3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

含参数的一元二次不等式的解法(专题)


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0 , a ? 0 , a ? 0 ;
2

例 1 解不等式: ax

2

? ?a ? 2 ?x ? 1 ? 0
2 2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ? a ? 2 ? ? 4 a ? a ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ? a ? 2 ? ? 4 a ? a ? 4 ? 0
2 2

解得方程 ax

2

? ? a ? 2 ? x ? 1 ? 0 两根 x 1 ?

?a?2? 2a

a

2

?4

, x2 ?

?a?2? 2a

a ?4
2

2 2 ? ?a?2? a ?4 ?a?2? a ?4? ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?
?
? ? ? ? ?a?2? 2a
2

?

1? ? 2?
?a?2? 2a a
2

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

a

?4

? x ?

?4? ? ? ? ?

例 2 解不等式 ax

2

? 5 ax ? 6 a ? 0 ? a ? 0 ?

分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解
? a ( x ? 5 x ? 6 ) ? a ? x ? 2 ?? x ? 3 ? ? 0
2

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2 或 x ? 3? ;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ? ? 4 , 4 ? 即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ? 4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R 且 x ?
? ? a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ? 4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x 1 ?
? ? ? ? ?a? a 2
2
2

?a?

a 2

2

? 16

, x2 ?

?a?

a 2

2

? 16

,显然 x 1 ? x 2 ,

∴不等式的解集为 ? x x ?

? 16

或 x〈

?a?

a 2

2

? 16 ? ? ? ? ?

例 4 解不等式 ?m ? 1 ?x ? 4 x ? 1 ? 0 ? m ? R ?
2

解 因 m ? 1 ? 0 , ? ? ( ? 4 ) ? 4 ?m ? 1 ? ? 4 ?3 ? m
2 2 2

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?
?

?

1? ?; 2?

当?

3 ? m ?

2 2 ? 2? 3?m 2? 3?m ? 或 x〈 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 2 2 m ?1 m ?1 ? ?

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或 m ?
2

3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x 1 , x 2 的大小来分类,即 x 1 ? x 2 , x 1 ? x 2 , x 1 ? x 2 ; 例5 解不等式 x ? ( a ?
2

1 a

) x ? 1 ? 0 (a ? 0) 1 a ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题

分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? 只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ? 1 或 0 ? a ? 1 时, a ?
1 a 1 a 1 a

) ? 0 ,令 a ?

1 a

,可得: a ? ? 1
? ? 1? ?; a?

,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ?

当 a ? 1 或 a ? ? 1 时, a ?

,可得其解集为 ? ;
1 a

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

,解集为 ? x |
?

?

? ? x ? a? 。 a ? 1

例 6 解不等式 x ? 5 ax ? 6 a ? 0 , a ? 0
2 2

分析 此不等式 ? ? ? ? 5 a ? ? 24 a ? a ? 0 ,又不等式可分解为 ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 ,故只需比较两根
2 2 2

2 a 与 3 a 的大小.

解 原不等式可化为: ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 ,对应方程 ? x ? 2 a ?( x ? 3 a ) ? 0 的两根为
x 1 ? 2 a , x 2 ? 3 a ,当 a ? 0 时,即 2 a ? 3 a ,解集为 ?x | x ? 3 a 或 x ? 2 a ? ;当 a ? 0 时,即 2 a ? 3 a ,解集为

? x | x ? 2 a或 x ? 3a?

四、 (1)解关于 x 的不等式: x ? ( a ? 2 ) x ? a ? 0 .
2

(2)解关于 x 的不等式: ax

2

? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 .

(3)解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0 .
2

(1)解: x ? ( a ? 2 ) x ? a ? 0
2
2

(? )

? ? ?a ? 2 ? ? 4 a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或 a ? 4 ? 2 3 ,

此时两根为 x 1 ?

(2 ? a ) ?

?a ? 2 ? 2
2

? 4a

, x2 ?

(2 ? a ) ?

?a ? 2 ? 2
2

? 4a

.
(2 ? a ) ? a 2
2

? (1) a ? 4 ? 2 3 时, ? 0 , ) 解集为( ? ? , 当 (?

(2 ? a ) ?

a 2

2

? 8a ? 4

)? (

? 8a ? 4

, ?? );

(2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (? ) 解集为( ? ? , 3 ? 1 ) ? ( 3 ? 1, ?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (? ) 解集为 R ; (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (? ) 解集为( ? ? , ? 3 ? 1 ) ? ( ?
? (? (5) a ? 4 ? 2 3 时, ? 0 , ) 解集为( ? ? , 当
3 ? 1, ?? );

(2 ? a ) ?

a 2

2

? 8a ? 4

)? (

(2 ? a ) ?

a 2

2

? 8a ? 4

, ?? ).

(2)解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? 其解的情况应由
1 a
1 a 1 a )( x ? 1) ? 0 ? x ? )( x ? 1) ? 0 . 1 a
(? )

或 x ? 1.

与 1 的大小关系决定,故

(1)当 a ? 1 时,式 (? ) 的解集为 ? ; (2)当 a ? 1 时,式 (? ) ?
1 a ? x ? 1;

(3)当 0 ? a ? 1 时,式 (? ) ? 1 ? x ? 综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? { x1 ? x ?
2

1 a
1 a

.
或 x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1 };当 0 ? a ? 1 时,解集为
1 a ? x ? 1 }.

1 a

};当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x
(? )

(3) 解: ax ? ax ? 1 ? 0 .
2

(1) a ? 0 时, ( ? ) ? ? 1 ? 0 ? x ? R . (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4 a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ? 4 , 此时两根为 x 1 ?
?a? a 2a
2

? 4a

, x2 ?
a

?a?
2

a 2a

2

? 4a

.
a 2a
2

①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? ( ? ) ?

?a?

? 4a

? x ?

?a?

? 4a



2a ②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? ( ? ) ? x ? R ;

③当 a ? ? 4 时, ? ? 0 ,? ( ? ) ? x ? R 且 x ? ?

1 2



④当 a ? ? 4 时, ? ? 0 ,? ( ? ) ? x ? 综上,可知当 a ? 0 时,解集为(
?a?

?a?
2

a 2a

2

? 4a

或 x ?
a 2a
2

?a?

a 2a

2

? 4a

.

a 2a

? 4a

,

?a?

? 4a

);

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ? 4 时,解集为( ? ? ,?
1 2

)? (?
a 2a
2

1 2

, ?? );

当 a ? ? 4 时,解集为( ? ? ,

?a?

? 4a

)? (

?a?

a 2a

2

? 4a

, ?? )


推荐相关:

含参数的一元二次不等式的解法(专题)_数学_高中教育_教育专区。大连市第 48 中学 何兆强 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下...


含参数的一元二次不等式的解法(专题)_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,( a ? 0, a ? 0, a ? ...


含参数的一元二次不等式的解法(教案)_数学_高中教育_教育专区。<<含参数的一...专题推荐 幼班教师寄语 小学教师开学发言稿 秋季初中开学典礼校长讲... 高一英语...


含参数的一元二次不等式的解法(专题)_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常...


当大家对解一般的一元二次不等式打下良好基础后, 就进入了这 节课的重点及难点部分即含参数的一元二次不等式的解法, 这个点要 做为一个专题进行讲解至少要用...


含参数的一元二次不等式的解法(专题) (1)_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么...


含参数的一元二次不等式的解法(专题) 隐藏>> 一、含参数的一元二次不等式的解法一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 2...


含参数的一元二次不等式的解法(专题) 隐藏>> 一、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参...


含参一元二次不等式专题训练解答题(共 12 小题) 1.已知不等式(ax﹣1) (x+1)<0 (a∈R) . 2.解关于 x 的不等式:x +(a+1)x+a>0(a 是实数) ...


含参数的一元二次不等式的解法(专题)s_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com