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北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案


北师大版高中数学必修 5 第三章《不等式》全部教案 第一课时§3.1 不等关系(一) 一、教学目标: (1)通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解 不等式(组)的实际背景; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法; (3)掌 握作差比较法判断两实数或代数式大小; (4)通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用, 培养严谨的思维习惯. 二、教学重点,难点:(1)通过具体情景,建立不等式模型;(2) 掌握作差比较法判断两实数或 代数式大小. 三、教学方法:启发引导式? 四、教学过程 (一).问题情境 在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比 较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况,例如: (1) 某博物馆的门票每位 10 元,20 人以上(含 20 人)的团体票 8 折优惠.那么不足 20 人时,应 该选择怎样的购票策略? (2)某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行 量就减少 5000 册. 要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元, 每本杂志的价格应定在怎样的范围内? (3)下表给出了三种食物 X , Y , Z 的维生素含量及成本: 维生素 A (单位/kg) 维生素 B (单位/kg) 700 100 300 成本(元/kg) 5 4 3

X
Y Z

300 500 300

某人欲将这三种食物混合成 100kg 的食品, 要使混合食物中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的维生素 B ,设 X , Y 这两种食物各取 x kg, y kg,那么 x , y 应满足怎样的关系? 2.问题:用怎样的数学模型刻画上述问题? (二) .学生活动 在问题(1)中,设 x 人( x ? 20 )买 20 人的团体票不比普通票贵,则有 8 ? 20 ? 10 x . 在问题(2)中,设每本杂志价格提高 x 元,则发行量减少 0.5 ?

x 5x ? 万册,杂志社的销售收入为 0.2 2

(2 ? x)(10 ?

5x 5x ) 万元.根据题意,得 (2 ? x)(10 ? ) ? 22.4 , 2 2
2

化简,得 5x ? 10 x ? 4.8 ? 0 . 在 问 题 (3) 中 , 因 为 食 物 X , Y 分 别 为 x kg , y kg , 故 食 物 Z 为 (10 ? x ? y) kg , 则 有

?300 x ? 500 y ? 300(100 ? x ? y) ? 35000, ? ?700 x ? 100 y ? 300(100 ? x ? y) ? 40000,

即?

? y ? 25, ?2 x ? y ? 50.

上面的例子表明, 我们可以用不等式(组)来刻画不等关系. 表示不等关系的式子叫做不等式,

?, ?, ?, ? )表示不等关系. 常用( ? ,
(三) .建构数学 1.建立不等式模型:通过具体情景,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中 的不等关系,并由此建立不等式. 问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中 的数学模型为线形规划问题. 2.比较两实数大小的方法——作差比较法: 比较两个实数 a 与 b 的大小,归结为判断它们的差 a ? b 的符号;比较两个代数式的大小,实 际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号. (四) .数学运用 1.例题: 例 1.某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求,600mm 钢 管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 解:假设截得的 500mm 钢管 x 根,截得的 600mm 钢管 y 根.

?500 x ? 600 y ? 4000, ?3x ? y, ? 根据题意,应有如下的不等关系: ? ?x ? N , ? ? y ? N.
说明:关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系. 例 2.某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每 100 克含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位; 米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉.设每盒快餐需面食 x 百克、米饭 y 百克,试写出 x , y 满足 的条件.

?6 x ? 3 y ? 8 ?4 x ? 7 y ? 10 ? 解: x , y 满足的条件为 ? . x ? 0 ? ? ?y ? 0
例 3.比较大小: (1) (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) ; (2)

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 ) . b?m b

分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并 同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 解: (1) (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) ? (a2 ? 2a ?15) ? (a2 ? 2a ? 8) ? ?7 ? 0 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) .

(2)

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? , b?m b b(b ? m) b(b ? m)
a?m a m(b ? a ) ? . ? 0 ,所以 b?m b b(b ? m)

∵ b ? a ? 0 , m ? 0 ,∴

说明:不等式

a?m a ? ( b ? a ? 0 , m ? 0 )在生活中可以找到原型: b 克糖水中有 a 克糖 b?m b

(b ? a ? 0) ,若再添加 m 克糖( m ? 0 ) ,则糖水便甜了. 例 4.已知 x ? 2, 比较 x ? 11x 与 6 x ? 6 的大小.
3 2

解: x ? 11x ? (6x ? 6) ? x ? 3x ? 3x ? 11x ? 6 ? x ( x ? 3) ? (?3x ? 2)( x ? 3)
3 2 3 2 2 2

= ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 1) -----------------(*) (1) 当 x ? 3 时, (*)式 ? 0 ,所以 x ? 11x ? 6 x ? 6 ;
3 2

(2) 当 x ? 3 时, (*)式 ? 0 ,所以 x ? 11x ? 6 x ? 6 ;
3 2 3 2 (3) 当 2 ? x ? 3 时, (*)式 ? 0 ,所以 x ? 11x ? 6 x ? 6

说明: 1.比较大小的步骤:作差-变形-定号-结论;2.实数比较大小的问题一般可用作差比 较法,其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号. 2. 练习: (1) 比较 ( x ? 5)(x ? 7)与( x ? 6) 的大小. (五) .回顾小结:1.通过具体情景,建立不等式模型;2.比较两实数大小的方法——求差比
2

的大小; (2) 如果 x ? 0 ,比较 ( x ? 1) 2 与( x ? 1) 2

较法. (六) .课外作业:课本第 68 页 练习 第 1,2,3 题( “不求解”改为“并求解” ) .

2 2 2 补充:1.比较 a ? b ? c 与 ab ? bc ? ca 的大小;2.已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ,比较

a 2 b2 ? b a

与 a ? b 的大小.

第二课时§3.1 不等关系(二) 一、教学目标 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点:掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 教学难点:利用不等式的性质证明简单的不等式。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一).课题导入: 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的 方向不改变;即若 a ? b ? a ? c ? b ? c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号 的方向不改变;即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不 等号的方向改变。即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (二).探析新课 1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证明:1)∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴ a+c>b+c

2)? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 ,∴ a ? c ? b ? c . 实际上,我们还有 a ? b, b ? c ? a ? c ,(证明:∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0.根据两 个正数的和仍是正数,得(a-b)+(b-c)>0,即 a-c>0,∴a>c. 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究

思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? an ? bn ; n a ? n b 。 证明:1)∵ a>b,∴ a+c>b+c.① ∵c>d,∴b+c>b+d. ②。由①、②得 2) a+c>b+d.

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?
n
n n

n 3)反证法)假设 a ? b ,则:若

a ? a ?

n n

b ?a?b b ?a?b

这都与 a ? b 矛盾, ∴ n a ? n b .

[范例讲解]:

c c ? 。 a b 1 1 1 1 1 ? 0 。于是 a ? ? b? 证明:以为 a ? b ? 0 ,所以 ab>0, ,即 ? ab ab ab b a c c 由 c<0 ,得 ? a b
例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证: (三).随堂练习 1: (1) 、课本 P82 的练习 3
2 (2) 、在以下各题的横线处适当的不等号:(1)( 3 + 2 )

6+2 6 ;

(2) ( 3- 2 )

2

( 6 -1) ; (3)
2

1 5?2

1 ; 6? 5

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

答案:(1)< [补充例题]:

(2)<

(3)<

(4)<

例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小。 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并 同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)。根 据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号 问题。 解:由题意可知: (a+3) (a-5)-(a+2) (a-4)=(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0∴(a+3) (a-5)<(a+2) (a-4)
2 2

随堂练习 2: (1) 、比较大小: (1) (x+5) (x+7)与(x+6) (2) x ? 5x ? 6与2 x ? 5x ? 9
2

2

2

(四).课时小结:本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式, 还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为:第一步: 作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式;第二步:判断差值与零的大 小关系,必要时须进行讨论;第三步:得出结论 (五).作业布置:课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题 五、教后反思

第三课时

§3.2 一元二次不等式及其解法

一、教学目标:1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握 图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概 括能力和逻辑思维能力;2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、 方程的联系, 获得一元二次不等式的解法; 3. 情 态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍 联系的辩证思想。 二、教学重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 教学难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一).课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教 师 引 导 学生 分 析问 题 、 解 决问 题 ,最 后 得 到 一元 二 次不 等 式 模 型:

x 2 ? 5 x ? 0 ??????????(1)
(二).探析新课 1)一元二次不等式的定义:象 x ? 5 x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2
2

的不等式,称为一元二次不等式 2)探究一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 的解集。怎样求不等式(1)的解集呢?
2

探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提出的问题。
2

3)探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :

ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下
2 2 两点: (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况, 也就是一元二次方程 ax ? bx ? c =0 2 的根的情况;(2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号

总结讨论结果: (l)抛物线
2

y ? ax2 ? bx ? c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次
2

方程 ax ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ > 0,Δ =0,Δ <0)来确定.因此, 要分二种情况讨论(2)a<0 可以转化为 a>0;分 Δ >O,Δ =0,Δ <0 三种情况,得到一元二次不等 式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集
2 2

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,则不
2

等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
[范例讲解] 例2

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

(课本第 87 页)求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2

解: 因为

? ? 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ?

1 ? 1? 2 .所以, 原不等式的解集是 ? x x ? ? 2? ?

例 3 (课本第 88 页)解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解,
2

所以不等式 x

2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .从而,原不等式的解集是 ? .

(三).随堂练习:课本第 89 的练习 1(1) 、 (3) 、 ( 5) 、 (7) (四).课时小结:解一元二次不等式的步骤:① 将二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c >0(或
2

<0)(a>0)② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ? ?.

③ 写出解集.

(五).评价设计:课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 五、教后反思

第四课时 一、教学目标

§3.2 一元二次不等式的应用

1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;进一步熟练解一元二 次不等式的解法; 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会从不同 侧面观察同一事物思想 二、教学重点:熟练掌握一元二次不等式的解法 教学难点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一).课题导入:1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;2.一元二次不等式 的解法步骤——课本第 86 页的表格 (二).探析新课 [范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s?

1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 39.5m, 那么这辆汽车刹车前的速度是多少? (精 确到 0.01km/h) 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

显然

? ? 0 ,方程 x2 ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根,即

x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94 。 所 以 不 等 式 的 解 集 为

?x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94?
在 这 个 实 际问 题 中 , x>0 , 所 以 这 辆汽 车 刹 车前的 车 速 至 少为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)

与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y ? ?2x2 ? 220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上, 那么它在一个星期内大约应该生 产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到 ?2 x ? 220 x ? 6000
2

移项整理,得 x ? 110 x ? 3000 ? 0
2

因为 ? ? 100 ? 0 ,所以方程 x ? 110 x ? 3000 ? 0 有两个实数
2



x1 ? 50, x2 ? 60
由二次函数的图象,得不等式的解为:50<x<60 因为 x 只能取正整数, 所以, 当这条摩托车整车装配流水线在 一周内生产的摩托车数量在 51—59 辆之间时,这家工厂能够获得 6000 元以上的收益。 (三) .随堂练习 1:课本第 89 页练习 2 [补充例题] ▲ 应用一(一元二次不等式与一元二次方程的关系) 例:设不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1 ,求 a ?b ? 3}
2

▲ 应用二(一元二次不等式与二次函数的关系)
2 2 例:设 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 2 x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围.

改:设 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.
2

改:若方程 x ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.
2

1 随堂练习 2:1、已知二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 1 ,求关于 x 的不等 3 或x ? 2}
2

式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2

2、若关于 m 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

改 1:解集非空; 改 2:解集为一切实数 (四).课时小结:进一步熟练掌握一元二次不等式的解法;一元二次不等式与一元二次方程以 及一元二次函数的关系。

(五).作业布置:课本第 89 页的习题 3.2[A]组第 3、5 题 五、教后反思:

第五课时§3.2 一元二次不等式的应用 一、教学目标: (1)掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法; (2)从不等式的解集出 发求不等式中参数的值或范围的问题; (3)从二次函数或是一元二次方程的角度,来解决一元二 次不等式的综合题. 二、教学重点,难点 从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题,掌握一元二次不等式恒成立的解题 思路. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) .问题情境 复习:一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 相应的 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间有什么关系?(由学生上黑板画出相应表格) (二) .数学运用 1.例题: 例 1.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求实数 m, n 之值.
2

解:? 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1}
2

? x1 ? ?5, x2 ? 1 是 x2 ? mx ? n ? 0 的两个实数根,
??5 ? 1 ? m ?m ? ?4 . ? 由韦达定理知: ? ?? ? ?5 ?1 ? n ? n ? ?5
例 2.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3} 求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2 2

b ? ?2 ? 3 ? ? a ?b ? ?5a ? c ? ? 解:由题意 ? 2 ? 3 ? , 即 ? c ? 6a . a ? a?0 ? ? ? a?0 ? ?
2 代入不等式 cx ? bx ? a ? 0 得: 6ax ? 5ax ? a ? 0(a ? 0) .
2

即 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 ,? 所求不等式的解集为 {x | ?
2

1 1 ? x ? ? }. 3 2

例 3.已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R ,求 m 的取值范围. 解:? y ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 为二次函数,? m ? 2

? 二次函数的值恒大于零,即 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R .
m?2 ?m ? 2 ? 0 ? ? m?2 , 即? ,解得: ?? ? 2 ? ??0 ?4(m ? 2) ? 16(m ? 2) ? 0 ?2 ? m ? 6
. ?m 的取值范围为 {m | 2 ? m ? 6} ( m ? 2 适合) 拓展:1.已知二次函数 y ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 的值恒大于零,求 m 的取值范围. 2.已知一元二次不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围. 3.若不等式 (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围. 归纳:一元二次不等式恒成立情况小结:

?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0
例 4.若函数 y ? 解:? y ?

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,求 k 的取值范围. x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是 R ,? x 2 ? 2kx ? k ? 0 恒成立.
? 0 ? k ?1

? ? ? 4k 2 ? 4k ? 0

故 k 的取值范围是 {k | 0 ? k ? 1} . 拓展:若将函数改为 y ?

1 x ? 2kx ? k
2

,如何求 k 的取值范围?

例 5.若不等式 mx ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值范围.
2

解:已知不等式可化为 ( x ?1)m ? (1 ? 2 x) ? 0 .
2

设 f (m) ? ( x ?1)m ? (1 ? 2 x) ,这是一个关于 m 的一次函数(或常数函数) ,从图象上看,
2

要使 f (m) ? 0 在 ?2 ? m ? 2 时恒成立,其等价条件是:

? f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ? ? 2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0,
所以,实数 x 的取值范围是 ? 2.练习:

即?

? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? 2 ? ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0.

解得

?1 ? 7 1? 3 . ?x? 2 2

? ?1 ? 7 1 ? 3 ? , ?. ? 2 2 ? ? ?

x2 ? x ? k ? k 对一切实数 x 恒不成立,求 k 的取值范围. 关于 x 的不等式 2 x ? x?3
(三) .回顾小结: 1.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题; 2.一元二次不等式恒成立的问题. (四) .课外作业:课本第 73 页 第 5、6 题; 补充练习:
2 2 1.设 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? 2kx ? 1 ? k 2 ? 0(k ? R) 的两个实根,求 x1 的最小值; ? x2

第 96 页 复习题 第 4、11 题.

2.不等式

x?a ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 2} ,求不等式 x 2 ? x ? a ? 0 的解集; 2? x

3.已知不等式

x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ? 0 对一切实数 x 都成立,求 a 的取值范围. x2 ? x ? a

五、教后反思:

第六课时

基本不等式(一)

一、教学目标:1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.过程与方法:通过 实例探究抽象基本不等式;3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习 数学的兴趣 二、教学重点:应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 过程;教学难点:基本不等式 ab ? 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、课题导入:基本不等式 ab ?

a?b 等号成立条件 2

a?b 的证明 2

a?b 的几何背景: 2

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国 人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 (二) 、探析新课 1.探究图形中的不等关系:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三 角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角 形的面积的和是 2ab,正方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,
2 2

我们就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。
2 2

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a ? b ? 2ab 。
2 2

2.得到结论:一般的,如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)
2 2

3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为

a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2


a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0,
所以, (a ? b) ? 0 ,即 (a ? b ) ? 2ab.
2 2 2

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ?

a?b 2

特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ?

a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2

用分析法证明: 要证 只要证 要证(2) ,只要证 要证(3) ,只要证

a?b ? ab 2
a+b ? a+b( -

(1) (2)

?0

2

(3) (4)

显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。 3)理解基本不等式 ab ?

a?b 的几何意义 2

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 这个圆的半径为
2

a?b 的几 2

即CD= ab .

a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与圆心重 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2

合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等比中项,那么该 2 a?b 定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中,我们称 为 a、 2
b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数. [补充例题]例 1 已知 x、y 都是正数,求证:(1)

y x 2 2 3 3 ? ≥2;(2)(x+y) (x +y ) (x +y )≥ x y

8x y . 分析:在运用定理:

3 3

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把握好 2

每条性质成立的条件),进行变形. 解:∵x,y 都是正数 ∴

y x 2 2 3 3 >0, >0,x >0,y >0,x >0,y >0 x y

(1)

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x
x2+y2≥2 x 2 y 2 >0
3 3

(2)x+y≥2 xy >0
2 2

x3+y3≥2 x 3 y 3 >0

∴(x+y) (x +y ) (x +y )≥2 xy ·2 即(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y . (三) 、随堂练习
2 2 3 3 3 3

x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

1.已知 a、b、c 都是正数,求证: (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc 分析:对于此类题目,选择定理: 解:∵a,b,c 都是正数 ∴a+b≥2 ab >0

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 2

b+c≥2 bc >0

c+a≥2 ac >0

∴(a+b) (b+c) (c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc 即(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc. (四) 、 课时小结: 本节课, 我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab; 两正数 a、 b 的算术平均数 ( 几何平均数( ab )及它们的关系(
2 2

a?b ) , 2

a?b ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、b 2

都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要 工具 ( 下一节我们将学习它们的应用 ). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题: ab ≤

a?b 2 a 2 ? b2 ,ab≤( ). 2 2
(五) 、作业布置:课本 P94 习题 五、教后反思: 1,2,3

第七课时 基本不等式(二) ——基本不等式与最大(小)值 一、教学目标:1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ? 数的最值;能够解决一些简单的实际问题 2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b ;会应用此不等式求某些函 2 a?b ,并会用此定理求某 2

些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与 实际相结合的科学态度和科学道德。 二、教学重点、难点:均值不等式定理的应用。 三、教学方法:启发引导式? 四、教学过程 1.复习回顾 (1) 、写出均值不等式并阐述其证明过程。 (2) 、均值不等式成立的条件是什么? 2.例题讲解: 例 1:求下列函数的值域 1 2 (1)y=3x + 2 2x 1 2 解: (1)y=3x + 2 ≥2 2x ∴y∈[ 6 ,+∞) (2)当 x>0 时,y=x+ 1 1 (2)y=x+

x

1 2 3x · 2 = 6 2x

x

≥2

x· =2; x

1

当 x<0 时,y≤-2 ∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 例 2:当 x>1 时,求函数 y=x+ 解:y=(x-1)+ 1 1 的最小值 x-1

x-1

+1(∵x>1)≥2+1=3

∴函数的最小值是 3 问题:x>8 时? 总结:一正二定三相等。 1 介绍:函数 y=x+ 的图象及单调区间

x

例 3:求下列函数的值域 (1)y = x +3x+5 x+1
2 2

(2)y =

x+1 x +3x+5
2

(x+1) +(x+1)+3 3 解: (1)y= =(x+1) + + 1 x+1 x+1 当 x+1>0 时,y ≥2 3 +1 ; 当 x+1<0 时,y ≤-2 3 +1 即函数的值域为: (-∞,-2 3 +1]∪[2 3 +1,+∞) (2)当 x+1≠0 时,令 t = 则问题变为:y = ∴y∈[ 1 -2 3 +1 x +3x+5 x+1
2

1 ,t∈(-∞,-2 3 +1]∪[2 3 +1,+∞) t ,0)∪(0, 1 2 3 +1 ]

又 x+1 = 0 时,y = 0 即 y∈[- 1+2 3 11 2 3 -1 , ] 11

说明:这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域,但要注意检验。 例 4:求下列函数的最大值 1 (1)y=2x(1-2x) (0<x< ) 2 1 (2)y=2x(1-3x) (0<x< ) 3 学生练习,教师准对问题讲评。 例 5:已知 x+2y=1,求 1 1 + 的最小值。 x y

学生练习,教师准对问题讲评。 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价 为 150 元, 池壁每 1m 的造价为 120 元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值, 其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得
2 3 2

l=240000+720(x+ x

1600

x

)≥240000+720×2



1600

x

=240000+720×2×40=297600

1600 当 x= ,即 x=40 时,l 有最小值 297600 因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元.

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是 不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 3.课堂小结:一般说来,和式形式存在最小值,凑积为常数;积的形式存在最大值,凑和为常 数,要注意定理及变形的应用。 4.课后作业 1)已知 x + y = 2,求 2 +2 的最小值。 x 2)求函数 y = 4 (x≠0)的最大值。 x +9 3)求函数 y = x +4x+6 的值域。 2 x +3x+5
2 2

x

y

2 1 4)已知函数 y = (3x+2)(1-3x) (1)当- <x< 时,求函数的最大值; 3 3 1 (2)当 0≤x≤ 时,求函数的最大、最小值。 4 五、教后反思:

第八课时

基本不等式(三)

一、教学目标:通过这节课,使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。 二、教学重点、难点:均值不等式定理的灵活运用。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 1.复习回顾(1) 、写出均值不等式并阐述其证明过程。 (2) 、均值不等式成立的条件是什么? 2.例题讲解: 例 1:已知 a>1,0<b<1,求证:log ab+log ba≤-2 解题思路分析: 1 1 由对数函数可知:log ba= ,log ab<0,因此由 log ab+ 的结构特点联想到用基 log ab log ab 本不等式去缩小,但条件显然不满足,应利用相反数的概念去转化。 ∵log ab<0 ∴ -log ab>0 (-log ab)· 1 =2 -log ab

1 ∴-log ab+ ≥2 -log ab 1 ∴log ab+ ≤-2 log ab

即 log ab+log ba≤-2

1 2 当且仅当-log ab= ,log a b=1,log ab=-1 时,等号成立,此时 ab=1。 -log ab 例 2:已知 x,y 为正实数,且 x + 解题思路分析: 因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 面的系数为 1 2
2 2

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

a 2+b 2
2

。同时还应化简 1+y

2

中y 前

2

x 1+y
下将 x,

=x 1 y + 2 2
2

1+y 2· 2
2

2

= 2 x·

1 y + 2 2

2

分别看成两个因式 x +(
2



1 y + 2 2
2

≤ = 2 ·x

1 y + 2 2 2

2

)

2

y 1 2 x + + 2 2 3 = = 2 4 3 4 2

2

∴x 1+y

1 y + 2 2

2



例 3:已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 解题思路分析:

若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 3x + 2y 否则,这样思考: ≤ 2
2

a+b
2


2

a 2+b 2
2

,本题很简单 3x+2y =2 5

( 3x ) +( 2y ) = 2

条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和 为定值”条件靠拢。 W>0,W =3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x ) ·( 2y ) =10+(3x+ 2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 1
2 2 2

例 4:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 解题思路分析:

ab

的最小值.

这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再 用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题 来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式 放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 30-2b -2 b +30b 法一:a= ,ab= ·b= b+1 b+1 b+1 由 a>0 得,0<b<15 -2t +34t-31 16 令 t=b=1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34
2 2

t

t

16 ∵t+ ≥2

t



16

t

=8 ∴ y≥ 1 18

∴ ab≤18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 法二:由已知得:30-ab=a+2b ∵ a+2b≥2 2 ab 令 u= ab
2

∴ 30-ab≥2 2 ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 18 型

∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,y≥

评注: 在法一, 通过消元得到一个分式函数, 在分子 (或分母) 中含有二次式。 这种类 的函数一般都可转化为 x+ 1

x

型,从而用基本不等式求解。其处理方法,请同学们仔细体会。实

际上,一般含二次式的分式函数 y=

ax2+bx+c (a,b,c,m,n,p 不全为零)均可用此方法求 mx2+nx+p

解。 例 5:某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m 的三级污水处理池(平面图如图) ,如果池 外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方 米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。 解题思路分析: 这是一道应用题,一般说来,涉及到“用料最省” 、 “造价最低”等实际问题时,考虑建立目 标函数,求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时,造价是由池外圈周壁, 中间隔墙造价,池底造价三部分组成,造价均与墙壁长度有关,应设相关墙壁长度为未知数。 若设污水池长为 x 米, 则宽为 (米)池底面积:200(米 ) 目标函数:y=400(2x+2· 200
2 2

200

x

200 200 (米) 水池外圈周壁长: 2x+ (米) 中间隔墙长: 2·

x

x

x

)+248·

200

x

324 ·2+80×200=800(x+ )+1600

x

≥1600



324

x

+1600=44800

3.课堂小结:注意利用转化思想,不等式使用的广泛性。 4.课后作业 1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 2)已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 3)若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 4)某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地,该地可以建造每层 1000m 的楼房,楼 房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一 层, 整幢楼房每平方米建筑费用提高 5%。 已知建筑 5 层楼房时, 每平方米建筑费用为 400 元, 公司打算造一幢高于 5 层的楼房,为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低(综合费用是 建筑费用与购地费用之和) ,公司应把楼层建成几层? 五、教后反思:
2

第九课时 §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 一、教学目标 1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力; 3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣。 二、教学重点:用二元一次不等式(组)表示平面区域。 教学难点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一).课题导入:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型课本第 91 页的“银行信 贷资金分配问题” 。教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究 体验的基础上,通过交流形成共识。 (二)探析新课 1.建立二元一次不等式模型 把实际问题

转化 ????? ? 数学问题:

设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元。 (把文字语言

转化 ????? ? 符号语言)
(1)

(资金总数为 25 000 000 元) ? x ? y ? 25000000

(预计企业贷款创收 12%, 个人贷款创收 10%, 共创收 30 000 元以上) ? (12%)x+(10%)y ? 30000 即 12 x ? 10 y ? 3000000 (用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值) ? x ? 0, y ? 0 将(1) (2) (3)合在一起,得到分配资金应满足的条件: (2) (3)

? x ? y ? 25000000 ? ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? x ? 0, y ? 0 ?
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等 式。

(2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序实数对 (x,y) ,所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数 对就可以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系 内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (1)回忆、思考 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形。 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线。 平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。 设点是直线 x-y=6 上的点,选取点,使它的坐标满足不等式 x-y<6,请同学们完成课本第 93 页的 表格, 横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2 并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 根据此说说, 直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y<6 有什么关系? 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 学生思考、讨论、交流,达成共识: -3 -2 -1 0 1 2 3

在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都 在直线 x-y=6 的左上方;反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足 不等式 x-y<6。 因此,在平面直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6 左上方 的平面区域;如图。 类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况: (3)结论:二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到 实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判 断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠ 常把原点作为此特殊点) 【应用举例】 例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。 解:先画直线 x ? 4 y ? 4 (画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4,∵0+4×0-4=-4<0, ∴原点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域内, 不等式 x ? 4 y ? 4 表 区域如图: 归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。特殊地,当 示 的 0 时,

C ? 0 时,常把原点作为此特殊点。
变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域。 例 2 用平面区域表示.不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集。 ?x ? 2 y

分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式

所表示的平面区域的公共部分。 解: 不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12 右下方的区 域, x ? 2 y 表示直线 x ? 2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如 图的阴影部 分就表示原不等式组的解集。 归纳:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点 集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

? 0 表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4)
变式 2、由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界) 用不等式可表示为 。

(三).随堂练习:课本第 97 页的练习 1、2、3 (四).课时小结 1.二元一次不等式表示的平面区域. 2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法. 3.二元一次不等式组表示的平面区域. (五).作业布置:课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 1 题 五、教后反思

第十课时 一、教学目标

§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际问题 中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思 想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新。 二、教学重点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来。 教学难点:把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一).课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平 面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法: 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y), 把它的坐标 (x,y)代入 Ax+By+C, 所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负 即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域. (特殊地, 当 C≠0 时, 常把原点作为此特殊点) 。 随堂练习 1 1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ?x ? 3 ?
(二).探析新课 【应用举例】

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表 格(以班级为单位) : 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间,所以 有 20 ? x ? y ? 30 考虑到所投资金的限制,得到 26 x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 y ? 1200 即

x ? 2 y ? 40

另外,开设的班数不能为负,则 x ? 0, y ? 0 把上面的四个不等式合在一起,得到:

?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基 础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ,又用 ? y 代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。 解:(1) ? 边界) 。

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形区域内(含 ? 0 ? x ? y ? 1或 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1

(2) 由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ;当 y ? 0 时,有 ?

?x ? y ? 0 点 ( x, y ) 在一条形区域内(边界);当 ?2 x ? y ? 0

y ? 0 ,由对称性得出。
指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 2、利用区域求不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的整数解 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?
分 析 : 不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,

l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所 围 成 的 三 角 形 区 域 内 部 ( 不 含 边 界 ) 。 设 l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B , l 2 ? l3 ? C ,求得区域内点横坐标范围,取出 x 的所有整数值,再代回原不等式组转化为 y 的一
元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解: 设 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 ,l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 ,l1 ? l 2 ? A ,l1 ? l3 ? B ,

l 2 ? l3 ? C ,∴ A(

75 15 3 75 12 , ) , B(0,?3) , C ( ,? ) 。于是看出区域内点的横坐标在 (0, ) 内, 19 8 4 19 19

? ? y ? ?1 ? 12 4 ? ? y ? ?1 ,得 y =-2,∴区 取 x =1,2,3,当 x =1 时,代入原不等式组有 ? y ? ?? 5 3 ? 12 ? y?? ? 5 ?
域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),(3,-1)。 指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优整数解作铺 垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的,先确定区 域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元一次不等式组,

再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约 y 。 (三).随堂练习 2 1. (1) y ? x ? 1 ; (2) . x ? y ; (3) .x? y

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 2.画出不等式组 ? 表示的平面区域 ?y ? 3 ? ?x ? 5
3.课本第 97 页的练习 4 (四).课时小结:进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。 (五) 、作业布置:课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 五、教后反思:

第十一课时 §3.3.2 简单的线性规划 一、教学目标 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决 一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想, 提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 二、教学重点:用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点:准确求得线性规划问题的最优解 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一) 、课题导入 [复习提问]:1、二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示什么图形?2、怎样 画二元一次不等式 (组) 所表示的平面区域?应注意哪些事项?3、 熟记 “直线定界、 特殊点定域” 方法的内涵。 (二) 、探析新课:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h, 每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ? x?0 ? ? ? y?0
????????????.(1) (2)画出不等式组所表示的平面区域:

????????????

如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最 大? (4)尝试解答: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化为: 当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少? 把 z=2x+3y 变形为 y ? ?

z 2 2 z x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化 3 3 3 3

时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点,

z 2 8 x? ) ,这说明,截距 可以由平面内的一个点 3 3 3 2 z 的坐标唯一确定。 可以看到, 直线 y ? ? x ? 与不等式组 ( 1) 的区域的交点满足不等式组 (1) , 3 3 z 2 z 而且当截距 最大时, z 取得最大值。 因此, 问题可以转化为当直线 y ? ? x ? 与不等式组 (1) 3 3 3
(例如(1,2) ) ,就能确定一条直线( y ? ? 确定的平面区域有公共点时, 在区域内找一个点 P, 使直线经过点 P 时截距

z 最大。 3
(5)获得结果:

2 z x ? 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 3 3 z 14 的交点 M(4,2)时,截距 的值最大,最大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 3 3
由上图可以看出,当实现 y ? ? 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都 是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目 标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解:

满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 3、 变换条件,加深理解 探究:课本第 100 页的探究活动 (1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,有应当 如何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗? (三) 、随堂练习 1.请同学们结合课本 P103 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

? y ? x, ? (1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 l 0 :2x+y=0 上. 作一组与直线 l 0 平行的直线
y

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 A(2,-1) C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

l :2x+y=t,t∈R.

可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中,以经过点 A(2,-1) 的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的
y

?5 x ? 3 y ? 15, ? 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
解:不等式组所表示的平面区域如图所示:

x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

x、y

从图示可知,直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(-2,-1) 的直线所对应的 t 最小,以经过点(

9 17 , )的直线所对应的 t 最大. 8 8

所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

zmax=3×

9 17 +5× =14 8 8

(四) 、课时小结:用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 (五) 、作业布置:课本第 105 页习题[A]组的第 2 题. 五、教后反思:

第十二课时 一、教学目标

§3.3.2 简单的线性规划

1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与 实际相结合的科学态度和科学道德。 二、教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解; 教学难点:把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,解决难点的关键是根据实际问题 中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一) 、课题导入 [复习引入]: 1、 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线)2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问 题,可行解,可行域, 最优解: (二) 、探析新课 线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的 条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少 的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: [范例讲解] 例 1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白 质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了 满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?

指出 :要完成一项确定的任务 ,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它 ,这是线性规划中

最常见的问题之一. 例 2、在上一节例 3 中,若根据有关部门的规定,初中每 人每年可收取学费 1 600 元,高中每人每年可收取学费 2 700 元。那么开设初中班和高中班各多少个,每年收取的 学费总额最高多?

指出 :资源数量一定,如何安排使用它们 ,使得效益最好,这 是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下 的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的 格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函 数; (2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3) 在可行域内求目标函数的最优解。 (三) 、随堂练习:课本第 103 页练习 2 (四) 、课时小结:线性规划的两类重要实际问题的解题思路:首先,应准确建立数学模型,即 根据题意找出约束条件,确定线性目标函数。然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域, 在可行域内求得使目标函数取得最值的解,最后,要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问 题的解,即结合实际情况求得最优解。 (五) 、作业布置:课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 3 题 五、教后反思:

第十三课时 一、教学目标

§3.3.2 简单的线性规划

1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与 实际相结合的科学态度和科学道德。 二、教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解; 教学难点:把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,解决难点的关键是根据实际问题中的 已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一) 、课题导入 [复习引入]: 1、 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (二) 、探析新课 1.线性规划在实际中的应用: 例:在上一节例 4 中,若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 10 000 元;生产 1 车皮乙种肥料, 产生的利润为 5 000 元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?

2.课本第 104 页的“阅读与思考”——错在哪里? 若实数 x , y 满足

?1 ? x ? y ? 3 ? ??1 ? x ? y ? 1

求 4 x +2 y 的取值范围.

错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 x ≤4 即 0≤4 x ≤8 ③

由②得

—1≤ y — x ≤1 ④

将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析.

(2)[辨析]通过讨论,上述解法中,确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的,但用 x 的最大(小) 值及 y 的最大(小)值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的.X 取得最大(小)值时,y 并 不能同时取得最大(小)值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解: 因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)

且由已有条件有:

3 ? 3( x ? y) ? 9 ?1 ? x ? y ? 1

(5) (6)

将(5) (6)两式相加得 所以 (三) 、随堂练习 1

2 ? 4 x ? 2 y ? 3( x ? y) ? ( x ? y) ? 10 2 ? 4 x ? 2 y ? 10

?x ? y ? 2 ? 1、求 z ? x ? y 的最大值、最小值,使 x 、 y 满足条件 ? x ? 0 ?y ? 0 ?
2、设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x 、 y 满足

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

(四) 、课时小结 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有 无数多个. (五) 、作业布置:课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 4 题 五、教后反思:

第十四课时

第三章《不等式》复习与小结(一)

一、教学目标:1.会用不等式(组)表示不等关系;2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性 质求解“范围问题” ,会用作差法比较大小;3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一 元二次方程和二次函数的关系;4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线 性规划问题;5.明确均值不等式及其成立条件,会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、教学重点:不等式性质的应用,一元二次不等式的解法,用二元一次不等式(组)表示平面 区域,求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,基本不等式的应用。 教学难点:利用不等式加法法则及乘法法则解题,求目标函数的最优解,基本不等式的应用。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (Ⅰ) 、本章知识结构

(Ⅱ) 、知识梳理 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质:(1)对称性: a ? b ? b ? a ;(2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? (6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) a b

(7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小;作差法 3、应用不等式性质证明 (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2

设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,则不
2

等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
(三)线性规划

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

1、用二元一次不等式(组)表示平面区域:二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表 示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一 侧取一特殊点 (x0,y0), 从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域. (特 殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条 件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于 x、

y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数.③
线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线 性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可 行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数;

(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a,b 是正数,那么 2
(四)基本不等式 ab ?

ab ?
2、基本不等式 (Ⅲ) 、典型例题

a?b 2 几何意义是“半径不小于半弦”

1、用不等式表示不等关系 (1) 、某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于 20 万元呢? 解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ? 售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么不等关系“销 0.1

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

(2) 、某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的 数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ;(2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数 量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:

?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?
2、比较大小 例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小。 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并 同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)。根 据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号 问题。

解:由题意可知: (a+3) (a-5)-(a+2) (a-4)=(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0∴(a+3) (a-5)<(a+2) (a-4) 3、利用不等式的性质求取值范围 例 3、已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围。 ([-2,0]) 4、解一元二次不等式 例 4、 解不等式: (1) 2 x ? 7 x ? 4 ? 0 ; (2) ? x ? 8 x ? 3 ? 0
2 2

2

2

例 5、已知关于 x 的方程(k-1)x +(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根,求实数 k 的取值范围 【例 4(1) x ?

2

5 ?7 ? 33 ?7 ? 33 ; (2) 4 ? 13 ? x ? 4 ? 13 ;例 5: ?1 ? k ? 】 或x ? 3 4 4

(Ⅳ) 、小结:本课主要进行了知识梳理归纳,探析了四种题型的解法,要求大家熟练掌握并能 灵活运用。 (Ⅴ) 、作业布置:本章复习题三 五、教后反思: A 组 1、2、3、4 B 组 1、2

第十五课时

第三章《不等式》复习与小结(二)

一、教学目标:1.会用不等式(组)表示不等关系;2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性 质求解“范围问题” ,会用作差法比较大小;3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一 元二次方程和二次函数的关系;4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线 性规划问题;5.明确均值不等式及其成立条件,会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、教学重点:不等式性质的应用,一元二次不等式的解法,用二元一次不等式(组)表示平面 区域,求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,基本不等式的应用。 教学难点:利用不等式加法法则及乘法法则解题,求目标函数的最优解,基本不等式的应用。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (Ⅰ) 、基础回顾 (一) 、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域:二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表 示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一 侧取一特殊点 (x0,y0), 从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域. (特 殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条 件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于 x、

y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数.③
线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线 性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可 行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a,b 是正数,那么 2
(二)基本不等式 ab ?

ab ?
2、基本不等式 (Ⅱ) 、典型例题

a?b 2 几何意义是“半径不小于半弦”

1、二元一次方程(组)与平面区域 【例 1】 (1) 、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.

?x ? y ? 5 ? 0 ? (2) 、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ?x ? 3 ?
2、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

【例 2】某商场计划出售 A、B 两种商品,商场根据实际情况和市场需求,得到有关数据如下表: (商品单位:件) 资金(百元) 单位进价 单位工资支出 单位利润 A 商品 30 5 6 B 商品 20 10 8 日资金供应量 3000 1100

问如何确定两种货物的月供应量,可以使得总利润达到最大?最大利润为多少? 分析:这是一个典型的线性规划问题 解法一:设供应 A 商品 x 件,B 商品 y 件

?30 x ? 20 y ? 3000 ? 由题意有 ?5 x ? 10 y ? 1100 要求目标函数
z=6x+8y 的最大值。

?3x ? 2 y ? 300 ? 约束条件可化为 ? x ? 2 y ? 220

?3x ? 2 y ? A ? 令 ?x ? 2 y ? B

设 6x+8y= ? A+μ B= ? (3x+2y)+μ (x+2y)

?3? ? ? ? 6 ? ∴ ?2? ? 2? ? 8 ?3x ? 2 y ? 300 ? 当 ? x ? 2 y ? 220

?? ? 1 ? ?? ? 3

∴6x+8y=A+3B≤960

? x ? 40 ? 即 ? y ? 90 时 6x+8y 的最大值为 960

∴每月供应 A 商品 40 件,B 商品 90 件时,商场可获最大利润为 96000 元。

?3x ? 2 y ? 300 ? 解法二:约束条件为 ? x ? 2 y ? 220
可行域为如图阴影部分(四边形 OACB 内部)

y 150 100 C (40,90) B 6x+8y=z x+2y=220 3x+2y=300 A x

0
?

目标函数 z=6x+8y 表示一组斜率为

3 z 4 的平行直线,其在 y 轴上的截距为 8 ,当直线 z=

6x+8y 经过点 C(即 3x+2y=300,x+2y=220 的交点)时直线在 y 轴上的截距为最大,此时 x=40, y=90,z=960(下略) 3、利用基本不等式证明不等式 2 2 【例 3】设 a,b∈R,求证:a +b ≥ab+a+b-1。 解题思路分析: 思路一:这是一个整式不等式,可考虑用比较法,在配方过程应体现将 a 或 b 看成主元的思 想,在这样的思想下变形,接下来的配方或因式分解相对容易操作。 作差 δ =a +b -ab-a-b+1=a -(b+1)a+b -b+1= =
(a ? b ?1 2 3 ) ? (b ? 1) 2 2 4 ≥0
2 2 2 2 2 2

(a ?

b ?1 2 3 2 3 3 ) ? b ? b? 2 4 2 4

思路二:注意到不等式两边式子 a +b 与 ab 的结构特点,联想到基本不等式;为了得到左边 的 a 与 b 项,应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。 因 a +b ≥2ab,a +1≥2a, b +1≥2b 三式同向相加得:a +b ≥ab+a+b-1 思路三:在思路一中,作差δ 后得到关于 a 的二次三项式,除了用配方法,还可以联系二次 函数的知识求解。 记 f(a)=a -(b+1)a+b -b+1 因二次项系数为正,△=(b+1) -4(b -b+1)=-3(b-1) ≤0 ∴ f(a) ≥0 4、利用基本不等式求最值
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

【例 5】某地区上年度电价为每千瓦时 0.8 元,年用电量为 a 千瓦时,本年度计划将电价降到每 千瓦时 0.55 元至 0.75 元之间,而用户期望电价为每千瓦 0.4 元。经测算,下调电价后新增的用 电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 (比例系数为 k) , 该地区电力成本价为每千瓦 0.3 元, 设 k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%? 解题思路分析: 解决实际应用题,首先要理清数量之间关系,如本题:收益 = 实际用电量×(实际电价-成本 价) 。其次,将关键文字语言转换成适当的数学模型,如“新增的用电量与实际电价和用户期
k 望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为 x,则新增用电量= x ? 0.4 ” , “电 k ? a )(x ? 0.3) 力部门的收益比去年至少增长 20%”翻译为数学模型就是“本年度收益 x ? 0.4 ,去 ( k ? a )(x ? 0.3) 年收益(0.8-0.3)a, x ? 0.4 ≥(0.8-0.3)a(1+20%) ” 。 ( 0.2a ? a )(x ? 0.3) x 令 k=0.2a,解不等式: ? 0.4 ≥(0.8-0.3) (1-20%)a (

即 x -1.1x+0.3≥0 得:x≥0.6,或 x≤0.5 又 0.55≤x≤0.75∴x=0.6
k ?a 解:设实际电价为 x(元) ,则用电量增至 x ? 0.4 ,去年收益为(0.8-0.3)a,今年收 k 0.2a ? a )(x ? 0.3) ( ? a )(x ? 0.3) 益为 x ? 0.4 当 k=0.2a 时,由已知得: x ? 0.4 ≥ (0.8 ? 0.3)(1 ? 20%) a (

2

化简得: x -1.1x+0.3>0∴ x≥0.6, 或 x≤0.5 又 0.55≤x≤0.75

2

∴0.6≤x≤0.75

∴当实际用电价最低定为每千瓦时 0.6 元时, 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%。 (Ⅲ) 、作业布置:本章复习题三 五、教后反思: A 组 3、6、7、8 B组3 C组2


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