则 α⊥ β;⑤ 若 m?α,l?β 且 α∥ β,则 l∥ m.其中正确命题的序号是 _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 69 分) 20. (10 分)已知复数 , .复数 ,z2ω3 在复数平面上所对应的点分别为 P,

Q. 证明△ OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点) . 21. (11 分)已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q,其中 p>q,且 p≠1, q≠1.设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和.求 .

22. (12 分)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时.已知汽 车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平 方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 23. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥ D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角.

24. (12 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) ,方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1< x2< . (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f (x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 x0< .

25. (12 分) (2012?北京模拟)设圆满足:① 截 y 轴所得弦长为 2;② 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的 比为 3:1,在满足条件① 、② 的所有圆中,求圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离最小的圆的方程.

1997 年全国统一高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 15 小题,1-10 每小题 4 分,11-15 每小题 5 分,满分 65 分) 1. (4 分)设集合 M={x|0≤x<2},集合 N={x|x2﹣2x﹣3<0},集合 M∩N=( A. {x|0≤x<1} B. {x|0≤x<2} C. {x|0≤x≤1} D. {x|0≤x≤2} 考点: 分析: 解答: 点评:



交集及其运算. 解出集合 N 中二次不等式,再求交集. 解:N={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},∴ M∩N={x|0≤x<2}, 故选 B 本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题,注意等号,较简单. )

2. (4 分)如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,那么实数 a 等于( A. ﹣6 B. ﹣3 C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的平行关系. 计算题. 根据它们的斜率相等,可得 =3,解方程求 a 的值.

解:∵ 直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行, ∴ 它们的斜率相等,∴ =3,∴ a=﹣6.

点评:

故选 A. 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等. )在一个周期内的图象是( C. D. )

3. (4 分)函数 y=tan( A. B.

考点: 专题: 分析:

正切函数的图象. 综合题. 先令 tan( )=0 求得函数的图象的中心,排除 C,D;再根据函数 y=tan(



的最小正周期为 2π,排除 B. 解答: 解:令 tan( 不是 ,排除 C,D )的周期 T= =2π,故排除 B )=0,解得 x=kπ+ ,可知函数 y=tan( )与 x 轴的一个交点

∵ y=tan(

点评:

故选 A 本题主要考查了正切函数的图象.要熟练掌握正切函数的周期,单调性,对称中心等性质. ,BC=2.则二面角 P﹣BC﹣

4. (4 分)已知三棱锥 P﹣ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= A 的大小为( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

解答:

平面与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题. 计算题. 要求二面角 P﹣BC﹣A 的大小,我们关键是要找出二面角 P﹣BC﹣A 的大小的平面角,将空 间问题转化为平面问题, 然后再分析二面角 P﹣BC﹣A 的大小的平面角所在的三角形的其它边 与角的关系,解三角形进行求解. 解:如图所示,由三棱锥的三个侧面与底面全等, 且 AB=AC= , 得 PB=PC= ,PA=BC=2, 取 BC 的中点 E,连接 AE,PE, 则∠ AEP 即为所求二面角的平面角. 且 AE=EP= , ∵ AP2=AE2+PE2, ∴ ∠ AEP= 故选 C. ,

点评:

求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ AEP 为二面角 P﹣BC﹣A 的平面角,通过解∠ AEP 所在的三角形求得∠ AEP.其解题过程为:作 ∠ AEP→证∠ AEP 是二面角的平面角→计算∠ AEP,简记为“作、证、算”. )+cos2x 的最小正周期是( C. 2π D. 4π )

5. (4 分)函数 y=sin( A. B. π

考点: 分析: 解答:

三角函数的周期性及其求法. 先将函数化简为:y= sin(2x+θ) ,即可得到答案. 解:∵ f(x)=sin( = ∴ T= sin(2x+θ) =π )+cos2x= cos2x﹣ sin2x+cos2x=( +1)cos2x﹣ sin2x

点评:

故选 B. 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法.属基础题.

6. (4 分)满足 arccos(1﹣x)≥arccosx 的 x 的取值范围是( A. C. D. [﹣1,﹣ ] B. [﹣ ,0] [0, ] [ ,1] 考点: 专题: 分析: 解答:



反三角函数的运用. 计算题. 应用反函数的运算法则,反函数的定义及性质,求解即可. 解:arccos(1﹣x)≥arccosx 化为 cos[arccos(1﹣x)]≤cos[arccosx] 所以 1﹣x≤x,即:x ,

又 x∈[﹣1,1],所以 x 的取值范围是[ ,1] 点评: 故选 D. 本题考查反余弦函数的运算法则,反函数的定义域,考查学生计算能力,是中档题.

7. (4 分)将 y=2x 的图象____________再作关于直线 y=x 对称的图象,可得到函数 y=log2(x+1)的 图象( ) A. 先向左平行移B. 先向右平行移 动 1 个单位 动 1 个单位 C. 先向上平行移D. 先向下平行移 动 1 个单位 动 1 个单位 考点: 分析:

解答:

点评:

反函数;函数的图象与图象变化. 本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点, 作为本题,可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项,验证的个数在 1 到 3 个,对于本题, 这不是最佳选择, 建议逆推得到平移后的解析式,这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数. 解:利用指数式和对数式的互化, 由函数 y=log2(x+1)解得:x=2y﹣1 则函数 y=log2(x+1) (x>﹣1)的反函数为 y=2x﹣1(x∈R) 即函数 y=2x 平移后的函数为 y=2x﹣1, 易见,只需将其向下平移 1 个单位即可. 故选 D 本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法,得到解析式后平移的方向和单位便一目了然,简 便易行,值得尝试.

8. (4 分)长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表 面积是( ) A. 20 π B. 25 π C. 50π D. 200π 考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 计算题. 设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求出球的表面 积. 解:设球的半径为 R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线,则(2R)2=32+42+52=50, ∴ R= .

∴ S 球=4π×R2=50π. 故选 C

点评:

本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题.

9. (4 分)曲线的参数方程是 A. (x﹣1)2(y B. y= ﹣1)=1

(t 是参数,t≠0) ,它的普通方程是( C. D.



考点: 专题: 分析: 解答:

参数方程的概念. 计算题.

由题意知 x=1﹣ , 可得 x﹣1=﹣ , 将方程两边平方, 然后与 y﹣1=﹣t2, 相乘消去 t 即可求解.

解:∵ 曲线的参数方程是

(t 是参数,t≠0) ,







将两个方程相乘可得,

(x﹣1)2(1﹣y)=1, ∴ y= ,

点评:

故选 B. 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方 程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题. ) D. 6

10. (4 分)函数 y=cos2x﹣3cosx+2 的最小值为( A. 2 B. 0 C.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值域;余弦函数的定义域和值域. 计算题. 先进行配方找出对称轴,而﹣1≤cosx≤1,利用对称轴与区间的位置关系求出最小值. 解:y=cos2x﹣3cosx+2=(cosx﹣ )2﹣ ∵ ﹣1≤cosx≤1 ∴ 当 cosx=1 时 ymin=0, 故选 B 本题以三角函数为载体考查二次函数的值域,属于求二次函数的最值问题,属于基本题.

点评:

11. (5 分)椭圆 C 与椭圆 A. B. C.

关于直线 x+y=0 对称,椭圆 C 的方程是( D.



考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 依题意可知椭圆 C 关于直线 x+y=0 对称,长轴和短轴不变,主要椭圆的中心即可.根据原椭 圆方程可求得其中心坐标,进而求得其关于直线 x+y=0 对称点,则椭圆方程可得. 解:依题意可知椭圆 C 关于直线 x+y=0 对称,长轴和短轴不变,主要椭圆的中心即可. ∵ 椭圆 的中心为(3,2)关于直线 x+y=0 对称的点为(﹣2,﹣3)

故椭圆 C 的方程为 故选 A. 本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题.属基础题. )

点评:

12. (5 分)圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( A. B. 2 π C. D. π π π 考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题. 通过圆台的底面面积,求出上下底面半径,利用侧面积公式求出母线长,然后求出圆台的高, 即可求得圆台的体积. 解:S1=π,S2=4π,∴ r=1,R=2, S=6π=π(r+R)l,∴ l=2,∴ h= . ∴ V= π(1+4+2)× = π.

点评:

故选 D 本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点,考查计算能力, 常考题.

13. (5 分) (2014?碑林区一模)定义在区间(﹣∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x) 在区间[0,+∞)的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ① f(b)﹣f(﹣a)>g(a)﹣g(﹣b) ; ② f(b)﹣f(﹣a)<g(a)﹣g(﹣b) ; ③ f(a)﹣f(﹣b)>g(b)﹣g(﹣a) ; ④ f(a)﹣f(﹣b)<g(b)﹣g(﹣a) , 其中成立的是( ) A. ① 与④ B. ② 与③ C. ① 与③ D. ② 与④ 考点: 分析:

函数奇偶性的性质. 根据 f(﹣a)=﹣f(a) ,f(﹣b)=﹣f(b) ,g(﹣a)=g(a)=f(a) ,g(﹣b)=g(b)=f(b) , 对① ② ③ ④ 进行逐一验证即可得答案.

解答:

点评:

解:由题意知,f(a)>f(b)>0 又∵ f(﹣a)=﹣f(a) ,f(﹣b)=﹣f(b) ,g(﹣a)=g(a)=f(a) ,g(﹣b)=g(b)=f(b) ; ∴ ① f(b)﹣f(﹣a)>g(a)﹣g(﹣b)?f(b)+f(a)>f(a)﹣f(b)?f(b)>﹣f(b) , 故① 对② 不对. ③ f(a)﹣f(﹣b)>g(b)﹣g(﹣a)?f(b)+f(a)>f(b)﹣f(a)?f(a)>﹣f(a) , 故③ 对④ 不对. 故选 C. 本题主要考查函数奇偶性的应用.

14. (5 分)不等式组

的解集是(

) D. {x|0<x<3}

A. {x|0<x<2} B. {x|0<x<2.5} C. 考点: 专题: 分析: 解答: 点评:

其他不等式的解法. 压轴题. 可以直接去绝对值解不等式,比较复杂;可结合答案用特值法解决. 解:取 x=2 满足不等式,排除 A;再取 x=2.5,不满足,排除 B、D 故选 C 本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题,要注意选择题的特点,选择特殊做法解决. )

15. (5 分) 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 则不同的取法共有 ( A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

排列、组合的实际应用;计数原理的应用. 计算题;压轴题. 由题意知从 10 个点中任取 4 个点有 C104 种取法,减去不合题意的结果,4 点共面的情况有三 类,取出的 4 个点位于四面体的同一个面上;取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点;由中 位线构成的平行四边形,用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案. 解:从 10 个点中任取 4 个点有 C104 种取法, 其中 4 点共面的情况有三类. 第一类,取出的 4 个点位于四面体的同一个面上,有 4C64 种; 第二类,取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点,这 4 点共面,有 6 种; 第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱) , 它的 4 顶点共面,有 3 种. 以上三类情况不合要求应减掉, ∴ 不同的取法共有 C104﹣4C64﹣6﹣3=141 种. 故选 D. 本题考查分类计数原理,考查排列组合的实际应用,是一个排列组合同立体几何结合的题目, 解题时注意做到不重不漏.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 16. (4 分)已知 考点: 专题: 分析: 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为 4 .

二项式定理;二项式系数的性质. 计算题. 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 3 求出展开式中 x3 的系数,列出方 程解得.

解答: 解: 的展开式的通项为

= 令 解得 r=8

∴ 展开式中 x3 的系数为 ∵ 展开式中 x3 的系数为 ∴ 点评: 解得 a=4

故答案为 4 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. ,则极点到该直线的距

17. (4 分) (2014?陕西模拟)已知直线的极坐标方程为 离是 . 考点: 专题: 分析:

简单曲线的极坐标方程;与圆有关的比例线段;不等式的基本性质. 计算题;压轴题. 先将原极坐标方程 中的三角函数式展开后两边同乘以 ρ 后化成直角坐标

方程,再利用直角坐标方程进行求解即得. 解答: 解:将原极坐标方程 ρsinθ+ρcosθ=1, 化成直角坐标方程为:x+y﹣1=0, 则极点到该直线的距离是 故填; 点评: . = . ,化为:

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得. 的值为 .

18. (4 分) 考点: 专题: 分析:

角的变换、收缩变换. 计算题;压轴题. 先将分式中的 15° 化为 7° +8° , 利用两角和的余弦、 正弦展开, 分子、 分母分组提取 sin7° , cos7° , 再用同角三角函数的基本关系式,化简,然后,就会求出 tan15° ,利用两角差的正切,求解即 可. 解:

解答:

= =

=

= = = =tan15° =tan(45° ﹣30° )=

=

=



故答案为: 点评:

本题考查角的变换,两角和的正弦、余弦,同角三角函数的基本关系式,考查学生运算能力, 是中档题.

19. (4 分)已知 m、l 是直线,α、β 是平面,给出下列命题:① 若 l 垂直于 α 内两条相交直线,则 l⊥ α; ② 若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内所有的直线;③ 若 m?α,l?β 且 l⊥ m,则 α⊥ β;④ 若 l ? β 且 l⊥ α,则 α⊥ β;⑤ 若 m?α,l?β 且 α∥ β,则 l∥ m.其中正确命题的序号是 ① ④ . 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 压轴题. 对于① ,考虑直线与平面垂直的判定定理,符合定理的条件故正确;对于② ,考虑直线与平面 平行的性质定理以及直线与平面的位置关系,故错误;对于③ 考虑 α⊥ β 的判定方法,而条件不 满足,故错误;对于④ 符合面面垂直的判定定理,故正确;对于⑤ 不符合线线平行的判定,故 错误.正确命题的序号是 ① ④ 解:① ,符合定理的条件故正确; ② ,若 l 平行于 α,则 l 与 α 内的直线有两种:平行或异面,故错误; ③ m?α,l?β 且 l⊥ m,则 α 与 β 可以相交但不垂直; ④ 符合面面垂直的判定定理,故正确; ⑤ 若 m?α,l?β 且 α∥ β,则 l∥ m 或者异面,错误, 故正确命题的序号是 ① ④ . 本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法, 要注意对比判定定理的条件和结论,同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平 面与平面的位置关系的应用.

三、解答题(共 6 小题,满分 69 分)

20. (10 分)已知复数



.复数

,z2ω3 在复数平面上所对应的点分别为 P,

Q. 证明△ OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点) . 考点: 分析: 复数代数形式的混合运算. 利用复数三角形式,化简复数 然后计算复数 解答: 解法一: 于是 , , .

,z2ω3,计算二者的夹角和模,即可证得结论. , , =

因为 OP 与 OQ 的夹角为 因为

,所以 OP⊥ OQ. ,所以|OP|=|OQ|

由此知△ OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△ OPQ 为等腰直角三角形. 解法二: 因为 因为 于是 ,所以 z3=﹣i. ,所以 ω4=﹣1

点评:

由此得 OP⊥ OQ,|OP|=|OQ|. 由此知△ OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△ OPQ 为等腰直角三角形. 本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力 和逻辑推理能力,是中档题.

21. (11 分)已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q,其中 p>q,且 p≠1, q≠1.设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和.求 .

考点: 专题: 分析:

等比数列的通项公式;极限及其运算;数列的求和. 计算题. 先根据等比数列的通项公式分别求出 an 和 bn,再根据等比数列的求和公式,分别求得 Sn 和 Sn
﹣1

的表达式,进而可得

的表达式,分 p>1 和 p<1 对其进行求极限.

解答: 解: ,

. 分两种情况讨论. (Ⅰ )p>1. ∵ ,

=

=

=

=p. (Ⅱ )p<1. ∵ 0<q<p<1, = =

点评:

本小题主要考查等比数列的概念、 数列极限的运算等基础知识, 考查逻辑推理能力和运算能力.

22. (12 分)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时.已知汽 车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平 方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 考点: 专题: 分析:

根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用. 应用题. (1)全程运输成本有两部分组成,将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本 y(元) 表示为速度 v(千米/时)的函数,由题设条件速度不得超过 c 千米/时.故定义域为 v∈(0,c]. (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形,由于等号成 立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定,对对速度的范围进行分类讨论,如等号成立 时速度值不超过 c,则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值,若等号成立时速度值 大于最高限速 v, 可以判断出函数在 (0, c]上的单调性, 用单调性求出全程运输成本的最小值. 解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为

解答:

故所求函数及其定义域为 (2)依题意知 S,a,b,v 都为正数,故有

当且仅当 若 若 =

, .即

时上式中等号成立 时,全程运输成本 y 最小, =

,则当

, 即 a>bc2, 则当 v∈ (0, c]时, 有

因为 c﹣v≥0,且 a>bc2,故有 a﹣bcv≥a﹣bc2>0, 所以 ,且仅当 v=c 时等号成立,

也即当 v=c 时,全程运输成本 y 最小. 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 点评: 时行驶速度应为 ;当

时行驶速度

应为 v=c. 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学 数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.

23. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥ D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角.

考点: 专题: 分析:

解答:

异面直线及其所成的角. 计算题;证明题. (1)证明线线垂直可先证线面垂直,欲证 AD⊥ D1F,可先证 AD⊥ 面 DC1,即可证得; (2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点,取 AB 的中点 G,将 D1F 平移到 A1G, AB 与 A1G 构成的锐角或直角就是异面直线所成的角,利用三角形全等求出此角即可. 解: (Ⅰ )∵ AC1 是正方体, ∴ AD⊥ 面 DC1. 又 D1F?面 DC1, ∴ AD⊥ D1F. (Ⅱ )取 AB 中点 G,连接 A1G,FG.因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等,又 A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等,故 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥ D1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H,则∠ AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角,因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt△ A1AG≌ Rt△ ABE,∠ GA1A=∠ GAH,从而∠ AHA1=90° ,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角.

点评:

本小题主要考查异面直线及其所成的角,考查逻辑推理能力和空间想象能力,属于基础题.

24. (12 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) ,方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1< x2< . (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f (x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 x0< 考点: 专题: 分析: .

一元二次方程的根的分布与系数的关系;不等式的证明. 证明题;压轴题;函数思想;方程思想;作差法. (1)方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2,所以构造函数,当 x∈(0,x1)时,利用函数的性质 推出 x<f (x) ,然后作差 x1﹣f(x) ,化简分析出 f(x)<x1,即可. (2) .方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2,函数 f(x)的图象,关于直线 x=x0 对称,利用放 缩法推出 x0< ;

解答:

证明: (1)令 F(x)=f(x)﹣x.因为 x1,x2 是方程 f(x)﹣x=0 的根,所以 F(x)=a(x﹣x1) (x﹣x2) . 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,得(x﹣x1) (x﹣x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x﹣x1) (x﹣x2)>0, 即 x<f(x) . x1﹣f(x) =x1﹣[x+F(x)] =x1﹣x+a(x1﹣x) (x﹣x2) =(x1﹣x)[1+a(x﹣x2)] 因为 所以 x1﹣x>0,1+a(x﹣x2)=1+ax﹣ax2>1﹣ax2>0. 得 x1﹣f(x)>0. 由此得 f(x)<x1. (2)依题意知 因为 x1,x2 是方程 f(x)﹣x=0 的根,即 x1,x2 是方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的根. ∴ , .

因为 ax2<1,所以 点评:

本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问 题和解决问题的能力.

25. (12 分) (2012?北京模拟)设圆满足:① 截 y 轴所得弦长为 2;② 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的 比为 3:1,在满足条件① 、② 的所有圆中,求圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离最小的圆的方程. 考点: 专题: 分析:

解答:

直线与圆的位置关系. 压轴题. 圆被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,劣弧所对的圆心角为 90° ,设圆的圆心为 P(a, b) ,圆 P 截 X 轴所得的弦长为 , 截 y 轴所得弦长为 2;可得圆心轨迹方程,圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离最小,利用基本不等 式,求得圆的方程. 解法一:设圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90° , 知圆 P 截 X 轴所得的弦长为 , 故 r2=2b2, 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1. 从而得 2b2﹣a2=1. 又点 P(a,b)到直线 x﹣2y=0 的距离为 ,

所以 5d2=|a﹣2b|2 =a2+4b2﹣4ab ≥a2+4b2﹣2(a2+b2) =2b2﹣a2=1, 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值. 由此有

解此方程组得



由于 r2=2b2 知 . 于是,所求圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 解法二:同解法一,得 ∴ 得 ① ②

将 a2=2b2﹣1 代入① 式,整理得

把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △ =8(5d2﹣1)≥0, 得 5d2≥1. ∴ 5d2 有最小值 1,从而 d 有最小值 .

将其代入② 式得 2b2± 4b+2=0.解得 b=± 1. 2 2 2 2 2 将 b=± 1 代入 r =2b ,得 r =2.由 r =a +1 得 a=± 1. 2 综上 a=± 1,b=± 1,r =2. 由|a﹣2b|=1 知 a,b 同号. 于是,所求圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.

点评:

本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.易错 的地方, P 到 x 轴,y 轴的距离,不能正确利用基本不等式.


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