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正弦定理余弦定理综合应用


一、知识梳理
1.内角和定理:在 ? ABC 中, A ? B ? C ?

? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C

面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 在三角形中大边对大角,反之亦然.

2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C

sin A ?
形式四:

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 cc ao s B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C (解三角形的重要工具)
cos B? a 2 ? c 2? b 2 a 2 ? b 2? c 2 cos C? 2ac 2ab

cos A ?
形式二:

b2 ? c2 ? a 2 2bc

二、方法归纳
a b c ? ? (1)已知两角 A、B 与一边 a ,由 A+B+C=π 及 sin A sin B sin C ,可求出角 C,再求 b 、 c .
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角 A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角 B、C.
2 2 2

(3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A、B、C.

a b ? (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角 B,由 C=π -(A+B),求
a c a b ? ? 出 c ,再由 sin A sin C 求出 C,而通过 sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两解或无解的情况

a = b sinA 有一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a > b 有一解

三、课堂精讲例题
问题一:利用正弦定理解三角形 【例 1】在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

? 1 , sin A ? ,则 a ? 4 3

.

5 2 3

【例 2】在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求 A、C 和 c .

【解析】 ∵B=45°<90°且 a sinB<b< a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得 sinA= 则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,c=

a sin B 3 3 sin 45? = = , b 2 2

b sin C 2 sin 75? 6? 2 2 sin( 45? ? 30?) = = = . sin B sin 45? 2 sin 45? b sin C 2 sin 15? = = sin B sin 45?

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,c= 故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c=

6? 2 2 sin( 45? ? 30?) = . 2 sin 45?

6? 2 或 A=120°,C=15°, 2

c=

6? 2 . 2

【思考】 从所得到式子看, 为什么会有两解: sinA =

3 ,在 (0, ? ) 上显然有两个解。y 2

? sin x 在 (0, ? ) 上的值域为 (0,1】 ,

n i s

x 1 ? 在 (0, ? ) 只有

x?

?
2 一解。

【适时导练】 1.(1)△ABC 中, a =8,B=60°,C=75°,求 b ; 【解析】 (1)由正弦定理得 (2)由正弦定理得 sinC= (2)△ABC 中,B=30°, b =4,c=8,求 C、A、a.

a b a sin B 8 ? sin 60? ? ? .∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b= =4 6 . sin A sin B sin A sin 45?

c sin B 8 sin 30? ? =1.又∵30°<C<150°,∴C=90°. b 4

2 2 ∴A=180°-(B+C)=60°, a = c ? b =4 3 .

问题二:利用余弦定理解三角形 【例 3】设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cosC ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. 【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力 【解析】 (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

1 . 4

1 ?4 4

∴ c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 .

15 2 a sin C 15 1 15 1 ? ? 2 ? 4 ? (Ⅱ)∵ cosC ? ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? ,∴ sin A ? c 2 8 4 4 ?4?

? 15 ? 7 ? ∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? ?8 ? ?
2

2

∴ cos? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 4 16

【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

2

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
【例 4】 (2010 重庆文数) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,且 3 b +3 c -3 a =4 2 b c .
2 2 2

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅰ) 求 sinA 的值;(Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

【适时导练】 2 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且
cos B b =. cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小;(2)若 b = 13 , a + c =4,求△ABC 的面积.

cos B a2 ? b2 ? c2 b a2 ? c2 ? b2 【解析】 (1)由余弦定理知:cosB= ,cosC= .将上式代入 =得: cos C 2 a ?c 2 ab 2ac

2ab b a2 ? c2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 2 2 2 · 2 整理得: a + c - b =- a c ∴cosB= = =2 2 =2a ? c a ?b ?c 2ac 2 ac 2 2ac
∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b = 13 , a + c =4,B=
2 ? . 3 2 2 2 2 ? 代入 b = a + c -2 a 3 2

c cosB,得 b 2=( a + c )2-2 a c -2 a c cosB
4

1 3 3 1? 2 ∴ b =16-2 a c ? . ?1 ? ? ,∴ a c =3.∴S△ABC= a c sinB=

?

2?

3

问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】 (2011 山东文数)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知 (I)求

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A

(II)若 cosB=

1 , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。 【解析】 (I)由正弦定理,设

a b c 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? ? k, 则 ? ? , sin A sin B sin C b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 所以 cos B sin B sin C 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2sin A 因此 ? 2. sin A 1 sin C (II)由 ? 2 得 c ? 2a. 由余弦定得及 cos B ? 得 4 sin A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 1 ? a 2 ? 4 a 2 ? 4a 2 ? 4 2 ? 4a .
所以 b ? 2 a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。 【思考】到底“具体什么情况下边化角,什么情况下角化边” 【例 6】 (2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
【解题思路】对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理;而对已知条件(2)
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 化角化边都可以。
【解析】解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b 2 .解得 2ab 2bc

b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A c
4



由①,②解得 b ? 4 . 【思考】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上的差别。 【适时导练】 3. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 8 sin2

B?C -2 cos 2A=7. 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

A B?C A B?C =90°- .∴ sin = cos . 2 2 2 2 B?C A 由 8sin2 2 -2cos2A=7,得 8cos2 2 -2cos2A=7.∴ 4(1+cos A)-2(2 cos2A-1)=7,
解:(1)∵ A+B+C=180°,∴ 即(2cos A-1)2=0.∴ cos A=

1 2

∵ 0°<A<180°,∴ A=60°.

(2)∵ a= 3 ,A=60°,由余弦定理知 a2=b2+c2-2bc cos A,∴ 3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=9-3bc. ∴ bc=2.又 b+c=3,∴ b=1,c=2 或 b=2,c=1. 问题四:三角恒等变形 【例 7】 (08 重庆) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:

a (Ⅰ) c 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. a b; 【解题思路】求 c 的值需要消去角和 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
a 7 ? . 1 1 7 ?1 ? 3 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A = ? c ? ? c 2 ? 2 ? c ? c ? ? c 2 故 c 3 2 9 ?3 ?
2 2 2

2

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , sin B sin C (Ⅱ)解法一: cot B ? cot C = = sin B sin C sin B sin C

7 2 c sin A 1 a 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . 1 sin B sin C sin A bc 9 3 c· c 3 3 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得
2

cot B ? cot C ?


14 3 . 9

7 2 1 c ? c 2 ? ( c) 2 a ?c ?b 5 3 ? 9 ? 解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有 cos B ? 2ac 7 2 7 2? c?c 3
2 2 2

5

sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?


25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 1 3 3 c ? c ? c2 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? . a ?b ?c 1 9 9 28 2 7 ? ?? 同理可得 cosC ? 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
2 2 2

cot B ? cot C ?
从而

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9
同角三角函数的基本关系式:

【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦” ,

(1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ? 【适时导练】 4.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ? (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c .

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ,即 , ? cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B ,
【解析】(1) 因为 tan C ? 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 即 2C ? A ? B , 得 C ? 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? 得A?

?
4

,B ?

5? 12

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

(2) S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8



a c , 即 ? sin A sin C

a c , ? 2 3 2 2

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 问题五:判断三角形形状 【例 8】在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,bcosA= a cosB,试判断 ?ABC 三角形的形状.
6

【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余 弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【解析】方法 1:利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA= a cosB
2 2 2

b?

2 2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? a? 2bc 2ac
2
2 2 ∴a ? b

∴b ? c ? a ? a ? c ?b 故此三角形是等腰三角形.

∴a ? b

方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA= a cosB 又 b=2RsinB, a =2RsinA

∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即 A=B 故三角形是等腰三角形. 【思考】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内角的一些变形公式. cosA b 【例 9】. 在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若cosB =a , 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解析】 :方法 1:利用余弦定理将角化为边 π cosA b cosA sinB 由已知cosB =a 及正弦定理得cosB =sinA ∴sin2A=sin2B∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= 2 , 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法 2:利用正弦定理将边转化为角.

∵acosA=bcosB
2 2

b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ?b 2 2 2 2 2 2bc 2ac ∴ ∴ (a ? b )(a ? b ? c ) ? 0 a
2

∴a=b 或者 a ? b ? c ? 0 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【适时导练】 5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 )

D.等边三角形

【解析】2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,∴sin(A-B)=0,∴A=B 6.在△ABC 中, a 、 b 、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果( a +b )sin(A-B)=( a -b )sin(A+B),
2 2 2 2

判断三角形的形状. 【解析】方法一 已知等式可化为 a [sin(A-B)-sin(A+B) ]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)]
2 2

∴2 a cosAsinB=2 b cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为:sin AcosAsinB=sin BcosBsinA
2 2 2 2

∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ?
7

得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A= 方法二
2

? -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 2
2

同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB 由正、余弦定理,可得

a 2b b

2

? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = b a ∴ a (b +c - a )=b ( a +c -b )即( a - b )( 2bc 2ac
2 2 2

a 2+ b 2-c2)=0

∴ a = b 或 a + b =c ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 问题六:与其他知识综合 【例 10】已知向量 m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且m ? n ? 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角,a , b ,c 分别是角 A, B,C 的对边 .(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。 【解析】 (1)由 m ? n ? 0 得 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0 ? a2 ? b2 ? c2 ? ab 由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2

0?C ?π

?C ?

π 3

(2)

C?

π 3

?A? B ?

2π 3

? sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2π 2π 2π ? A) ? sin A ? sin cos A ? cos sin A 3 3 3

3 3 3 1 ? sin A ? cos A ? 3( sin A ? cos A) 2 2 2 2

π ? 3 sin( A ? ) 6
0? A? 2π 3 π π 5π ? ? A? ? 6 6 6 1 π ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6
? 3 π ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6



3 ? sin A ? sin B ? 3 . 2
向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。

【思考】坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则:

实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 平面向量数量积: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 = a b cos ? 【适时导练】 7(2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 【解析】 (Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

8

又 A ? (0, ? ) ,sin A ? 1 ? cos A ?
2

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面 5 5

积为:

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 问题 7:三角实际应用

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

【例 11】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°, ∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离. 【解题思路】找到三角形,利用正弦定理和余弦定理。 【解析】如图所示在△ACD 中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.∴BC=
6? 2 3 sin 75? = . 2 sin 60?
2

2 ( 3) + ( △ABC 中,由余弦定理,得 AB =

6? 2 2 6? 2 ) -2× 3 × ×cos75° 2 2

=3+2+ 3 - 3 =5,∴AB= 5 (km).∴A、B 之间的距离为 5 km.

课后自我检测 A
1.已知△ABC 中, cot A ? ? 【答案】


)

12 ,则 cos A ? 5

(

?

12 13

2.在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 【答案】 1

2? ,则 a= 3



3.已知 a , b , c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1, b = 3 , A+C=2B,则 sinC= 【答案】 1.

.

【解析】由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,

1 1 3 ? ,即 sin A ? .由 a ? b 知, 2 sin A sin 60

A ? B ? 60 ,则 A ? 30 ,

C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 30 ? 60 ? 90 , sin C ? sin 90 ? 1
9

3.在 ?ABC 中, a =15, b =10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3

【答案】D 【解析】根据正弦定理

a b 15 10 3 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 B ? A ,故 B 为锐角,所以 ? ? sin A sin B sin 60 sin B 3

cos B ? 1 ? sin 2 B ?

6 ,故 D 正确. 3
o

4.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的值为 ( A. 3 【答案】C 5.(2008 福建)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若( a + c -b )tanB= 3ac ,
2 2 2

) D.3

B. 2 3

C. 3 或 2 3

则角 B 的值为 A.

( B.



? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

【答案】 D 6.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 【解析】 (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 两式相减,得 AB ? 1. (II)由 △ ABC 的面积

1 6

2 AB ,

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C , ,得 BC ? AC ? , 3 2 6

由余弦定理,得 cosC=

AC 2 ? BC 2 ? AB2 2 AC ? BC

=

( AC ? BC) 2 ? 2 AC ? BC ? AB2 1 ? , 2 AC ? BC 2

所以 C ? 60 . 7.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 b sin A ? 3a cos B . (I)求角 B 的值; (II)若 cos

A 2 5 ? , 求 sinC 的值. 2 5
10

【解析】 (I)由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

因 为 sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 ,
由于 0 ? B ? ? ,所以 B ? (II) cos A ? 2 cos
2

?
3



A 3 ?1 ? , 2 5
4 , 5

因为 sin A ? 0 ,故 sin A ?

所以 sin C ? sin? A ?

? ?

??

1 3 4?3 3 . cos A ? ? ? sin A ? 3? 2 2 10
[来源:Zxxk.Com]

8 在 ?ABC中, a , b , c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 3 , sin

B 1 ? ,求 b . 2 3

[来源:学科网 ZXXK]

【解析】 (Ⅰ)由 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 , 得 2(cos B cos C ? sin B sinC ) ? 4 sin B sinC ? ?1 , 即 2(cos B cos C ? sin B sinC ) ? ?1 . 从而 2 cos(B ? C ) ? ?1 ,得 cos(B ? C ) ? ? ∴B?C ?

1 . 2

? 2? ,故 A ? . 3 3
B 2 2 B 1 , ? ,得 cos ? 2 3 2 3

(Ⅱ)由 sin

∴ sin B ? 2 sin ∵ ∴

B B 4 2 . cos ? 2 2 9

b a , ? sin B sin A
b ? 3 3 2

4 2 9



解得 b ?

8 6 . 9

9. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟文科)已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数

1 2

f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 ,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 【解析】
11

12


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