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打印版 信号与系统3


第第

内容摘要
一.周期信号的傅里叶级数
形式 三角形式:单边频谱 指数形式:双边频谱

1 页页

频谱:离散性、谐波性、收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点

二.傅里叶变换
定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱 冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质→应用:调制和解调→频分复用 周期信号的傅里叶变换:由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用:时分复用
X

第第

例题
?例题1:傅里叶级数——频谱图 ?例题2:傅里叶变换的性质 ?例题3:傅里叶变换的定义 ?例题4:傅里叶变换的性质 ?例题5:傅里叶变换的性质 ?例题6:傅里叶变换的性质 ?例题7:傅里叶变换的性质、频响特性 ?例题8:傅里叶变换的性质 ?例题9:抽样定理 ?例题10:周期信号的傅里叶变换

2 页页

X

第第

例3-1
周期信号
f t 3cost sin 5t 6 2cos 8t 2 3

1 页页

1.画出单边幅度谱和相位谱; 2.画出双边幅度谱和相位谱。

f t

3cost cos 5t 3cost cos 5t

6 1 3

2

2cos 8t

2 3 3
X

2cos 8t

第第 2 页页

单边幅度谱和相位谱
cn 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3
n

1 3 O 1 2 3 45 6 7 8

双边幅度谱和相位谱
Fn
1 3 2 1 2

n

8 5 1 2 3 4 5 6 7 8

3 O 1 3 1 2 3 4

5 6 7 8

8

5

1O

X

第第

例3-2
f t

1 页页

求信号f (t)的傅里叶变换F 。

2 1

0

1

t

分析:f(t)不满足绝对可积条件,故无法用定义求其傅里 叶变换,只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解 。下面用三种方法求解此题。 方法一:利用傅里叶变换的微分性质 方法二:利用傅里叶变换的积分性质 方法三:线性性质
X

第第

方法一:利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流,设fA(t)为交流分量, fD(t)为直流分量,则
f t F F 1 f 2 FD f t 3 f At fA t
A

2 页页

f t 2 1 0

f F

D

t
1
fAt 12 0 121 fA t 1 0 1 t t t

D

其中
f Dt f 3 2

X

第第 3 页页

Q f

A

t

G1 t Sa

1 2 2 2 j e e
j j

j FA Sa FA F F
A

Sa F
D

2 j

e

j

3
X

第第

方法二:利用傅里叶变换的积分性质
f t F2 1 f1(t) Sa 2 e f1(t)为f
j 2

4 页页

(t)的积分

f t 2 1

0

1
f1 t

t

F1

1 j Sa 2 j

Sa e

2
j

e

j

1

0
f2 t

1

t

Sa

F

F1 F

1

3

2 j

e

1
j

0

t 1

X

第第

方法三:利用线性性质进行分解
此信号也可以利用线性性 质进行分解,例如
f t 2 1 0

5 页页

1

t

f t

u( t) (t 1) u(t) u(t 1) 2u(t 1) b 1 b 1 j 2e j 1 e F j
2 j j

b 1 e
j

j

j 3

2
2

2 e j

j

X

第第

例3-3
已知信号f(t)波形如下,其频谱密度为F(jω),不必求出 F(jω)的表达式,试计算下列值:
f t 1 1 O 1 t

1 页页

1 2

F F d

0

1F F 0 F

f t
0

e

jt

dt 1.5
X

f t dt

第第 2 页页

2f t

1 2

F

e

j t

d 1

令t=0,则
f 0 2 d

F 2 f 0

d 2


F

X

第第

例3-4
已知F1 求F2 F f1 t ,利用傅里叶变换的性质 F f1 6 2t 。 ,

1 页页

方法一: 按反褶-尺度-时移次序求解
已知 对t反褶
.

F1

F f1 t F
1

F f1 t
F f
1 1

对t压缩2倍
对t时移 6 ,得 2

2t

F f 6 2t

1 F1 2 1F 2 1

2 e 2
j3

X

第第

方法二: 按反褶-时移-尺度次序求解 F1 F f 1 t 已知
对t反褶 F f1 t F1

2 页页

对t时移6,得
对t压缩2倍

F f1 6 t
F f 16 2t

方法三 利用傅里叶变换的性质
这里a -2,t0

F1 e j6 1 F1 e 2 2 F f at t
0 1

j3 t0 a

1 F a a e

j

其它方法自己练习。

6代入上式,得 1 F f 1 6 2t F 2

e 2

j3

X

第第

例3-5
已知升余弦信号f t 0 t , 利用频移性质求其频谱密度函数,并与矩形脉冲信号 f1 ( t ) E u t 解: f t E 2 2 ut E e 4
j t

1 页页

E 1 cos 2

t

2 E e 4

的频谱比较。
j t

u t E 2

ut

E Sa

E Sa 2

Sa
X

第第

升余弦脉冲的频谱
f(t ) E E 2

2 页页

E Sa E Sa 2 E Sa 2
2

O 2 F E E 2 O 2 3

t

4
X

第第

比较
f(t ) E E 2 O 2 2 F E t f1 (t )

3 页页

F1

E Sa

2

升余弦脉冲信号 的频谱比矩形脉冲 的频谱更加集中

O

2

3

4
X

第第

例3-5
已知升余弦信号f t 利用频移性质求其频谱密度函数,并与矩形脉冲信号 f1 ( t ) E u t 解: f t E 2 2 ut E e 4
j t

1 页页

E 1 cos 2

t

0 t



2 E e 4

的频谱比较。
j t

u t E 2

ut

E Sa

E Sa 2

Sa
X

第第 2 页页

E E 2

f(t )

E Sa E Sa 2 E Sa 2
2

O 2 F E E 2 O

t

2

3

4
X

第第

例3-6已知双Sa信号
f (t) = ω c {Sa(ωct)? Sa[ωc(t ? 2τ)]} 试求其频谱。 π f0(t) = ωπc Sa(ωct)

1 页页



因f0(t)为Sa波形,其频谱F0(ω)为矩形。f0(t)和f (t)的波形如图

(a),(b)所示。
.

ωC π

f0(t)

F0(ω) 1
τ

o (a)

t

?ωC

o (b)

ωC

ω

X

第第

f0(t ? 2τ)的波形如图(c)所示。

2 页页

已知
? 1 F [f 0 ( t )] = ? ?0 (ω < ωc ) (ω < ωc )

? f0(t ? 2τ) 2τ t

o

由时移特性得到
?e ? j2ωτ )] = ? F [f 0 ( t ? 2τ ? ? ?0 因此f (t)的频谱等于 F(ω) = F[f
0

(c)

(ω < ωc ) (ω < ωc )

(t)]? F[f0(t ? 2τ)]
(ω < ωc ) (ω < ωc )
X

? 1? e ? j2ωτ ? =? ? ?0

第第 3 页页

从中可以得到幅度谱为
?2sin(ωτ ) (ω < ωc ) ( ) ? (ω < ωc ) 0 ? Fω = 在实际中往往取τ = ωπ ,此时上式变成
c

? ? ?2sin ? πω ? F(ω) =? ?ω c ?0 ?

? ? ? ?

(ω < ωc ) (ω < ωc )

双Sa信号的波形和频谱如图(d)(e)所示。
X

第第 4 页页

ωC π

f (t)

F ( ω) 2

o (d)

τ 2τ t ?ωC o (e) ωC ω

X

第第

例3-7-8
求图(a)所示函数的傅里叶变换。
1 f (t)

1 页页

引入辅助信号 f1 ( t ,) 如图 (b).

o 1

t

由对称关系求 又因为

F ω F1(ω) = G2π (ω)

1

( )

(a)
f1(t) 1 t o 1

f (t) = f1(t 1)

1



(b)
X

F(ω) = F1(ω)? e? jω = G2π (ω)? e? jω 频谱图

由对称关系求 ( )
f 1 (t)

F1 ω

F1(ω
ω

)
1

f1(t)

ω

o ?1 1

t

F1 (t)

2πf 1 (? ω

)

(b)
F1(ω

(ω ? t) (t ←ω) ?τ ? 已知 Gτ (t) ?τ Sa? ω ? 且由图(b)可得 f1(t) = Sa(πt)
τ → 2π 所以由对称性, ( )= 2π Sa( πω) → G ( 2πf1 ω t) = F ( ) t1 2π ∴F1(ω) = G2π (ω)
X

f1(t)(t → ?ω)2πf1(?ω)

F1 (t )

)

?2 ?

第第

幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图(c)(d)所示。
| F(ω) | φ (ω )

3 页页

1

π π
ω

?π0

(c)




0

π

ω

(d)

幅度频谱无变化,只影响相位频谱
相移ωt0? ? t0t0 ? 左 ?ω ω
X

第第

例3-8
1 cost ? 已知信号 f (t) ? ?0 + ? ? 求该信号的傅里叶变换。 t≤π t >π

1 页页

分析:该信号是一个截断函数,我们既可以把该信号 G2π (t)的截取, 看成是周期信号( ) 也可以看成是 G2π t (+ ) 经过门函数 (1 +cos) 被信号 t 调制所得的信号. 1 cos t 有以下三种解法: 方法一:利用频移性质 方法二:利用频域卷积定理 方法三:利用傅里叶变换的时域微积分特性

X

第第

方法一:利用频移性质
利用频移性质:由于

2 页页

(

) ( )被虚指数信号调制的

f (t) = 1+ cost G2π (t) 利用欧拉公式,将 (1 + cost) 化为虚指数信号, f (t)就可以看成是门函数 G2π tG2π (t)的频谱进行平移。 结果。在频域上,就相当于对

(

)

f (t) = 11 + cos π1 (t ) ? Gjt2π (t ) 1e tjt G2e ? + ? 2 2 ? =? ?? +

又因

G2π (t) ? 2π Sa πω = 2sinπω ( ) ω

X

第第 3 页页

所以根据频移性质,可得
F(ω) = F[f (t)] 1 ( ? 2sinπ ω ?)1 ? 2sinπ( ω +) 1 = 2sinπω + 2 +2 ω ω? 1 ω+ 1 = ? 2sinπω ω( ω ? )
2

1

1

X

第第

方法二:用频域卷积定理
将 f (t)看成是信号 (1 + cost)经过窗函数 G2π t的截取, () 即时域中两信号相乘

4 页页

(

)

f (t) = 1+ cost G2π (t) 根据频域卷积定理有 1 [ 1+ cos] [ G (2) F( ω )= F t ? F t π] 2π 2sinπω 1 [2πδ ( ) +πδ( ω + ) ] ? = ω ) +πδ (ω ? 1 1 2π ω = ? 2sinπω

(
2

)

ωω ?1

X

第第

方法三:利用傅里叶变换的时域微积分特性
信号f(t)是余弦函数的截断函数,而余 弦函数的二次导数又是余弦函数。利用 傅里叶变换的时域微积分特性可以列方 程求解。
f (t) 2

5 页页

?π ? π

) f (t ) , f ′( t ), f ′′(t的波形为:
由图可知
f ′′(t )= ?costG2π (t) = ? [ f (t )? G (t) ]


π π t f ′( t) 2 2 1 π 2 π ?π ? π t 2?1 f ′′( t) 1 ?π π 2?1 π 2 π t

X

第第 6 页页

对上式两端取傅里叶变换,可得 2sinπω ? ? (j ω )2 F (ω ) = ?? ( F )ω ? ? ω ? ? 即 2sinπω 2 (1 ?ω ) ( )= Fω ω 由于f (t)和f ′′(t)均为能量信号,其傅里叶变换在ω
项,因此可将(1?ω
2

0

) ( ) 处都等于0,根据时域积分特性,F ( ω中不可能含有 δ ω
)项移到方程右边,即 2sinπω

( )
Fω =?

(
2

)

ωω ? 1

X

第第

例3-9
求信号f (t) = Sa(100t)的频宽(只计正频率部分),若对 f (t)进行均匀冲激抽样,求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特 周期TN。

1 页页

(1)要求出信号的频宽,首先应求出信号的傅里叶变 换F(ω) 已知 ωτ ? ? Gτ ( t ) ?τ Sa? ? ? 2 ? ωτ 令 = 100ω ,则τ=200 2 ∴ G200(t)? 200Sa(100ω)

X

第第 2 页页

1 G200(t)? Sa(100ω) 200 利用傅里叶变换的对称性 π 1 ( ) ( ) ( ) 100 Sa 100t ? 2π ? G200 ω = G200 ω f(t)的波形和频谱图如下200



f (t )

1

π 100

F(ω)

?

π 100

π 100

t

?100

0

100

ω

所以信号的频带宽度为 ω m 50 Hz ∴ fm = = 2π π

ω m = 100rad/ s

X

第第

(2)
最高抽样频率(奈奎斯特频率)为
f N= 2 f m = 100 π Hz

3 页页

奈奎斯特间隔(即最大允许抽样间隔)为
1 π TN = = s f N 100

X

第第

例3-10
已知周期信号f(t)的波形如下图所示,求f(t)的傅里叶 变换F(ω)。
f (t) 1 L ? 2 ? 1 ?
14 3 4

1 页页

1 2

L t

O

1 4

1 2

?1

分析:求信号的傅里叶变换一般有两种解法。 方法一:将信号转化为单周期信号与单位冲激串δ T (t ) 的卷积,用时域卷积定理来求解; 方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解。
X

第第

方法一
将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。 ?1≤t ≤ 3 截取f(t)在 的信号构成单周期信号 f1(t),即有 2 2 ? 1 3 f (t ) ? ≤ t ≤ ? f1(t) = ? 2 2 ?0 t为其它值 ? 1 ω ? jω 则 f1(t) = G 1 (t)? [ ( ) ] ? Sa 1 ? e δ (t) ?δ (t ? 1) ? ? ?4? 2 ? ? 2 易知f(t)的周期为2,则有 f (t) f1(t)? δ T (t) T 2 2π ( ) δT (t) ?ω δ ω1 = =π 1 ω 1ω T ∞


2 页页



(

)

n=?∞

δ ω ? nπ

X

第第 3 页页

由时域卷积定理可得

[δ ( )] F( ω )= F [f (1 t) ]? F Tt
∞ ω ? ? ( 1? e ?? ∑ jω ) πδ ω ? ( nπ ) = Sa? ? 2 ? 4 ? n ∞ sin nπ = π ∞ 4 (1? e ? δ jnπω )? ( nπ ) ∑ 2 n=?∞ nπ 4 sin nπ

1

= 2∑



n=?∞

n

4 [1? (?1)n]δ(ω ? nπ )
X

第第

方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为 1 Fn = f (t)? e ? jω t dt ∫ T T 3 ? = 1 2 ? ? G 1 (t ) ? G1 (t ? 1)? e ? jnπt dt 1 ∫ 2 ?2 ? 2 2 ? nπ sin 4 [1 ( 1)n] nπ 所以 ∞ ( nπ ) F( ω )= F [f (t )] = 2π ∑ Fnδ ω ?
1

4 页页

sin nπ = 2∑
∞ n=?∞

n=?∞

n

4 [1? (?1)n]δ(ω ? nπ )

X


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