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2015江苏高考数学试题及答案


2015 江苏高考数学试题及答案
一、填空题 1.已知集合 A ? ?1 ,, 2 3? , B ? ?2,, 4 5? ,则集合 A

B 中元素的个数为_______.

2.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 z 2 ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______.

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________. 5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只 球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 a ? ? 2, 1? , a ? ?1, ? 2? ,若 ma ? nb ? ? 9, ? 8?? mn ? R ? ,则 m-n 的值为______. 7.不等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为________.
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

8.已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将它们重 新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则 新的底面半径 为 。 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有圆 中,半径最大的圆的标准方程为 。

* 11.数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 {

1 } 的前 10 项和为 an



12.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。 若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0
2 2

的距离对 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 13. 已 知 函 数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 为 。



? 0,0 ? x ? 1 , 则 方 程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实 根 的 个 数 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

14.设向量 ak ? (cos

12 k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) ,则 ? (ak ? ak ?1 ) 的值为 6 6 6 k ?0



15.在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
o

(1)求 BC 的长;

(2)求 sin 2C 的值。

16. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 已 知 AC ? BC, BC ? CC1 . 设 AB1 的 中 点 为 D ,

B1C ? BC1 ? E.
求证: (1) DE / /平面AACC 1 1 (2) BC1 ? AB1

17.(本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公 路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l, 如图所示, M, N 为 C 的两个端点, 测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假 设曲线 C 符合函数 y ?

a (其中 a,b 为常数)模型. x ?b
2

(I)求 a,b 的值; (II)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 左准线 l 的距离为 3.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦点 F 到 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

19. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) 。 (1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好 是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。 20.设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列 (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由 (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2n?k , a3n?3k , a4n?5k 依次成等比数列,并说明理由 附加题 21、(选择题)本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做, 则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、 ? 选修 4-1:几何证明选讲
a a a a

3 2

3 2

? (本小题满分 10 分)

如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD ? ?AEB

B、 ? 选修 4-2:矩阵与变换 已知 x, y ? R ,向量 ? ? ? 的另一个特征值。

? (本小题满分 10 分)

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? ? 的属性特征值 ? 2 的一个特征向量,矩阵 A 以及它 ?? 1? ? y 0?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径. 4
D.[选修 4-5:不等式选讲] 解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3

22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长

23.已知集合 X ? {1, 2,3}, Yn ? {1, 2,3, , n}(n ? N * ) ,设

Sn ? {(a, b) | a整除b或除a, a ? X , b ?Yn } ,令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明。

参考答案

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

?2 ? 1?2 ? ?? 1 ? 0?2

? 2

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

?

2 2 m2 ? 1 m2 ? 2

?

?

m ? 2 ? m? ? 2 ? ?1 ? 2 m ?2 ? m ?2?

19.

20.


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