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2015-2016学年高中数学 2.3.1数列前n项和与等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5


2.3 等差数列的前n项和

2.3.1 数列前n项和与等差数列的前n项和

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1.理解数列前 n 项和的公式, 探索并掌握等差数列的前 n 项和的 公式. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,并能用有关知 识解决与等差数列的前 n 项和相关的问题.

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题型1 等差数列的前n项和公式的应用

例 1 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和 是 1 220,求此数列的前 n 项和. 解析:由题设:S10=310,S20=1 220,
? ?10a1+45d=310, ? ?a1=4, 得:? ?? ? ?20a1+190d=1 220 ? ?d=6.
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n(n-1) ∴Sn=4n+ ×6=3n2+n. 2

点评:对于等差数列{an}的 5 个“基本量”a1,d,n, an,Sn,若已知其中的三个,由等差数列{an}的通项 n(a1+an) 公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= 2 n(n-1) =na1+ d 便可求出另外两个,即“知三求二” 2 .“知三求二”实质上是方程思想的具体体现.
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1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该 数列的公差 d 为( A.7 ) B.6 C.3 D.2
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解析:由 S2=4,S4=20,得 2a1+d=4,4a1+6d=20,解得 d=3. 答案:C

题型2 等差数列的前n项和的问题

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证:数列{an}成等差 数列,并求其首项、公差、通项公式. 解析:a1=S1=3-2=1,n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足.∴an=6n-5(n∈N*). ∴an+1-an=6(n∈N*). ∴数列{an}成等差数列,且首项为 1,公差为 6.
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点评:利用数列前 n 项和 Sn,求通项公式的步骤: 第一步,当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 第二步,检验 n=1 时,a1=S1 是否适合上式. 若适合,则数列{an}的通项公式是 an=Sn-Sn-1; 若不合适,则数列{an}的通项公式是
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n>1.
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3 2 205 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + n,求数列{|an|}的前 2 2 n 项和 Tn. 3 2 205 解析:a1=S1=- ×1 + ×1=101, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-3n+104. ∵n=1 也适合上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=-3n+104(n∈N*). 由 an=-3n+104≥0,得 n≤34.7. 即当 n≤34 时,an>0;当 n≥35 时,an<0.
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(1)当 n≤34 时, Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an 3 2 205 =Sn=- n + n. 2 2 (2)当 n≥35 时, Tn=|a1|+|a2|+?+|a34|+|a35|+?+|an| =(a1+a2+?+a34)-(a35+a36+?+an) =2(a1+a2+?+a34)-(a1+a2+?+an) =2S34-Sn
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? 3 ? ? 3 2 205 ? 2 205 =2?-2×34 + 2 ×34?-?-2n + 2 n? ? ? ? ?

3 2 205 = n - n+3 502. 2 2

? 故 T =? 3 205 ?2n - 2 n+3 502,n≥35.
3 2 205 - n + n,n≤34, 2 2
2 n

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题型3 等差数列前n项和的最值问题
在等差数列{an}中 a1=25,S17=S9,则数列的前多少项之和最 大?并求此最大值. 解析:方法一 由 a1=25,S17=S9 得 17×16 9×8 17×25+ d=9×25+ d, 2 2 解得 d=-2. n(n-1) 从而 Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169. 2 故前 13 项之和最大,最大值是 169.
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d? d 2 ? 方法二 ∵Sn= n +?a1-2?n(d<0), 2 ? ? ∴Sn 的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点, 9+17 ∵S17=S9,∴最高点的横坐标为 , 2 即 S13 最大,由方法一可得 d=-2,可求得最大值为 169. 方法三 ∵S17=S9, ∴a10+a11+?+a17=0.
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∴a10+a17=a11+a16=?=a13+a14=0. ∵a1=25>0, ∴a13>0,a14<0. ∴S13 最大,由方法一可得 d=-2,可求得最大值为 169. 方法四 同方法一,可得 d=-2.
? ?an=25-2(n-1)≥0, 1 1 由? 得 12 ≤n≤13 . 2 2 ? ?an+1=25-2n≤0
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∴当 n=13 时,Sn 有最大值,为 169.

点评: 求数列的最值问题, 可以参考函数的最值问题的处理方法,
? ?an≥0, 当然也要注意由数列本身的特点所决定的一些方法,如用? 或栏 ?an+1≤0 ? ? ?an≤0, ? 来确定最值. ?an+1≥0 ?
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3.数列{an}是等差数列,a1=30,d=-0.6. (1)从第几项开始有 an<0? (2)求此数列的前 n 项和的最大值. 分析:(1)由通项公式表示出 an;求 n 的取值范围. (2)利用求和公式表示出关于 n 的关系式. 解析:(1)∵a1=30,d=-0.6, ∴an=30-0.6(n-1)=-0.6n+30.6, 令-0.6n+30.6≤0,则 n≥ 30.6 =51. 0.6
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由于 n∈N*,故当 n>51 时,an<0,即从第 52 项起以后各项均 小于 0. n(n-1) (2)方法一 Sn=30n+ ×(-0.6) 2
? 101?2 3032 =-0.3n +30.3n=-0.3?n- 2 ? + . 120 ? ?
2

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101 当 n 取接近于 的自然数, 2 即 n=51 或 50 时,Sn 达到最大值 S50=S51=765. 方法二 ∵d=-0.6<0,a1=30>0,

由(1)知 a51=0,a52<0, ∴S1<S2<?<S50=S51,且 S51>S52>S53>?. 51×50 ∴(Sn)max=S50=S51=30×51+ ×(-0.6)=765. 2
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