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河北省唐山一中2014届高三12月月考数学文试题


唐山一中 2013—2014 学年高三年级 12 月份调研考试 数学(文)试题
注意事项: 1.本试卷共 4 页分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿纸上作答无 效。

第Ⅰ卷:选择题(60 分)
2.选择题: (本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.不等式 2ax ? 1 解集为 Q, p ? x x ? 0 ,若 Q ? CR P ? ? x 0 ? x ?

?

?

? ?

1? ? ,则实数 a 等于 4?

A.

1 4

B.

1 2

C.4

D.2

2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 8a 2 ? a5 ? 0 ,则 A. ? 8 B. 5 C. 8 D. 15

S4 ? S2

3.设函数 f ( x) ? ? A. ? 1
4. 已知命题 p

? x, x ? 0 ? ? ? x, x ? 0 ? B. ? 3

,若 f (a ) ? f (?1) ? 2, 则 a ? C. ? 1 D. ? 3

: ?x ? R , 2x ? 3x ,命题 q : ?x ? R , x 3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q B. p ? ?q C. ?p ? q D. ?p ? ?q
2

a2 ? b2 1 5. 已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? b ? 0(a ? 0) 的解集是 {x | x ? ? , x ? R} , a>b,则 且 a?b a
的最小值是 A. 2 2
6. 长 方 体
[

B.2

C. 2

D.1

ABCD ? A1 B1C1 D1 的 各 个 顶 点 都 在 表 面 积 为 16? 的 球 O 的 球 面 上 , 其 中

AB : AD : AA1 ? 2 :1: 3 ,则四棱锥 O ? ABCD 的体积为
A.

6 3

B.

2 6 3

C. 2

3

D. 3

7. 若函数 f ( x) ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

)(?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与函数
A 3 y D

f ( x) 的图象交于 B, C 两点,则 (OB ? OC ) ? OA ?
A. ?32 B.16 C.32 D. ?16

B -1

1 O 1

C x

8.函数 y = x 2-2x 在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的轨迹是右图中的 A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD 9.右图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积等于 A. 34 ? 6 5 C. 6 ? 6 3 ? 4 13 A. x 2 ? 4 x ? 2 y C. y 2 ? 4 y ? 2 x B. 6 ? 6 5 ? 4 3 D. 17 ? 6 5 B. x 2 ? 4 y ? 2 x D. y 2 ? 4 x ? 2 y

10. 已知恒过定点(1,1)的圆 C 截直线 x ? ?1 所得弦长为 2,则圆心 C 的轨迹方程为

11.已知函数 y ? f ( x) 定义域为 (?? , ? ) , 且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称, x ? (0, ? ) 当
? 时, f ( x) ? ? f ? ? ? sin x ? ? ln x , (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的 导函数) 若 a ? f ? 30.3 ? , b ? f ? log? 3? , , ? ?
?2?
c ? f ? ? log 3 9 ? 则 a, b, c 的大小关系是

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

12.已知点 B (1,0) , P 是函数 y ? e x 图象上不同于 A(0,1) 的一点.有如下结论: ①存在点 P 使得 ?ABP 是等腰三角形; ②存在点 P 使得 ?ABP 是锐角三角形; ③存在点 P 使得 ?ABP 是直角三角形. 其中,正确的结论的个数为 A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷:非选择题(90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。

?x ? y ? 1 ? 1 ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? ,则 x ? 3 y 的最大值为________________. 2 ? ?2 x ? y ? 4 ?
14. 等比数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,公比 q 满足 q ? 1 ,若 am ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?a 5 ,则 m= 15.已知 | OA |? 1 , | OB |? k , ?AOB ? .

???? ??? ? ??? ? OC ? 2mOA ? mOB ? m ? 0 ? ,则 k ?

2 ? ,点C 在 ?AOB 内, OC ?OA ? 0 ,若 3
.
2

16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 满足 b

? c 2 ? a 2 ? bc ,

AB ? BC ? 0 , a ? 3 , 则 b 2 ? c 2 的取值范围是
2

.

三.解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足: a 2 ? a3 ? 45 , a1 ? a 4 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

bn 2S n , f ( n) ? (n? N*) ,求 f (n) 的最大值. (n ? 25) ? bn ?1 2n ? 1

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1) ,向量 n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . (1)求 f (x) 的最小正周期 T ; (2)已知 a, b, c 分别为 D ABC 内角 A, B, C 的对边, A 为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 , 且 f ( A) 恰是 f ( x) 在 [0,

1 2

?
2

] 上的最大值,求 A 和 b 的值.

19. (本题满分 12 分) 右 图 为 一 组 合 体 , 其 底 面 ABCD 为 正 方 形 , PD ? 平 面 ABCD , EC // PD , 且

PD ? AD ? 2 EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积.

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=4 和直线 l:x=4,M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q. (1)若 M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证直线 PQ 过定点,并求出此定点的坐标.

21. (本小题满分 12 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区改造为 y 亿 元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景 区改造费用 y 随每年改造生态环境总费用 x 增加而增加; ②每年改造生态环境总费用至少 a 亿元, 至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用 y 不得低于每年改造生态环境总费用 x 的 15%,但不得 高于每年改造生态环境总费用 x 的 25%. 若 a ? 2 , b ? 4 ,请你分析能否采用函数模型 y= 案.

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方 100

22. (本小满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
a 其中 a ? 0 ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a ,F ( x) ? 2 x 3 ? 3(2a ? 3) x 2 ? 12(a ? 1) x ? 12a ? 2 , x

且 a ? ?1 . (Ⅰ) 当 a ? ?2 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若 x ? ?1 时,函数 F ( x) 有极值,求函数 F ( x) 图象的对称中心的坐标; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ?
? F ( x), x ≤ 1, ( e 是自然对数的底数) ,是否存在 a 使 g ( x) 在 [a, ?a] 上为 ? f ( x), x ? 1.

减函数,若存在,求实数 a 的范围;若不存在,请说明理由.

2013—2014 学年高三年级第三次调研考试 数学(文)试题答案
DBACA BCAAD BB 13. 2 14. 11 15. 4 16. ?

?3 5? , ? ?4 4?

17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)∵ ∴ 数列 ?a n ? 是等差数列,

a 2 ? a3 ? a1 ? a 4 ? 14 .又 a 2 a3 ? 45 ,



?a 2 ? 5 ?a 2 ? 9 ,或 ? . ? ?a 3 ? 9 ?a 3 ? 5
公差 d ? 0 ,∴

∵ ∴ ∴ (Ⅱ)∵ ∴

a 2 ? 5 , a3 ? 9 .

d ? a3 ? a 2 ? 4 , a1 ? a 2 ? d ? 1 . a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 3 .
S n ? na1 ? 1 n(n ? 1)d ? n ? 2n(n ? 1) ? 2n 2 ? n , 2

bn ? 2n

f ( n) ?

n 2n ? 2 ? (n ? 25) ? 2(n ? 1) n ? 26n ? 25

1 1 ≤ . 25 36 n? ? 26 n

当且仅当 n ?

25 1 ,即 n ? 5 时, f (n) 取得最大值 . n 36 ?? ? ?? 1 , 2

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ?
?T ?

?
6

) ? 2,

2? ? ? . ……6 分 2

(2) 由(1)知: f ( x) ? sin( 2 x ?

?

?当 2x ?

?
6

?

?
2

? ? ? 5? ) ? 2 , x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? 6 2 6 6 6

时 f ( x) 取得最大值 3 ,此时 x ?

?

? 由 f ( A) ? 3 得 A ?
即 则

?

3

.

1 . 由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ∴ 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ? , 3 2
……………12 分

19. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ EC // PD, PD ? 平面PDA , EC ? 平面PDA ∴ EC // 平面PDA 同理可证 BC // 平面PDA ∵ EC ? 平面EBC , BC ? 平面EBC , 且EC ? BC ? C ∴ 平面BEC // 平面PDA 又∵ BE ? 平面EBC , ∴ BE // 平面PDA

(Ⅱ)解:∵ PD ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ∴ PD ? BC ∵ BC ? CD , PD ? CD ? D ∴ BC ? 平面PDCE ∵ S梯形PDCE ?

∴四棱锥 B ? CEPD 的体积

1 1 ( PD ? EC )?DC ? ? 3 ? 2 ? 3 2 2

1 1 VB ?CEPD ? ?S梯形PDCE ?BC ? ? 3 ? 2 ? 2 3 3 (Ⅲ)解:∵ BE ? PE ? 5 PD ? 2 3 1 ∴ S PBE ? ? 2 3 ? 2 ? 6 2 又∵ S ABCD ? 4 , S PDCE ? 3 , S PDA ? 2 , S BCE ? 1 , S PAB ? 2 2
∴组合体的表面积为 10 ? 2 2 ? 6 20.(本小题满分 12 分) 【解】 (1)当 M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0). 直 线 MA1
? x 2 ? y 2 ? 4, 的 方 程 : x - 3y+2=0 , 解 ? 得 P 8 ,6 5 5 ?x ? 3y ? 2 ? 0

? ?

. …

(2)设 M(4,t),则直线 MA1 的方程: y ?

t t ( x ? 2) ,直线 MA2 的方程: y ? ( x ? 2) 6 2

t ? ? 72 ? 2t 2 24t ? ? y ? ( x ? 2) , 由? 得 P? 6 2 2 ? ? 36 ? t 36 ? t ? ? x2 ? y 2 ? 4 ? t ? ? 2t 2 ? 8 ?8t ? ? y ? ( x ? 2) , 由? 得Q? 2 2 2 ? 2 2 ? 4?t 4?t ? ?x ? y ? 4 ?
当 t ? ? 3 时, k PQ ? 化简得 y ?

8t 8t ? 2t 2 ? 8 ? 8t ? x? ,则直线 PQ: y ? ? ? 4 ? t 2 12 ? t 2 ? 4 ? t2 ? 12 ? t 2

8t 8t ,恒过定点(1,0) x? 2 12 ? t 12 ? t 2

当 t ? ? 3 时, P (1, ? 3), Q(1, ? 3) ,直线 PQ:x=1, 恒过定点(1,0) 故直线 PQ 过定点(1,0) .………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:∵ y ' ?

1 (3x 2 ? 4) ? 0 , 100 1 ∴函数 y= ( x 3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。 100 y 1 16 设 g ( x) ? ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x
则 g '( x) ?

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) , (2 x ? 2 ) ? 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 4 ,即 x ? [2, 4] , g ( x) 在 [2, 4] 上是减函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 4 时, g ( x) 有最大值 24%<25%, ∴能采用函数模型 y=

1 ( x 3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 100

12 分

22. (本小满分 12 分) 解:(Ⅰ) (Ⅰ) 当 a ? ?2 , 2 3 x 2 ? 3x ? 2 f ?( x) ? 2 ? 1 ? ? , x x x2 设 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 所以 x ? 1 ,或 x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· f ( x) 单调增区间是 (0,1) , (2, ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分 (Ⅱ) 当 x ? ?1 时,函数 F ( x) 有极值, 所以 F ?( x) ? 6 x 2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) ,且 F ?(?1) ? 0 ,即 a ? ? , 所以 F ( x) ? 2 x 3 ? 6 x ? 16 , F ( x) ? 2 x 3 ? 6 x ? 16 的图象可由 F1 ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 的图象向下平移 16 个单位长度得到, 而 F1 ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 的图象关于(0,0)对称, 所以函数 F ( x) ? 2 x 3 ? 6 x ? 16 的图象的对称中心坐标为 (0, ?16) ; · · · · · · · · · · · · 8 分 ··········· (Ⅲ)假设存在 a 使 g ( x) 在 [a, ?a] 上为减函数, F ?( x) ? 6 x 2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) ? 6( x ? 1)( x ? 2a ? 2) ,
1 2 1 1 (2)当 a ? ? 时, F ?( x) ? 0 得: ? x ? 2a ? 2 ,F ( x) 在 (??,1] 上为增函数, 由 则在 [a,1] 2 3 2

(1)当 a ? ? 时, F ?( x) ? 6( x ? 1) 2 ≥ 0 , F ( x) 在定义域上为增函数,不合题意;

上也为增函数,也不合题意;

1 2 因为 g ( x) 在 [a, ?a] 上为减函数,则 F ( x) 在 [a,1] 上为减函数, f ( x) 在 [1, ?a] 上为减函

(3)当 a ? ? 时, F ?( x) ? 0 得:2a ? 2 ? x ? 1 , [a, ?a] ? [2a ? 2,1] a 无解, a ? ?1 , 由 若 则

数,且 F (1) ≥ f (1) ,则 a ≥ ?3 . 由 2a ? 2 ? a ,得 a ≤ ?2 . 综上所述,符合条件的 a 满足 [?3, ?2] . 12 分


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