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江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题及答案


泰州 2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学试题
(考试时间: 120 分钟 总分 160 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A= ? ,2,3?,B= ? ,2,5?,则 A∩B= 1 1 ▲ . D C

2.设复数 z1=2+2i,z2=2-2i,则

z1 = z2



.

3 . 若 数 据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ,3 的 平 均 数 为 3 , 则 数 据

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 的平均数为
2 2



.

A (第 6 题图)
开始

B

x y 4.设双曲线 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为 4 5
双曲线上位于第一象限内的一点,且△PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐 标为 ▲ . 5.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点 坐标为 ▲ . 6.如图,ABCD 是一个 4×5 的方格纸,向此四边形 ABCD 内抛撒一粒 豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f (a ) ? f (b), 则

P ← 0 n 1 P ←P? ←
1 n ( n ? 1)

n ← n+1 n=6 Y
输出 P 结束

N

f (?a)



f (?b) (用 " ?"或" ?" 填空).

8. 在空间中,用 a, b, c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下 列四个命题: ① a // b , b // c ,则 a // c ; 若 ③ a // ? , b // ? ,则 a // b ; 若 ② a ? b , b ? c ,则 a ? c ; 若 ④ a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; 若

(第 9 题图)

其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图,则输出的 P= ▲ . 2 2 10. 已知点 P(t,2t)(t≠0)是圆 C:x +y =1 内一点,直线 tx+2ty=m 与圆 C 相切,则直线 x+y +m =0 与圆 C 的位置关系是 ▲ . 11. 设 a∈R,s:数列{ ?n ? a ? }是递增的数列;t:a ? 1.则 s 是 t 的
2



条件.(填“充

分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要”中的一个). 12.各项均为正数的等比数列{an}中,若 a1≥1,a2≤2,a3≥3,则 a4 的取值范围是

▲ . 13. 已知六个点 A1(x1,1),B1(x2,-1),A2(x3,1),B2(x4,-1),A3(x5,1),B3(x6,-1)(x1<x2<x3<x4<x5 <x6, x6-x1=5π )都在函数 f(x)=sin(x+

?

3

)的图象 C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲 ▲ .(两点不

线 C 上,则称此两点为“好点组” ,则上述六点中好点组的个数为 计顺序)

14. 已知 f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 f ( x1 ) 的取值范围是 f ( x2 ) ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分)已知向量 a =(cosλθ,cos(10-λ)θ) b =(sin(10-λ)θ,sinλθ), λ、θ∈R. , (1)求 a + b 的值; (2)若 a ⊥ b ,求 θ; (3)若 θ=
2 2

?

?

?

?

?
20

,求证: a ∥ b .

?

?

16. (本题满分 14 分) 在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC, SA=AB=AC=

3 BC, D 是 BC 边的中点, E 是线段 AD 上一点, 点 点 3

且 AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 AM⊥平面 SBC,求证 EM∥平面 ABS.

17. (本题满分 14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方 形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此 铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC. (1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

y 18. (本题满分 16 分)直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A1,A2,上、 a2 b2 3 下顶点为 B2,B1,点 P( a ,m) (m>0)是椭圆 C 上一 5 点,PO⊥A2B2,直线 PO 分别交 A1B1、A2B2 于点 M、N. (1)求椭圆离心率;
(2)若 MN=

B2 N A1 M O B1 y

P x

A2

4 21 ,求椭圆 C 的方程; 7

R O F1 Q x

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限 内的点,F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,RQ 平分∠F1RF2 且与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围.

F2

19. (本题满分 16 分)已知数列 an=n-16,bn=(-1)n|n-15|,其中 n∈N*. (1)求满足 an+1=|bn|的所有正整数 n 的集合; (2)若 n≠16,求数列

bn 的最大值和最小值; an

(3)记数列{an bn}的前 n 项和为 Sn,求所有满足 S2m=S2n(m<n)的有序整数对(m,n).

20. (本题满分 16 分)已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)). 如果直线 AB 的斜率为-

1 ,求函数 f(x)和 f′ (x)的公共递减区间的长度 ; 2

(3)若 f(x)≥mxf′ (x)对于一切 x∈ 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件. R

2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)
21.[选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两 题记分。 A.(本小题满分 10 分,几何证明选讲)如图⊙O 的两弦 AB,CD 所在直线交于圆外一点 P. B A (1)若 PC=2,CD=1,点 A 为 PB 的中点,求弦 AB 的长; (2)若 PO 平分∠BPD,求证:PB=PD. P ? O C D B.(本小题满分10分,矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(1,0),(0, 2 )分别变换成点 (1,1),(- 2 , 2 ). (1)试求变换 T 对应的矩阵 M; (2)求曲线 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程.

C.(本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)已知直线 l : ?

?x ? 1 ? t (t 为参数)与圆 C: ? y ? ?t

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)相交于 A,B 两点,m 为常数. ? ? y ? m ? 2 sin ?
(1) 当 m=0 时,求线段 AB 的长; (2) 当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值.

D.(本小题满分 10 分,不等式选讲)若 a, b, c ∈R+, a ? 2 b ? 3 c =6. (1)求 abc 的最大值; (2)求证

a?6 b?3 c?2 ≥12. ? ? a b c

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD、DC D1 C1 的中点. 1 B1 A1 (1)求直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值; (2)设直线 BC1 上一点 P 满足平面 PAC∥平面 EFD1,求 PB 的长. D A E F B C

23.(本小题满分 10 分)如图 A1(x1 ,y1)(y1<0)是抛物线 y2=mx(m>0)上的点,作点 A1 关于 x 轴的对称点 B1,过 B1 作与抛物线在 A1 处的切线平行的直线 B1A2 交抛物线 于点 A2. (1)若 A1(4,-4),求点 A2 的坐标; (2)若△A1A2B1 的面积为 16,且在 A1,B1 两点处的切线 互相垂直.

y

B1 O x A2

A1

①求抛物线方程; ②作 A2 关于 x 轴的对称点 B2,过 B2 作与抛物线在 A2 处的切线平行的直线 B2A3,交抛物 线于点 A3,?,如此继续下去,得一系列点 A4,A5,?,设 An(xn,yn),求满足 xn≥10000x1 的最 小自然数 n.

2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案
一填空题

1 1. ? ,2?

2.i

3.3 4. ?

?6 5 ? 5 ? ④ ? 5 ,2 ? 5.(0,1) 6.0.2 7.< 8. ① 9. 6 10.相交 ? ?
13.11 14. ?1 ?

11.必要不充分 12. ? ,8? ?2 ? 二 解答题

?9 ?

? ?

? 2 ,2 ? 2 ? 2 ?

15. (1)∵ a |= cos2λθ+cos2(10-λ)θ ,| b |= sin2(10-λ)θ+sin2λθ (算 1 个得 1 分) | | a |2+| b |2=2,………………………………………………………………4 分

?

?

?

?

a b (2)∵ ⊥ ,∴ ? cos
∴ sin((10- ? )

? ?

?· sin(10- ? ) ? +cos(10- ? ) ? · ? ? =0 sin

? + ? ? )=0,∴ ? =0????????????????7 分 sin10 k? ? ∴ ? =kπ,k∈ 10 Z,∴ = ,k∈ Z……………………………………..........9 分
10

? (3)∵ =
=cos =cos

?

?? ??

20 20 20

, cos ? · sin · sin

? · ? θ-cos(10- ? ) ? · sin sin[(10- ? ) ? ]
-cos( -sin

?? ??
20 20

?
2



??
20

)· sin(

?
2



??
20

)

??
20

20 ? ? a ∴ ∥ b ………………………………………………..…………………………….. 14 分

· cos

??

=0,

16. (1)∵ AB=AC,D 是 BC 的中点,∴ BC,???????????????? 2 分 AD⊥

SA ? 面ABC ? SA ? BC ?? AD ? SA ? BC ? 面ABC ?

? BC ? 平面SAD ? ?? ? ? BC ? AM ……………..7 分 A? AM ? 面SAD ?

(证到 SA⊥平面 SAD 得 5 分) (2)∵ ? 面 SAB, AM ? AM ? SD,

ME // SA ? SM ? 4MD ? ? 面 ? ? ME ? 平面ABS? ? EM∥ ABS……………14 分 AE ? 4 DE ? ? SA ? 平面 ?
(证到 SM=4MD 得 10 分,得到 ME‖SA 得 12 分。 ) 17. (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 ∵MQD=30°,∴ ∠ MQ=

3 1 ,OQ= (算出一个得 2 分) 2 2
S△PMN=

3 6?3 3 1 1 3 MN· AQ= × ×(1+ )= ……………….……… 6 分 2 8 2 2 2
] ,MQ=sinθ,OQ=cosθ

(2)设∠ MOQ=θ,∴ [0, θ∈ ∴△PMN= S

?
2

1 1 MN· AQ= (1+sinθ)(1+cosθ) 2 2
=

1 (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)……………………………….11 分 2

令 sinθ+cosθ=t∈ [1, 2 ] S△PMN= ,∴

t2 ?1 1 (t+1+ ) 2 2
3? 2 2 .………………………..……………14 分 4

θ=

?
4

,当 t= 2 ,∴△PMN 的最大值为 S

18. (1)P(

3a 4b , ),??????????????????????1 分 5 5 1 K 4b a e= ① …………………………4 分 K A2 B2 · OP=-1,∴ 2=3a2=4(a2-c2), ∴2=4c2, ∴ 2
(2)MN=

4 21 = 7

2 1 1 ? 2 2 a b

,∴

a 2 ? b2 7 ? a 2b 2 12



x2 y2 ? 1 ………………………………………… .8 分 由①得,a =4,b =3, ∴ ? ② 4 3
2 2

(3)cosα=cosβ,∴

RF 1· RQ

=

RF 2 · RQ RF 2 · RQ

………………………….………….10 分

RF 1 · RQ



(?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y0
2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y 0
2

化简得: ∴ t=-

1 y0…………………………….................................................14 分 3

∵ 0< 3 ,t∈ 0<y (-

3 ,0) …………………………………………………………..16 分 3

19. (1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立, 当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈ *}……………………………………….…………….…………….4 分 N (2)
n bn (?1) n ? 15 = n ? 16 an

(i)当 n>16 时,n 取偶数

bn n ? 15 1 = =1+ n ? 16 an n ? 16

当 n=18 时(

bn 3 )max= 无最小值 2 an

n 取奇数时

bn 1 =-1n ? 16 an

n=17 时(

bn )min=-2 无最大值 ???????????????????????8 分 an

(?1) n (n ? 15) bn (ii)当 n<16 时, = n ? 16 an
当 n 为偶数时

bn ? (n ? 15) 1 = =-1n ? 16 n ? 16 an

n=14 时(

bn 1 b 13 )max=- ( n )min=2 an 14 an bn n ? 15 b 1 1 14 = =1+ , n=1 , ( n )max=1- = , n ? 16 15 15 an n ? 16 an
???????????????????????????11 分

当 n 奇数

n=15, (

bn )min=0 an
综上,

bn 3 最大值为 (n=18)最小值-2(n=17)……………….……..……………….12 分 2 an

(3)n≤15 时 , bn=(-1)n-1(n-15) , a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 , n>15 时 , bn=(-1)n(n-15) , a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0 ? S16=S14 m=7, n=8…………………………………………………………….16 分 20. (1) f ( x) ? ( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? ???????????????????1 分
/

? a ? b ?b ?

2a ? b 2a ? b ? f , ( x) ? 0 有两不等 b 和 3 3 ? f(x)存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4 分 2a ? b 3

(2)① a=b,f(x)不存在减区间 若 ② a>b 时由(1)知 x1=b,x2= 若

? 2a ? b 2(a ? b) 2 ? A(b,0)B ? ? 3 ,? 9 ?

? ? ? ?

2(a ? b) 2 1 9 ? ? ? ? 2(a ? b) 2 ? 3(a ? b) 2a ? b 2 ?b 3
3 ○当 a<b 时

?a ? b ?

3 2

2a ? b ,x2=b。 3 3 同理可得 a-b= (舍) 2
x1=

3 ………………………………………………..………………………….7 分 2 2a ? b 1 , ) 即(b,b+1) f , (x)减区间为 (??, b ? ) ? f (x) 的减区间为 (b, 3 2 1 1 ∴ 公共减区间为(b,b+ )长度为 …………………………….……………………10 分 2 2
综上 a-b= (3) f ( x) ? mxf ( x)
/

? ( x ? a )( x ? b) 2 ? m ? x( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? ? ( x ? b) (1 ? 3m) x 2 ? ?m(2a ? b) ? (a ? b)?x ? ab ? 0
若m ?

?

?

1 ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个 3

一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的 符号不同,因此不可能恒非负。

?m ?

1 ???????????????????????????????12 分 3

? ( x ? b)?(a ? 2b) x ? 3ab? ? 0
若 a+2b=0, a ? ?2b ,? a ? b =0, 若 a ? 2b ? 0 则 x1 ? b , x 2 ?

3ab a ? 2b

? a ? 2 b ?0 ? ? 3ab ? b? a ?2b
① b=0 ②?0 b 则 a<0,

3a ? 1 ? a ? b 且 b<0 a ? 2b 1 a ? b ? 0 ………………………………………………………………..16 分 综上 ? m ? 3

附加题 21.A.解(1)∵ PB=PC· PA· PD,AB=CD,∴ 2AB=2×3,∴ AB· AB= 3 ……………….5 分 (2)作 OM⊥ 于 M,ON⊥ 于 N,∵ 平分∠ CD AB PO BPD,∴ OM=ON∴ AB=CD, ∴ M 平分弦 CD,点 N 平分弦 AB,??????????????????7 分 点 又∵ PON≌ POM,∴ PN=PM, ? ? ∴ PB=PD………………………………………………………..…………………….10 分

B.解: (1)设矩阵 M=

? ? 依题意得, ? ?= ? ? ? ? ? ?
ab cd

x' y'

ab cd

x y

x '? ax ? by y '? cx ? dy

, (1,0)变换为(1,1)

得:a=1,c=1,(0, 2 ) 变换为(- 2 , 2 ) 得: b=-1,d=1 所求矩阵 M=

? ? ……………………………………………………………………………5 分
1, ?1 1,1
y? y '? x ' 2

(2)变换 T 所对应关系
2 2

?

x '? x ? y y '? x ? y

解得 ?

? x ? x '? y ' 2 ?

??????????????????7 分

代入 x -y =1 得:x′ =1 y′ 故 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程得 xy=1 ………………………………10 分 C.解 : (1)直线 l:x+y-1=0 曲线 C:x2+y2=4 圆心到直线的距离为 d=

1 2

AB=2 r ? d = 14 …………………………………………………………………..5 分
2 2

(2)x2+(y-m)2=4,x+y-1=0 d=

m ?1 2

=1

∴ m-1= ± 2

m=1+ 2 或 m=1- 2 ………………..……………..10 分

D.解: (1)∵ a,b,c∈ +,a+2b+3c=6 R

1 1 a ? 2b ? 3c 3 4 a· 3c≤ 2b· ( )= 6 6 3 3 2 4 当 a=2,b=1,c= 时取等号,∴ 的最大值为 ……………………….…..5 分 abc 3 3 a?6 b?3 c?2 6 3 2 (2)∵ + + =3+ + + a b c a b c 6 3 2 6 3 2 而( + + ) (a+2b+3c) ≥( 6 + 6 + 6 )2=54∴ + + ≥9 a b c a b c a?6 b?3 c?2 ∴ + + ≥12…………………………………..…………………..…….10 分 a b c
∴ abc= 22.解 建立以 D 点为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴 , DD1 所在直线为

z 轴的空间直角坐标系

D 1(0,0,2) , A(2,0,0) , B(2,2,0),E(1,0,0)

,C1(0,2,2),F(0,1,0) . BC1 =(-2,0,2) , D1 E =(1,0,-2),

EF =(-1,1,0).设平面 D1EF 的法向量 n =(x1,y1,z1),
n. D1E ?0 则 n. EF ?0

?

?

?

X1 ?2 z1 ?0 ? X1 ?Y1 ?0 令 X1=2,则 n =(2,2,1)??????????????????? 3 分

n cos∠ , BC1 >=

?2 2 2.3

=-

2 6

∴ 直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值为 (2) BP = ? BC1 =(-2 ? ,0,2 ? )

2 ………………………..………………..5 分 6

AP = AB + BP =(-2 ? ,2,2 ? )

? n . AP =-4 ? +4+2 ? =0 ∴ =2??????????????????? 8 分
∵ 不在平面 EFD1 内,AP∥ AP 平面 EFD1,又 AC∥ EF,EF ? 平面 EFD1, ∴ 平面 EFD1 AC∥ 又 AP 于 AC 相交于点 A , ∴ 平面 PAC∥ 平面 EFD1, BP =(-4,0,4), BP =4 2 ….10 分

23.解:(1) m=4,设 A2(x2,-2x2),y=- mx ,y′ =-

m 2 x

,B(4,4)



2 x2 ? 4 x2 ? 4

=

1 2

∴2=36 ∴ 2(36,-12) ……………….………………….………3 分 x A

(2) ① A1,B1 处切线的斜率分别为 K1,K2,K1?K2=-1 设 ∴ (-

m 2 x1

).

m 2 x1

=-1

1 ∴ m=4x1○

设 A2(x2,- mx 2 ) 又 S=



? mx 2 ? mx1 x 2 ? x1

=-

1 2 mx1

2 ∴2=9x1○ x

1 3 1 2 3 ×2 mx1 (x2-x1)=16 ○ 由○○○知 x1=1,m=4 2
∴ 抛物线方程为 y2=4x…………………………………………………………………..……6 分

②由(2)知

? mx n ? mx n ?1 x n ? x n ?1

m =- ,∴n=9xn-1,∴ x 数列 ?x n ?为等比数列, 2 xn-1

∴19n-1≥10000x1 x ∴ ∴ 最小值为 6………………………………………………………………………10 分 n≥6 n

2012——2013 学年度第一学期泰州市期末联考

高三数学试题评讲建议
2013.元.30 12.各项均为正数的等比数列{an}中,若 a1≥1,a2≤2,a3≥3,则 a4 的取值范围是 ▲ .

【答案】 ? ,8? ?2 ? 【分析】 (i)大量的不等式应该联想到线性规划 (ii)取对数可将乘、指数运算转化为线性运算 【解答】

?9 ?

a1 ? 1 ? ?a ?a q?2 ? 1 ?? 2 , a3 ? a1 q 2 ? 3 ? ? a 4 ? a1 q 3 ? lg a1 ? 0 ? ? lg a ? lg q ? lg 2 ? 1 ?? ? lg a1 ? 2 lg q ? lg 3 ?lg a 4 ? lg a1 ? 3 lg q ?
令 lg a1 ? x, lg q ? y , lg a 4 ? t

x?0 ? ? x ? y ? lg 2 ? 则? ? ,根据线性规划知识可得。 x ? 2 y ? lg 3 ? ? t ? x ? 3y ?
【变式】江苏高考 2010 第 12 题: 3 ? xy ? 8,4 ?
2

x2 x3 ? 9 ,则 4 的最大值是 y y



.

13. 已知六个点 A1(x1,1),B1(x2,-1),A2(x3,1),B2(x4,-1),A3(x5,1),B3(x6,-1)(x1<x2<x3<x4 <x5 <x6,x6-x1=5π)都在函数 f(x)=sin(x+

?
3

)的图象 C 上.如果这六点中不同的两点的连

线 的中 点仍在 曲线 C 上, 则称 此两点 为“好 点组 ” 则上 述六点 中好 点组 的个数为 , ▲ .(两点不计顺序) 【答案】11 【分析】 (i)对称关系不因平移而改变,? y ? sin x 与 f(x)=sin(x+ (ii)根据周期性只要研究 [0,6? ] (iii)树形图可避免重复或遗漏。 【解答】

?
3

)对称关系没有变。

X2 (X3) X1 X4 X5 X6 X2

X3 X4 (X5) X6 X3

X4 (X5) X6 X4 X5 (X6) X5 X6

2 14. 已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 f ( x1 ) 的取值范围是 f ( x2 )

▲ 【答案】 ?1 ?

.

? ?

? 2 ,2 ? 2 ? 2 ?

【分析】 (i)法一:目标函数法 ①分类讨论去绝对值找 x1 , x 2 的关系。 ②将 f ( x1 ) 化为一个变量的函数 g ( x 2 ) f ( x2 ) (ii)法二:数形结合 ①“数”难时,要考虑“形” ②C:|x1|+|x2|=1 为正方形 ③“分式”联想到斜率。 【解法一】 先考虑 0 ? x1 ? 1,0 ? x 2 ? 1 的情形, 则 x1+x2=1

2 m ?1? 2mx1 ? m 2 ? 2 2m(1 ? x 2 ) ? m 2 ? 2 f ( x1 ) ? m ? ?1 ? ? 2 2 m 1 2mx 2 ? m ? 2 f ( x2 ) 2mx 2 ? m ? 2 x2 ? ? 2 m 2 m ?1? m , x ? [0,1] , 当 m ? 0 ,令函数 g (x) ? ?1 ? m 1 x? ? 2 m

由单调性可得:

g (1) ? g ( x) ? g (0) 。 其 中 , g (1) ? 1 ?

2 ? 2? 2 , 2 m? ?2 m

g (0) ? 1 ?

2 m? 1 m

?1?

2 2

当 m ? 0 ,同理。 x1、x 2 在其他范围同理。 综上可得 ?1 ?

? ?

? 2 ,2 ? 2 ? 。 2 ?

【解法二】

m2 ? 2 f ( x1 ) 2mx1 ? m ? 2 2m , ? ? 2 m2 ? 2 f ( x 2 ) 2mx 2 ? m ? 2 x2 ? 2m
2

x1 ?

?

f ( x1 ) m2 ? 2 m2 ? 2 为点 P (? ,? ) 与点 Q ( x 2 , x1 ) 连 f ( x2 ) 2m 2m
2 ) 上.
f ( x1 ) 的范围。 f ( x2 )

线的斜率。P 点在直线 y ? x(| x |? 由图可得直线 PQ 斜率的范围,即

【变式】将条件改为 x1 ? x 2 ? 1
2 2

18.直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A1,A2,上、 a2 b2

3 下顶点为 B2,B1,点 P( a ,m) m>0)是椭圆 C 上一点,PO⊥A2B2,直线 PO 分别交 A1B1、 ( 5 A2B2 于点 M、N. (1)求椭圆离心率;
(2)若 MN=

4 21 ,求椭圆 C 的方程; 7

y R O F1 Q x

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限 内的点,F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,RQ 平分∠F1RF2 且 与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围. (3) 【分析】角平分线的处理方法:

F2

法一:向量的数量积 法二:点 Q 到直线 PF1、PF2 距离相等。 法三: F2 关于 RQ 的对称点与 S 在直线 RF1 上。 法四:角平分线定理:

RF1 F1 P ? ,(P 为 RQ 与 x 轴的交点) RF2 F2 P

法五:利用夹角或到角公式(新教材不作要求) 【解答】 (3) cos ?F1RQ ? cos ?F2 RQ ,∴

RF 1· RQ RF 1 · RQ

=

RF 2 · RQ RF 2 · RQ



(?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y0
2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y 0
2

化简得: ∴t=-

3 1 y0∵0<y0< 3 ,t∈(,0) 3 3
1 y0) 3
*

(其他几种方法均可得到 t=-

19.已知数列 an=n-16,bn=(-1) |n-15|,其中 n∈N . (1)求满足 an+1=|bn|的所有正整数 n 的集合; (2)若 n≠16,求数列

n

bn 的最大值和最小值; an

(3)记数列{an bn}的前 n 项和为 Sn,求所有满足 S2m=S2n(m<n)的有序整数对(m,n). (3)【分析】 (i)讨论去绝对值寻找关系 (ii)多写几项,看规律(归纳思想) ,第(2)问也可以用此法。 【解法一】 (3)记 c n ? a n bn ,

? S 2 m ? S 2 n ? c 2 m ?1 ? c 2 m ? 2 ? ? ? c 2 n ? 0 ,

c1 ? 15 ? 14 , c 2 ? 14 ? 13 ?? c14 ? ?2 ? 1 , c15 ? 0 , c16 ? 0 , c17 ? ?1 ? 2 ??
经观察, m ? 7, n ? 8 【解法二】 n≤15 时,bn=(-1)n-1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 n>15 时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0 其中 a15b15+a16b16=0,? s16=s14 m=7 ,n=8

20.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1, f(x1)),B(x2,

2

f(x2)).如果直线 AB 的斜率为-

1 ,求函数 f(x)和 f′ (x)的公共递减区间的长度 ; 2

(3)若 f(x)≥mxf′ (x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件. (3) 【分析】a3 x 3 ? a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 ? 0 恒成立, 则必须 a3 ? 0 , 否则不可能恒大于等于零。 从而转化成学生熟悉的 a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 ? 0 恒成立问题。 【解法一】 (3) f ( x) ? mxf ( x)
/

? ( x ? a )( x ? b) 2 ? m ? x( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? ? ( x ? b) (1 ? 3m) x 2 ? ?m(2a ? b) ? (a ? b)?x ? ab ? 0
若m ?

?

?

1 ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个 3

一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的 符号不同,因此不可能恒非负。

?m ?

1 ? ( x ? b)?(a ? 2b) x ? 3ab? ? 0 3 若 a+2b=0 a ? ?2b ,? a ? b =0 3ab 若 a ? 2b ? 0 则 x1 ? b x 2 ? a ? 2b

? a ? 2 b?0 ? ? 3ab ? b? a ? 2b
①b=0 ②b ? 0 则 a<0

3a ? a ? b 且 b<0 ?1 a ? 2b 1 a?b?0 综上 ? m ? 3
【解法二】 令 g ( x) ? f ( x) ? mxf ?( x) 一定是形如 a3 x 3 ? a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 的式子。 若 a 3 ? 0 ,则 g (x) 不可能恒大于零。? 必须 a3 ? 0 , 因此只要求出 x 3 的系数 a3 ? 1 ? 3m (此方法比解法一目标更明确,运算更简捷)

?m ?

1 , 3
2 2 2 2

此时 g ( x) ? f ( x) ? mxf ?( x) ? ?(a ? 2b) x ? (4ab ? 2b ) x ? 3ab ? 0 恒成立。

? a ? 2b ? 0 ?a ? b ?b ? 0 ? 2 ① ?4ab ? 2b ? 0 , ? ? 或? ?b ? 0 ?a ? 0 ? 3ab 2 ? 0 ?
②?

?a ? 2b ? 0 ?a ? b , ?? ?? ? 0 ?b ? 0
1 3

综上: m ?

a ? b ? 0。

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