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必修五第一章 1.1习题课正弦定理和余弦定理


习题课
一、基础过关

正弦定理和余弦定理

1.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=44° ,则此三角形解的情况为 A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定

(

)

π 2.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,sin C 等于 3 2 39 A. 13 B. 13 13 2 39 C. 3 2 13 D. 13

(

)

3.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于 ( A. 6 B.2 C. 3 D. 2 ( 11 D. 16 ) )

4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B 等于 A. 15 4 3 B. 4 3 15 C. 16

5. 在△ABC 中, AB=2, AC= 6, BC=1+ 3, AD 为边 BC 上的高, 则 AD 的长是________. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. a2-b2 sin?A-B? 7.在△ABC 中,求证: 2 = . c sin C 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 二、能力提升 9.在△ABC 中,若 a2=bc,则角 A 是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.60° ( D.120° ) ( )

10.在△ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C 为 A.30° B.60° C.45° 或 135°

11.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60° ,则△ABC 的周长是________. 12.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sin C,sin Bcos A),n= (b,2c),且 m· n=0. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积 S 的大小.

三、探究与拓展 b a tan C tan C 13.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,求 + a b tan A tan B 的值.

答案
1.B 2.A 3.D π 4.D 5. 3 6. 6

sin Acos B-cos Asin B 7.证明 右边= sin C sin A sin B = · cos B- · cos A sin C sin C
2 2 2 2 2 2 a a +c -b b b +c -a = · - · c 2ac c 2bc

a2-b2 = 2 =左边. c a2-b2 sin?A-B? 所以 2 = . c sin C 8.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 所以 cos A=- ,故 A=120° . 2 (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 1 又 sin B+sin C=1,故 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 9.A 10.C 11.12
2 2 2



12.解 (1)∵m· n=0, ∴bsin C+2csin Bcos A=0. b c ∵ = ,∴bc+2bccos A=0. sin B sin C ∵b≠0,c≠0,∴1+2cos A=0. 1 2π ∴cos A=- .∵0<A<π,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中,∵a2=b2+c2-2bccos A, ∴12=b2+4-4bcos 2π .∴b2+2b-8=0. 3

∴b=-4(舍)或 b=2. 1 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= 3. 2 b a 13.解 由 + =6cos C 得 b2+a2=6abcos C. a b

tan C tan C sin C cos A cos B 化简整理得 2(a2+b2)=3c2,将 + 切化弦,得 · ( + ) tan A tan B cos C sin A sin B sin C sin C = · cos C sin Asin B = sin2C . cos Csin Asin B

根据正、余弦定理得 sin2C 2c2 = =4. cos Csin Asin B 3 2 2 c -c 2 tan C tan C 故 + =4. tan A tan B



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