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高中数学一轮复习(五) 解三角形、复数


高中数学一轮复习(五) ——解三角形、复数 一、解三角形
a b c ? ? ? 2R 1.正弦定理: sin A sin B sin C 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C .

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 2. 余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ? 或

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? ?cos B ? 2ac ? 2 ? b ? a2 ? c2 cos C ? ? 2ab ? .

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5 . 解 题 中 利 用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? , 以 及 由 此 推 得 的 一 些 基 本 关 系 式 进 行 三 角 变 换 的 运 算 , 如 :

sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
sin A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2 .、
已知条件 一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c) 余弦定理 余弦定理 定理应用 正弦定理 一般解法 由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解 时,有一解。 由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

二、复数
1 复数的基本概念 (1)形如 a + bi 的数叫做复数(其中 a,b ? R ) ;复数的单位为 i,它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 .其 中 a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当 b = 0 时复数 a + bi 为实数

虚数:当 b ? 0 时的复数 a + bi 为虚数; 纯虚数:当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义:

a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, ? R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0
(3)共轭复数: z ? a ? bi 的共轭记作 z ? a ? bi ; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; z ? a ? bi ,对应点坐标为 p ? a, b? (5)复数的模:对于复数 z ? a ? bi ,把 z ? a 2 ? b 2 叫做复数 z 的模; 【2】复数的基本运算 设 z 1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2 i (1) 加法: z 1 ? z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (2) 减法: z 1 ?z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (3) 乘法: z 1?z2 ? ? a1a2 ? b1b2 ? ? ? a2b1 ? a1b2 ? i
(4)幂运算: i
1

特别 z ? z ? a 2 ? b2 。

? i , i 2 ? ?1 , i 3 ? ?i , i 4 ? 1 , i 5 ? i , i 6 ? ?1 ??? ???

【3】复数的化简 c ? di z? ( a , b 是均不为 0 的实数)的化简(复数的除法)就是通过分母实数化的方法将分母化为实 a ? bi 数: z ?

c ? di c ? di a ? bi ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ? ? ? a ? bi a ? bi a ? bi a 2 ? b2

练习题
解三角形:
1. 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 ?ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 ( )

C.直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c,若 a ? A.

2 ,b=2,sinB+cosB= 2 ,则角 A 的大小为(



? 2

B.

? 3

C

? 4

D.

? 6

3. 在△ ABC 中, a ? 7, b ? 4 3, c ? 13 ,则最小角为 A、

4. 已知 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 3, ?BAC ? 60? ,则 BC ? A.

? 3

B、

? 6

C、

? 4

D、

? 12
( ) D. 10

13

B.

13

C. 5

5. 在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B ,则 A.

?

2, 3

?

B.

?

3, 2

?

c 的范围( b
C.

) D.

? 0, 2 ?
3? D. 4

?

2, 2

?
)

2 2 2 6. 在 ?ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a ? b ? c ? 2ab ,则 C ? (

? A. 2

? B. 4

2? C. 3

7.在△ ABC 中, A ? 60? , b ? 16, A、 10 6 B、75

面积 S ? 220 3 ,则 c ? C、55 D、49

8.在△ ABC 中, (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 A ? A、 30
?

B、 60

?

C、 120

?

D、 150

?

9. 已知 ?ABC 中, AB ? 4, ?BAC ? 45? , AC ? 3 2 ,则 ?ABC 的面积为_______

cos B b ?? 2a ? c ,则角 B 的大小为_______ 10. 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 cos C
11.已知锐角三角形的边长分别是 2, 3, x ,则 x 的取值范围是 A、 1 ? x ? 5 B、 5 ? x ? 13 C、 0 ? x ? 5 D、 13 ? x ? 5

12. ?ABC 中, AB ? 1, BC ? 2 则角 C 的取值范围是__________. 13. 在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是 A、 b ? 10, A ? 45 , C ? 70
? ?

B、 a ? 60, c ? 48, B ? 60 D、 a ? 14, b ? 16, A ? 45
?

?

C、 a ? 7, b ? 5, A ? 80

?

? 14. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 30 , a ? 6, b ? 4 ,则满足条件的 ?ABC

A.不存在

B.有一个

C.有两个

D 不能确定 ( D 不能确定 )

15.△ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 )

16.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100°

B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45°

17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos(B ? C) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

18.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

19.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

2? ) ? cos 2 x ( x ? R ). 3

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;

B 3 (Ⅱ) ? ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c , 若 f( ) ?? , , b 1? 2 2

c ? 3, 且 a ? b, 试求角 B 和角 C。

20.在 △ ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值;

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?

复数:
a+3i 1.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 ( 1+2i A.-6 B.13 3 C. 2 D. 13 ) D.2 )

1+i a 2.设 a 是实数,且 + 是实数,则 a 等于 ( 2 1+i 1 A. 2 B.1 3 C. 2

3.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数(z1-z2)i 的实部为________. 4.已知 =2+i,则复数 z=( 1+i z )

A.-1+3i

B.1-3i

C.3+i

D.3-i )

m 5.已知 =1-ni,其中 m、n 是实数,i 是虚数单位,则 m+ni=( 1+i A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i

6.如果实数 b 与纯虚数 z 满足关系式(2-i)z=4-bi(其中 i 为虚数单位),那么 b 等于( A.8 B.-8 ) C.-2i ) D.1+i 1+i 6 2+ 3i (3)( )+ . 1-i 3- 2i D.2i C.2 D.-2

)

3+2i 3-2i 7.复数 - = ( 2-3i 2+3i A.0 B.2

2 8.设 z=1+i(i 是虚数单位),则 +z2= ( z A.-1-i B.-1+i

C.1-i

(2+2i)4 9.计算:(1) ; (1- 3i)5

-2 3+i 2 2010 (2) +( ) ; 1-i 1+2 3i

10.已知 0<a<2,复数 z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( A.(1,5) B.(1,3) C.(1, 5) D.(1, 3)

)

z1 11.已知 z1,z2 为复数,(3+i)z1 为实数,z2= ,且|z2|=5 2,则 z2= 2+i

.

3 2 12.复数 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a


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