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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第五篇 数 列 第4节 Word版含解析




节 数列求和

【选题明细表】 知识点、方法 公式法求和 分组转化法求和 并项法求和 裂项相消法求和 错位相减法求和 一、选择题 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( B (A) (B) ) (C) (D) 题号 1、2、12 3、7 4、8 5、9、11 6、10

解析:∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1,q>0, ∴ =1,∴a3=1, ∴S3=7= + +1, ∴6q2-q-1=0, ∴q= ∴a1= =4, ,

∴S5= 故选 B.

= .

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于 ( B ) (C)4 (D)不确定

(A)16 (B)8

解析:由数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R), 可知数列{an}是等差数列, 由 S25= 解得 a1+a25=8, 所以 a1+a25=a12+a14=8, 故选 B. 3.数列{1+2n-1}的前 n 项和为( (A)1+2n (B)2+2n C ) =100,

(C)n+2n-1 (D)n+2+2n 解析:由题意得 an=1+2n-1, 所以 Sn=n+ =n+2n-1,故选 C. ,其前 n 项和为 Sn,

4.(2012 年高考福建卷)数列{an}的通项公式 an=ncos 则 S2012 等于( (A)1006 A )

(B)2012

(C)503 (D)0

解析:∵an=ncos

,

∴当 n 为奇数时,an=0, 当 n 为偶数时,an= 其中 m∈N*, ∴S2012=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2012 =a2+a4+a6+a8+…+a2012 =-2+4-6+8-10+12-14+…+2012 =(-2+4)+(-6+8)+…+(-2010+2012) =2×503=1006.故选 A. 5.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f'(x)=2x+1,则数列 是( (A) A ) (B) (C) (D) (n∈N*)的前 n 项和 ,

解析:f'(x)=mxm-1+a=2x+1, 所以 a=1,m=2, 所以 f(x)=x(x+1), 则 = =, }(n∈N*)的前 n 项和 Sn= .故选 A.

用裂项相消法求和得数列{ 6. + + +…+ 等于( B )

(A) (C)

(B) (D) 令 Sn= + + +…+ ,① ,②

解析:法一

则 Sn= + +…+ + ①-②得, Sn= + + +…+ = ∴Sn= 故选 B. . ,

法二 取 n=1 时, = ,代入各选项验证可知选 B. 二、填空题 7.在数列{an}中,a1= ,an+1= -an+1(n∈N*),则 S= + + +…+ 的整数部分 为 解析:因为 所以 = . = , )+( )+…+( )= =2, - ,

故 S= + + +…+ =(

因为 an>1,所以 S<2, 又 + = + >1, 所以有 1<S<2. 所以 S 的整数部分为 1. 答案:1 8. 已 知 函 数 f(x) 对 任 意 x ∈ R, 都 有 . f(x)=1-f(1-x), 则

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)= 解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1, 而 x+(1-x)=1, ∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3. 答案:3

9.(2012 温州高三质检)若已知数列的前四项是 列前 n 项和为 解析:因为通项 an= . = ,







,则数

所以此数列的前 n 项和 Sn= = =.
1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ??1 - 3 ? ? ? 2 - 4 ? ? ? 3 - 5 ? ? ... ? ? n - 1 - n ? 1 ? ? ? n - n ? 2 ?? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

答案: 三、解答题 10.(2012 烟台质检)已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)求证:数列 是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前 n 项之和 Sn. (1)证明:因为 an=2an-1+2n, 所以 = 即 =1, 是等差数列, = +1,

所以数列

且公差 d=1,其首项 = , 所以 = +(n-1)×1=n- , 解得 an= ×2n=(2n-1)2n-1.

(2)解:Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,① 而 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,② ① ② , 得 -Sn=1×20+2×21+2×22+ …

+2×2n-1-(2n-1)×2n=1+ (3-2n)2n-3.

-(2n-1)×2n=

所以 Sn=(2n-3)2n+3. 11.(2013 南充高中月考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则 解得 ∴an=2n+3(n∈N*). 的前 n 项和 Tn.

(2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2). ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴ = Tn= = = . =

12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求{|an|}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由已知得 解得 所以等差数列{an}的通项公式为 an=3n-63. (2)由(1)可知当 n≤21 时,an≤0, 当 n≥22 时,an>0. 所以当 n≤21 时,{|an|}的前 n 项和 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an =-Sn=- n2+ n. 当 n≥22 时,{|an|}的前 n 项和 Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-a1-a2-…-a21+a22+…+an =Sn-2S21 = n2- n+1260. 综上所述,Tn=


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